-
Probleme, concursuri, olimpiade 19
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
PROBLEME PROPUSE PENTRU CONCURSUL REZOLVITORILOR
MECANIC F61. Un punct material M se mic pe o traiectorie
circular de raz R. La momentul iniial, t = 0, punctul se afla n
poziia O, dup care viteza lui variaz n funcie de timp dup legea v =
tt2, n care i sunt dou constante pozitive, iar v este proiecia
vectorului vitez v a punctului material pe direcia versorului al
tangentei la traiectorie, orientat n sensul pozitiv ales la
msurarea arcului de curb, adic n sensul creterii arcului: v = v, v
= v = v.
S se determine: 1) viteza medie a punctului material pe
traiectorie, , n intervalul de timp t dintre
momentul iniial al micrii i momentul cnd corpul revine n poziia
O. S se compare rezultatul obinut cu vitezele medii ale punctului
material n prima, a doua i cea de a treia treime a intervalului
t;
2) orientarea rezultantei F a forelor ce acioneaz asupra
punctului material n momentul iniial i dup timpul t' de la nceputul
micrii; la sfritul fiecrei treimi a intervalului t;
3) puterea medie, dezvoltat (pe unitatea de mas a punctului
material) de fora rezultant F pe ntreaga durat t a micrii
considerate. S se compare rezultatul obinut cu puterea medie
dezvoltat de fora F n ultima treime a intervalului t.
Aplicaie numeric: R =4,0 m; = 1,8 m/s2; = 0,20 m/s3 ; t' = 2,0
s; 1/3 t; 2/3 t; t. Conf. univ. dr. Pavel CATAN
TERMODINAMIC F62. Se d un vas calorimetric de capacitate caloric
Cv i temperatura iniial t0, lichidul din el cu capacitatea caloric
CL i temperatura t0. Cu ajutorul unei linguri de laborator se
scoate din vas cte o mic cantitate cu capacitatea caloric Cl i se
adaug imediat aceeai cantitate cu Cl i temperatura de fierbere tf a
lichidului considerat. Se cere temperatura dup N astfel de
operaii.
Prof. Gheorghe P. GROSU Colegiul Naional H. Coand, Bacu
ELECTROSTATIC F63. Folosind condensatoare de aceeai capacitate,
C, n etapa I, se conecteaz un condensator C cu 2C (nseriate) n
paralel, formnd grupul 1; n etapa a II-a, se conecteaz grupul 1 cu
un C n serie, apoi ansamblul lor n paralel cu 2C (nseriate), formnd
grupul 2 etc., pn n etapa N cnd se formeaz grupul n. Se cere
capacitatea echivalent a grupului n.
Prof. Gheorghe P. GROSU Colegiul Naional H. Coand, Bacu
-
20 Probleme, concursuri, olimpiade
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
OPTIC F64. O lentil subire convergent avnd diametrul D = 5,0 cm
i distana focal F = 50,0 cm se taie dup diametru n dou pri egale
care se ndeprteaz la distana l = 0,50 mm, iar n spaiul dintre pri
se introduce un mediu opac (v. figura). Pe axa de simetrie a
dispozitivului obinut, la distana a = 100 cm de la planul lentilei,
se instaleaz o surs monocromatic punctiform de lumin.
S se determine: 1) distan L fa de dispozitiv, de la care se
poate
observa figura de interferen; 2) diferena de drum optic a
razelor marginale emergente, n punctul lor de intersecie;
numrul franjelor de interferen observate pe ecran; interfranja n
acest caz, dac lumina emis de surs are lungimea de und = 500
nm.
Prof. dr. Eleodor LUPACU PROBLEM EXPERIMENTAL F65. Determinai
densitatea a materialului din care e confecionat un tub avnd
lungimea L, diametrul exterior D i diametrul interior d.
Avei la dispoziie: un tub, un vas cu lichid avnd densitatea
cunoscut l , rigl milimetric, ubler, o vergea metalic, un suport,
un creion de marcaj, dopuri cu diametrul d (a cror mas se va
neglija).
Estimai erorile experimentale i stabilii sursa predominant de
erori.
Dr. Simion RAEVSCHI A 38-A OLIMPIAD INTERNAIONAL
DE FIZIC IRAN, 13-22 IULIE 2007
A 38-a Olimpiad Internaional de Fizic a elevilor a fost gzduit
de Iran i s-a
desfurat n perioada 15-17 iulie 2007, n oraul Isfahan. Echipa
naional a R. Moldova constituit din 5 elevi a fost pregtit la
Universitatea de Stat din Moldova de ctre conf. univ. dr. Igor
Evtodiev (USM). Selecionata R. Moldova a obinut 2 Medalii de Bronz
i o Meniune de Onoare.
Participanilor la olimpiad li s-au propus trei probleme
teoretice i una experimental. Fiecare problem teoretic era apreciat
cu cte 10 puncte, iar cea experimental cu 20 puncte, Aadar, fiecare
participant putea s obin maximum 50 puncte. Punctajele minime
stabilite pentru Medalii i Meniuni de Onoare au fost
urmtoarele:
Medalie de Aur - punctaj minim: 44,0 Medalie de Argint - punctaj
minim: 38,0 Medalie de Bronz - punctaj minim: 33,0 Meniune de
Onoare - punctaj minim: 22,0
-
Probleme, concursuri, olimpiade 21
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
Rezultatele obinute de membrii echipei R. Moldova la a 38-a
Olimpiad Internaional de Fizic
Isfahan, Iran, 13-22 iulie 2007
Nume, prenume Liceul Punctaj total Distincie Vanovschi Vladimir
Nicolae Milescu-
Sptarul, Chiinu 36.1 Medalie de Bronz
Abetkin Vitalii Moldo-Turc, Chiinu 28.7 Meniune de Onoare
Cudreaov Alexandr Moldo-Turc, Chiinu 18.7 - Sanduleanu tefan Mircea
Eliade,
Chiinu 33.0 Medalie de Bronz
Lopuanschi Mariana Mircea Eliade, Chiinu
17.7 -
Publicm n continuare probele teoretice propuse la Olimpiada din
Iran. Proba experimental, precum i soluiile vor fi date n numrul
urmtor al revistei.
PROBELE TEORETICE Duminic, 15 iulie 2007
Proba teoretic dureaz 5 ore. Proba conine trei probleme, fiecare
fiind punctat cu 10 puncte. Fiecare problem este marcat printr-o
culoare diferit: albastru, portocaliu, roz.
-
22 Probleme, concursuri, olimpiade
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
PROBA BLUE (ALBASTRU) n fizic, n orice relaie de egalitate,
ambii membri ai ecuaiei trebuie s fie de acelai tip, adic trebuie s
aib aceeai dimensiune. De exemplu, nu este posibil o situaie n care
membrul drept al unei ecuaii reprezint o lungime, iar membrul stng
un interval de timp. Folosind acest fapt, avem cteodat
posibilitatea de a deduce aproximativ forma unei relaii fizice, fr
a rezolva problema analitic. De exemplu, dac ni se cere s determinm
intervalul de timp n care un obiect cade de la nlimea h , cu
acceleraia gravitaional constant g , putem argumenta c este
suficient s construim o mrime reprezentnd un interval de timp
folosind mrimile g i h i c singura relaie posibil rspunznd acestei
cerine este
2/1)/( ghaT = . Trebuie remarcat c aceast soluie conine un
coeficient nedeterminat a, care fiind adimensional, nu poate fi
determinat prin aceast metod. Coeficientul poate fi un numr cum ar
fi: 1, 21 , 3 , , sau orice alt numr real. Aceast metod de deducere
a relaiilor fizice, este denumit analiz dimensional. n analiza
dimensional, coeficienii adimensionali nu sunt importani, i nu vom
avea nevoie s i exprimm. Din fericire, n multe probleme de fizic,
aceti coeficieni sunt de ordinul lui 1 (de ordinul unitii) i
eliminarea lor nu schimb ordinul de mrime al cantitilor fizice.
Astfel, aplicnd analiza dimensional la problema de mai sus, vom
obine 2/1)/( ghT = . n general, dimensiunile unei mrimi fizice sunt
exprimate n funcie de dimensiunile a patru mrimi fizice
fundamentale: M (mas), L (lungime), T (timp), i K (tempertur).
Dimensiunea unei mrimi oarecare, x , este notat prin [ ]x . De
exemplu, pentru a exprima dimensional viteza v , energia cinetic kE
, i capacitatea caloric VC vom scrie:
1][ = LTv , 22][ = TMLEk , 122][ = KTMLCV .
1. Constante fundamentale i analiz dimensional
1.1
Gsete dimensiunile constantelor fundamentale: constanta lui
Planck h , viteza luminii c , constanta gravitaional G i constanta
lui Boltzmann Bk n funcie de dimensiunile de lungime, mas, timp i
temperatur.
0,8
Conform legii Stefan-Boltzmann, puterea emisiv a unui corp negru
(energia total emis de unitatea de suprafa a corpului negru, n
unitatea de timp) este egal cu 4 , unde este constanta lui
Stefan-Boltzmann i este temperatura absolut a corpului negru.
1.2 Determin dimensiunea constantei lui Stefan-Boltzmann n
funcie de dimensiunile lungime, mas, timp i temperatur. 0,5
Constanta lui Stefan-Boltzmann nu este o constant fundamental i
poate fi scris n funcie de constantele fundamentale. Cu alte
cuvinte, poate fi scris astfel:
BkGcha= . n aceast relaie a este un parametru adimensional de
ordinul lui 1. Aa cum s-a menionat nainte, valoarea exact a lui a
nu este semnificativ din punctul nostru de vedere, deci l vom
considera egal cu 1.
1.3 Gsete , , , i , folosind analiza dimensional. 1,0
-
Probleme, concursuri, olimpiade 23
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
2. Fizica gurilor negre n aceast parte a problemei, vom dori s
gsim cteva proprieti ale gurilor negre folosind analiza
dimensional. n conformitate cu o teorem din fizic, cunoscut ca
teorema cheliei ( no hair theorem), toate caracteristicile fizice
ale unei guri negre, ce vor fi luate n considerare n aceast
problem, sunt determinate doar de masa acesteia. O caracteristic
fizic principal a gurii negre este aria proprie a orizontului
evenimentelor. n mod grosier, orizontul evenimentelor reprezint
marginea gurii negre. n interiorul delimitat de aceast grani, cmpul
gravitaional este att de intens nct nici mcar lumina nu mai poate
iei din regiunea nchis de aceasta. Dorim s gseti o relaie ntre masa
unei guri negre, m, i aria orizontului su, A. Aceast arie depinde
de masa gurii negre, viteza luminii i constanta universal
gravitaional. La fel ca i n 1.3, poi scrie mcGA = 2.1 Folosete
analiza dimensional pentru a gsi , i . 0,8
Din rezultatul de la 2.1 rezult clar c aria orizontului
evenimentelor pentru o gur neagr crete cu masa ei. Din punct de
vedere clasic, nimic nu iese dintr-o gaur neagr i deci n toate
procesele fizice aria orizontului evenimentelor nu poate dect s
creasc. Prin analogie cu legea a doua a termodinamicii, Beckenstein
a propus s se atribuie unei guri negre entropia S, proporional cu
aria suprafeei orizontului gurii negre, adic AS = . Aceast
conjectur a fost ntrit ulterior i de alte argumente.
2.2
Utilizeaz definiia termodinamic a entropiei dQdS = pentru a gsi
dimensiunea entropiei. dQ reprezint schimbul de cldur, iar este
temperatura absolut a sistemului.
0,2
2.3 La fel ca i n 1.3, exprim constanta cu dimensiune n funcie
de constantele fundamentale h , c , G , i Bk .
Nu folosi analiza dimensional pentru a rezolva n continuare
aceast problem; poi n schimb s foloseti rezultatele obinute n
seciunile precedente.
3. Radiaia Hawking
Cu o abordare semi-cuantic, Hawking a argumentat c n contradicie
cu punctul de vedere clasic, gurile negre emit radiaie similar
emisiei de radiaie a unui corp negru aflat la o temperatur numit
temperatur Hawking.
3.1
Utilizeaz 2cmE = care exprim energia unei guri negre n funcie de
masa acesteia i legile termodinamicii pentru a exprima temperatura
Hawking a guri negre, H n funcie de masa ei i constantele
fundamentale. Presupune c gaura neagr nu efectueaz lucru mecanic
asupra mediului care o nconjoar.
0,8
3.2 Deci masa unei guri negre izolate variaz din cauza radiaiei
Hawking.
Folosete legea StefanBoltzmann pentru a determina dependena
ratei de variaie a masei unei guri negre izolate, la temperatura
Hawking H , a gurii negre, ca funcie de masa acesteia i de
constantele fundamentale
0,7
-
24 Probleme, concursuri, olimpiade
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
3.3 Gsete intervalul de timp *t , n care o gaur neagr izolat de
mas m
se evapor complet, adic pierde toat masa. 1,1
Din punct de vedere al termodinamicii, gurile negre manifest o
serie de comportamente bizare. De exemplu, capacitatea caloric a
unei guri negre este negativ. 3.4 Gsete capacitatea caloric a unei
guri negre de mas m . 0,6
4. Guri negre i radiaia cosmic de fond Consider o gaur neagr
expus radiaiei cosmice de fond. Radiaia cosmic de fond este radiaia
unui corp negru cu temperatura B care umple tot universul. Un
obiect cu aria total A va recepiona, n unitatea de timp, o energie
egal cu AB 4 . O gaur neagr pierde, deci, energie prin radiaie
Hawking i primete energie de la radiaia cosmic de fond.
4.1 Gsete rata de variaie a masei unei guri negre n funcie de
masa ei, de temperatura radiaiei cosmice de fond i de constantele
fundamentale.
0,8
4.2 Pentru o anumit mas *m , rata variaiei masei gurii negre
devine
zero. Calculeaz *m n funcie de B i de constantele fundamentale.
0,4
4.3 Folosete-i rspunsul la 4.2 pentru a nlocui B n rspunsul de
la punctul 4.1 i exprim rata variaiei masei unei guri negre n
funcie de m , *m i de constantele universale.
0,2
4.4 Gsete temperatura Hawking a unei guri negre, n echilibru
termic cu radiaia cosmic de fond. 0,4
4.5 Echilibrul este stabil sau instabil ? De ce ? (justific-i
matematic rspunsul) 0,6
PROBA ORANGE (PORTOCALIU) Subiectul acestei probleme se refer la
un model simplificat al accelerometrelor proiectate pentru
declanarea air bag-urilor de siguran ale automobilelor n cursul
unei ciocniri. Dorim s proiectm un sistem electromecanic n aa fel,
nct atunci cnd acceleraia depete o anumit limit unul dintre
parametrii electrici ai sistemului - ca de exemplu potenialul
electric ntr-un anumit punct al circuitului s depeasc un prag i
astfel s fie determinat activarea air bag-ului. Not: n rezolvarea
acestei probleme neglijeaz gravitaia.
1. Consider un condensator cu plci plane, paralele ca n Figura
1. Aria suprafeei fiecrei plci a condensatorului este A i distana
dintre cele dou plci este d . Distana dintre cele dou plci este
mult mai mic dect dimensiunile plcilor. Una dintre aceste plci este
prins de un perete prin intermediul unui resort cu constanta de
elasticitate k , i cealalt plac este fixat. Cnd distana dintre plci
este d , resortul nu este nici comprimat, nici ntins. Cu alte
cuvinte, resortul este nedeformat i nici o for nu se exercit asupra
sa n
-
Probleme, concursuri, olimpiade 25
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
aceast stare. Presupune c permitivitatea aerului dintre plci
este identic cu cea a vidului 0 . Capacitatea corespunztoare
acestei distane dintre plcile condensatorului este
dAC 00 = . Se ncarc plcile condensatorului cu sarcinile
electrice Q+ i Q i se las sistemul s ating echilibrul mecanic.
Figura 1 1.1 Gsete expresia modulului forei electrice, EF , care
se exercit ntre plci. 0,8
1.2 Noteaz cu x deplasarea plcii legate la resortul elastic i
determin expresia acestei deplasri x . 0,6
1.3 Pentru starea descris mai sus, determin expresia diferenei
de potenial V dintre plcile condensatorului n funcie de kdAQ ,,, .
0,4
1.4 Fie C capacitatea electric a condensatorului, definit ca
raportul dintre sarcina electric i diferena de potenial. Determin
raportul 0CC ca funcie de dAQ ,, i k .
0,3
1.5 Determin energia total U nmagazinat n sistem n funcie de dAQ
,, i k .
0,6
Figura 2 evideniaz o mas M care este prins de dou resorturi
identice avnd fiecare constanta de elasticitate k i de o plac de
mas neglijabil confecionat din material electric conductor. Aceast
plac se poate mica nainte i napoi n spaiul dintre cele dou plci
conductoare din punct de vedere electric care sunt fixe. Toate
plcile sunt identice i au aceeai arie A . Se poate considera c cele
trei plci constituie dou condensatoare. Aa cum se arat n Figura 2,
cele dou plci laterale fixe sunt conectate la poteniale electrice
date V i V , iar placa din mijloc este conectat la pmnt cu ajutorul
unui comutator cu dou poziii. Firul conductor legat la placa mobil
nu perturb n nici un fel micarea acesteia i cele trei plci rmn
permanent paralele. Cnd dispozitivul cu condensatoare nu este
accelerat, distana de la fiecare plac fix la placa mobil este d .
Aceast distan d este mult mai mic dect dimensiunile plcilor.
Grosimea plcii mobile poate fi neglijat.
k
d
-
26 Probleme, concursuri, olimpiade
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
Figura 2 Comutatorul se poate afla ntr-una dintre cele dou
poziii i . Presupune c dispozitivul cu condensatoare descris mai
sus este accelerat cu o acceleraie constant, mpreun cu automobilul
pe o direcie de-a lungul resorturilor. Presupune c n cursul acestei
accelerri constante resorturile nu oscileaz i toate componentele
dispozitivului cu condensatoare sunt n poziii de echilibru, adic nu
se mic unele fa de altele i n consecin nici fa de automobil.
Datorit acceleraiei, placa mobil se va deplasa pe o distan x fa de
poziia de mijloc dintre cele dou plci fixe.
2. Consider situaia cnd comutatorul este n poziia , adic situaia
n care placa mobil este cuplat printr-un fir conductor la pmnt.
Rspunde la urmtoarele cerine:
2.1 determin expresia sarcinii fiecrui condensator ca funcie de
deplasarea x ; 0,4
2.2 determin expresia forei electrice rezultante EF exercitat
asupra plcii mobile ca funcie de x ;
0,4
2.3 presupune c xd >> i c termenii de ordinul 2x pot fi
neglijai n comparaie cu termenii de ordinul 2d . n aceast
aproximaie simplific rspunsul de la seciunea anterioar 2.2;
0,2
2.4 scrie expresia forei totale exercitat asupra plcii mobile
(suma dintre fora electric i fora elastic total) ca xkefectiv i
dedu forma constantei efectivk ;
0,7
2.5 gsete expresia acceleraiei a ca funcie de x . 0,4
-
Probleme, concursuri, olimpiade 27
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
3. Presupune c acum comutatorul este n poziia astfel nct placa
mobil este conectat la pmnt printr-un condensator a crui capacitate
este SC (i care nu este iniial ncrcat electric). Dac placa mobil se
va deplasa pe o distan x fa de poziia sa central dintre cele dou
plci fixe, atunci
3.1 Determin expresia SV a diferenei de potenial de pe
condensatorul cu capacitatea SC ca funcie de x .
1,5
3.2 Presupune din nou c xd >> i c termenii de ordinul 2x
pot fi neglijai n comparaie cu termenii de ordinul 2d . n aceast
aproximaie simplific rspunsul de la seciunea anterioar 3.1.
0,2
4. Dorim s ajustm parametri din problem astfel nct air bag-ul s
nu fie declanat la
frnarea normal, dar s se activeze suficient de repede n timpul
unei ciocniri pentru a preveni lovirea capului oferului cu
parbrizul sau volanul. Aa cum a fost precizat n partea 2, fora
exercitat asupra plcii mobile de ctre resorturi i de ctre sarcinile
electrice poate fi reprezentat prin aciunea unui resort cu o
constant elastic efectiv efectivk . ntregul dispozitiv cu
condensatoare este similar unui sistem mas resort cu masa M i
constanta elastic efectivk supus unei acceleraii constante a care ,
n aceast problem, este acceleraia automobilului.
Not: n aceast parte a problemei presupunerea c masa i resortul
sunt n echilibru sub aciunea unei acceleraii constante i c n
consecin sunt fixe n raport cu automobilul nu mai este aplicabil.
Neglijeaz frecarea i consider urmtoarele date numerice pentru
parametrii problemei:
cmd 0,1= , 22105,2 mA = , mNk 3102,4 = , ( )22120 1085,8 mNC = ,
VV 12= , kgM 15,0= .
4.1
Folosind datele de mai sus, gsete raportul dintre fora electric
rezultant a crei expresie ai determinat-o la seciunea 2.3 i
rezultanta forelor exercitate asupra resorturilor i arat c fora
electric rezultant poate fi neglijat prin comparaie cu rezultanta
forelor elastice.
0,6
Dei nu ai calculat forele electrice n cazul n care comutatorul
este n poziia , se poate arta ntr-un mod similar i pentru aceast
situaie c forele electrice sunt att de mici nct pot fi
neglijate.
4.2 Dac automobilul aflat n micare cu vitez constant, frneaz
brusc cu o acceleraie constant a , care este expresia deplasrii
maxime a plcii mobile?
0,6
Presupune c acum comutatorul este n poziia i sistemul este
astfel proiectat, nct air bag-ul se declaneaz dac tensiunea
electric pe condensator atinge valoarea VVS 15,0= . Dorim ca air
bag-ul s nu se declaneze n timpul unei frnri normale, cnd
acceleraia automobilului are valoarea mai mic dect aceea a
acceleraiei gravitaionale 28,9 smg = , dar s se declaneze cnd
aceast valoare este egalat sau depit.
-
28 Probleme, concursuri, olimpiade
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
4.3 Ct ar trebui s fie valoarea capacitii SC care asigur acest
mod de funcionare.
0,6
Dorim s tim dac air bag-ul se va declana suficient de rapid
pentru a preveni lovirea capului oferului de parbriz sau de volan.
Presupune c n urma ciocnirii automobilul este supus unei deceleraii
egale cu g dar capul oferului continu s se mite cu vitez
constant.
4.4 Estimnd distana dintre capul oferului i volan, calculeaz
intervalul de timp 1t de la ciocnirea automobilului i pn cnd capul
oferul ar ajunge s loveasc volanul.
0,8
4.5
Calculeaz intervalul de timp 2t dintre momentul ciocnirii
automobilului i momentul declanrii air bag-ului i compar-l cu 1t .
Decide dac air bag-ul se declaneaz n timp util. Presupune c
umflarea air bag-ului este instantanee.
0,9
PROBA PINK (ROZ) Dou stele care se rotesc n jurul centrului lor
de mas formeaz un sistem binar de stele. Aproape jumtate dintre
stelele din Galaxia noastr sunt sisteme binare. De pe Pmnt este
dificil de stabilit natura binar a celor mai multe dintre aceste
sisteme de stele, ntruct distana dintre cele dou stele este mult
mai mic dect distana de la care le observm de pe Pmnt ceea ce face
imposibil observarea lor distinct cu telescopul. De aceea, pentru a
decide c o anumit stea este sau nu este un sistem binar, este
necesar folosirea de metode fotometrice i spectrometrice pentru
observarea variaiilor de intensitate sau de distribuie a spectrului
stelei. Fotometria stelelor binare Dac ne situm aproximativ n
planul n care se mic cele dou stele, atunci, din punctul de vedere
al observatorului, o stea o poate oculta pe cealalt (o stea trece
prin faa celeilalte) la anumite intervale de timp, ceea ce conduce
la variaia n timp a intensitii luminoase a ntregului sistem aa cum
aceasta este perceput n punctul de observare. Un astfel de sistem
binar de stele este numit binar ecliptic.
1 Presupune c cele dou stele se mic pe orbite circulare n jurul
centrului lor comun de
mas cu viteza unghiular constant i c te afli exact n planul de
micare al sistemului binar. Presupune, de asemenea, c temperaturile
la suprafeele stelelor sunt 1T i 2T ( 21 TT > ) i c razele
acestora sunt respectiv 1R i 2R ( 21 RR > ). n figura 1 este
prezentat graficul dependenei intensitii totale a luminii msurat de
pe Pmnt ca funcie de timp. Msurri precise evideniaz c intensitile
corespunztoare minimelor din figur reprezint respectiv 90% i 63%
din intensitatea maxim, 0I , provenit de la ambele stele ( 290
/108,4 mWattI
= ). Axa vertical din Figura 1 evideniaz raportul 0II iar pe axa
orizontal este marcat timpul msurat n zile.
-
Probleme, concursuri, olimpiade 29
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
Figura 1. Puterea primit de la sistemul binar de stele ca funcie
de timp. Unitatea de msurare pe axa vertical corespunde la
290 /108,4 mWattI
= . Timpul este indicat n zile.
1.1 Gsete perioada micrii orbitale. D rspunsul n secunde cu dou
cifre semnificative. Care este pulsaia sistemului n rad/sec?
0,8
Perceput de pe Pmnt, radiaia unei stele este, cu o bun
aproximaie, similar radiaiei uniforme emise de un corp negru n form
de disc plat a crui raz este egal cu raza stelei. Prin urmare,
puterea primit de la stea este proporional cu 4TA , unde A este
aria discului i T este temperatura absolut la suprafaa stelei.
1.2 Utilizeaz graficul din Figura 1 pentru a determina
rapoartele 21 TT i
21 RR . 1,6
Spectrometria sistemelor binare n aceast seciune urmeaz s
calculezi proprietile astronomice ale stelei binare folosind date
spectrometrice experimentale referitoare la sistemul binar. Atomii
absorb sau emit radiaie cu anumite lungimi de und caracteristice. n
consecin spectrul observat al stelei conine linii de absorbie
datorate atomilor din atmosfera stelei. Sodiul are linia spectral
caracteristic, galben, (linia 1D ) cu lungimea de und 9,5895 (10 =
1 nm). Vei examina spectrul de absorbie al sodiului atomic
corespunztor acestei lungimi de und pentru sistemul binar din
seciunea precedent. Spectrul luminii recepionate de la sistemul
binar este deplasat Doppler deoarece stelele se mic n raport cu
noi. Fiecare stea are o vitez diferit. Corespunztor, lungimea de
und absorbit de fiecare stea va fi deplasat cu o cantitate diferit.
Pentru a observa deplasarea Doppler sunt necesare msurri foarte
precise ale lungimii de und deoarece vitezele stelelor sunt mult
mai mici dect viteza luminii. Viteza centrului de mas al sistemului
binar considerat n aceast problem este mult mai mic dect vitezele
orbitale ale stelelor. De aceea toate deplasrile Doppler pot fi
atribuite
I/I0
0II = 0.63
0II = 0.90
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Timp (zile) 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
-
30 Probleme, concursuri, olimpiade
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
exclusiv vitezelor orbitale ale stelelor. n Tabelul 1 sunt
prezentate datele spectrale observate, corespunztoare stelelor din
sistemul binar.
Tabelul 1: Spectrul de absorbie al stelei binare pentru linia 1D
a sodiului
2.4 2.1 1.8 1.5 1.2 0.9 0.6 0.3 t/zile 5894.65894.1
5894.35895.15896.25897.25897.7 5897.5 1 () 5898.15899.0
5898.75897.35896.25893.75892.8 5893.1 2 ()
4.8 4.5 4.2 3.9 3.6 3.3 3.0 2.7 t/zile 5894.35895.0
5896.25897.25897.75897.35896.7 5895.6 1 () 5898.75897.4
5896.25893.75892.85893.15894.5 5896.4 2 ()
(Not: Nu este necesar s faci un grafic al acestor date) 2
Folosind datele din Tabelul 1,
2.1 Noteaz cu 1v i 2v vitezele orbitale ale fiecrei stele i
determin valorile pentru 1v i 2v . Viteza luminii este smc
/100,3
8= . (Ignor toate efectele relativiste).
1,8
2.2 Determin raportul maselor celor dou stele ( 21 mm ). 0,7
2.3 Noteaz cu 1r i 2r distanele de la fiecare stea la centrul
lor de mas. Determin 1r i 2r .
0,8
2.4 Fie r distana dintre stele. Determin r . 0,2 3 Fora
gravitaional este singura for care acioneaz ntre stele.
3.1 Determin masa fiecrei stele cu dou cifre semnificative.
Constanta atraciei gravitaionale este 21311107,6 = skgmG . 1.2
Caracteristici generale ale stelelor 4 Majoritatea stelelor
genereaz energie prin acelai mecanism. Din aceast cauz exist o
relaie empiric ntre masa unei stele M i luminozitatea ei, L care
reprezint puterea radiant total a stelei. Aceast relaie poate fi
scris sub forma ( )SoareSoare MMLL = . n relaia anterioar kgM
Soare
30100,2 = reprezint masa Soarelui, iar WattLSoare
26109,3 = este luminozitatea solar. Aceast relaie este ilustrat
n scar dublu logaritmic (log-log) n graficul din Figura 2.
-
Probleme, concursuri, olimpiade 31
FIZICA I TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 6, nr. 1-2, 2008
Figura 2. Luminozitatea stelelor variaz ca funcie de o putere a
masei acestora. Graficul este prezentat n scar dublu logaritmic
(log-log). Punctul experimental prezentat cu simbolul stelu
reprezint Soarele a crui mas este kg30100,2 i a crui luminozitate
este Watt26109,3 . 4.1 Determin cu o cifr semnificativ. 0,6
4.2 Fie 1L i 2L luminozitile stelelor din sistemul binar studiat
n seciunile precedente. Determin 1L i 2L .
0,6
4.3 Care este distana d de la sistemul binar pn la noi exprimat
n ani lumin? Pentru determinarea distanei poi folosi graficul din
Figura 1. Un an lumin reprezint distana parcurs de lumin n timp de
un an.
0,9
4.4 Care este distana unghiular maxim, , dintre stele din
punctul din care o
observi? 0,4
4.5 Care este dimensiunea minim D a aperturii unui telescop care
permite observarea distinct a celor dou stele. 0,4
/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict >
/JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false
/DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict >
/GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict >
/JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false
/DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict >
/AllowPSXObjects false /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName (http://www.color.org)
/PDFXTrapped /Unknown
/Description >>> setdistillerparams>
setpagedevice