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DinamicaStudia i nessi di causalit che esistono tra il moto dei
corpi
e le grandezze fisiche che li generano.
Questi nessi sono contenuti negli enunciati dei
3 principi fondamentali della dinamica:
1. Principio di Inerzia o legge di Galileo2. Legge di Newton3.
Principio di azione e reazione
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1
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Dallesperienza quotidiana: un corpo si muove solo se soggetto ad
una spinta o trazione.
Spinta per comprimere una molla o trazione per allungarla
Manovra a spinta per i treni
Una sfera perfetta, su piano orizzontale non si muove, se non le
viene applicata una spinta.
La stessa sfera, lasciata libera in aria, risente di una
attrazione da parte della terra che fa s che essa si muova verso la
superficie terrestre.
La spinta implica una interazione tra due sistemi in
generale.
2 tipi di spinte o interazioni:
a contatto ( reazioni vincolari normali o tangenziali )a
distanza ( Interazioni gravitazionale, elettrica o magnetica )
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Definiamo questa grandezza fisica
Forza
E la grandezza fisica che esprime e misura linterazione tra
sistemi fisici
Primo principioEnunciato di Galileo
Ciascun corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto
rettilineo ed uniforme eccetto che sia costretto a mutare quello
stato da forze impresse.Parafrasi :
Ciascun corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto
rettilineo ed uniforme finch non interviene una qualsiasi forza ad
alterare il suo stato cinetico
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F genera movimento, velocit. Se varia la velocit esiste un
accelerazione .
Che legame c tra F ed a ? Il metodo sperimentale ci insegna:
bisogna misurare F per poter definire quantitativamente ed
analiticamente il legame tra F ed a .
Qualsiasi oggetto,sottoposto a forze di contatto si deforma.
Se si applica una forza F1 ad un sistema, dovremo applicare un
forza F2 in verso opposto ad F1
perch il sistema rimanga in equilibrio.
Se ci si verifica, assumiamo, come principio derivante
dallosservazione che
F1 ed F2 siano di intensit uguale.
Ad un corpo soggetto alla forza di attrazione della Terra devo
applicare una forza (muscolare ad esempio) verso lalto.
Se utilizzo una molla questa si deforma generando una forza che
mantiene in equilibrio il corpo.
m
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m
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Se si appende un recipiente di massa msi ottiene un allungamento
x
Se appendiamo un recipiente di massa 2mOtteniamo un allungamento
pari a 2x..
La deformazione della molla lineare con la massa. (La massa
intuitivamente legata alla forza con cui la Terra attira i
corpi)
Dinamometro: misura le forze in modo primitivo
Si pu dimostrare che le Forze sono rappresentabili con
vettori.
x 2xm
mm
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FpF1
F2
Esperimento di Varignon
D1 D2
Misurando F1 ed F2, conoscendo le inclinazioni delle funi dei
due dinamometri rispetto allasse orizzontale, si dimostra la
validit della relazione:
Fp = F1 + F2
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F1 F2
Fp
x
y
F1x - F2x = 0
- Fp + F1y + F 2y = 0
Se F rappresentabile con il formalismo vettoriale, allora ci sar
un sicuro legame con laccelerazione
F1x F2x
F1y
F2y
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F1x = - F1 cos F2x = F2 cos F1y = F1 sin F2y = F2 sin
Imponiamo che la condizione di equilibrio sia verificata
contemporaneamente lungo le due direzioni perpendicolari di un
sistema di coordinate cartesiane:
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Una serie di misure eseguite su corpi costituiti da diversa
quantit di materia, a cui venga applicata la stessa Forza F,ci
porta allenunciato della seconda legge della dinamica o
Legge di NewtonIl cambiamento di moto ( a ) proporzionale alla
forza motrice impressa ( F )
ed avviene secondo la linea retta lungo la quale la forza
impressa.
Il rapporto tra la forza applicata ad un corpo e laccelerazione
da esso
acquistata pari ad una costante di proporzionalit detta massa
inerziale.
Rappresentiamo con:
F = m a
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F (causa) la forza che agisce su di un punto materiale;
a (effetto) laccelerazione acquistata dallo stesso;
m (massa inerziale) la costante di proporzionalit, la seconda
legge si scrive:
8
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mv
FaIn questo esempio la componente della velocit lungo lasse
orizzontale non viene alterata dalla Forza, che genera, invece,
unaccelerazione lungo lasse verticale e quindi una variazione di
velocit lungo questa direzione
La massa m esprime linerzia del punto materiale a variare il
proprio stato cinetico.
Unit di misura
Sistema MKS 1 N = 1 kgm 1 m/s2
Abitualmente 1 kgp = 1 kgm g = 1 kgm 9.8 m/s2 = 9.8 N
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Assumiamo ora la legge di Newton come definizione di Forza.
Si pu utilizzare questa legge per la misura delle masse:
Detta m0 la massa di riferimento (unit di misura), applico una F
ad m0 e misuro a0.
F = m0 a0
Applico ora la stessa F ad una massa incognita m1 e misuro
a1
F = m1 a1Facendo rapporto:
m1 = m0 a0 / a1
In modo analogo per la misura delle Forze. Se F0 lunit di
misura:
F0 = m a0F1 = m a1
F1 = F0 a1 / a0
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Alcune osservazioni:
Il tempo di caduta di un corpo in campo gravitazionale, non
dipende dalla massa.
La relazione tra F ed a lineare, per cui a primo membro della
legge di Newton possiamo pensare di scrivere la risultante delle
Forze applicate;
A secondo membro laccelerazione allora quella risultante.
Visto il carattere vettoriale della legge di Newton, in un
sistema di coordinate cartesiane ortogonali, possibile
scrivere:
Fx = m ax Fy = m ay Fz = m az
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a = d v
d tRicordando che:
Si scrive la legge di Newton anche nella forma: F = dt
d ( m v )
Alla grandezza fisica
si d il nome di quantit di moto.Questa espressione tiene conto
anche dei casi in cui
la massa del sistema variabile.
p = m v
(1)
Dalla legge di Newton scritta in questa forma si ricava il
teorema dellimpulso.Integrando la (1) si ottiene:
d p = F d t e integrando p = pf pi = I = F d tf
i
Questa espressione utile quando non si conosce la forma
analitica della forza o quando si hanno forze che agiscono per
tempi molto brevi (forze impulsive).
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La legge di Newton contiene in s la legge di Galileo o di
inerzia.
Infatti se F = 0, allora a = 0.
Per quale motivo viene allora enunciata separatamente tale legge
?
Una risposta a questo quesito quando tratteremo i sistemi di
riferimento non inerziali.
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Terzo principio( principio di azione e reazione )
Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria;
ossia, quando
due corpi interagiscono le mutue azioni dei due corpi sono
sempre uguali tra
loro e dirette verso parti opposte.
Considerazione:
il primo e secondo principio della dinamica riguardano leffetto
generato
su di un solo corpo dalle forze.
Il terzo principio tratta della relazione tra due corpi o punti
materiali.
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Supponiamo di trovarci su di una barca ; spingiamo ora unaltra
barca per allontanarla da noi; avendo qualche punto di riferimento
ci accorgeremo che sia noi sia laltra barca ci allontaniamo dal
punto iniziale in cui ci troviamo:infatti se noi applichiamo una
forza ad un oggetto (laltra barca in questo caso) loggetto reagisce
esercitando su di noi una forza uguale in modulo e di verso
opposto, fintantoch c interazione tra i due sistemi.
Cos, se ci troviamo su di un carrello mobile e lanciamo un corpo
di massa m lontano da noi, osserviamo che anche noi ci spostiamo
dal punto in cui ci trovavamo inizialmente.
Per cercare di comprendere
m1 m2
F12F21
m1 m2v1 v2
m2 > m1
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La Terra ci attira con la forza di gravit. Per il terzo
principio anche noi attiriamo la Terra con la stessa forza, uguale
ed opposta.
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m
Fg
- Fg
Terra
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Se sono appoggiato ad un muro, o spingo il muro, sono soggetto
ad una Forza che il muro esercita su di me: per il 3 principio
della dinamica,
il muro reagisce con una forza uguale e contraria.
A questa forza si d il nome di reazione vincolare
Si tratta di una Forza di contatto.
F
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Fmuro = - F = N
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Un libro appoggiato su di un tavolo non si muove, pur essendo
soggetto alla forza di gravit.
Questo significa che la somma (risultante) delle forze che
agiscono sul libro nulla, in base ai due principi della
dinamica.
Chi esercita la forza che annulla la forza di gravit ?
m
Fg
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mLa situazione va interpretata nel modo seguente:Il libro
sottoposto alla forza di gravit; a causa della Fg il libro tende a
cadere e quindispinge il tavolo verso il basso ed interagisce con
esso con una forza NLIil tavolo reagisce con una forza NT
NL
NT
In definitiva sul libro agiscono le forze
Fg
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Fg Interazione libro TerraNT Interazione libro tavolo
Fg ed NT
Risulta quindi Fg + NT = 0 19
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Definiamo sistema fisico,un insieme di punti materiali contenuti
in un ben determinato volume.
Tutti i punti che formano il nostro corpo costituiscono un
sistema fisico; un libro, un oggetto oppure un insieme di oggetti
non necessariamente legati
tra loro, come ad esempio alcune biglie contenute in una scatola
chiusa.In questo caso il volume rappresentato dalla forma della
scatola chiusa.
Definiamo Forze esternetutte le forze esercitate da punti
materiali che non fanno parte del sistema
sul sistema stesso:
Definiamo Forze internetutte le forze che si esercitano tra
punti dello stesso sistema
Forze interne ed esternead un sistema
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Esempio: dati i due blocchi in figura, applichiamo una forza F
(esterna) al corpo di massa m1. Supponiamo che i due blocchi
poggino su di un cuscino daria, in modo che non ci sia resistenza
allo strisciamento sulla superficie del tavolo.
Individuiamo le forze che agiscono sul blocchi: su m1 la forza
F, la forza di gravit Fg1 , la reazione vincolare del tavolo N1su
m2 la forza di gravit Fg2, la reazione vincolare del tavolo N2.
sappiamo che esistono anche le due forze F12 ed F21:
La prima la spinta che il blocco di massa m1 genera sul blocco
m2. La seconda la forza di reazione dovuta al terzo principio della
dinamica.
Cerchiamo di stabilire quali di queste forze sono interne e
quali quelle esterne.
m1 m2F
Fg2
Fg1
N1 N2
F21 F12
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Il sistema fisico:decidiamo che il nostro sistema costituito
dalle masse { m1 + m2 }
Le forze esterne allora saranno tutte quelle citate ad
esclusione delle F12 ed F21, in quanto, secondo la definizione data
si tratta di
forze che si esercitano tra punti dello stesso sistema.
Nel calcolo della risultante delle forze che agiscono sul
sistema, potremo trascurare questa coppia di forze, in quanto
la loro somma uguale a zero per definizione.La legge di Newton
si scrive:
m1 m2F
Fg2
Fg1
N1 N2
F21 F12
F + Fg1 + Fg2 + N1 + N2 = (m1 + m2) a (1)
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Decidiamo ora che il nostro sistema costituito dalla sola massa
{ m1 }
Le forze esterne su m1 allora saranno:
F, Fg1, N1 ed F21In questo caso m2 un punto materiale
esterno.
La seconda legge della dinamica si scriver:
m1 m2F
Fg1
N1
F21
F + Fg1 + N1 + F21 = m1 a1 (2)
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Decidiamo ora che il nostro sistema costituito dalla sola massa
{ m2 }Le forze esterne su m2 allora saranno:
Fg2, N2 ed F12In questo caso m1 un punto materiale esterno.
La seconda legge della dinamica si scriver:
m1 m2
Fg2
N2F12
Fg2 + N2 + F12 = m2 a2 (3)
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m1 m2F
Fg2
Fg1
N1 N2
F21 F12
Per l equazione (1) , lungo gli assi verticale ed
orizzontale:
- Fg1 - Fg2 + N1 + N2 = 0F = (m1 + m2) a(1)
F + Fg1 + Fg2 + N1 + N2 = (m1 + m2) a (1)
yx
x
y
O
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m1 m2F
Fg1
N1
F21
F + Fg1 + N1 + F21 = m1 a1 (2)
- Fg1 + N1 = 0
- Fg2 + N2 = 0
(2)
(3)
y
m1 m2
Fg2
N2F12
Fg2 + N2 + F12 = m2 a2 (3)
x
y
O
Possiamo scrivere le due equazioni ricordando la relazione che
In modulo F12 = F21 = N e che a1 = a2 = a
F - F21 = m1 a1F12 = m2 a2
x
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Per le equazioni (2) e (3), lungo gli assi verticale ed
orizzontale:
Fg1 - N1 = 0
Fg2 - N2 = 0
F - N = m1 a
N = m2 a
(2)
(3)
yx
Per l equazione (1) , lungo gli assi verticale ed
orizzontale:
Fg1 + Fg2 - N1 - N2 = 0F = (m1 + m2) a(1)
Cos, definendo come sistema fisico la Terra, su di essa agiranno
come forze esterne (in prima approssimazione, trascurando leffetto
degli altri pianeti) le forze di gravit del Sole e della
Luna.Considerando Terra + Luna lunica forza esterna la forza
gravitazionale dovuta al Sole.Considerando Terra + Luna + Sole non
esistono forze esterne.
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La fune: un elemento che trasmette la forza applicata ad essa
parallelamente a se stessa.
FTF1TF2TM
- TF1 + F = 0TF2 - TM = 0
TF2 = - TF1
x
y
O
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FdmTF1
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La fune: un elemento che trasmette la forza applicata ad essa
parallelamente a se stessa.
m2
m1
T1
T2
m2 g
m1 g
-T2
Forze esterne sul blocco m2
m2g , T2
Forze esterne sul blocco m1
m1g , T1 , - T2
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La fune: un elemento che trasmette la forza applicata ad essa
parallelamente a se stessa.
m2
m1
T1
m2 g
m1 g
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La fune: un elemento che trasmette la forza applicata ad essa
parallelamente a se stessa.
m2
m1
T1
m1 g
-T2
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La fune: un elemento che trasmette la forza applicata ad essa
parallelamente a se stessa.
m2
m1
T2
m2 g
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