-
1
A. Capaian Pembelajaran Dapat memahami konsep lingkaran serta
menggunakannya dalam
memecahkan masalah yang berkaitan.
B. Bahan Kajian 1. Menentukan persamaan lingkaran yang pusat dan
jari-jarinya
diketahui.
2. Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran apabila persamaan
kanoniknya diketahui.
3. Menentukan persamaan lingkaran bila tiga titik yang dilalui
diketahui. 4. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran bila
gradient garis
singggung diketahui, titik singgungnya diketahui, dan bila
melalui
suatu titik di luar lingkaran.
5. Menentukan sudut antara 2 lingkaran.
C. Uraian Materi 1. Persamaan Lingkaran 2. Garis Singgung 3.
Sudut Antara Dua Lingkaran
MODUL 1
LINGKARAN
-
2
1.1. Kegiatan Pembelajaran 1. Persamaan Lingkaran
a. Defenisi lingkaran: Lingkaran ialah tempat kedudukan
titik-titik (pada bidang datar) yang
jaraknya dari suatu titik tertentu sama panjang. Selanjutnya
titik
tertentuitu dinamakan titik pusat lingkaran dan jarak yang sama
tersebut
dinamakan jari-jari lingkaran.
Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dengan jari-jari r
dapat diturunkan sebagai berikut.
Pada gambar 1.1 nampak lingkaran dengan titik pusat di O(0,0)dan
jari-jari rsatuan panjang. Untuk menentukan persamaan lingkaran,
ambil sembarang titik pada lingkaran, misalnya T(x, y). Jarak titik
T dan titik O
adalah βπ₯2 + π¦2. Padahal jarak titik-titikO dan T adalah
jari-jari lingkaran yaitu r, maka diperoleh hubungan bahwa:
βπ₯2 + π¦2 = π
π₯2 + π¦2 = π
Untuk persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dengan
jari-jari r dapat diturunkan sebagai berikut:
Gambar 1.1.1
MODUL 1
LINGKARAN
-
3
Pada Gambar 1.2 nampak sebuah lingkaran dengan pusat P(a, b) dan
jari-jari r satuan. Untuk menentukan persamaan ini, ambil sembarang
titik pada lingkaran, misalnya T(x, y). Pada segitiga siku-siku PQT
didapat
jarak titik-titik T dan P adalah β(π₯ β π)2 + (π¦ β π)2. Padahal
jarak titik-titik T dan P adalah jari-jari lingkaran, yaitu r, maka
diperoleh hubungan bahwa:
β(π₯ β π)2 + (π¦ β π)2 = π
(π₯ β π)2 + (π¦ β π)2 = π2
Karena T(x, y) adalah sembarang titik pada lingkaran itu, maka
setiap titik pada lingkaran itu memenuhi hubungan tersebut. Ini
berarti bahwa
persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dengan
jari-jarir satuan adalah
(π₯ β π)2 + (π¦ β π)2 = π2
Persamaan lingkaran(π₯ β π)2 + (π¦ β π)2 = π2 dapat diubah ke
bentuk lain yaitu π₯2 + π¦2 + π΄π₯ + π΅π¦ + πΆ = 0 yang disebut sebagai
persamaan kanonik lingkaran. Apabila diketahui persamaan kanonik
atau persamaan
bentuk umum suatu lingkaran, yaitu π₯2 + π¦2 + π΄π₯ + π΅π¦ + πΆ = 0,
maka dapat dicari koordinat-koordinat titik pusat dan jari-jarinya.
Persamaan
bentuk umum tersebut diubah menjadi :
Gambar 1.1.2
-
4
π₯2 + π΄π₯ +1
4π΄2 + π¦2 + π΅π¦ +
1
4π΅2 =
1
4π΄2 +
1
4π΅2 β πΆ
(π₯2 +1
2π΄)
2
+ (π¦ +1
2π΅)
2
=1
4π΄2 +
1
4π΅2 β πΆ
Dari persamaan terakhir ini, dapat disimpulkanbahwa titik
pusat
lingkaran adalah (β1
2π΄, β
1
2π΅) dari jari-jari ialah β
1
4π΄2 +
1
4π΅2 β πΆ .
Memperhatikan jari-jarinya tersebut, dapat disimpulkan 3
kemungkinan,
yaitu:
a. Jika 1
4π΄2 +
1
4π΅2 β πΆ > 0, persamaan bentuk umum itu menyatakan
lingkaran nyata.
b. Jika 1
4π΄2 +
1
4π΅2 β πΆ = 0, persamaan bentuk umum itu menyatakan
lingkaran dengan jari-jari nol, berarti berupa sebuah titik.
c. Jika 1
4π΄2 +
1
4π΅2 β πΆ < 0, persamaan bentuk umum itu menunjukan
lingkaran imajiner.
Contoh 1:
Tentukan koordinat-koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran
dengan
persamaan 4π₯2 + 4π¦2 β 4π₯ + 16π¦ β 19 = 0 Penyelesaian:
4π₯2 + 4π¦2 β 4π₯ + 16π¦ β 19 = 0
π₯2 + π¦2 β π₯ + 4π¦ β19
4= 0
π₯2 β π₯1
4+ π¦2 = 4π¦ + 4 =
1
44 +
19
4
(π₯ β1
2)
2
+ (π¦ + 2)2 = 9
Jadi, lingkaran itu mempunyai pusat (1
2, β2)dan jari-jari 3.
Apabila dua buah titik diketahui maka melalui kedua titik
tersebut dapat
ditentukan persamaan garis yang melaluinya. Demikian halnya pula
pada
lingkaran, apabila tiga titik tak segaris diketahui maka
persamaan
lingkaraan yang melalui ketiga titik tersebut dapat
ditentukan.
-
5
Misalkan akan ditentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga
titik
yaitu P(x1, y1), Q(x2, y2), dan R(x3, y3). Andaikan persamaan
lingkaran yang dicari adalah
π₯2 + π¦2 + π΄π₯ + π΅π¦ + πΆ = 0
Karena titik-titik P, Q, dan Rpada lingkaran ini,maka
koordinat-koordinatnya masing-masing memenuhi persamaan tersebut.
Dengan
substitusi koordinat-koordinat dari titik tersebut diperoleh
π(π₯1, π¦1)(π₯12 + π¦1
2) + π₯1π΄ + π¦1π΅ + πΆ = 0
π(π₯2, π¦2)(π₯22 + π¦2
2) + π₯2π΄ + π¦2π΅ + πΆ = 0
π
(π₯3, π¦3)(π₯32 + π¦3
2) + π₯3π΄ + π¦3π΅ + πΆ = 0
Sehingga memperoleh sistep persamaan linear yang terdiri atas 3
persamaan dengan 3 variabel A, B, dan C. Dengan menyelesaikan
sistem persamaan tersebut dengan cara eliminasi dan substitusi maka
akan
didapat nilai A, B, dan C. Selanjutnya substitusi nilai A, B,
dan C yang didapat ke persamaan (i) sehingga diperoleh persamaan
lingkaran yang dicari.
b. Cara Lain (menggunakan determinan): Misalkan akan ditentukan
persamaan lingkaran yang melalui tiga titik
yaitu P(x1, y1), Q(x2, y2) dan R(x3, y3). Andaikan persamaan
lingkaran yang dicari adalah
π₯2 + π¦2 + π΄π₯ + π΅π¦ + πΆ = 0
Ambil sembarang titik T(x, y) pada lingkaran. Jadi titik T, P, Q
danR tersebut pada lingkaran, maka koordinat-koordinatnya
memenuhi
persamaan lingkaran yang dicari. Sehingga didapat
π(π₯, π¦)(π₯2 + π¦2) + π₯π΄ + π¦π΅ + πΆ = 0
π(π₯1, π¦1)(π₯12 + π¦1
2) + π₯1π΄ + π¦1π΅ + πΆ = 0
π(π₯2, π¦2)(π₯22 + π¦2
2) + π₯2π΄ + π¦2π΅ + πΆ = 0
π
(π₯3, π¦3)(π₯32 + π¦3
2) + π₯3π΄ + π¦3π΅ + πΆ = 0
Sehingga memperoleh sistem persamaan linear dalam A, B dan C (3
variabel) dengan 4 persamaan. Sistem persamaan ini akan mempunyai
penyelesaian untuk variabel-variabel A, B dan C, apabila determinan
dari koefisien-koefisien dari A, B dan C dan konstantanya sama
dengan nol, yaitu
-
6
||
π₯2 + π¦2 π₯ π¦ 1
π₯12 + π¦1
2 π₯1 π¦1 1
π₯22 + π¦2
2
π₯32 + π¦3
2
π₯2π₯3
π¦2π¦3
11
|| = 0
Karena T(x, y) adalah titik sebarang pada lingkaran, maka setiap
titik pada lingkaran akan memenuhi hubungan/persamaan determinan
itu. Jadi
persamaan determinan itu merupakan persamaan lingkaran yang
dicari.
Contoh 2:
Tentukan pesamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0),
Q(0,1), dan R(2,2). Penyelesaian:
Cara 1:
Misalkan persamaan lingkaran yang dicari :π₯2 + π¦2 + π΄π₯ + π΅π¦ + πΆ
= 0 Karena tititk P, Q dan R pada lingkaran ini, maka
koordinat-koordinatnya
masing-masing memenuhi pesamaan tersebut. Sehingga dengan
substitusi koordinat-koordinat dari titik tersebut
diperoleh:
π(1,0) 1 + 0 + π΄ + 0π΅ + πΆ = 0atau π΄ + πΆ = β1
.............................. (1)
π(0,1) 0 + 1 + 0π΄ + π΅ + πΆ = 0atau π΅ + πΆ =
β1.............................. (2)
π
(2,2) 4 + 4 + 2π΄ + 2π΅ + πΆ = 0atau 2π΄ + 2π΅ + πΆ = β8
................ (3)
Sehingga diperoleh sistem persamaan linear yang terdiri atas 3
persamaan
dengan 3 variabel A, B dan C.
Eliminasi C (persamaan (1) dan persamaan (2))
π΄ + πΆ = β1π΅ + πΆ = β1
β
π΄ β π΅ = 0
π΄ = π΅
Eliminasi C (persamaan (3) dan Persamaan (2))
2π΄ + 2π΅ + πΆ = β8 π΅ + πΆ = β1
β
2π΄ + π΅ = β7
...................................................................
(4)
Subtitusi A = B ke persamaan (4) sehingga didapat
2π΄ + π΄ = β7
-
7
3π΄ = β7
π΄ = β7
3= π΅
Subtitusi A = β7
3 kepersamaan (1) sehingga diperoleh
β7
3+ πΆ = β1
πΆ =4
3
Subtitusi A = β7
3, B = β
7
3, C =
4
3 ke persamaan awal sehingga didapat
persamaan lingkaran yang dicari adalah:
π₯2 + π¦2 β7
3π₯ β
7
3π¦ +
4
3= 0
3π₯2 + 3π¦2 β 7π₯ β 7π¦ + 4 = 0
Cara 2 (menggunakan determinan):
Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalah π₯2 + π¦2 + π΄π₯ +
π΅π¦ +πΆ = 0. Ambil sembarang titik K(x, y) pada lingkaran ini.
Sehingga lingkaran yang dicari melalui titik K, P, Q, dan R. Dengan
substitusi koordinat-koordinat titik-titik pada x dan y dari
persamaan tersebut diperoleh
πΎ(π₯, π¦)(π₯2 + π¦2) + π΄π₯ + π΅π¦ + πΆ = 0
π(1,0) 1 + 1π΄ + 0π΅ + πΆ = 0
π(0,1) 1 + 0π΄ + 1π΅ + πΆ = 0
π
(2,2) 8 + 2π΄ + 2π΅ + πΆ = 0
Sehingga memperoleh sistem persamaan linear yang terdiri atas 4
persamaan dengan 3 variabel A, B dan C. Sistem persamaan ini akan
mempunyai penyelesaian untuk A, B dan C apabila determinan
koefiisen-
koefisien A, B dan C dan konstantanya sama dengan nol, yaitu
|
π₯2 + π¦2 π₯ π¦ 1
1 1 0 118
02
1 12 1
| = 0
-
8
Dengan mengekspansikan deteminan ini menurut kofaktor-kofaktor
pada
baris pertama, maka diperoleh persamaan lingkaran yang dicari
adalah:
|1 0 10 1 12 2 1
| (π₯2 + π¦2) β |1 0 11 1 18 2 1
| π₯ + |1 1 11 0 18 2 1
| π¦ β |1 1 01 0 18 2 2
| = 0
β3(π₯2 + π¦2) + 7π₯ + 7π¦ β 4 = 0
3π₯2 + 3π¦2 β 7π₯ β 7π¦ + 4 = 0
1.2. Kegiatan Pembelajaran 2. Garis Singgung
Garis singgung lingkaran adalah aris yang
memotong/beringgungan
dengan lingkaran hanya di sebuah titik. Selanjutnya titiknya
disebut titik
singgung. Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditentukan
bila
gradien garis singgung diketahui, titik singgungnya diketahui,
dapat pula
ditentukan bila garis tersebut melalui suatu titik di luar
lingkaran.
(i) Persamaan garis singgung lingkaran bila gradien garis
singgung diketahui
Pada gambar 3.3 dibawah ini diberikan garis π¦ = ππ₯ + π dan
lingkaran π₯2 + π¦2 = π2 akan dicari persamaan garis singgung pada
lingkaran yang sejajar dengan garis π¦ = ππ₯ + π.
Gambar 1.2.1
-
9
Karena garis singgung yang dicari harus sejajar dengan garis π¦
=ππ₯ + π, maka dapat dimisalkan garis singgung itu adalah π¦ = ππ₯ +π.
Karena garis π¦ = ππ₯ + π menyinggung lingkaran, maka ada sebuah
titik (titik singgung) yang koordinat-koorinatnya memenuhi
persamaan lingkaran sehingga diperoleh :
π₯2 + (ππ₯ + π)2 = π2
(1 + π2)π₯2 + 2πππ₯ + π2 β π2 = 0
Persamaan ini dipandang sebagai kuadrat dalam π₯. Karena garis
singgung dan lingkaran hanya mempunyai satu titik persekutuan,
maka persamaan kuadrat hanya mempunyai satu harga π₯, syaratnya
adalah diskriminan dari persamaan tu harus sama dengan nol,
yaitu:
π· = 4π2π2 β 4(1 + π2)(π2 β π2) = 0
4π2π2 β 4π2 + 4π2 β 4π2π2 + 4π2π2 = 0
β4π2 + 4π2 + 4π2π2 = 0
β4(π2 β π2 β π2π2) = 0
π2 β π2 β π2π2 = 0
π2 = π2 + π2π2
k = Β±βπ2 + π2π2
k = Β±πβ1 + π2
Jadi persamaan garis singgung lingkaran π₯2 + π¦2 = π2 bila
gradien garis singgung diketahui adalah
π¦ = ππ₯ + πβ1 + π2 dan y = ππ₯ β πβ1 + π2
Dengan cara yang sama dapat diturunkan bahwa persamaan garis
singgung pada lingkaran (π₯ β π)2 + (π¦ β π)2 = π2 yang sejajar
dengan garis π¦ = ππ₯ + π (gradient garis singgung diketahui)
adalah
π¦ β π = π(π₯ β π) + πβ1 + π2 dan π¦ β π = π(π₯ β π) β
πβ1 + π2
Contoh 3:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut dan
yang
mengapit sudut 60Β° dengan sumbu x arah positif:
-
10
a. π₯2 + π¦2 = 16
b. π₯2 + π¦2 β 4π₯ β 6π¦ β 3 = 0
Penyelesaian:
Gradien garis singgung adalah π = tg60Β° = β3
a. Persamaan garis singgung dengan tanjakan π = β3 adalah
π¦ = β3π₯ Β± 4β1 + 3, yaitu
π¦ = β3π₯ + 8 dan π¦ = β3π₯ β 8
b. π₯2 + π¦2 β 4π₯ β 6π¦ β 3 = 0
π₯2 β 4π₯ + 4 + π¦2 β 6π¦ + 9 = 16
(π₯ β 2)2 + (π¦ β 3)2 = 16
Persamaan garis singgung dengan tanjakan π = β3 adalah
π¦ β 3 = β3(π₯ β 2) + 4β1 + 3dan π¦ β 3 = β3(π₯ β 2) β 4β1 + 3
π¦ β 3 = β3π₯ β 2β3 + 8dan π¦ β 3 = β3π₯ β 2β3 β 8
π¦ = β3π₯ + 11 β 2β3dan π¦ = β3π₯ β 5 β 2β3
(ii) Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik pada
lingkaran.
Pada Gambar 3.4 diketahui lingkaran π₯2 + π¦2 = π2dan titik P(π₯π,
π¦π) yang terletak pada lingkaran.
π(π₯2, π₯1)
π(π₯1, π¦1)
0
Gambar 1.2.2
-
11
Akan dicari persamaan garis singgung pada lingkaran di titik
P.
Ambil titik Q(π₯2, π¦2) pada lingkaran pula, maka persamaan garis
PG adalah
π¦ β π¦1π¦2 β π¦1
=π₯ β π₯1π₯2 β π₯1
atau
π¦ β π¦1 =π¦2 β π¦1π₯2 β π₯1
(π₯ β π₯1)
Karena titik-titik P dan Q pada lingkaran, maka berlaku
π₯12 + π¦1
2 = π2 dan π₯22 + π¦2
2 = π2.
Apabila kedua persamaan ini dikurangkan,maka diperoleh:
π₯12 β π₯2
2 = π¦22 β π¦1
2
(π₯1 β π₯2)(π₯1 + π₯2) = (π¦2 β π¦1)(π¦2 + π¦1)
π¦2 β π¦1π₯1 β π₯2
=π₯2 + π₯1π¦2 + π¦1
π¦2 β π¦1π₯2 β π₯1
= βπ₯2 + π₯1π¦2 + π¦1
Dengan kesamaan ini, persamaan garis PQ di atas dapat
ditulis
menjadi
π¦ β π¦1 = βπ₯2 + π₯1π¦2 + π¦1
(π₯ β π₯1)
Jika Q mendekati P sehingga hamper π₯2 = π₯1 dan π¦2 = π¦1, maka
garis PQ berubah menjadi garis singgung lingkaran di titik P,
yaitu
π¦ β π¦1 = βπ₯1π¦1
(π₯ β π₯1)
π¦1π¦ β π¦12 = βπ₯1π₯ + π₯1
2
π¦1π¦ + π₯1π₯ = π₯12 + π¦1
2
π¦1π¦ + π₯1π₯ = π2
Jadi persamaan garis singgung lingkaran π₯2 + π¦2 = π2 di titik
(π₯1, π¦1) adalah π₯1π₯ + π¦1π¦ = π
2.
-
12
Dengancara yang sama dapat diturunkan bahwa persamaan garis
singgung pada lingkaran (π₯ β π)2 + (π¦ β π)2 = π2 dengan titik
singgung (π₯1, π¦1) adalah (π₯1 β π)(π₯ β π) + (π¦1 β π)(π¦ β π) = π
2.
Contoh 4:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut:
a. π₯2 + π¦2 = 25 di titik (4, β3).
b. π₯2 + π¦2 β 4π₯ β 6π¦ β 12 = 0 di titik (β1, 7).
Penyelesaian:
a. Persamaan garis singgung pada lingkaran π₯2 + π¦2 = 25 di titik
(4, β3) adalah 4π₯ β 3π¦ = 25.
b. π₯2 + π¦2 β 4π₯ β 6π¦ β 12 = 0
π₯2 β 4π₯ + 4 + π¦2 β 6π¦ + 9 = 25
(π₯ β 2)2 + (π¦ β 3)2 = 25
Persamaan garis singgung pada lingkaran π₯2 + π¦2 β 4π₯ β 6π¦ β12 =
0 di titik (β1, 7) adalah
(β1 β 2)(π₯ β 2) + (7 β 3)(π¦ β 3) = 25
β3(π₯ β 2) + 4(π¦ β 3) = 25
β3π₯ + 6 + 4π¦ β 12 β 25 = 0
β3π₯ + 4π¦ β 31 = 0
(iii) Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar
lingkaran
Pada gambar 3.5 diketahui lingkaran π₯2 + π¦2 = π2 dan titik T(π₯0,
π¦0) yang terletak di luar lingkaran.
π1(π₯1, π₯2)
π(π₯0, π¦0)
π2(π₯2, π¦2)
Gambar 1.2.3
-
13
Dari titik T dibuat garis-garis singgung pada lingkaran dan
titik-titik
singgungnya π1(π₯1, π¦1) dan π2(π₯2, π¦2) maka persamaan garis
singgungnya adalah π₯1π₯ + π¦1π¦ = π
2 dan π₯2π₯ + π¦2π¦ = π2.
Garis-garis singgung ini melalui titik T(x0, y0) maka berlaku
bahwaπ₯1π₯0 + π¦1π¦0 = π
2danπ₯2π₯0 + π¦2π¦0 = π2.
Dari dua persamaan ini dapat disimpulkan bahwa koordinat-
koordinat titik-titik S1 dan S2 memenuhi persamaan garis
π₯0π₯ + π¦0π¦ = π2
Bentuk yang terakhir ini merupakan persamaan garis yang
melalui
titik singgung dari garis singgung yang melalui T(x0, y0).
Selanjutnya garis ini dinamakan garis kutub.
Dengan cara (langkah-langkah) yang sama dapat ditentukan
pula
persamaan garis singgung pada lingkaran (π₯ β π)2 + (π¦ β π)2 = π2
yang melalui titik di luar lingkaran.
Contoh 5:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut:
a. π₯2 + π¦2 = 5 yang melalui titik P (3, -1)
b. π₯2 + π¦2 + 2π₯ β 19 = 0 yang melalui titik Q (1, 6)
Penyelesaian:
a. Misalkan garis yang melalui titik P (3, -1) menyinggung
lingkaran
π₯2 + π¦2 = 5 di titik π1(π₯1, π¦1), maka persamaan garis singgung
itu adalah
π₯1π₯ + π¦1π¦ = 5
.................................................................................
(i)
Garis singgung ini melalui titik P (3, -1), sehingga berlaku
3π₯1 β π¦1 = 5
..................................................................................
(ii)
Karena π1(π₯1, π¦1) terletak pada lingkaran π₯2 + π¦2 = 5, maka
dipenuhi
π₯12 + π¦1
2 = 5
................................................................................(iii)
Persamaan (ii)
3π₯1 β π¦1 = 5
π¦1 = 3π₯1 + 5
Substitusikanπ¦1 = 3π₯1 + 5 ke persamaan (iii) sehingga
diperoleh
-
14
π₯12 + (3π₯1 + 5 )
2 = 5
π₯12 + 9π₯1
2 + 30π₯1 + 25 = 5
10π₯12 + 30π₯1 + 20 = 0
π₯12 + 3π₯1 + 2 = 0
(π₯1 + 2)(π₯1 + 1) = 0
π₯1 = β2 atau π₯1 = β1
Jika π₯1 = β2, maka π¦1 = 3(β2) + 5 = β1
Jika π₯1 = β1, maka π¦1 = 3(β1) + 5 = 2
Sehingga diperoleh titik π1(β2, β1) dan π2(β1, 2) Substitusikan
π1(β2, β1) dan π2(β1, 2) ke persamaan (i) sehingga diperoleh
persamaan garis singgung pada lingkaran π₯2 + π¦2 = 5 yang melalui
titik P (3, -1) adalah
β2π₯ β π¦ β 5 = 0 dan β π₯ + 2π¦ β 5 = 0
b. π₯2 + π¦2 + 2π₯ β 19 = 0
π₯2 + 2π₯ + 1 + π¦2 = 20
(π₯ + 1)2 + π¦2 = 20
Misalkan garis yang melalui titik Q(1, 6) menyinggung lingkaran
(π₯ + 1)2 + π¦2 = 20 di titik π1(π₯1, π¦1), maka persamaan garis
singgung itu adalah
(π₯1 + 1)(1 + 1) + π¦1π¦ = 20
.......................................................... (i)
Garis singgung ini melalui titik Q(1, 6), sehingga berlaku
(π₯1 + 1)(1 + 1) + 6π¦1 = 20
2π₯1 + 6π¦1 = 18
..............................................................................
(ii)
Karena π1(π₯1, π¦1), terletak pada lingkaran (π₯ + 1)2 + π¦2 =
20,
maka dipenuhi
(π₯ + 1)2 + π¦12 = 20
.....................................................................(iii)
Persamaan (ii)
2π₯1 + 6π¦1 = 18
-
15
2π₯1 = 18 β 6π¦1
π₯1 = 9 β 3π¦1
Substitusikan π₯1 = 9 β 3π¦1ke persamaan (iii) sehingga
diperoleh
(9 β 3π¦1 + 1)2 + π¦1
2 = 20
(10 β 3π¦1)2 + π¦1
2 = 20
100 β 60π¦1 + 9π¦12 + π¦1
2 = 20
10π¦12 β 60π¦1 + 80 = 0
π¦12 β 6π¦1 + 8 = 0
(π¦1 β 2)(π¦1 β 4) = 0
π¦1 = 2 atau π¦1 = 4
Jika π¦1 = 2, maka π₯1 = 9 β 3(2) = 3
Jika π¦1 = 4, maka π¦1 = 9 β 3(4) = β3
Sehingga diperoleh titik π1(3, 2) dan π2(β3, 4) Substitusi titik
π1(3, 2) dan π2(β3, 4) ke persamaan (i) sehingga diperoleh
persamaan garis singgung pada lingkaran π₯2 + π¦2 + 2π₯ β19 = 0 yang
melalui titik Q(1, 6) adalah
π₯ β 2π¦ + 11 = 0 dan 2π₯ + π¦ β 8 = 0
1.3. Kegiatan Pembelajaran Sudut Antara Dua Lingkaran
Defenisi:
Sudut antara dua lingkaran adalah sudut yang diapit oleh
garis-garis
singgung pada lingkaran-lingkaran di titik potong kedua
lingkaran itu.
r1
πΌ
A
P1 P2
r2
Gamabar 1.3.1
-
16
Pada Gambar 1.6, πΌ adalah sudut antara lingkaran-lingkaran
dengan pusat P1 dan P2. Langkah-langkah untuk menentukan besar πΌ
adalah sebagai berikut: 1. Tentukan titik potong antara
lingkaran-lingkaran dengan pusat P1 dan
P2 (ada dua titik potong). Misalkan salah satunya adalah π΄(π₯0,
π¦0) 2. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung pada
masing-masing
lingkaran pada salah satu titik potongnya.
Misal lingkaran L1 garis singgungnya di titik A adalah g1: π¦
=π1π₯ + π1 dan lingkaran L2 garis singgungnya di titik A adalah g2:
π¦ = π2π₯ + π2
3. Tentukan sudut apit kedua garis singgung (πΌ) dengan
menggunakan rumus sudut apit antara dua garis yaitu
tan πΌ =π1 + π2
1 + π1π2
Jika πΌ = 90Β° atau kedua lingkaran saling tegak lurus, maka akan
berlaku bahwa βP1P2A siku-siku, sehingga |P1P2|
2 = π12 + π2
2
Contoh 6:
Tentukan sudut antara dua lingkaran π₯2 + π¦2 = 9 dan π₯2 + π¦2 β 8π₯
β2π¦ + 16 = 0 Penyelesaian:
Pada gambar 3.7, misalkan πΌ adalah sudut antara dua lingkaran π₯2
+π¦2 = 9 dan π₯2 + π¦2 β 8π₯ β 2π₯ + 16 = 0
Gambar 1.3.2
-
17
Titik potong antara dua lingkaran π₯2 + π¦2 = 9 dan π₯2 + π¦2 β 8π₯
β2π¦ + 16 = 0 adalah A(2, 02 ; 2,21) dan B(2, 82 ; 1, 02)
π₯2 + π¦2 β 8π₯ β 2π¦ + 16 = 0
π₯2 β 8π₯ + 16 + π¦2 β 2π₯ + 1 = 1
(π₯ β 4)2 + (π¦ β 1)2 = 1
Persamaan garis singgung pada lingkaran π₯2 + π¦2 = 9 dan (π₯ β 4)2
+ (π¦ β 1)2 = 1 pada salah satu titik potong, ambil titik A(2, 02;
2, 21) adalah
2,02π₯ + 2,21π¦ = 9 dan β0,98π₯ + 0,21π¦ = β0,5
Dengan demikian
tan πΌ =
β2,02 0,982,21 0,21
1 β2,02 0,982,21 0,21
= 17
1.4. Rangkuman
2. Persamaan lingkaran yang berpusat (0,0) dengan jari-jari π
adalah π₯2 + π¦2 = π2 dan persamaan lingkaran yang berpusat di P(π,
π) dan jari-jari πsatuan adalah (π₯ β π)2 + (π¦ β π)2 = π2.
3. Persamaan lingkaran yang melalui tiga titik yaitu P(π₯1, π¦1),
π(π₯2, π¦2), dan R(π₯3, π¦3) dapat ditentukan menggunakan rumus
determinan
||
π₯2 + π¦2 π₯ π¦ 1
π₯12 + π¦1
2 π₯1 π¦1 1
π₯22 + π¦2
2 π₯2 π¦2 1
π₯32 + π¦3
2 π₯3 π¦3 1
|| = 0
4. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m adalah π¦
=
ππ₯ + πβ1 + π2 dan π¦ = ππ₯ β πβ1 + π2 5. Persamaan garis singgung
lingkaran π₯2 + π¦2 = π2 di titik (π₯1, π¦1)
adalah π₯1π₯ + π¦1π¦ = π2
-
18
6. Bila π(π₯0, π¦0) berada di luar lingkaran π₯2 + π¦2 = π2 garis
yang
melalui titik singgung dari garis-garis singgung yang melalui
T(π₯0, π¦0) dinamakan garis kutub. Adapun persamaan garis kutubnya
adalah
π₯0π₯ + π¦0π¦ = π2.
Sudut antara dua lingkaran adalah sudut yang diapit oleh
garis-garis
singgung pada lingkaran-lingkaran di titik potong kedua
lingkaran itu.
Misalkan sudut apitnya adalah πΌ maka tan πΌ =π1+π2
1+π1π2. Jika πΌ = 90Β°
atau kedua lingkaran saling tegak lurus, maka akan berlaku
bahwa
βP1P2A siku-siku, sehingga |P1P2|2 = π1
2 + π22
1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran π₯2 + π¦2 + 2ππ₯ β 2ππ¦
β2ππ = 0
Penyelesaian:
Dari persamaan tersebut di peroleh π΄ = 2 β¦ , π΅ = β―, πΆ = β―
Jadi:
a. Pusat:
= (β1
2β¦ , β
1
2β¦ )
= β β― , β¦
b. Jari-jari:
1.5. Kegiatan Pembelajaran 4 Soal Diskusi Kelompok
-
19
π = β(β1
2β¦ )
2
+ (β1
2β¦ )
2
β β―
= β(β¦ )2 + (β¦ )2 + β― ππ
= β(β¦ + β― )2
= (π + π)2
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 4π₯2 + 4π¦2 + 8π₯ + 24π¦
β156 = 0
Penyelesaian:
= 4π₯2 + 4π¦2 + 8π₯ + 24π¦ β 156 = 0
= β¦ + π¦2 + β― π₯ + 6 β¦ β 39 = 0
= β¦ + β― π₯ + π¦2 + 6π¦ = 39
= β¦ + β― π₯ + 1 + π¦2 + 6π¦ + β― = 39 + 1 + β―
= (π₯ + 1)2 + (π¦ + β― )3 = 49
π2 = 49
π = 7
Jadi pusat (β β― , β¦ ) dan jari-jari π = 7
3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran π₯2 + π¦2 β 2π₯ + 8π¦ β 8
= 0
Penyelesaian:
Dari persamaan diatas diperoleh: π΄ = β―, π΅ = β―, πΆ = β8
a. Pusat:
= (β1
2π΄, β
1
2π΅)
= (β¦ , β¦ )
b. Jari-jari
-
20
π = β(β1
2β¦ )
2
+ (β1
2β¦ )
2
β β―
= β(β¦ )2 + (β¦ )2 β β―
= β49
= 7
4. Diketahui π(π₯, π¦), π΄(2,0), dan π΅(8,0). Kurva yang mempunyai
tempat kedudukan ππ΄ = 2ππ΅ akan terbentuk lingkaran. Tentukan pusat
dan jari-jari lingkaran tersebut!
Penyelesaian:
a. ππ΄ = 2ππ΅
β(π₯ β β― )2 + (π¦ β β― )2 = 2β(π₯ β β― )2 + (π¦ β β― )2
Dikuadratkan di kedua ruasnya:
π₯2 β β― + β― + π¦2 = 4(π₯2 β β― + β― + π¦2)
Pindah ke ruas kanan:
0 = β― π₯2 + 3 β¦β¦ β β― π₯ + 252
Dibagi 3:
0 = π₯2 + π¦3 β β― π₯ + β―
Jadi:
π΄ = β―, π΅ = β―, πΆ = β―
b. Pusat:
= (β1
2β¦ , β
1
2β¦ )
= β― , β¦
c. Jari-jari:
π = β(β1
2π΄)
2
+ (β1
2β¦ )
2
β β―
= ββ¦β¦ + β¦β¦ β β―
= β16
= 4
-
21
5. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A(3,-1) ,
B(5,3) dan C(6,2) kemudian tentukan pusat dan jari-jari
lingkaran!
Penyelesaian:
Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalah π₯2 + π¦2 + π΄π₯ +π΅π¦
+ πΆ = 0
Maka:
(3, β1) = β¦2 + β¦2 + π(β¦ ) + π(β¦ ) + β― = 0
= β― β π + π + 10 = 0..........................(1)
(5,3) = β¦2 + β¦2 + π(β¦ ) + π(β¦ ) + π = 0
= β― π + β― π + π + 34 = 0 .....................(2)
(6,2) = β¦2 + β¦2 + π(β¦ ) + π(β¦ ) + π = 0
= β― π + β― π + π + 40 = 0 ..............................(3)
Subtitusi persamaan (1) dan (2)
β¦ β π + π + 10 = 0
β¦ π + β― π + π + 34 = 0
β¦ π β β― π + 0 β β― = 0
π+. . π + 12 = 0.....................(4)
Subtitusi persamaan (2) dan (3)
β¦ π + β― π + π + 34 = 0
β¦ π + β― π + π + 40 = 0
β¦ + π β 6 = 0
π β π + 6 = 0 ..........................(5) Subtitusi persamaan
(4) dan (5)
π+. . π + 12 = 0
π β π + 6 = 0
3π + 6 = 0
π = β2 Subtitusi b ke persamaan (5)
π β π + 6 = 0
π + 2 + 6 = 0
-
22
π + 8 = 0
π = β8 Subtitusikan a dan b ke persamaan (1)
β¦ β π + π + 10 = 0
3(β8) β (β2) + π + 10 = 0
π = 12 Jadi persamaan lingkaranya adalah:
π₯2 + π¦2 + π΄π₯ + π΅π¦ + πΆ = 0
π₯2 + π¦2 β 8π₯ β 2π¦ + 12 = 0
6. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik berikut
K(2,1), L(1,2) dan M(1,0)
Penyelesaian:
π½(π₯, π¦) (π₯2 + π¦2) + π΄π₯ + π΅π¦ + πΆ = 0
πΎ(2,1) β¦ + β― π΄ + π΅ + πΆ = 0
πΏ(1,2) 5 + π΄ + β― π΅ + πΆ = 0
π(1,0) β¦ + π΄ + 0π΅ + πΆ = 0
Ubah kebentuk matriks
|
π₯2 + π¦2
β¦
π₯2
π¦ 1
β¦ 1β¦ 1 β¦ β¦
β¦ 1 0 1
| = 0
Mengekpetasikan determinan ini menurut kofaktor-kofaktor
pada
baris pertama, maka diperoleh persamaan lingkaran yang
dicari
adalah
|β¦ 1 11 β¦ 1β¦ 0 1
| (π₯2 + π¦2) β |5 β¦ 1β¦ 2 β¦1 0 1
| π₯ + |β¦ 2 1β¦ 1 11 1 β¦
| π¦
β |5 2 β¦5 β¦ β¦β¦ 1 0
| = 0
β¦ (π₯2 + π¦2) β 4π₯ + (β¦ ) β 12 = 0
8π₯2 + 8π¦2 β 4π₯ β 4π¦ β 12 = 0
2π₯2 + 2π¦2 β π₯ β π¦ β 3 = 0
-
23
7. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (β3, β5),
(β2,2), dan (5,1)
Penyelesaian :
Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalah π₯2 + π¦2 + π΄π₯ +π΅π¦
+ πΆ = 0
Maka:
(β3, β5) β3π΄ β β― + πΆ = β―.....................(1)
(β2, β2) β¦ + 2π΅ + πΆ = β8 .................(2)
(5, 1) β¦ + π΅ + πΆ = β― ....................(3)
Subtitusi persamaan (1) dan (2)
β3π΄ β β― π΅ + πΆ = β―
β¦ + 2π΅ + πΆ = β8
βπ΄ β 7π΅ = β26 ..................(4)
Subtitusi persamaan (2) dan (3)
β¦ + 2π΅ + πΆ = β8
β¦ + π΅ + πΆ = β―
β8π΄ β 6π΅ = β8 ......................(5)
Subtitusi persamaan (4) dan (5)
β8π΄ β 56π΅ = β208
β8π΄ β 6π΅ = β8
β50π΅ = β200
π΅ = 4
Subtitusi nilai B ke persamaan (5)
β8π΄ β 6(4) = β8
π΄ = β2
Subtitusi nilai A dan B Ke persamaan (1)
3(β2) β 5(4) + πΆ = 34
Maka :
Persamaa Lingkaran:
π₯2 + π¦2 β 2π₯ + 4π¦ β 20 = 0
-
24
8. Tentukan persamaan garis singgung(π + π)π + (π β π)π = ππ
dititik (π, π).
Penyelesaian:
Dari persamaan lingkaran pada soal diperoleh pusat lingkaran β¦ ,
β¦ sehingga persamaan garis singgung menjadi :
(π β π)(ππ β π) + (π β π)(ππ β π) = ππ
(β¦ β β― )(β¦ β β― ) + (β¦ β β― )(β¦ β β― ) = ππ
β¦ + β― β β― + β― = β―
ππ β ππ = π
9. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (π₯ β 2)2 + (π¦
+3)2 = 25 dengan titik singgung pada (5,1)
Penyelesaian:
(π₯ β π)2 + (π¦ β π)2 = π2
(β¦ β β― )(β¦ β β― ) + (β¦ . β β― )(β¦ β β― ) = π2
(β¦ β β― )2 + (β¦ + β― )2 = 25
Dengan π = 2 dan π = β3 dan π = 5
Maka persamaan garisnya
(π₯1 β π)(π₯ β π) + (π¦1 β π)(π¦ β π) = π2
(β¦ β β― )(β¦ β β― ) + (β¦ + β― )(β¦ + β― ) = β―
3(β¦ β β― ) + 4(β¦ + β― ) = β―
β¦ β β― + β― + 12 = β―
β¦ + β― + β― β β― β β― = 0
3π₯ + 4π¦ β 19 = 0
10. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran π₯2 + π¦2 β 4π₯ +
2π¦ β20 = 0 di titik (5,3)
Penyelesaian:
π₯2 + π¦2 + π΄π₯ + π΅π¦ + πΆ = 0
β¦ . +π¦1π¦ +1
2π΄(β¦ + β― ) + β― (π¦1 + π¦) + β― = 0
β¦ + β― β β― β β― + β― + β― β β― = 0
-
25
3π₯ + 4π¦ β 27 = 0
11. Tentukan persamaan garis singgung dari titik (0,0) pada
lingkaran (π₯ β 3)2 + (π¦ β 4)2 β 5 adalah
Penyelesaian:
π¦ = ππ₯
(β¦ β β― )2 β (ππ₯ β 4)2 = β―
β¦ β β― + β― + β― β 8ππ₯ + β― β β― = 0
(1 + π2)π₯2 β (6 + 8π)π₯ + 20 = 0
Syarat menyinggung π· = 0
(6 + 8π)2 β 4(β¦ + β― )(β¦ ) = 0
36 + β― + β― β 80 β β― = 0
β¦ + β― β 44 = 0
β¦ β β― + 11 = 0
(β¦ β β― )(β¦ β β― ) = 0
π =β¦
β¦ π π =
β¦
β¦
Sehingga persamaan singgungnya adalah
π¦ =β¦
β¦π₯, atau π₯ β 2π¦ = 0
π¦ =β¦
β¦π₯ atau 11π₯ β 2π¦ = 0
12. Jarak terdekat antara titik (β12,12) ke lingkaran π₯2 + π¦2 β
6π₯ β8π¦ β 11 = 0 adalah Penyelesaian:
Substitusikan titik (β12,12) ke lingkaran π₯2 + π¦2 β 6π₯ β 8π¦ β11
= 0 (β12)2 + β― β β― β β― β 11 = 0
253 > 0
Berarti titik (β12,12) berada di luar lingkaran
Lingkaran tersebut berpusat di (β¦ , β¦ ) = (3,4)
Jari-jari lingkaran adalah = ββ¦ + β― = β289 = β―
Jarak dari titik pusat ke (β12,12) = β(β¦ β β― )2 + (β¦ β β― )2 =
β―
Jarak terdekat = jarak titik pusat ke(β12,12) β jari jari
lingkaran
-
26
= β― β β―
= 11
13. Jarak titik singgung dari titik (4,4) ditarik garis singgung
lingkaran π₯2 + π¦2 β 6π₯ + 2π¦ + 5 = 0
Penyelesaian:
π₯2 + π₯2 β 6π₯ + 2π¦ + 5 = 0 atau (. . + β― )2(β¦ + β― )2 = 5
Berpusat di (β¦ , β¦ ) dan π = ββ¦
Persamaan garis singgungnya adalah
(π₯1 β π)(π₯ β π) + (π¦1 + π)(π¦ + π) = π2
(4,4) β (β¦ β β― )(β¦ β β― ) + (β¦ + β― )(β¦ + β― ) = 5
Persamaan garis singgung adalah π₯ β 3π¦ = 11 β π₯ = 11 +3π¦ β¦ β¦.
(1)
Persamaan (1) substitusikan ke persamaan lingkaran sehingga
diperoleh
(β¦ β β― )(β¦ β β― ) + (β¦ + β― )(β¦ + β― ) = 5
(3π₯ + β― )2 + (π¦ + β― )2 = 5
9π¦2 + β― + β― + π¦2 + β― +. . . β β― = 0
β¦ + 50π¦ + β― = 0
β¦ + 5π¦ + β― = 0
(β¦ + β― )(β¦ + β― ) = 0
π¦ = β2 maka π₯ = β―
π¦ = β― maka π₯ = 2
Jadi, titik singgungnya adalah (β¦ , β2) dan (2, β¦ )
Jaraknya= β(β¦ β β― )2 + (β¦ β β― )2 = β10
14. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
(π₯ β 1)2 + (π¦ β 4)2 = 25 dan titik singgungnya π΄(β3,1)
Penyelesaian:
π₯1 = β3, π¦1 = 1
(π₯ β 1)2 + (π¦ β 4)2 = 25
π = β― , π = β― , π2 = β―
-
27
Maka masukkan ke persamaan
(β¦ β β― )(β¦ β β― ) + (β¦ β β― )(β¦ β β― ) = 25
(. . . β β― ) β 4 + (β¦ β β― ) β 3 = 25
β¦ + β― β β― + 12 = 25
β¦ β β― + β― = β―
β¦ β. . . +16 β 25 = 0
β4π₯ β 3π¦ β 9 = 0 atau 4π₯ + 3π¦ β 9 = 0
15. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan
garis
β3π₯ + 4π¦ β 1 = 0 pada lingkaran π₯2 + π¦2 + 4π₯ β 2π¦ + 1 = 0
Penyelesaian:
Menentukan unsur-unsur lingkaran
π₯2 + π¦2 + 4π₯ β 2π¦ + 1 = 0 β π΄ = β― , π΅ = β― , πΆ = β―
Pusatnya (π, π) = (βπ΄
β¦, β
π΅
β¦)
= (ββ¦
β¦, β
β¦
β¦)
= (β2,1)
Jari-jari: π = βπ2 + π2 β πΆ
= ββ¦ + β― β β―
= 2
Menentukan gradien garis singgungnya
Garis β3π₯ + 4π¦ β 1 = 0 β π1 =β¦
β¦
Karena tegak lurus maka π. π1 = β1 β π = β4
3
Menentukan PGS dengan gradien π = β4
3
π¦ β π = π(π₯ β π) Β± πβ1 + π2
π¦ β β― = β― (π₯ β β― ) Β± 2β1 + β―
π¦ β β― =β¦
β¦π₯ β
β¦
β¦Β± 2β1 + β―
π¦ β β― =β¦
3π₯ β
β¦
3Β±
β¦
3 (kali 3)
3π¦ β β― = β― π₯ β β― Β± β―
3π¦ = β― π₯ β β― + β― Β± β―
-
28
(PGS 1): 3π¦ = β4π₯ + 5
(PGS 2): 4π₯ + 3π¦ = β15
16. Persamaan lingkaran yang jaraknya 2β5 dan menyinggung garis
2π₯ + π¦ = 7 adalah π₯2 + π¦2 + π΄π + π΅π¦ + πΆ = 0
Penyelesaian:
Garis 2π₯ + π¦ = 7 mempunyai gradien π = β―
Garis yang tegak lurus dengan 2π₯ + π¦ = 7 mempunyai gradien π
=β―
Persamaan garis dengan π = β― dan melalui (2,3) adalah π¦ = β― π₯
+2
Pusat lingkaran terletak di garis π¦ = β― π₯ + 2, maka kita pilih
pusatnya π(π,
β¦
β¦π + 2)
Kita hitung nilai π dengan menggunakan jarak π΄π = 2β5
β(π β β― )2 + (β¦
β¦π + 2 β β― )
2
= 2 = 2β5
π2β. . + β― + β― . β β― + 1 = 20
5
4π2 β β― β β― = 0
π2β. . . β β― = 0
(π β 6)(π + 2) = 0
Untuk π = 6 maka π(6,5) persamaan lingkarannya
(π₯ β 6)2 + (π¦ + β― )2 = 20 atau π₯2 + π¦2 β 12π₯ + 10π¦ + 41 = 0
Untuk π = β2 maka π(β2,1) persamaan lingkarannya
(π₯ + 2)2 + (π¦ + β― )2 = 20 atau π₯2 + π¦2 + 4π₯ β 2π¦ + 15 = 0
17. persamaan garis singgung melalui titikπ΄ pada lingkaran
adalah Titik π΄(3, π) dengan π > 0 terletak pada lingkaran π₯2 +
π¦2 + 2π₯ + 3π¦ =25 persamaan garis singgung melalui titikπ΄ pada
lingkaran adalah
Penyelesaian:
π΄(3, π) β π₯2 + π¦2 + 2π₯ + 3π¦ = 25
β¦2 + β¦2 + 2(β¦ ) + 3(β¦ ) = 25
β¦ + β― + β― + β― β 25 = 0
-
29
β¦ + β― β 10 = 0
(π + 5)(π β 2) = 0
π = β5 atau π = 2
Karena π > 0 maka kita pilih π = 2 sehingga titik π΄ adalah
π΄(3,2)
Persamaan garis singgung melalui titik (3,2) pada π₯2 + π¦2 + 2π₯ +
3π¦ =25
π₯1π₯ + π¦1π¦ + (π₯ + π₯1) +3
2(π¦ + π¦1) = 25
π΄(3,2) β 3π₯ + 2π¦ + β― + β― = 25
β¦ + β― β 19 = 0
8π₯ + 7π¦ β 38 = 0