3 One dimentional flo · (1) Όταν και τα δύο συστατικά του υγρού είναι πτητικά, η συγκέντρωση στη διεπιφάνεια καθορίζεται

Ν. Ανδρίτσος, Σημειώσεις «Φαινόμενα Μεταφοράς»: Συνοριακές Συνθήκες-Μονοδιάστατη Μεταφορά 1

ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ

Κατάστρωση Ισοζυγίων, Συνοριακές Συνθήκες και Παραδείγματα

Συχνά, σχετικά απλά προβλήματα, σε μόνιμη κατάσταση (steady state, δηλαδή όταν οι συνιστώσες της ταχύτητας, η θερμοκρασία, η συγκέντρωση του συστατικού, καθώς και οι φυσικές ιδιότητες δεν μεταβάλλονται με το χρόνο) και για στρωτή ροή* μπορούν να λυθούν με δύο διαφορετικές προσεγγίσεις, οι οποίες βέβαια οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα. Η πρώτη προσέγγιση αποτελείται από εξής στάδια:

1. Γράφονται ισοζύγια ορμής, ενέργειας ή μάζας σε μια λεπτή «φέτα» ή σε ένα «κέλυφος» (shell balances), ανάλογα με τη γεωμετρία του συστήματος που εξετάζουμε, κάθετα προς τη ροή του μεγέθους. Καθώς το πάχος της λεπτής φέτας ή του κελύφους τείνει στο μηδέν, το ισοζύγιο αυτό οδηγεί σε μία διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης που δίνει την κατανομή της ειδικής ροής (flux) ορμής, ενέργειας ή μάζας. Σε πολλές περιπτώσεις που μας δίνεται ή που μπορούμε να έχουμε μία συνοριακή συνθήκη για την ειδική ροή του μεγέθους μπορούμε να εκτιμήσουμε και τη σταθερά ολοκλήρωσης.

2. Ακολούθως, στην έκφραση της ειδικής ροής εισάγουμε τους νόμους του Newton, του Fourier ή του Fick, ανάλογα με τη μεταφορά του μεγέθους που πραγματευόμαστε, παίρνοντας μία πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση της ταχύτητας, της θερμοκρασίας ή της συγκέντρωσης με τη θέση, από την οποία με ολοκλήρωση μπορούμε να προσδιορίσουμε τις αντίστοιχες κατανομές. Οι σταθερές ολοκλήρωσης προσδιορίζονται από τις συνοριακές συνθήκες του μεγέθους σε κάποιο σημείο της ροής του. Από την κατανομή της ταχύτητας, της θερμοκρασίας ή της συγκέντρωσης μπορούμε να εξαγάγουμε τη μέση τιμή του μεγέθους, τη μέγιστη τιμή της ή την ειδική ροή σε μία επιφάνεια.

Στη δεύτερη προσέγγιση (που συνιστά και γενικευμένη διαδικασία με την οποία μπορούμε να προσεγγίσουμε και πολυπλοκότερα προβλήματα) μπορούμε να ξεκινήσουμε από τα κατάλληλα γενικά ισοζύγια ορμής (εξισώσεις N-S), ενέργειας και μάζας και, αφού επιλέξουμε το κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων, κάνουμε τις κατάλληλες παραδοχές και διαγράψουμε τους μηδενικούς όρους ή τους όρους που είναι τουλάχιστον μία τάξη μεγέθους μικρότεροι από τους υπόλοιπους. Στα περισσότερα προβλήματα έχουμε συνήθως μόνιμη κατάσταση (δηλ. / t 0 ) και μηδενική παραγωγή.

Όπως έχει λεχθεί και σε προηγούμενο μάθημα, λύση των διαφορικών εξισώσεων της ροής είναι δυνατή μόνον όταν η ροή είναι στρωτή. Για τη λύση των διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν ύστερα από τη θεώρηση κάθε περίπτωσης και τις υποθέσεις που γίνονται χρειάζονται οι κατάλληλες αρχικές ή/και συνοριακές συνθήκες. Ύστερα από την παράθεση των κυριότερων συνοριακών συνθηκών θα προχωρήσουμε στη μελέτη ορισμένων προβλημάτων μεταφοράς σε μία διάσταση.

*Με τον όρο στρωτή ροή εννοούμε τη «διατεταγμένη» ροή που παρατηρείται για παράδειγμα σε πολύ μικρές ταχύτητες σε έναν κυλινδρικό αγωγό.


1. Οι κυριότερες Συνοριακές Συνθήκες στη Μεταφορά Ορμής Οι κυριότερες συνοριακές συνθήκες (Σ.Σ., boundary conditions) που συναντώνται είναι: (α) Στη διεπιφάνεια ρευστού – στερεού: η ταχύτητα του ρευστού ισούται με την ταχύτητα της στερεής επιφάνειας που κινείται. Εφαρμόζεται και στις δύο συνιστώσες του πεδίου ταχυτήτων, στην παράλληλη (ή εφαπτομενική) συνιστώσα ux και στην κάθετη συνιστώσα, uy. Επειδή συνήθως η στερεή επιφάνεια δεν κινείται μπορούμε να γράψουμε:

x y 0u 0

: Συνθήκη μη–ολίσθησης (no slip condition)

y y 0u 0

: Συνθήκη μη–διείσδυσης (no penetration condition). Βεβαίως δεν ισχύει αν υπάρχει

προσρόφηση, εκρόφηση ή διαπερατό τοίχωμα.

Η συνθήκη μη–ολίσθησης ισχύει μόνο για τις ιξώδεις ροές. Μεγάλη συζήτηση για αυτό το θέμα υπάρχει από το 1800 και σχεδόν όλοι οι κλασικοί ρευστοδυναμικοί έχουν ασχοληθεί με αυτή τη συνθήκη. Πειραματικές εργασίες με τη χρήση διατάξεων μέτρησης επιφανειακής δύναμης έχουν δείξει την ισχύ της συνθήκης μη-ολίσθησης για νευτωνικά ρευστά μέχρι το επίπεδο των μερικών νανομέτρων (Ε. Lauga, M.P. Brenner & H.A. Stone, Microfluidics: The No-Slip Boundary Condition, Ch. 15 in Handbook of Experimental Fluid Dynamics, Editors J. Foss, C. Tropea and A. Yarin, Springer, New-York 2005). Σε ροές αερίων σε συσκευές με διαστάσεις της τάξης της μέσης ελεύθερης διαδρομής των μορίων του αερίου παρουσιάζουν σημαντική ολίσθηση. Για τον αέρα σε κανονικές συνθήκες η μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων του είναι περίπου 100 nm. Στη διατριβή του για την κίνηση των ρευστών ο Navier (1823) εισήγαγε τη γραμμική συνοριακή συνθήκη: η εφαπτομενική συνιστώσα της ταχύτητας, ut, είναι ανάλογη της διατμητικής τάσης στο τοίχωμα: Ttu n u u (1 nn)

όπου n είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια και λ είναι το μήκος ολίσθησης (slip length). Για καθαρή διατμητική ροή το λ μπορεί να ερμηνευτεί ως η υποθετική απόσταση κάτω από την επιφάνεια όπου θα ικανοποιούνταν η συνθήκη μη-ολίσθησης (βλ. σχήμα).

(β) Συμμετρία: σε αρκετές ροές υπάρχει επίπεδο ή άξονας συμμετρίας. Είναι προφανές ότι η ταχύτητα θα έχει κάποιο μέγιστο στο επίπεδο συμμετρίας, με αποτέλεσμα η πρώτη παράγωγος της ταχύτητας εκεί να είναι μηδέν:

xx x

στο επιπ. συμμετρίας

uπ.χ. αν u u y τότε 0y


(γ) Στη διεπιφάνεια μη–αναμίξιμων ρευστών (π.χ. υγρό και αέριο), όπου όμως δεν έχουμε μεταφορά μάζας από το ένα ρευστό στο άλλο (π.χ. εξάτμιση, διαλυτοποίηση), έχουμε συνέχεια ταχυτήτων (συνθήκη μη–ολίσθησης, κινηματική συνθήκη ) και διατμητικών τάσεων (δυναμική συνθήκη), δηλαδή.

ρευστό 1 ρευστό 2x xδιεπιφάνεια διεπιφάνειαu u

και

ρευστό 1 ρευστό 2yx yxδιεπιφάνεια διεπιφάνεια

Γενικά, υπάρχει συνέχεια στις ποσότητες xx xy xzp , και .

Στη διεπιφάνεια υγρού – αερίου (ή υγρού με ένα ατριβές ρευστό, δηλ. ρευστό με μηδενική ή πολύ μικρό ιξώδες) η διατμητική τάση είναι συνήθως 0:

yx διεπιφάνεια0 ,

με την προϋπόθεση βεβαίως ότι η κλίση της ταχύτητας στην αέρια φάση δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλη (να θυμηθούμε ότι L G ).

Θεωρήστε δύο νευτωνικά, μη-αναμίξιμα ρευστά (π.χ. πετρέλαιο και νερό), που ρέουν ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες. Υπάρχει περίπτωση οι κατανομές ταχύτητας των ρευστών να είναι όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα και γιατί;

(δ) Διεπιφάνεια υγρού – αερίου: εάν η διεπιφάνεια υγρού – αερίου είναι καμπύλη, τότε λόγω της επιφανειακής τάσης αναπτύσσεται διαφορά πίεσης στη διεπιφάνεια, η οποία δίνεται από τη σχέση Young – Laplace:

1 2

1 2

1 1Δp p pR R

όπου είναι η επιφανειακή τάση και R1 και R2 είναι οι ακτίνες καμπυλότητας της διεπιφάνειας.

Προφανώς για σφαιρική σταγόνα σε αέριο (ή για μικρή φυσαλίδα) ισχύει:

droplet2pR

2. Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες στη Μεταφορά Θερμότητας Μπορούμε να διακρίνουμε τις αναγκαίες συνθήκες για τη λύση του προβλήματος σε αρχικές και σε

συνοριακές. Οι αρχικές συνθήκες (initial conditions) αναφέρονται στις τιμές της θερμοκρασίας και του πεδίου των ταχυτήτων στην αρχή του χρόνου που μας ενδιαφέρει και, προφανώς, χρειάζονται για μεταφορά σε μη-μόνιμη κατάσταση. Η αρχική συνθήκη μπορεί να είναι απλή, π.χ. 0t 0T T

(η

θερμοκρασία σε χρόνο 0 είναι σταθερά) ή περισσότερο πολύπλοκη. Οι συνοριακές συνθήκες αναφέρονται στις τιμές της θερμοκρασίας και του πεδίου των ταχυτήτων

που υπάρχουν σε συγκεκριμένες θέσεις ή σημεία. Οι πλέον κοινές συνοριακές συνθήκες της θερμοκρασίας σε μια επιφάνεια, π.χ. x 0 , σε μονοδιάστατο σύστημα είναι:

Ρευστό Α

Ρευστό Β

y

x


(α) Σταθερή θερμοκρασία στην επιφάνεια (isothermal boundaries): η θερμοκρασία στη στερεή επιφάνεια είναι πάντα σταθερή:

wT 0,t T

H συνθήκη αυτή καλείται συχνά Συνθήκη Dirichlet ή Σ.Σ. πρώτου είδους. Παράδειγμα αποτελεί η επαφή υγρού με πάγο που λειώνει. Επίσης συναντάται με το όνομα της συνθήκης απουσίας θερμοκρασιακού άλματος (no–temperature jump condition). (β) Σταθερή ειδική θερμορροή στο τοίχωμα:

wx 0

Tk qx

Μπορούμε να διακρίνουμε δυο υποπεριπτώσεις: (i) Συγκεκριμένη ειδική θερμορροή (Συνθήκη Newmann ή

Σ.Σ. δευτέρου είδους). Παράδειγμα η θέρμανση μιας επιφάνειας με ηλεκτρική αντίσταση. (ii) Μηδενική ειδική θερμορροή (insulated boundaries), όταν

wq 0 , δηλ. όταν έχουμε μια τέλεια μονωμένη επιφάνεια

(αδιαβατικές συνθήκες). (γ) Συνθήκες συναγωγής στην επιφάνεια (θέρμανση ή ψύξη με συναγωγή). Καλείται και Σ.Σ. τρίτου είδους. Παράδειγμα αποτελεί η μεταφορά θερμότητας σε εναλλάκτες θερμότητας:

x 0

Tk h T T 0,tx

3. Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες στη Μεταφορά Μάζας Οι αρχικές και συνοριακές συνθήκες στη μεταφορά μάζας είναι περίπου αντίστοιχες με τις

συνθήκες στη μεταφορά θερμότητας. Θα πρέπει όμως να σημειώσουμε εδώ ότι εκτός από τις διεπιφάνειες υγρού-στερεού και αερίου-στερεού που συναντάμε στη μεταφοράς θερμότητας, στη μεταφορά μάζας η πιο κοινή διεπιφάνεια είναι υγρό-αέριο.

Όπως και στη μεταφορά θερμότητας, η αρχική συνθήκη μπορεί να είναι απλή, π.χ. για

A A0t 0, c c ή A A0p p ή περισσότερο πολύπλοκη.

Οι πλέον κοινές συνοριακές συνθήκες κατά τη μεταφορά μάζας σε μια επιφάνεια, π.χ. στο x 0 , σε μονοδιάστατο σύστημα είναι: (α) Η συγκέντρωση του συστατικού στην επιφάνεια x=0 είναι συγκεκριμένη. Παραδείγματος χάριν για υγρά των οποίων οι συγκεντρώσεις αναφέρονται σε γραμμομοριακές μονάδες έχουμε: A A,sx 0,t x ,

όπου xA,s είναι το σταθερό γραμμομοριακό κλάσμα στην επιφάνεια. Για μια ακόμη φορά εφιστάται η προσοχή με τις μονάδες συγκέντρωσης. Ειδικότερα για αυτή την περίπτωση μπορούμε να έχουμε:

Tw

T(x,t)

x

qw

x

T(x,t)

x

T(x,t)

x

T(x,t) T∞,h

Αγωγή Συναγωγή


(i) Για αέριο μείγμα σε επαφή με καθαρό πτητικό υγρό Α ή καθαρό πτητικό στερεό Α, μπορούμε να γράψουμε για τη διεπιφάνεια A A,sp 0 p , που A,sp η τάση κορεσμού ατμών του A.

(ii) Για υγρό σε επαφή με καθαρό στερεό Α, η συγκέντρωση του Α στη διεπιφάνεια είναι το όριο διαλυτότητας του Α στο υγρό, δηλ. *

A,s Ac c .

(iii) Για επαφή υγρού και αερίου όπου το μεταφερόμενο συστατικό βρίσκεται και στις δύο φάσεις, υπάρχουν δύο τρόποι για να καθοριστεί η συγκέντρωσή του στη διεπιφάνεια.

(1) Όταν και τα δύο συστατικά του υγρού είναι πτητικά, η συγκέντρωση στη διεπιφάνεια καθορίζεται από τοn νόμο του Raoult: A,s A Ap x p , όπου Ax είναι το γραμμομοριακό κλάσμα στην υγρή φάση, Ap η τάση των

ατμών του Α στη θερμοκρασία του υγρού και A,sp η μερική πίεση του Α στο αέριο στη διεπιφάνεια. Η

συγκέντρωση στη διεπιφάνεια είναι A,s A,sc p /RT .

(2) Όταν το συστατικό Α είναι ελάχιστα διαλυτό στο υγρό, τότε χρησιμοποιούμε τοn νόμο του Henry, δηλ.

A Ap H x , όπου Η είναι η σταθερά του Henry (ή καλύτερα συντελεστής Henry), η οποία εξαρτάται σε μεγάλο

βαθμό από τη θερμοκρασία (για το νερό και από την αλατότητα σε μικρότερο βαθμό). Για μικρές περιοχές θερμοκρασιών η σταθερά Henry είναι αντιστρόφως ανάλογη της θερμοκρασίας, αλλά γενικά η εξάρτησή της από τη θερμοκρασία είναι συνήθως πολυπλοκότερη. Παρaδείγματα εφαρμογής του νόμου του Henry είναι η οξυγόνωση του νερού, η απομάκρυνση HF από τα απαέρια σε φούρνους υάλου, κ.ά. Τιμές του συντελεστή Henry για ορισμένα κοινά αέρια παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.

Αέριο Η, 20ºC (×10-5 atm/mole fraction)

Η, 30ºC (×10-5 atm/mole fraction)

N2 80,4 92,4 H2S 48,3 60,9 O2 40,1 47,5 CO2 1,42 1,86 SO2 0,014 0,016

(β) Η ειδική ροή του συστατικού είναι συγκεκριμένη ή μηδενική. Η δεύτερη περίπτωση συμβαίνει όταν έχουμε ένα αδιαπέραστο σύνορο (ΝΑ είναι η ειδική γραμμομοριακή ροή του Α σε σχέση με σταθερές συντεταγμένες):

Az AoN N ή

A A

A ABz 0z 0 z 0

c cN D 0 0

z z

(γ) Όταν συμβαίνει μεταφορά με συναγωγή σε ένα σύνορο (ροή ρευστού). Η ειδική ροή του συστατικού δίνεται από την εμπειρική σχέση:

A c A,s Az 0

N k c c

όπου A,sc είναι η συγκέντρωση του Α στη διεπιφάνεια, Ac η συγκέντρωση του Α στην κύρια μάζα του

ρευστού (μακριά από τη διεπιφάνεια) και ck ο συντελεστής μεταφοράς μάζας.

(δ) Όταν δίνεται ο ρυθμός χημικής αντίδρασης (σε ετερογενή αντίδραση). Μπορούμε να διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

(i) Η ειδική ροή ενός συστατικού συνδέεται με την ειδική ροή ενός άλλου μέσω της στοιχειομετρίας της αντίδρασης. Για παράδειγμα, από την αντίδραση A 2B 3C εύκολα συμπεραίνουμε ότι

B AN 2N και C AN 3N .


(ii) Όταν γνωρίζουμε τον ρυθμό αντίδρασης στην επιφάνεια, π.χ. για αντίδραση πρώτου βαθμού για

την κατανάλωση του Α σε μία επιφάνεια: Ao S A,sN k c , όπου Sk είναι η επιφανειακή σταθερά

αντίδρασης. (iii) Για πολύ γρήγορη αντίδραση πάνω σε μία επιφάνεια: A,sc 0 .

Μέση Τιμή μιας Συνάρτησης

Σε πολλά προβλήματα που θα συναντήσουμε θα πρέπει να υπολογίσουμε τη μέση τιμή ενός μεγέθους, την κατανομή του οποίου έχουμε εξαγάγει. Ποια είναι η μέση τιμή της y f(x) , y ή avey , στο διάστημα από το α στο b, όπως παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα;

Διαιρούμε το διάστημα ab σε n ίσα τμήματα x (

b axn

). Έτσι έχουμε τις τιμές:

1 2x a, x a x, 3 nx a 2 x, , x a n 1 x Προφανώς, η μέση τιμή των n τιμών είναι:

1 2 3 n 1 2 3 n

1 2 n

f x f x f x f x f x f x f x f xy

n b ax

f x x f x x f x xb a

Για x 0 ο αριθμητής γίνεται: b

a

f x dx

Και:

b b

a ab

a

f x dx f x dxy

b adx

Σε δύο διαστάσεις και με αντίστοιχο συλλογισμό παίρνουμε για τη συνάρτηση y f x,z , όπου το z κυμαίνεται από το c μέχρι το d:

b d

a cb d

a c

f x,z dxdzy

dxdz

εμβαδόν

f(x)

x a b

Δx


4. Παραδείγματα Μονοδιάστατης Μεταφοράς

4.1. Ροή υγρού υμένα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο Ως πρώτο παράδειγμα στη μελέτη μονοδιάστατης ροής κάποιου μεγέθους θα αναλύσουμε τη

(στρωτή) ροή υγρού υμένα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο (flow of a falling film). Θεωρούμε επίπεδη επιφάνεια μήκους L και πλάτους W, με κλίση θ ως προς το οριζόντιο επίπεδο (Σχήμα 4.1α), στην κορυφή της οποίας ελευθερώνεται ογκομετρική παροχή υγρού ίση με Γ (m3/s ανά m πλάτους της κεκλιμένης επίπεδης πλάκας). Το υγρό έχει σταθερή πυκνότητα ρ και ιξώδες μ. Με την παραδοχή ότι η ροή είναι μονοδιάστατη και πλήρως αναπτυγμένη (δηλαδή, η κατανομή της ταχύτητας δεν μεταβάλλεται με το x, εκτός ίσως κοντά στην είσοδο και στην έξοδο του υγρού), θα επιχειρήσουμε να προσδιορίσουμε: (α) Την κατανομή της ταχύτητας στο εσωτερικό του υμένα. (β) Το μέγεθος και τη θέση της μέγιστης ταχύτητας καθώς και τη μέση ταχύτητα στον υμένα. (γ) Το πάχος του υμένα, h.

Αρχικά να σημειώσουμε ότι η συγκεκριμένη ροή έχει πολλές βιομηχανικές εφαρμογές, μερικές από τις οποίες είναι οι πύργοι διαβρεχόμενου τοιχώματος, οι εξατμιστήρες, η απορρόφηση αερίων από ρέον υγρό, η δημιουργία επιστρώσεων με ροή ρευστού κ.α. Λύση με την πρώτη προσέγγιση: Για την επίλυση του προβλήματος μπορούμε να κάνουμε τις εξής υποθέσεις: 1) Θεωρούνται μόνιμες συνθήκες, δηλ. iu / t 0 όπου i=x,y,z. 2) Αγνοούμε τις διαταραχές στην εισόδου και την έξοδο του υγρού υμένα. Ισχύει όταν L και W . Επίσης μπορούμε εύκολα να συναγάγουμε διαισθητικά ότι δεν υπάρχει ροή στις κατευθύνσεις y και z, δηλ. y zu u 0 και ότι η xu είναι ανεξάρτητη του x (για x λίγο μετά το x=0) και εξαρτάται μόνο από

την απόσταση από το τοίχωμα, y, δηλ. x xu u (y) . Επομένως, από την εξίσωση συνεχείας προκύπτει ότι

xu / x 0 Για όγκο ελέγχου που θα εφαρμόσουμε το ισοζύγιο ορμής επιλέγουμε μία λεπτή «φέτα» (thin shell) κάθετη στο y με πάχος dy, δηλαδή ένα λεπτό παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις L, W και dy. Με την απουσία του όρου της συσσώρευσης το ισοζύγιο ορμής στην κατεύθυνση x γράφεται:

ΕΙΣΡΟΗ ΕΚΡΟΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ 0 (1)

Εισροή: ρυθμός της x-ορμής με διάχυση προς το επίπεδο y: yx y(LW)

Εκροή: ρυθμός της x-ορμής με διάχυση από το επίπεδο y+dy: yx y dy(LW)

[Σημειώνεται ότι εισροή x-ορμής στον όγκο ελέγχου μπορεί να γίνει με συναγωγή στο x=0, η οποία είναι

x xu ( u )W dy , όπου ρ είναι η πυκνότητα του υγρού. Η ίδια όμως ποσότητα ορμής εξέρχεται από τη θέση x=L, οπότε η συνεισφορά της ορμής με συναγωγή είναι μηδενική. Θα μπορούσαμε επίσης να αγνοήσουμε από την αρχή αυτούς τους δύο όρους, θεωρώντας μεταφορά μόνο με μοριακά μέσα.] Παραγωγή: μόνο η δύναμη βαρύτητας που επενεργεί στη «φέτα», αφού το σύστημα είναι ανοικτό και η πίεση παντού είναι ίδια: xLWdy g (όπου βεβαίως xg g sin ).


Σχήμα 4.1α. Ροή υγρού υμένα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο και επιλογή όγκου ελέγχου.

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω ποσότητες στην Eξ. (1) παίρνουμε:

yx yx xy y dy( )(LW) g (LW)dy 0

Διαιρώντας την παραπάνω σχέση με LWdy και για dy 0 προκύπτει:

yxx yx x 1

dg g y c

dy

(2)

Όπως έχει λεχθεί σε προηγούμενο μάθημα, η διατμητική τάση σε μια ελεύθερη επιφάνεια υγρού-αερίου είναι μηδέν. Έτσι η συνοριακή συνθήκη 1 είναι: yx 1 xΣτο y h, 0 c g h

Επομένως, η κατανομή της διατμητικής τάσης (ή της ειδικής ροής ορμής) στον υμένα είναι γραμμική και δίνεται από τη σχέση:

yx xg (h y) (3)

Για να βρούμε την κατανομή της ταχύτητας χρησιμοποιούμε τον νόμο του Νεύτωνα, yx x(du / dy),

στην παραπάνω σχέση και λαμβάνουμε τη διαφορική εξίσωση για την κατανομή της ταχύτητας:

xx gdu (h y)dy

Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να ολοκληρωθεί, οπότε 2

x xx 2

g g yu (y) hy c2

Η σταθερά c2 εύκολα μπορεί να υπολογιστεί από τη Σ.Σ. 2 (δηλ. από τη συνθήκη μη-ολίσθησης): για y=0, ux(0)=0. Συνεπώς, η κατανομή της ταχύτητας δίνεται από τη σχέση:

22x

xg h y y1u (y)

h 2 h

(4)

Είναι προφανές ότι η κατανομή της ταχύτητας στον υμένα είναι παραβολική, ενώ η κατανομή της διατμητικής τάσης είναι γραμμική (Εξ. 3), όπως παρουσιάζονται στο Σχήμα 4.1β.

θ

h

g

gx gy

x

y

L L

dy

W


Σχήμα 4.1β. Κατανομή της ταχύτητας και της διατμητικής τάσης στη ροή υγρού υμένα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο.

Από την εξ. (4) μπορούν να προκύψουν διάφορα χρήσιμα μεγέθη, όπως: (1) Η μέγιστη ταχύτητα στον υμένα, που προφανώς είναι η ταχύτητα του υγρού στην ελεύθερη

επιφάνεια, y=h:

2

xx,max

g hu

2

(5)

(2) Η μέση ταχύτητα, xu , σε μία διατομή της ροής υπολογίζεται ως εξής: :

W h

x h 20 0 x

x x x,maxW h0

0 0

u (y)dydzg h1 2u u (y)dy u

h 3 3dydz

(6)

Στην παραπάνω σχέση το διπλό ολοκλήρωμα στον αριθμητή εκφράζει την ογκομετρική παροχή του υγρού, ενώ το διπλό ολοκλήρωμα στον παρανομαστή είναι το εμβαδόν της διατομής του υμένα (Wh).

(3) Το πάχος του υγρού υμένα, h, υπολογίζεται από την εξ. (6):

x

x

3 uh

g

(7)

(4) Η ογκομετρική παροχή μπορεί να υπολογιστεί από τη μέση ταχύτητα:

xQ u (W h) (8)

Συχνά η ογκομετρική παροχή δίνεται ανηγμένη ως προς το πλάτος της πλάκας, δηλαδή:

xQΓ u hW

.

Έτσι: 3 1/33

x x

3 Γ 3 Γh h ή h ~ Γg g

, όπου είναι το κινηματικό ιξώδες του υγρού (μ/ρ).

(5) Ορισμός αριθμού Reynolds της ροής του υμένα

2 2

x x2

u (4h) 4 g hRe

3

(9)

θ

h

g

gx gy

x

y

L

h

τyx(y)

ux(y)


Σημειώνεται ότι η υδραυλική διάμετρος για την περίπτωση της ρέουσας στιβάδας είναι:

h

4 Εμβαδόν διατομής 4WhD 4hπεριβρεχόμενη περιμετρος W 2h

)

Στην πράξη η παραπάνω ανάλυση αναφέρεται μόνο στην περίπτωση της στρωτής ροής στον υμένα χωρίς κυματισμούς. Όπως όμως είναι γνωστό από τη ροή του νερού της βροχής στο τζάμι του αυτοκινήτου, πολύ συχνά παρατηρούνται κυματισμοί. Τα διάφορα σχήματα που λαμβάνει η επιφάνεια του υγρού καλούνται «καθεστώτα ροής» (flow regimes). Ανάλογα με τον αριθμό Reynolds παρατηρούνται τα παρακάτω καθεστώτα ροής: Για Re<20: στρωτή ροή με λεία επιφάνεια (χωρίς κύματα) Για 20<Re<1500: στρωτή ροή με κυματισμούς Για Re>1500: τυρβώδης ροή (με κυματισμούς) Η παραπάνω συζήτηση δείχνει ότι η θεωρητική ανάλυση ενός ροϊκού συστήματος περιορίζεται αναγκαστικά από τις αρχικές υποθέσεις που έχουν γίνει (μόνιμη κατάσταση, στρωτή ροή). Είναι απολύτως αναγκαίο να προσφύγουμε σε πειράματα για να ελέγξουμε σε ποιες συνθήκες έχει ισχύ η λύση του προβλήματος που βρήκαμε. Λύση με τη δεύτερη προσέγγιση: Η εξίσωση Navier-Stokes σε καρτεσιανές συντεταγμένες στη διεύθυνση x είναι (Εξ. Α, Πίνακας 5.7 του βιβλίου):

2 2 2x x x x x x x

x y z x 2 2 2

u u u u u u u1 Pu u u gt x y z x x y z

(10)

Σύμφωνα με την περιγραφή του προβλήματος και τις υποθέσεις που έγιναν μπορούν να απαλειφθούν οι περισσότεροι όροι της εξίσωσης N-S και να προκύψει η σχέση:

2

x xx x yx x2

d u dud dg g gdy dy dydy

Δηλαδή προκύπτει η Εξ. (2), οπότε προχωρούμε εν συνεχεία όπως και με την προηγούμενη προσέγγιση.

4.2. Πλήρως αναπτυγμένη στρωτή ροή σε κυλινδρικό αγωγό

Νευτωνικό ρευστό ρέει σε έναν κατακόρυφο κυλινδρικό αγωγό σε σταθερή θερμοκρασία. Η ροή είναι πλήρως αναπτυγμένη σε μόνιμη κατάσταση. Ποια είναι η κατανομή της ταχύτητας του ρευστού σε μία διάμετρο του σωλήνα; Από ποια σχέση δίνεται η μαζική παροχή του ρευστού; Η ροή σε κυλινδρικό αγωγό είναι από τις συνηθέστερες ροές στη βιομηχανία, στη φύση, στον ανθρώπινο οργανισμό (π.χ. η ροή του αίματος στις αρτηρίες) κτλ. Μελετήθηκε πειραματικά από τον Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen το 1841 και, ανεξάρτητα, από τον Jean Louis Marie Poiseuille (προφέρεται Πουαζέιγ) το 1840. Η σχέση που περιγράφει τη στρωτή ροή σε σωλήνα αναφέρεται προς τιμήν τους ως εξίσωση Hagen-Poiseuille. [Προς τιμήν του δευτέρου η μονάδα του ιξώδους στο σύστημα c.g.s. έχει ονομασθεί Poise, P, αν και πιο γνωστή είναι η υποδιαίρεσή της, το cP (=0,01 P). Σημειώνεται ότι το ιξώδες του νερού στους 20°C είναι περίπου 1 cP.] H σχέση Hagen-Poiseuille μπορεί να εφαρμοστεί με επιτυχία για τη ροή του αίματος στα τριχοειδή αγγεία και τις φλέβες (λαμβάνοντας υπόψη ότι το αίμα δεν είναι νευτωνικό υγρό), για τη ροή του αέρα στο τραχειοβρογχικό δέντρο των πνευμόνων, καθώς και για τη ροή μέσω μιας υποδερμικής βελόνας. Με τον όρο πλήρως αναπτυγμένη στρωτή ροή (fully developed flow) εννοούμε ότι η περιοχή που εξετάζουμε είναι μακριά από την είσοδο και την έξοδο του αγωγού, αν και στην πράξη απαιτείται μόνο ένα μικρό τμήμα του σωλήνα, μόλις 0,35∙D∙Re, για να γίνει η ροή πλήρως αναπτυγμένη.


Αρχικά από τη φυσική διαίσθησή μας μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η ροή αυτή είναι μόνο αξονική, δηλαδή z z zu 0 (u u (r)) , ενώ ισχύει συγχρόνως προφανώς ότι zu u 0 . Ακόμη, ως συνέπεια της

εξίσωσης συνεχείας έχουμε: zu / z 0 , οπότε 2 2zu / z 0 . Τέλος, επειδή στον σωλήνα έχουμε

σταθερή θερμοκρασία, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και οι φυσικές ιδιότητες μ και ρ είναι σταθερές και ότι δεν υπάρχει κλίση της πίεσης στις διευθύνσεις r και θ. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι τα μόνα στοιχεία του τανυστή των διατμητικών τάσεων που δεν είναι μηδενικά είναι:

zrz zr

dudr

(11)

Και σε αυτό το παράδειγμα μονοδιάστατης ροής μπορούμε να προχωρήσουμε με τις δύο προσεγγίσεις. Στο Σχήμα 4.2α παρουσιάζεται σχηματικά η ροή του ρευστού προς τα κάτω σε κυλινδρικό αγωγό και ορίζονται διάφορα σύμβολα.

Σχήμα 4.2α. Ροή ρευστού σε κατακόρυφο κυλινδρικό αγωγό.

Λύση με την πρώτη προσέγγιση Εφαρμόζουμε το ισοζύγιο ορμής σε έναν κατάλληλο όγκο ελέγχου. Λόγω της εξάρτησης της ταχύτητας μόνο από την ακτίνα του κυλίνδρου επιλέγουμε ως όγκο ελέγχου ένα κυλινδρικό «κέλυφος» (shell) μήκους L και πάχους Δr. Με την απουσία του όρου της συσσώρευσης το ισοζύγιο ορμής στην κατεύθυνση r γράφεται ως:


Η διατμητική δύναμη που ασκείται στην κυλινδρική επιφάνεια σε ακτίνα r είναι η διατμητική τάση rz

πολλαπλασιασμένη με την εσωτερική επιφάνεια του κυλινδρικού κελύφους (δηλ. 2 rL ). Άρα: [ΕΙΣΡΟΗ]=[Ρυθμός της z-ορμής προς την κυλινδρική επιφάνεια στο r]= rz r2 rL

Όμοια:

[ΕΚΡΟΗ]=[Ρυθμός της z-ορμής από την κυλινδρική επιφάνεια στο r+Δr]= rz r Δr2 rL

Ο όρος της παραγωγής είναι, όπως έχει ήδη λεχθεί, το άθροισμα των δυνάμεων που δρουν στον όγκο ελέγχου, δηλαδή:

R

L r

Δr

z r

oz 0p p

Lz Lp p

rz r

rz r Δr


z 0 z L

o L

ΠΑΡΑΓΩΓΗ 2 r Δr p 2 r Δr p 2 r Δr L g

2 r Δr p p 2 r Δr L g

Για οριζόντιο σωλήνα προφανώς g=0. Αντικαθιστώντας τους παραπάνω όρους στην Εξ. (1) και διαιρώντας με το 2 Δr L προκύπτει:

rz rz o Lrr Δrr r p p gL

rΔr L

Για Δr 0 το αριστερό μέλος ορίζει την πρώτη παράγωγο του ( rzr ) ως προς r και, θέτοντας για

συντόμευση *p p gz , λαμβάνουμε:

* * *

o L o Lrz

(p g0) (p gL) p pd ΔPr r r rdr L L L

(12)

Ολοκληρώνοντας * 2 *

1rz 1 rz

cΔP r ΔP rr cL 2 L 2 r

(13)

Η σταθερά 1c υπολογίζεται από τη Σ.Σ. 1: στο rzr 0, η έχει συγκεκριμένη τιμή (δεν μπορεί φυσικό

μέγεθος να πάρει άπειρη τιμή!), οπότε 1c 0 , και

*

rzΔP r2L

(14)

Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι η ειδική ροή ορμής στη διεύθυνση r (ή η διατμητική τάση) μηδενίζεται κατά μήκος του άξονα του αγωγού (r=0) και είναι ανάλογη της ακτίνας του σωλήνα μέχρι τη μέγιστη τιμή της στο r=R. Σημειώνεται εδώ ότι η παραπάνω σχέση ισχύει και για στρωτή και για τυρβώδη ροή, αφού δεν έχει εισαχθεί ακόμη ο νόμος του Newton που ισχύει για μεταφορά ορμής με μοριακά μέσα.

Για να βρούμε την κατανομή ταχύτητας στον κύλινδρο χρησιμοποιούμε τον νόμο του Newton: *

z zrz

du du ΔP rdr dr 2 L

Η παραπάνω διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης μπορεί εύκολα να ολοκληρωθεί και να δώσει *

2z 2

ΔPu (r) r c4 L

(15)

Η σταθερά c2 προκύπτει από τη Σ.Σ. 2 (δηλ. από τη συνθήκη μη-ολίσθησης): για r=R, uz(R)=0. Οπότε * 2

2c ΔP R / 4 L και εύκολα καταλήγουμε στην Eξ. (16) που περιγράφει την κατανομή της ταχύτητας: 2* 2

zΔP R ru (r) 14 L R

(16)

Η Εξ. (16) δείχνει ότι η κατανομή της ταχύτητας για στρωτή, ασυμπίεστη ροή ενός νευτωνικού ρευστού σε έναν επιμήκη κυλινδρικό αγωγό είναι παραβολική, όπως παρουσιάζεται σχηματικά στο Σχήμα 4.2β.

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, από την Εξ. (16) μπορούν να προκύψουν διάφορα χρήσιμα μεγέθη, όπως: (1) Η μέγιστη ταχύτητα, που προφανώς συμβαίνει στο r=0, έχει την τιμή:


2* 2

zz,max

z,max

uΔP R ru και 14 L u R

(17)

(2) Η μέση ταχύτητα, zu , υπολογίζεται διαιρώντας τη συνολική ογκομετρική παροχή με το εμβαδόν

της διατομής, δηλ.:

Σχήμα 4.2β. Η κατανομή της ταχύτητας και της διατμητικής τάσης κατά τη ροή νευτωνικού ρευστού σε κατακόρυφο κυλινδρικό αγωγό.

2 R

z * 20 0

z z,max2 R

0 0

u (r)rdrdΔP R 1u u8 L 2

rdrd

(18)

(3) Η μαζική παροχή είναι το γινόμενο της ογκομετρικής παροχής επί την πυκνότητα του ρευστού:

* 4

2x

ΔP Rm u R8 L

(19)

Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί τη γνωστή σχέση Hagen-Poiseuille. Με τη βοήθεια αυτής της σχέσης μπορούμε να εκτιμήσουμε το (σχετικό) κινηματικό ιξώδες ενός υγρού μετρώντας τον χρόνο που απαιτείται να διέλθει συγκεκριμένος όγκος του υγρού διαμέσου ενός λεπτού γυάλινου σωληνίσκου (ιξωδόμετρο Ostwald ή τριχοειδές ιξωδόμετρο).

(4) Ορισμός αριθμού Reynolds της ροής στον σωλήνα: zu DRe

(20)

Πειραματικές μετρήσεις έχουν δείξει ότι οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν για στρωτή ροή, δηλ. για Re<~2100, αν και σε πολύ προσεκτικά πειράματα η ροή παραμένει στρωτή μέχρι και για Re=60000 !

Λύση με τη δεύτερη προσέγγιση Από την εξίσωση N-S στη διεύθυνση z σε κυλινδρικές συντεταγμένες έχουμε (Εξ. 5.15Ε του βιβλίου):

2 2 2z z z z z z z z

r z z 2 2 2 2

u u u u u u u u u1 P 1 1u u gt r r z z r rr r z

r

uz(r)

z

*

rz,maxΔP R2L


Σύμφωνα με την περιγραφή του προβλήματος και τις υποθέσεις που έγιναν μπορούν να απαλειφθούν οι περισσότεροι όροι της εξίσωσης N-S και να προκύψει η σχέση:

L 0z zz z

* *L z 0 z

rz rz rz

p -pdu duΔp 1 d 1 d0 r g 0 ( g ) rΔz r dr dr L r dr dr

(p - g L)-(p g 0) Δp Δp1 d 1 d dr r r rL r dr L r dr dr L

Δηλαδή, προκύπτει η Εξ. (12), οπότε ακολούθως προχωρούμε όπως και με την προηγούμενη προσέγγιση.

4.3. Αγωγή θερμότητας με εσωτερική παραγωγή θερμότητας

Σε αρκετά συστήματα υπάρχει ομοιόμορφη παραγωγή θερμότητας μέσα στο μέσο στο οποίο γίνεται μεταφορά θερμότητας με αγωγή. Τέτοια παραδείγματα είναι οι ηλεκτρικοί θερμαντήρες με αντίσταση, τα στοιχεία πυρηνικού καυσίμου, καθώς και τα συστήματα με ομοιόμορφη εξώθερμη χημική αντίδραση. Όπως μπορεί εύκολα να γίνει κατανοητό, η κατανομή της θερμοκρασίας μέσα στο μέσο θα είναι αρκετά διαφορετική από την περίπτωση που θα υπήρχε μόνο αγωγή. Στο παράδειγμα που ακολουθεί θα πραγματευτούμε τη μεταφορά θερμότητας με αγωγή σε μόνιμη κατάσταση σε μία κυλινδρική ηλεκτρική αντίσταση ή σε ένα τμήμα ηλεκτρικού καλωδίου.

Ας θεωρήσουμε χάλκινο ηλεκτρικό καλώδιο κυλινδρικού σχήματος, ακτίνας R και μήκους L, το οποίο διαρρέεται από ρεύμα έντασης I και παρουσιάζει ειδική ηλεκτρική αντίσταση ρe. Το καλώδιο θεωρείται ότι είναι επίμηκες, έτσι ώστε να έχουμε μεταφορά θερμότητας με αγωγή μόνο στην ακτινική διεύθυνση.

Αν οι φυσικές ιδιότητες ρ, cp και k παραμένουν σταθερές και η εξωτερική επιφάνεια του καλωδίου διατηρείται σε σταθερή θερμοκρασία Τo, να υπολο-γιστούν (σε μόνιμες συνθήκες): (α) Η κατανομή θερμοκρασίας στη διατομή του καλωδίου. (β) Η μέγιστη και η μέση θερμοκρασία στη διατομή. (γ) Η συνολική ροή θερμότητας από την εξωτερική επιφάνεια του καλωδίου. Στην ωμική αντίσταση, ο ρυθμός με τον οποίο παράγεται ισχύς δίνεται από τη σχέση: 2

G eE I R (σε W), όπου Ι είναι η ένταση του ρεύματος (σε Α) και Re (σε Ω, Ohms). Η αντίσταση του αγωγού είναι e eR L / S , όπου L είναι το μήκος του, S η διατομή του (πR2, σε m2) και ρe η ειδική ηλεκτρική αντίσταση του υλικού (σε Ω∙m). Ο ρυθμός παραγωγής θερμότητας στο ισοζύγιο ενέργειας αναφέρεται ανά όγκο. Επομένως:

2 2 2 2

3G e eG e2 2 2

E I R I L / R Iq σε W/m

V R L R L R

Σχήμα 4.3. Μεταφορά θερμότητας με αγωγό σε

επιμήκη κυλινδρικό καλώδιο με ταυτόχρονη παραγωγή θερμότητας

Από τη γεωμετρία του προβλήματος (επιμήκης κύλινδρος) και από τη συνοριακή συνθήκη που προκύπτει από τη συμμετρία ως προς τον άξονα του κυλίνδρου συνάγεται εύκολα ότι έχουμε μονοδιάστατη

T

z

L rrq r drrq

r R

d


μεταφορά κατά τη διεύθυνση r σε μόνιμες συνθήκες. Και σε αυτό το παράδειγμα θα λύσουμε το πρόβλημα και με τις δύο προσεγγίσεις.

Λύση με την πρώτη προσέγγιση Εφαρμόζουμε ένα ισοζύγιο ενέργειας σε ένα κυλινδρικό «κέλυφος» (shell) μήκους L και πάχους Δr. Με την απουσία του όρου της συσσώρευσης το ισοζύγιο ενέργειας στην κατεύθυνση r γράφεται ως:


Οι επιμέρους όροι στην παραπάνω σχέση είναι:

r rΕισροή θερμότητας στο r 2 rL q

r r+ΔrΕκροή θερμότητας από το r+Δr 2 rL q

GΠαραγωγή στο ΔV ΔV q

Αντικαθιστώντας τους παραπάνω όρους στην Εξ. (1) και διαιρώντας με το 2 Δr L λαμβάνουμε:

r r rr ΔrG

rq rqq r

Δr

[Προσοχή: η ειδική θερμορροή rq στο βιβλίο των Brodkey & Hersey συμβολίζεται ως r(q / A) .]

Για Δr 0 προκύπτει:

G 1r G r

q r cd rq q r qdr 2 r

(21)

Η σταθερά 1c υπολογίζεται από τη Σ.Σ. 1: rστο r 0, το q δεν μπορεί να γίνεται άπειρο (ισχύει

βεβαίως και η ισοδύναμη Σ.Σ. της συμμετρίας της θερμοκρασίας ως προς r=0), οπότε 1c 0 , και

Gr

q rq

2

(22)

Δηλαδή, η ειδική θερμορροή στη διεύθυνση r είναι ανάλογη της ακτίνας του κυλίνδρου. Για να βρούμε την κατανομή θερμοκρασίας στον κύλινδρο χρησιμοποιούμε τον νόμο του Fourier στη Εξ. (22), οπότε:

2G G

r 2q r q rdT dTq k k T(r) c

dr dr 2 4k

(23)

Από τη Σ.Σ. 2, όπου για r=R, Τ(R)=Τ0, συνάγεται ότι 2

G2 0

q Rc T

4k

, (24)

και η κατανομή της θερμοκρασίας δίνεται από τη σχέση 22

G0

q R rT(r) T 14k R

(25)

Δηλαδή, η κατανομή της θερμοκρασίας στον κύλινδρο είναι μία παραβολική συνάρτηση της απόστασης r από τον άξονα του κυλίνδρου.

Και σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να υπολογίσουμε διάφορα χρήσιμα μεγέθη, όπως: (1) Η μέγιστη θερμοκρασία παρατηρείται προφανώς στο r=0 και έχει την τιμή:


2

Gmax 0

q RT T

4k

(26)

(2) Η μέση θερμοκρασία στον κύλινδρο είναι:

2 R

0 2max 00 0 G

0 2 R

0 0

T(r) T rdrdT Tq R

T T8k 2

rdrd

(27)

(3) Η θερμορροή στην επιφάνεια για μήκος L:

2r Gr R r R

Q 2 RL q R Lq

(28)

Λύση με τη δεύτερη προσέγγιση Από το γενικό ισοζύγιο ενέργειας για κυλινδρικές συντεταγμένες (Εξ. 5.13Β του βιβλίου για σταθερό α) έχουμε:

2 2G

r z 2 2 2p

u qT T T T 1 T 1 T Tu u a rt r r z c r r r r z

(29)

Σύμφωνα με την περιγραφή του προβλήματος και τις υποθέσεις που έγιναν μπορούν να απαλειφθούν οι περισσότεροι όροι της εξίσωσης ενέργειας και να προκύψει η σχέση:

GG r G

p p

q k 1 d dT d dT dr 0 q r rk 0 rq rqc c r dr dr dr dr dr

(30)

Δηλαδή προκύπτει η Εξ. (21), οπότε ακολούθως προχωρούμε όπως και με την προηγούμενη προσέγγιση. Σημειώστε την «αναλογία» μεταξύ του παραπάνω παραδείγματος και της στρωτής ροής σε κυλινδρικό αγωγό. Όταν τα διάφορα μεγέθη τροποποιούνται κατάλληλα, οι διαφορικές εξισώσεις και οι συνοριακές συνθήκες είναι ταυτόσημες και οι φυσικές διεργασίες λέγονται ανάλογες. Έτσι μπορούμε να γράψουμε τις «αναλογίες» αυτών των δύο συστημάτων: Μεταφορά ορμής Μεταφορά θερμότητας Η πρώτη ολοκλήρωση δίνει: rz (r) rq (r)

Η δεύτερη ολοκλήρωση δίνει: zu (r) 0T(r) T

Συνοριακή συνθήκη 1, στο r=0: rz συγκεκριμένη τιμή rq συγκεκριμένη τιμή Συνοριακή συνθήκη 2, στο r=R: zu 0 0T T 0 Όρος παραγωγής: ΔP*/L Gq

4.4. Αγωγή θερμότητας με πηγή ιξώδους θερμότητας

Ας θεωρήσουμε τη ροή ενός ασυμπίεστου νευτωνικού υγρού που περιέχεται και υφίσταται διάτμηση ανάμεσα σε δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους (flow between two coaxial cylinders). Η ροή αυτή καλείται ροή Couette. Στη συγκεκριμένη περίπτωση που εξετάζουμε περιστρέφεται ο εξωτερικός κύλινδρος με γωνιακή ταχύτητα Ω (Σχήμα 4.4α), η οποία είναι σχετικά μικρή ώστε να έχουμε στρωτή ροή. [Στις λεγόμενες ιξωδομετρικές ροές (viscometric flows) μπορεί να περιστρέφεται ο εσωτερικός κύλινδρος.] Αν αγνοήσουμε τα φαινόμενα στα άκρα (δηλαδή αν οι κύλινδροι είναι αρκούντως επιμήκεις), τότε όλα τα


ροϊκά μεγέθη δεν εξαρτώνται από την αξονική διεύθυνση z. Επιπλέον, η ροή είναι συμμετρική από την περιστροφή γύρω από τον άξονα, δηλαδή οι μεταβλητές της ροής δεν εξαρτώνται και από τη διεύθυνση θ. Έτσι, απουσία ασταθειών ροής τόσο η αξονική όσο και η ακτινική ταχύτητα είναι μηδενικές, uz=ur=0, ενώ μόνο η εφαπτομενική ταχύτητα είναι διαφορετική από το 0 και εξαρτάται μόνο από το r, u u (r) . Η ταχύτητα αυτή

δίνεται προφανώς από τη σχέση: u r (r) (31)

όπου (r) είναι η τοπική ταχύτητα περιστροφής της

στιβάδας του υγρού σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής.

Η ροή ανάμεσα σε δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους συναντάται σε ποικίλες εφαρμογές, μερικές από τις οποίες είναι: (α) Λίπανση αξόνων που κινούνται γρήγορα (flow of lubricants) (β) Ιξωδομετρία (μέτρηση του ιξώδους ενός υγρού), με μέτρηση της ροπής για να κινηθεί για παράδειγμα

ο εσωτερικός κύλινδρος σε επαφή με το ρευστό (Σχήμα 4.4β). (γ) Ροή τηγμένων πολυμερών. Συχνά βεβαίως πολλά λιπαντικά και πολυμερή δεν είναι νευτωνικά, όποτε η ανάλυση της ροής αυτής καθίσταται πολυπλοκότερη.

Γενικά μπορούμε να αγνοήσουμε την παραγωγή θερμότητας λόγω της ροής από τη μετατροπή της κινητικής-μηχανικής ενέργειας σε θερμική ενέργεια με μη-αντιστρεπτό τρόπο. Όμως, σε πολλές περιπτώσεις (π.χ. για ρευστό με μεγάλο ιξώδες ή για μεγάλους ρυθμούς διάτμησης), καθώς ο εξωτερικός κύλινδρος περιστρέφεται, κάθε κυλινδρική στιβάδα (ή κέλυφος) ρευστού «τρίβει» τη διπλανή της στιβάδα παράγοντας θερμική ενέργεια, Gq ,

η οποία καλείται παραγωγή θερμότητας λόγω ιξώδους (ή σκέδαση θερμότητας, viscous dissipation). Πριν πραγματευτούμε το πρόβλημα της αγωγής θερμότητας με πηγή ιξώδους θερμότητας σε δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους θα επιχειρήσουμε να εξαγάγουμε τη σχέση που περιγράφει την κατανομή ταχύτητας στη ροή του Σχήματος 4.4α και θα απλουστεύσουμε αυτή τη σχέση για μικρό διάκενο. Από την εξίσωση Navier-Stokes σε κυλινδρικές συντεταγμένες για την αζιμουθιακή διεύθυνση (Πίνακας 5.7, Εξ. Ε στο βιβλίο του Brodkey) και λαμβάνοντας υπόψη ότι uz=ur=0 και

u u (r) προκύπτει

θd 1 d ru 0dr r dr

οπότε (32α)

2θ 1 θ 1

C1 d rru C u Cr dr 2 r

(32β)

Οι σταθερές C1 και C2 βρίσκονται από τις δύο συνοριακές συνθήκες μη-ολίσθησης: Σ.Σ. 1: στο o θ or R , u (R ) 0 Σ.Σ. 2: στο 1 θ 1 1r R , u (R ) ΩR

Σχήμα 4.4a. Ροή ανάμεσα σε δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους.

b

uθ=ΩR1

Ro

R1

T0 T1

Σχήμα 4.4β.

Ιξωδόμετρο Couette


Έτσι, οι δύο σταθερές είναι: 2o o

1 221

R R2ΩC = και C =- όπου λ=21-λ R

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σταθερές στην Εξ. (32β) και ύστερα από κάποιες πράξεις παίρνουμε την Εξ. (32γ) για την κατανομή της θu (r) :

2o

θ 2o

1

R1

ru (r) Ωr

R1

R

(32γ)

δηλ. η κατανομή της ταχύτητας είναι παραβολική. [Εκτενής πραγμάτευση του θέματος παρουσιάζεται στο Παράδειγμα 5.7 του βιβλίου.] Εάν το διάκενο b ανάμεσα στους δύο κυλίνδρους είναι πολύ μικρό συγκρινόμενο με την ακτίνα των κυλίνδρων, δηλ. εάν 1 o oR R b R , μπορούμε να γράψουμε για την ακτίνα του εξωτερικού κυλίνδρου 1 oR R b .

Παρόμοια, υποθέτοντας ότι o or R y R τότε or R y . Αντικαθιστώντας το R1 και το r στην εξ. (33α) μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι

θ 1 by yu (r) ΩR ub b

(32δ)

όπου b θ 1 1u u (R ) ΩR . Επομένως, για πολύ μικρό διάκενο η κατανομή της ταχύτητας είναι γραμμική. Ας θεωρήσουμε τώρα ότι οι επιφάνειες των κυλίνδρων διατηρούνται σε σταθερές θερμοκρασίες, Τ0 στον ακίνητο κύλινδρο και Τ1 στον εξωτερικό κύλινδρο που περιστρέφεται. Να υπολογιστούν σε μόνιμες συνθήκες: (α) Η κατανομή θερμοκρασίας στο υγρό. (β) Η μέγιστη θερμοκρασία που αναπτύσσεται. (γ) Ο αδιάστατος αριθμός που καθορίζει τη σοβαρότητα της υπερθέρμανσης.

Εάν στο Σχήμα 4.4α το διάκενο b είναι πολύ μικρότερο από τη ακτίνα R1 (b«R1), η γεωμετρία του συστήματος μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 4.4γ. Σε αυτήν την περίπτωση:

xy x x

uu 0, u u (y) 0x

(33α)

Όπως έχει συζητηθεί παραπάνω, η κατανομή της ταχύτητας είναι γραμμική και μπορεί να γραφεί ως

x b

x b

du uyu ub dy b

(33β)

όπου ub=ΩR1. O όρος της παραγωγής θερμότητας στην εξίσωση της θερμικής ενέργειας για διδιάστατη ροή (x, y) ενός νευτωνικού ρευστού είναι (BSL, Appendix B.7):

2 2 22y y yx x x

G

u u uu u u3q 2y x x y 2 x y

(34)

Οπότε, λαμβάνοντας υπόψη την Εξ. (33β) η παραπάνω σχέση απλοποιείται σε:

Σχήμα 4.4γ. Ροή ρευστού με μεγάλο ιξώδες ανάμεσα σε δύο πλάκες

b

ub=ΩR1

T0

T1 Τ(y) y

x


2 2x b

Guuq

y b

(35)

Αν χρησιμοποιήσουμε την ακριβή λύση για το πεδίο ταχυτήτων, ο υπολογισμός του ρυθμού παραγωγής

γίνεται περίπλοκος: 2

xG

uq f(r)

y

Από τη διαίσθησή μας αντιλαμβανόμαστε ότι η κατανομή της θερμοκρασίας μέσα στο διάκενο εξαρτάται μόνο από το y και ότι προφανώς το μέγιστο της θερμοκρασίας θα βρίσκεται στο εσωτερικό του διακένου. Και σε αυτή την περίπτωση εφαρμόζουμε ένα ισοζύγιο θερμότητας σε μία «φέτα» πάχους dy, όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 4.4δ. Για μόνιμη κατασταση ισχύει η Εξ. (1), η οποία γράφεται για τη συγκεκριμένη περίπτωση ως:

y y Gy y dyq W L q W L W L dy q 0

Διαιρώντας με το W L dy και για dy 0

λαμβάνουμε:

yG y G 1

dqq 0 q q y c

dy (36)

Εφαρμόζοντας τον νόμο του Fourier [ yq k(dT / dy) ] στην παραπάνω σχέση και ολοκληρώνοντας

ακόμη μία φορά έχουμε: 2

G1 2

yqT(y) c y ck 2

(37)

Οι σταθερές 1c και 2c υπολογίζονται από τις συνοριακές συνθήκες:

Σ.Σ. 1 στο y=0, T=T0 και Σ.Σ. 2 στο y=b, T=T1 και είναι:

2 0c T και G1 01

qT T bcb k 2

Επομένως, η κατανομή της θερμοκρασίας στο διάκενο είναι:

22

G0 1 0

y y yq bT T T Tb k 2 b b

(36α)

Μπορούμε να αδιαστατοποίησουμε την παραπάνω σχέση ως εξής:

0

1 0

T T y y y1 Br 1T T b 2 b b

(36β)

όπου Br είναι ο αριθμός Brinkman που εκφράζει το μέτρο της παραγόμενης θερμότητας λόγω του

ιξώδους. Ο αριθμός αυτός ορίζεται ως

2G

1 0

q bBr

k T T

, ενώ η φυσική του σημασία μπορεί να λεχθεί ότι

είναι:

Σχήμα 4.4δ. Ισοζύγιο θερμότητας σε φέτα πάχους dy.

L

W

y yq

y y dyq

y

x dy

W


22 b2b 22 2G

1 0 1 0 1 0

uu bWLb Παραγόμενη θερμότητα λόγω ιξώδουςbq b bBrΜεταφορά θερμότητας με αγωγήk T T k T T T T

k WLb

Για Br«1 η παραγωγή θερμότητας λόγω τριβής είναι αμελητέα, ενώ για Br>2 είναι σημαντική και η μέγιστη τιμή της θερμοκρασίας σημειώνεται στην κύρια μάζα του λιπαντικού. Εάν οι θερμοκρασία είναι ίδια στις δύο «πλάκες» (ή στους δύο κυλίνδρους), Τ0=Τ1, τότε η Σ.Σ. του μη-θερμοκρασιακού άλματος αντικαθίσταται από τη Σ.Σ. λόγω της συμμετρίας στο μέσο του διακένου. Η (παραβολική) κατανομή της θερμοκρασίας δίνεται από την Εξ. (37), ενώ η μέγιστη θερμοκρασία εμφανίζεται στο μέσο του διακένου:

20 b

0 0

T T u y y1 1T 2 kT b b

(37)

Τέλος, σημειώνεται ότι σε περίπτωση που η θερμοκρασία του λιπαντικού ανέλθει σημαντικά, η μεταβολή του ιξώδους του λόγω της θερμοκρασίας είναι σημαντική και θα πρέπει να ληφθεί υπόψη.

4.5. Διάχυση διαμέσου μεμβράνης - Μέτρηση διαχυτότητας με κελί διαφράγματος

Για τον προσδιορισμό της διαχυτότητας ενός δυαδικού μείγματος αερίων (ή και υγρών) έχουν προταθεί και χρησιμοποιηθεί πολυάριθμες τεχνικές. Μια από αυτές είναι η μέθοδος του κελιού διαφράγματος (cell diaphragm), της οποίας μία απλουστευμένη ανάλυση θα παρουσιαστεί παρακάτω. Αρχικά θα αναλύσουμε τη διάχυση ενός δυαδικού μίγματος διαμέσου μιας μεμβράνης σε μόνιμη κατάσταση.

Η διάχυση μέσω μιας λεπτής μεμβράνης είναι ιδιαίτερα σημαντική σε χημικά, βιομηχανικά (π.χ. στην επεξεργασία αποβλήτων) και σε βιολογικά συστήματα, καθώς και για τον διαχωρισμό αερίων. Οι διαχωρισμοί με μεμβράνες είναι φυσικές διεργασίες μεταφοράς μάζας και βασίζονται στην ιδιότητα μιας πορώδους ημιπερατής μεμβράνης να επιτρέπει την επιλεκτική διέλευση μιας ή περισσότερων ουσιών μέσα από τους πόρους της. Πρέπει εδώ να σημειωθεί ότι η διάχυση σε στερεά είναι πολύ αργή συγκρινόμενη με τη διάχυση σε αέρια και υγρά μέσα.

Αρχικά θα εξετάσουμε την περίπτωση όπου σε κάθε πλευρά της μεμβράνης (α και β), η οποία έχει

πάχος L, υπάρχει καλά αναμεμιγμένο, αραιό διάλυμα της διαλυμένης ουσίας 1 με a β1 1c c . Η διαλυμένη

ουσία 1 διαχέεται από τη σταθερή υψηλή συγκέντρωση της πλευράς α, a1c (για x≤0), στην πλευρά β με τη

μικρότερη (αλλά πάντα σταθερή) συγκέντρωση β1c (για x≥0), όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 4.4. Οι

συγκεντρώσεις του συστατικού 1 είναι πάντα σταθερές γιατί οι όγκοι στις πλευρές α και β είναι πολύ μεγαλύτεροι από τον όγκο της μεμβράνης. Λόγω της γεωμετρίας της μεμβράνης, μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα ισοζύγιο μάζας σε μία λεπτή «φέτα» της μεμβράνης, πάχους Δx, που βρίσκεται σε μία αυθαίρετη απόσταση x μέσα στη μεμβράνη:

Ρυθμός διάχυσης προς Ρυθμός διάχυσης από Συσσώρευση τηςτη "φέτα" στη θέση x τη "φέτα" στη θέση x+Δx διαλυμένης ουσίας 1


Θεωρώντας μόνιμες συνθήκες, το δεξιό μέλος της παραπάνω εξίσωσης απαλείφεται, ενώ ο ρυθμός διάχυσης ισούται με την ειδική γραμμομοριακή ροή του συστατικού 1 επί την επιφάνεια της μεμβράνης, Α, οπότε λαμβάνουμε:

* *

1 2x x ΔxA J J 0 (4.41)

Διαιρώντας την εξ. (4.41) με τον όγκο της φέτας, Α∙Δx , και για Δx 0 έχουμε τον ορισμό της πρώτης παραγώγου της ειδικής γραμμομοριακής ροής του συστατικού 1:

*1dJ

0dx

(4.42)

[Προσοχή: η ειδική γραμμομοριακή ροή στο βιβλίο

των Brodkey & Hersey συμβολίζεται ως *1(J / A) .]

Η παραπάνω σχέση δείχνει ότι η ειδική ροή του συστατικού 1 είναι σταθερή διαμέσου της μεμβράνης, λόγω της απουσίας συσσώρευσης. Συνδυάζοντας την Εξ. (4.42) με τον νόμο του Fick για σταθερή διαχυτότητα προκύπτει

2

112

d cD 0 c =κx+λ

dx (4.43)

Οι σταθερές κ και λ βρίσκονται εύκολα από τις δύο συνοριακές συνθήκες:

Σ.Σ. 1: στο x=0, a1 1c (0)=c

Σ.Σ. 2: στο x=L, β1 1c (L)=c (η οποία μπορεί να είναι και μηδέν)

Οπότε: β a

a 1 11

c -cλ=c και κ=

L (4.44)

Στην πραγματικότητα a1 1c (0)=Hc και β

1 1c (L)=Hc , όπου Η είναι ο συντελεστής κατανομής ανάμεσα στην αέρια

φάση και τη μεμβράνη (partition coefficient) και αποτελεί μια ιδιότητα ισορροπίας της μεμβράνης με το διαχεόμενο συστατικό.

Η κατανομή της συγκέντρωσης του συστατικού 1 μέσα στη μεμβράνη δίνεται από τη σχέση:

β a

a 1 11 1

c -cc (x)=c + x

L

(4.45)

η οποία είναι γραμμική ως προς το x, και η (σταθερή) ειδική ροή του συστατικού γράφεται ως

* a β1 1 1

DJ = c -cL

(4.46)

Σχήμα 4.5α. Διάχυση του συστατικού 1 μέσω μεμβράνης πάχους L

x L

c1b

c1a

Πλευρά α

Πλευρά. b

dx

Εμβαδόν Α


4.5.1 Κελί διαφράγματος Το κελί διαφράγματος αποτελείται από δύο θαλάμους, όγκων Vα και Vβ, που χωρίζονται από ένα διαπερατό διάφραγμα ή γυάλινο φίλτρο πάχους L και επιφάνειας εμβαδού Α, όπως σχηματικά απεικονίζεται στο Σχήμα 4.5β. Οι δύο θάλαμοι πληρώνονται με διαλύματα δύο ρευστών διαφορετικής σύστασης, τη διαχυτότητα των οποίων επιθυμούμε να προσδιορίσουμε. Οι αρχικές συγκεντρώσεις του συστατικού 1 στους δύο

χώρους είναι a1c (0) και β

1c (0) , με

μεγαλύτερη την a1c (0) , ενώ σε έναν από

τους δύο χώρους μπορεί η αρχική συγκέντρωση να είναι μηδενική. Σε τακτικά χρονικά διαστήματα γίνεται δειγματοληψία και μέτρηση της συγκέντρωσης σε κάθε ένα από τους δύο θαλάμους. (α) Να υπολογισθεί η χρονική εξέλιξη της

διαφοράς συγκέντρωσης a β1 1c (t)-c (t) .

(β) Να προταθεί κατάλληλη διαδικασία μέτρησης της διαχυτότητας. (γ) Να γίνει βαθμονόμηση του οργάνου. Η ακριβής λύση του προβλήματος (που αναπτύχθηκε από τον Barnes το 1934 - C. Barnes, Diffusion through a membrane, Physics, 5, pp. 4-8) είναι αρκετά περίπλοκη και ξεφεύγει από τους στόχους αυτού του μαθήματος. Αντίθετα, θα προσπαθήσουμε να συζητήσουμε μία «απλουστευμένη» λύση στο παραπάνω

πρόβλημα, η οποία βασίζεται στην υπόθεση ότι η ειδική ροή του συστατικού 1 (η *1J ) πολύ γρήγορα

προσεγγίζει την τιμή που λαμβάνει σε μόνιμες συνθήκες, ακόμη και αν οι συγκεντρώσεις του (1) στους δύο θαλάμους μεταβάλλονται με το χρόνο. Η ειδική αυτή ροή δίνεται από την Εξ. (4.46). (α) Γράφοντας τα συνολικά ισοζύγια μάζας (σε ψευδο-μόνιμες συνθήκες, δηλαδή για κάποιο μικρό χρονικό διάστημα dt η συγκέντρωση στους δύο θαλάμους δεν αλλάξει σημαντικά) σε κάθε θάλαμο και λαμβάνοντας υπόψη την Εξ. (4.46) έχουμε: Για το θάλαμο α (η μείωση της συγκέντρωσης στον όγκο Va οφείλεται στη διάχυση του συστατικού 1 μέσα από την μεμβράνη) :

aa * a β1

1 1 1dc D AV =-AJ =- c (t)-c (t)dt L

(4.48α)

Για το θάλαμο β:

ββ * a β1

1 1 1dc D AV =+AJ =+ c (t)-c (t)dt L

(4.48β)

Από τις Εξ. (4.48) και (4.49) προκύπτει με αφαίρεση:

a β

a β1 11 1a β

d(c -c ) D A 1 1= c -cdt L V V

(4.49)

Σχήμα 4.5β. Κελί διαφράγματος για τη μέτρηση της διαχυτότητας ενός δυαδικού μίγματος

x cb(t), Vb

ca(t), Va


Αν τεθεί a β

A 1 1b=L V V

, όπου b ουσιαστικά αποτελεί ουσιαστικά μία γεωμετρική σταθερά,

χαρακτηριστική του κελιού διαφράγματος που χρησιμοποιούμε, τότε η Εξ. (4.49) απλουστεύεται:

a β

a β1 11 1

d(c -c )=-Db c -c

dt (4.50)

Η παραπάνω διαφορική εξίσωση ολοκληρώνεται εύκολα με την αρχική συνθήκη ότι για t=0, a β a β1 1 1 1c -c c (0)-c (0) , οπότε λαμβάνουμε:

a β

-bDt1 1a β1 1

c (t)-c (t)=e

c (0)-c (0)

ή

a β a β1 1 1 1a β a β1 1 1 1

c (t)-c (t) c (0)-c (0)1 1D ln lnbt btc (0)-c (0) c (t)-c (t)

(4.51)

(β) Από τις μετρήσεις των συγκεντρώσεων στους δύο θαλάμους σε διάφορα χρονικά διαστήματα

σχηματίζουμε τη γραφική παράσταση του

a β1 1a β1 1

c (0)-c (0)ln

c (t)-c (t) ως συνάρτηση του χρόνου πολλαπλασιασμένη

με τη γεωμετρική σταθερά b. Η κλίση της γραμμής που προκύπτει μας δίνει την τιμή της διαχυτότητας. (γ) Γίνεται βαθμονόμηση του συστήματος με διάλυμα με γνωστή διαχυτότητα, κατά την οποία με την παραπάνω διαδικασία υπολογίζουμε τη γεωμετρική σταθερά b. Θα τελειώσουμε τη συζήτηση για το κελί διαφράγματος παραθέτοντας ορισμένα πιθανά λάθη στη μέτρηση της διαχυτότητας: (α) Η διαχυτότητα που μετράμε, D, είναι ουσιαστικά η ενεργός διαχυτότητα, Deff, όπως θα συζητηθεί και σε

επόμενο μάθημα, λόγω της στρεβλότητας (tortuosity) της μεμβράνης. Αρκετοί ερευνητές υποστηρίζουν ότι η στρεβλότητα αλλάζει με τη διαλυμένη ουσία, κάτι που δεν φαίνεται να επαληθεύεται πειραματικά. Συχνά, η επίδραση της στρεβλότητας υπεισέρχεται στην τιμή της b.

(β) Ο συνδυασμός της εξίσωσης της ειδικής ροής του συστατικού 1 σε μόνιμες συνθήκες με το ισοζύγιο μάζας σε μη-μόνιμες συνθήκες αποτελεί προφανώς αιτία για εσφαλμένη τιμή στη διαχυτότητα. Η υπόθεση αυτή δικαιολογείται από τη (σταθερή) μικρή μάζα της διαλυμένης ουσίας μέσα στη μεμβράνη.

bt

a β1 1a β1 1

c (0)-c (0)ln

c (t)-c (t)

3 One dimentional flo · (1) Όταν και τα δύο συστατικά του υγρού είναι πτητικά, η συγκέντρωση στη διεπιφάνεια καθορίζεται

Documents