40 3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN A méretezés, ellenőrzés célkitűzése: Annak elérése, hogy a szerkezet rendeltetésszerű használat esetén előírt ideig és előírt bizton- sággal elviselje az adott terhelést anélkül, hogy benne károsodás lépne fel. Statikus terhelés : a terhelés időben nem változik. Méretezés, ellenőrzés statikus terhelésnél: - Pontbeli jellemző alapján (feszültségcsúcsra). - Szerkezeti jellemző alapján (teherbírásra, alakváltozásra). 3.1. Méretezés, ellenőrzés feszültségcsúcsra Feszültségcsúcsra történő méretezés, ellenőrzés esetén a szerkezet veszélyes pontjában kiszá- mított, a tönkremenetelre jellemző redukált feszültséget hasonlítjuk össze azzal a megengedett feszültséggel, amelynél már károsodás lép fel. Károsodás: -maradó (képlékeny) alakváltozás, - törés, szakadás. Anyagszilárdsági jellemző: 0,2 p R - folyáshatár, m R - szakítószilárdság. Ezek az anyagszilárdsági jellemzők szakító kísérletekkel határozhatóak meg. a) Speciális eset: egytengelyű feszültségi állapot. A méretezés, ellenőrzés a következő egyenlőtlenség alapján történik: = , jell z meg n ahol n a biztonsági tényező, jell a károsodáshoz tartozó szilárdsági jellemző. Itt nincs probléma, mert csak egy főfeszültség koordináta nem nulla: 0. z A szilárdsági jellemzők is az egytengelyű feszültségi állapotra állnak rendelkezésre. Például: Húzás: Hajlítás: hx M y z F F y hx M z A feszültségi állapot: 0 0 0 0 0 0 0 0 z F . 0 0 0 0 0 0 0 0 z F . b) Általános eset: tetszőleges térbeli feszültségi állapot. x xy xz yx y yz zx zy z F Probléma : nem tudjuk, hogy melyik feszültség koordiná- tát hasonlítsuk össze a meg -tel!
41
Embed
3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN · A veszélyes keresztmetszet az, ahol legnagyobbak az igénybevételek. - A veszélyes keresztmetszeten a veszélyes pontok
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
40
3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN
A méretezés, ellenőrzés célkitűzése:
Annak elérése, hogy a szerkezet rendeltetésszerű használat esetén előírt ideig és előírt bizton-
sággal elviselje az adott terhelést anélkül, hogy benne károsodás lépne fel.
Statikus terhelés: a terhelés időben nem változik.
Méretezés, ellenőrzés statikus terhelésnél:
- Pontbeli jellemző alapján (feszültségcsúcsra).
- Szerkezeti jellemző alapján (teherbírásra, alakváltozásra).
3.1. Méretezés, ellenőrzés feszültségcsúcsra
Feszültségcsúcsra történő méretezés, ellenőrzés esetén a szerkezet veszélyes pontjában kiszá-
mított, a tönkremenetelre jellemző redukált feszültséget hasonlítjuk össze azzal a megengedett
feszültséggel, amelynél már károsodás lép fel.
Károsodás:
-maradó (képlékeny) alakváltozás,
- törés, szakadás.
Anyagszilárdsági jellemző:
0,2pR - folyáshatár,
mR - szakítószilárdság.
Ezek az anyagszilárdsági jellemzők szakító kísérletekkel határozhatóak meg.
a) Speciális eset: egytengelyű feszültségi állapot.
A méretezés, ellenőrzés a következő egyenlőtlenség alapján történik:
= ,jell
z megn
ahol n a biztonsági tényező,
jell a károsodáshoz tartozó szilárdsági jellemző.
Itt nincs probléma, mert csak egy főfeszültség koordináta nem nulla: 0 .z
A szilárdsági jellemzők is az egytengelyű feszültségi állapotra állnak rendelkezésre.
Például:
Húzás:
Hajlítás:
hxM
y
z
F F
y
hxM
z
A feszültségi állapot:
0 0 0
0 0 0
0 0 z
F
.
0 0 0
0 0 0
0 0 z
F
.
b) Általános eset: tetszőleges térbeli feszültségi állapot.
x xy xz
yx y yz
zx zy z
F
Probléma: nem tudjuk, hogy melyik feszültség koordiná-
Definíció: Olyan feszültség, amely a pontbeli feszültségi állapotot a károsodás szempont-
jából egyértelműen jellemzi.
A redukált feszültség bevezetésével a tetszőleges térbeli feszültségi állapotot egytengelyű
feszültségi állapotra vezetjük vissza. A redukált feszültség kiszámítására különböző elméle-
tek vannak.
A redukált feszültség meghatározására több elméletet is kidolgoztak. Az elméletek nem ál-
talános érvényűek, vannak olyanok, amelyek rideg anyagok és vannak olyanok, amelyek
alakítható anyagok esetén alkalmazhatók előnyösebben, azaz írják le a valósághoz közel-
állóbban a tönkremenetelt.
Rideg anyagok:
mR
Rideg anyag: nem képes képlékeny alakváltozásra.
A rugalmas alakváltozás után hirtelen (képlékeny
alakváltozás nélkül) törik/szakad el.
Például az öntött vas, kerámia, üveg, stb.
m BR az anyag szakítószilárdsága.
Coulomb1- elmélet: egy feszültségi állapot akkor nem okoz károsodást, ha a feszültségi
állapothoz tartozó legnagyobb normál feszültség kisebb az anyag
szakítószilárdságánál.
Főfeszültségek jelölése: 1 2 3 .
A pontban fellépő legnagyobb normálfeszültség: max 1 3max , .
A Coulomb-féle redukált feszültség: max 1 3max , .red Coulomb
Méretezés, ellenőrzés:
m( ) mred eg
RCoulomb
n , ahol n az előírt biztonsági tényező.
Alakítható anyagok
mR
0,2pR
Alakítható anyag: képlékeny alakváltozásra képes.
A törés csak a képlékeny alakváltozás után
következik be.
Például a fémek, acél, alumínium, stb.
0,2p FR az anyag folyáshatára.
Mohr2- elmélet: egy pontbeli feszültségi állapot akkor nem okoz károsodást, ha a fe-
szültségi állapothoz tartozó legnagyobb Mohr-kör átmérője kisebb,
mint a megengedett feszültség.
1 Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) francia fizikus és hadmérnök. 2 Christian Otto Mohr (1835-1918) német mérnök.
42
A Mohr-féle redukált feszültség: 1 3red Mohr .
Méretezés, ellenőrzés: m( )jell
red egMohrn
,
ahol jell az anyag tönkremenetelét jellemző szilárdsági érték.
Itt általában 0,2jell pR , vagy jell mR és n az előírt biztonsági tényező.
Huber3- Mises
4- Hencky
5- elmélet:
Két feszültségi állapot a károsodás szempontjából akkor azonosan veszélyes, ha a torzulási
alakváltozási energiájuk megegyezik:
1 2T Tu u .
A Huber-Mises-Hencky-féle elmélet szerinti redukált feszültség arányos az Tu torzulási
energiával.
2 22
1 2 2 3 3 1
1( ) 6
2red THMH G u
,
2 2 2 2 2 21
( ) 62
red x y y z z x xy yz xzHMH
.
Méretezés, ellenőrzés: m( )jell
red egHMHn
.
Itt 0,2jell pR , vagy jell mR és n az előírt biztonsági tényező.
A Mohr és a HMH szerint redukált feszültség csak kis mértékben tér el egymástól.
Általában: red HMH < red Mohr .
c) Méretezés, ellenőrzés általános gondolatmenete rúdszerkezetek esetén:
- A rúdszerkezet veszélyes keresztmetszetének megkeresése, meghatározása. A veszélyes
keresztmetszet az, ahol legnagyobbak az igénybevételek.
- A veszélyes keresztmetszeten a veszélyes pontok megkeresése, meghatározása. A veszé-
lyes pontok azok, ahol legnagyobb a red redukált feszültség.
- A veszélyes pontokban a méretezés, ellenőrzés elvégzése: max .red meg
3.2. Méretezés, ellenőrzés szerkezeti jellemzők alapján
A szerkezeti jellemzőre történő méretezés, ellenőrzés esetén nem egy pontbeli érték, hanem a
szerkezet egészére jellemző mennyiség figyelembevételével döntjük el, hogy a szerkezetet
mechanikai, szilárdságtani szempontból megfelelőnek tekintjük, vagy nem.
a) Méretezés, ellenőrzés teherbírásra:
3 Makszimillian Titus Huber (1872-1950) lengyel mérnök. 4 Richard Edler von Mises (1883-1953) osztrák mérnök. 5 Heinrich Hencky (1885-1951) német mérnök.
43
A teherbírásra történő méretezés, ellenőrzés esetén azt az állapotot tekintjük tönkremene-
telnek, amikor a szerkezet minden pontjában eléri a feszültség a folyáshatár értékét.
0,2pR
0,2pR
A teherbírásra történő méretezés, ellenőrzés kiinduló felté-
telezése, hogy:
- az anyag jól alakítható,
- az anyag lineárisan rugalmas, ideálisan képlékeny.
Az ábrán egy ilyen idealizált anyagmodell, a lineárisan
rugalmas, ideálisan képlékeny anyag szakító diagramja
A feszültségi tenzor (diadikus alakja): x x y y z zF e e e .
A térfogaton megoszló terhelés sűrűségvektora: x x y y z zq q e q e q e .
A skalár egyensúlyi egyenletek előállítása a DDKR-ben:
0x x y y z z x y ze e e e e e qx y z
,
0.yx z q
x y z
0
0 azegyensúlyi egyenletek skaláris alakja.
0
xyx xzx
yx y yz
y
zyzx zz
qx y z
qx y z
qx y z
b) A feszültségi tenzor szimmetriája:
6 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) német matematikus. 7 Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij (1801-1862) orosz matematikus. 8 William Rowan Hamilton (1805-1865) ír matematikus, fizikus és csillagász.
55
A második vektoregyenlet:
0 0M r q dV r F n dA
V A
.
Átalakítás a Gauss-Osztrogradszkij féle integrál átalakítási tétellel:
0 r q r F dV
V
.
Az r F kifejezés fölötti nyíl arra utal, hogy a nábla operátor erre a szorzatra hat.
Az integrálnak bármely V választása esetén el kell tünnie az integrandusz zérus.
A szorzat differenciálását elvégezve: 0
0
r q F r F
.
A második tag részletezése:
0x y z x x y y z z
r r rr F F e F e F e e e e
x y z
.
A feszültségi tenzor vektorinvariánsa: 1
2x x x y y z zF e e e .
Invariáns: koordináta-rendszertől független (koordináta transzformációval szemben válto-
zatlan, állandó).
Például az xF vektor x irányú koordinátája:
1
02
x x x x x y y x z z xF e e e e e e e
0 vegyesszorzat
0
0 .
y z z y
zy yz zy yz
e e
Ugyanezzel a gondolatmenettel elő lehet állítani az xF többi koordinátáját is:
, .xz zx xy yx
Ezzel bizonyítottuk, hogy az F feszültségi tenzor szimmetrikus.
Tétel: Minden szimmetrikus tenzor vektorinvariánsa zérus.
c) Az eredmények összefoglalása:
0 0 egyensúlyi egyenlet.F F q
0 0 a feszültségi tenzor szimmetrikus.T
M F F
Egyensúlyi egyenletek: kapcsolat a térfogati terhelés és a belső erőrendszer között.
Átalakítás: a Saint-Venant egyenlet + izotróp Hooke-törvény + egyensúlyi egyenletek
Beltrami11
- Michell12
-féle kompatibilitási egyenlet.
4.6.2. A Beltrami-Michell-féle kompatibilitási egyenlet
1
01 1
IF F q q q E
(tenzor egyenlet).
Laplace13
–féle differenciál operátor: 2 2 2
2 2 2x y z
.
A skalár egyenletek levezetése DDKR-ben:
2 2 2
2 2 2F F
x y z
,
yx zqq q
qx y z
,
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
x y x zxx
y x y z y x y zy
z z x z y z
,
yx z
yx zx y z
yx z
qq q
x x xxqq q
q q q qy y y y
qq q
z z z z
, T
q q .
11 Eugenio Beltrami (1835-1900) olasz matematikus. 12 John Henry Michell (1863-1940) ausztrál matematikus. 13 Pierre-Simon de Laplace (1749-1829) francia matematikus, csillagász és fizikus.
67
x x x
xy y y
y
z
z z z
q q q
x y zq
q q qq q
x y z x y zq
q q q
x y z
.
A skaláregyenleteket a kijelölt differenciálások elvégzésével kapjuk.
A feszültségi tenzor diagonális elemeihez kapcsolódó három skaláregyenlet:
2 2 2 2
2 2 2 2
12 0
1 1
yx x x x xI zqq qF q
x x y zx y z x
,
2 2 2 2
2 2 2 2
12 0
1 1
y y y y yxI zq qqF q
y x y zx y z y
,
2 2 2 2
2 2 2 2
12 0
1 1
yxz z z I z zqqF q q
z x y zx y z z
.
A feszültségi tenzor főátlón kívüli elemeihez kapcsolódó hat skaláregyenlet valójában csak
három különböző egyenlet a feszültségi tenzor szimmetriája miatt:
2 2 2 2
2 2 2
10
1
xy xy xy y xIq qF
x y x yx y z
,
2 2 2 2
2 2 2
10
1
xz xz xz xI z qF q
x z x zx y z
,
2 2 2 2
2 2 2
10
1
yz yz yz yI zqF q
y z z yx y z
.
4.7. Gyakorló feladatok a rugalmasságtani egyenletekre
4.7.1. feladat: Rugalmas test elmozdulási és alakváltozási állapota
Adott: A rugalmas test elmozdulási állapota az , ,u r u x y z függvénnyel, továbbá a test
P pontjának Pr helyvektora.
, , ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zu r u x y z u x y z e v x y z e w x y z e ,
/ ,u x y R / 2 ,2 2 2v x y z R /w yz R ,
10 m,R =0,25 , 4 2 5 mm.P x y zr e e e
Feladat: a) A , ,D x y z derivált, az , ,A x y z alakváltozási és a , ,x y z forgató tenzor
mátrixának meghatározása.
b) A P pontbeli alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása és szemléltetése az
elemi triéderen.
68
c) Az n fajlagos nyúlás és a mn fajlagos szögváltozás meghatározása, ha
0,5n x y
3e e e
2
és +0,5m x y
3e e e
2
.
Kidolgozás:
a) A , ,D x y z derivált, az , ,A x y z alakváltozási és a , ,x y z forgató tenzor mátrixá-
nak meghatározása:
Az elmozdulásmező derivált tenzora:
x x y y z z x y z
u u uD u e u e u e e e e u
x y z
.
0
1
1 10
u u uy x
x y z R R
v v vD x y z
x y z R R R
w w w z yR Rx y z
- nem szimmetrikus tenzor.
A derivált tenzor a P(x,y,z) pont elemi környezetének relatív, fajlagos elmozdulási állapo-
tát jellemzi.
Az alakváltozási tenzor:
1 1
2 2
TA D D u u (a derivált tenzor szimmetrikus része).
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
x xy xz
yx y yz
zx zy z
A
1 1
2 2
1 1,
2 2
1 1
2 2
u v u w u
x x y x z
u v v w v
y x y y z
u w v w w
z x z y z
0 0
0 0
10 0
yR
A yR
yR
.
Az alakváltozási tenzor a P(x,y,z) pont elemi környezetének alakváltozását jellemzi.
A forgató tenzor:
1 1
2 2
TD D u u (a derivált tenzor ferde szimmetrikus része).
69
1 10
2 2
1 10
2 2
1 10
2 2
u v u w
y x z x
v u v w
x y z y
w u w v
x z y z
0 0
10
10 0
xR
x zR R
zR
A forgató tenzor a P(x,y,z) pont elemi környezetének merevtestszerű szögelfordulását jel-
lemzi.
b) A P pontbeli alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása és szemléltetése az elemi
triéderen:
0,25
0,002 0,5 1010
4x y
R
, 0
yx
xy yxG
,
0,25
0,002 0,5 1010
4y y
R
, 0
yz
yz zyG
,
1 1
0,002 2 1010
4z y
R , 0xz
xz zxG
.
-4
0,5 0 0
0 0,5 0 10 .
0 0 -2
x xy xz
P yx y yz
zx zy z
1 1
2 2
1 1A
2 2
1 1
2 2
xe
P
ye
ze
2410
0,5
0,5
c) Az n fajlagos nyúlás és a mn fajlagos szögváltozás meghatározása: