Mechanika je veda, ktorá sa zaoberá zmenou vzájomnej polohy telies ako celkov, alebo ich častí, ktoré sa prejavujú ako mechanický pohyb a zaoberá sa aj príčinami vzniku pohybu. Newtonova mechanika je považovaná za klasickú mechaniku. Mechanika sa rozdeľuje na mechaniku pevných telies, mechaniku kvapalín a mechaniku plynov (geomechanika, hydromechanika a aeromechanika).Z hľadiska hodnotenia pohybu sa mechanika rozdeľuje na statiku, kinematiku a dynamiku. Statika sa zaoberá rovnováhou telies. Kinematika sa zaoberá štúdiom pohybu, ale neskúma jeho príčiny. Dynamika sa zaoberá štúdiom príčin pohybu. Mechanickým pohybom telesa rozumieme proces, pri ktorom sa mení poloha telesa vzhľadom na iné teleso resp. na vzťažný bod. Vzťažný bod – je bod, vzhľadom na ktorý vzťahujeme polohu telesa. Typickým vzťažným bodom je začiatok súradnicovej sústavy. Pri teoretickom štúdiu mechanického pohybu často krát zjednodušujeme charakter pohybujúceho sa telesa a zavádzame abstraktný pojem – hmotný bod. Hmotný bod – je idealizáciou skutočnosti a rozumieme ním teleso, ktorého rozmery možno vzhľadom na ostatné rozmery pri študovanom pohybe zanedbať. Z hľadiska vzájomného pôsobenia s inými hmotnými bodmi má vlastnosti reálneho telesa, ale sú u neho zanedbané znaky dĺžkovej, priestorovej orientácie, tvaru a všetkých ostatných kvalít, ktoré sa pri vyšetrovaní mechanického pohybu neprejavujú. Napríklad pri pohybe Zeme okolo Slnka možno považovať Zem za hmotný bod, pretože polomer Zeme je zanedbateľne malý vzhľadom k vzdialenosti medzi Slnkom a Zemou. Záleží však na presnosti akú chceme pri vyšetrovaní pohybu dosiahnuť, a na úlohe, ktorú máme riešiť, kedy môžeme pohybujúce sa teleso nahradiť hmotným bodom. Trajektória – je geometrická čiara, ktorú opíše teleso resp. hmotný bod pri svojom pohybe. Dráha (označenie s) – predstavuje dĺžku trajektórie a spravidla sa uvádza v metroch. 3.1 Kinematika hmotného bodu Kinematika sa zaoberá charakteristikou pohybu, pričom popisuje jednotlivé druhy pohybov pomocou fyzikálnych veličín ako sú dráha, rýchlosť a zrýchlenie. 3.1.1 Druhy pohybu Pohyb telesa je charakterizovaný sústavou dráh jeho jednotlivých bodov, ktoré sa ale môžu líšiť. Pohyb telesa je možný len pomocou dráh jeho bodov. Namiesto toho aby sme hovorili o geometrických bodoch, čo by k popisu pohybu stačilo, horíme o hmotných bodoch, ktoré zohľadňujú aj vzájomné pôsobenie telies, teda príčinu pohybu. 3 Mechanika a mechanický pohyb
18
Embed
3 Mechanika a mechanický pohybdl.slpk.sk/fyzika1/docs/kapitola3.pdf · 2019. 12. 4. · Pohyb telesa je možný len pomocou dráh jeho bodov. Namiesto toho aby sme hovorili o geometrických
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Mechanika je veda, ktorá sa zaoberá zmenou vzájomnej polohy telies ako celkov, alebo ich
častí, ktoré sa prejavujú ako mechanický pohyb a zaoberá sa aj príčinami vzniku pohybu.
Newtonova mechanika je považovaná za klasickú mechaniku. Mechanika sa rozdeľuje na
mechaniku pevných telies, mechaniku kvapalín a mechaniku plynov (geomechanika,
hydromechanika a aeromechanika).Z hľadiska hodnotenia pohybu sa mechanika rozdeľuje na
statiku, kinematiku a dynamiku. Statika sa zaoberá rovnováhou telies. Kinematika sa zaoberá
štúdiom pohybu, ale neskúma jeho príčiny. Dynamika sa zaoberá štúdiom príčin pohybu.
Mechanickým pohybom telesa rozumieme proces, pri ktorom sa mení poloha telesa vzhľadom
na iné teleso resp. na vzťažný bod.
Vzťažný bod – je bod, vzhľadom na ktorý vzťahujeme polohu telesa. Typickým
vzťažným bodom je začiatok súradnicovej sústavy.
Pri teoretickom štúdiu mechanického pohybu často krát zjednodušujeme charakter
pohybujúceho sa telesa a zavádzame abstraktný pojem – hmotný bod.
Hmotný bod – je idealizáciou skutočnosti a rozumieme ním teleso, ktorého rozmery
možno vzhľadom na ostatné rozmery pri študovanom pohybe zanedbať. Z hľadiska
vzájomného pôsobenia s inými hmotnými bodmi má vlastnosti reálneho telesa, ale sú
u neho zanedbané znaky dĺžkovej, priestorovej orientácie, tvaru a všetkých ostatných
kvalít, ktoré sa pri vyšetrovaní mechanického pohybu neprejavujú. Napríklad pri
pohybe Zeme okolo Slnka možno považovať Zem za hmotný bod, pretože polomer
Zeme je zanedbateľne malý vzhľadom k vzdialenosti medzi Slnkom a Zemou. Záleží
však na presnosti akú chceme pri vyšetrovaní pohybu dosiahnuť, a na úlohe, ktorú
máme riešiť, kedy môžeme pohybujúce sa teleso nahradiť hmotným bodom.
Trajektória – je geometrická čiara, ktorú opíše teleso resp. hmotný bod pri svojom
pohybe.
Dráha (označenie s) – predstavuje dĺžku trajektórie a spravidla sa uvádza v metroch.
3.1 Kinematika hmotného bodu
Kinematika sa zaoberá charakteristikou pohybu, pričom popisuje jednotlivé druhy pohybov
pomocou fyzikálnych veličín ako sú dráha, rýchlosť a zrýchlenie.
3.1.1 Druhy pohybu
Pohyb telesa je charakterizovaný sústavou dráh jeho jednotlivých bodov, ktoré sa ale môžu
líšiť. Pohyb telesa je možný len pomocou dráh jeho bodov. Namiesto toho aby sme hovorili
o geometrických bodoch, čo by k popisu pohybu stačilo, horíme o hmotných bodoch, ktoré
zohľadňujú aj vzájomné pôsobenie telies, teda príčinu pohybu.
3 Mechanika a mechanický pohyb
Pohyby delíme podľa viacerých kritérií:
c) Podľa tvaru trajektórie
Priamočiary – trajektóriou je priamka.
Krivočiary – trajektóriou je krivka. Špeciálnym prípadom krivočiareho pohybu je
pohyb po kružnici.
d) Podľa povahy rýchlosti pohybu
Rovnomerný – teleso prejde za rovnaký čas rovnakú dráhu a rýchlosť pohybu je
konštantná.
Nerovnomerný – rýchlosť pohybu telesa sa v čase mení. Môžu však nastať dva
prípady:
- Rýchlosť telesa sa mení v čase rovnomerne (rýchlosť v čase rovnomerne
rastie resp. klesá), pohyb sa potom nazýva rovnomerne zrýchlený resp.
rovnomerne spomalený.
- Rýchlosť telesa sa mení v čase nerovnomerne.
3.2 Poloha hmotného bodu
Polohu hmotného bodu vzhľadom na vzťažný bod určuje polohový vektor 𝑟. Pri
mechanickom pohybe hmotného bodu sa mení jeho poloha vzhľadom na vzťažný bod.
Problematika určenia polohy hmotného bodu vzhľadom na vzťažný bod má preto pri popise
pohybového stavu hmotného bodu prvoradý význam.
3.2.1 Polohový vektor
Poloha hmotného bodu M vzhľadom na od O je určená polohovým vektorom 𝑟, ktorého
začiatok je v bode O a koncovým bodom je M (viď. obr. 4, 5). Ak súradnice bodu M
označíme ako x, y, z a jednotkové vektory v smere jednotlivých súradnicových osí označíme
𝑖, 𝑗, 𝑘 , kde 𝑖 je jednotkový vektor v smere osi x-ovej, 𝑗 - je jednotkový vektor v smere osi y-
ovej a �� je jednotkový vektor v smere osi z-ovej, tak polohový vektor r
vieme vyjadriť ako
lineárnu kombináciu súradníc x, y, z a jednotkových vektorov v smere jednotlivých
súradnicových osí nasledovne:
Obrázok 4 Znázornenie jednotkových vektorov v smere súradnicových osí
�� = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧��
Pre jednotkové vektory v smere jednotlivých súradnicových osí platí:
|𝑖| = |𝑗| = |��| = 1
Obrázok 5 Znázornenie polohy hmotného bodu M v súradnicovej sústave
Pre veľkosť polohového vektora potom platí:
|𝑟| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Poloha hmotného bodu sa posudzuje vždy vzhľadom na vzťažný bod. Orientáciu polohového
vektora môžeme zadefinovať aj pomocou smerových kosínusov Obr.6,
Obrázok 6 Stanovenie smerových kosínusov
ktoré sa často využívajú v technickej praxi pri stanovení polohy telesa v priestore. Smerové
kosínusy sú dané vzťahmi:
cos 𝛼 = 𝑥
|𝑟|=
𝑥
√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 ;
cos 𝛽 = 𝑦
|𝑟|=
𝑦
√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 ;
cos 𝛾 = 𝑧
|𝑟|=
𝑧
√𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 .
3.3 Okamžitá rýchlosť hmotného bodu
Pohyb bodu bude úplne popísaný, keď poznáme pre každý čas t jeho polohu, teda keď sú dané
súradnice pohybu bodu ako spojité funkcie času:
x = x(t), y = y (t), z = z(t) a 𝑟 = 𝑟 (𝑡).
Pri popise pohybu pomocou kinematiky sa ku trom premenným súradniciam x, y a z, teda
k polohovému vektoru 𝑟, ktoré určujú polohu telesa alebo hmotného bodu vzhľadom
k zvolenej súradnicovej sústave, pristupuje ďalšia premenná čas t. Ak bol hmotný bod v čase
t1 v polohe B a v čase t2 v polohe C (Obr. 7), potom prešiel za čas t = t2 - t1 istú, vo
všeobecnosti krivočiaru dráhu, ktorej dĺžka meraná pozdĺž dráhy s je daná vzťahom s = s2 -
s1, pričom s2 a s1 sú vzdialenosti bodov B a C od ľubovoľného bodu A na dráhe merané
pozdĺž dráhy.
Obrázok 7 Pohyb hmotného bodu
Potom vzťah:
𝑣12 = 𝑠2− 𝑠1
𝑡2− 𝑡1=
∆ 𝑠
∆ 𝑡 ,
určuje strednú rýchlosť bodu medzi polohami B a C (Obr. 7).
Obrázok 8 Stredná rýchlosť hmotného bodu
Podiel ∆𝑠
∆𝑡 geometricky udáva smernicu dotyčnice (Obr. 8),
Obrázok 9 Smernica dotyčnice k dráhe s
k funkcii dráhy s(t), pričom platí:
tg 𝛼 = ∆𝑠
∆𝑡
Ak zmenšujeme interval t, zmenšuje sa aj interval s, takže poloha bodu C sa blíži polohe
bodu B, až sa dĺžka s zmenší takmer na nulu, teda do jediného bodu, medznej hodnoty, t. j.
v matematickej terminológii do limity, a v tomto okamihu sa pomer dráhy a času transformuje
do hodnoty okamžitej rýchlosti hmotného bodu v čase t:
𝑣 = lim𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
Matematicky túto časovú zmenu nazývane deriváciou dráhy podľa času a môžeme ju napísať
v tvare:
𝑣 = 𝑑𝑠
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑠(𝑡) = �� [
𝑚
𝑠]
Zmena polohového vektora 𝑟 má takmer takú istú veľkosť ako s, 𝑟 = s (Obr. X1).
Úplne totožné budú až v okamihu, keď dráha bude limitne zmenšená do jediného bodu, čo sa
uskutoční práve deriváciou dráhy podľa času. Pomocou vektora môžeme stanoviť aj smerovú
orientáciu hmotného bodu v priestore alebo smer pohybu hmotného bodu v priestore.
Zadefinujeme preto jednotkový vektor polohového vektora 𝑟0, ktorý môžeme potom
zovšeobecniť pre vektor ľubovoľnej fyzikálnej veličiny:
𝑟0 = 𝑟
𝑟=
𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧��
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Takže potom platí:
𝑟 = 𝑟. 𝑟0
∆𝑟 = ∆𝑠. 𝑟0 = ∆𝑟. 𝑟0
𝑑𝑟 = 𝑑𝑠. 𝑟0 = 𝑑𝑟. 𝑟0 A pre rýchlosť platí:
𝑣 = 𝑣. 𝑟0 = 𝑑𝑠
𝑑𝑡 𝑟0 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
V praxi podľa Krempaského (1982) nás často zaujíma, ako rýchlo sa hmotný bod pohybuje,
a preto zavádzame pojem rýchlosti. Pojem rýchlosti reprezentuje dráhu vykonanú za jednotku
času. Tým však definujeme iba veľkosť rýchlosti. Ak chceme, aby rýchlosť vyjadrovala aj
smer pohybu, musíme ju zaviesť ako vektor, ktorého smer je určený v každom okamihu
smerom dotyčnice. Uvedeným požiadavkám vyhovuje definícia okamžitej rýchlosti vyjadrená
vzťahom:
�� = lim∆𝑡→0
∆��
∆𝑡=
𝑑��
𝑑𝑡
Vektor rýchlosti je teda definovaný ako derivácia polohového vektora podľa času. Polohový
vektor derivujeme podľa času tak, že derivujeme jeho jednotlivé súradnice podľa času
a získavame vyjadrenia jednotlivých zložiek rýchlosti vx, vy, vz.
�� =𝑑��
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧��)
�� =𝑑𝑥
𝑑𝑡𝑖 +
𝑑𝑦
𝑑𝑡𝑗 +
𝑑𝑧
𝑑𝑡��
�� = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧 ��
Vektor okamžitej rýchlosti (ďalej v texte pomenovaný iba ako rýchlosť) bude mať v
trojrozmernej súradnicovej sústave tri zložky: vx je x-ová zložka rýchlosti resp. rýchlosť
v smere osi x-ovej, vy je y-ová zložka rýchlosti resp. rýchlosť v smere osi y-ovej, vz je z-ová
zložka rýchlosti resp. rýchlosť v smere osi z-ovej. Veľkosť vektora rýchlosti zyx vvvv ,,
potom vyjadríme vzťahom:
|𝑣| = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦
2 + 𝑣𝑧2
Pre smerové kosínusy vektora rýchlosti platí:
cos 𝛼 = 𝑣𝑥
|��|; cos 𝛽 =
𝑣𝑦
|��|; cos 𝛾 =
𝑣𝑧
|��|
Jednotkou rýchlosti v SI sústave je 1. sm .
3.4 Okamžité zrýchlenie hmotného bodu
Rýchlosť definovaná vzťahom v predchádzajúcom texte sa môže v priebehu pohybu meniť.
Môže sa meniť jej veľkosť a môže sa meniť jej smer, alebo veľkosť a smer súčasne. Ak mení
rýchlosť smere vznikne krivočiary pohyb. Krivočiary pohyb je vždy pohyb so zrýchlením
(Obr. 10). V každom prípade veľkosť zmeny rýchlosti za v čase resp. za jednotku času určuje
zrýchlenie, ktoré vo vektorovom tvare definujeme nasledovne:
�� = lim∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡=
𝑑��
𝑑𝑡=
𝑑2��
𝑑𝑡2
Vektor zrýchlenia je teda definovaný ako derivácia vektora rýchlosti podľa času resp. ako
druhá derivácia polohového vektora podľa času. Vektor rýchlosti derivujeme podľa času tak,
že derivujeme jeho jednotlivé súradnice podľa času a získavame vyjadrenia jednotlivých
zložiek zrýchlenia ax, ay, az k analogickému vyjadreniu zložiek vektora zrýchlenia cez
súradnice sa dostaneme k druhej alternatíve definície zrýchlenia.
Obrázok 10 Zmena vektora rýchlosti pri krivočiarom pohybe
Pre úplnosť uvádzame oba postupy odvodenia:
�� =𝑑��
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡(𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧��)
�� =𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡+
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡𝑖 +
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡��
�� = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧��
�� =𝑑2��
𝑑𝑡2 =𝑑2
𝑑𝑡2 (𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 + 𝑣𝑧 ��)
�� =𝑑2𝑥
𝑑𝑡2𝑖 +
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2𝑗 +
𝑑2𝑧
𝑑𝑡2��
�� = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧��
Vektor okamžitého zrýchlenia (ďalej v texte pomenovaný iba ako zrýchlenie) bude mať v
trojrozmernej súradnicovej sústave tri zložky: ax je x-ová zložka zrýchlenia resp. zrýchlenie
v smere osi x-ovej, ay je y-ová zložka zrýchlenia resp. zrýchlenie v smere osi y-ovej, az je
z-ová zložka zrýchlenia resp. zrýchlenie v smere osi z-ovej. Veľkosť vektora zrýchlenia
�� = (𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧) potom vyjadríme vzťahom:
|𝑎| = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦
2 + 𝑎𝑧2
Pre smerové kosínusy vektora zrýchlenia platí:
cos 𝛼 = 𝑎𝑥
|��|; cos 𝛽 =
𝑎𝑦
|��|; cos 𝛾 =
𝑎𝑧
|��|
Podľa vyššie uvedenej definície je jednotkou zrýchlenia v SI sústave 2. sm .
3.5 Priemerná rýchlosť
Ak teleso prejde jednotlivé úseky celkovej dráhy za rôzne časové intervaly tzn. mení svoju
rýchlosť, tak má najmä praktický význam zaviesť pojem priemerná rýchlosť. Priemernú
rýchlosť vo všeobecnosti definujeme ako podiel celkovej dráhy, ktorú teleso prejde
a celkového času t.j. doby trvania pohybu (Obr. 11). Vždy však musíme vziať do úvahy,
akým spôsobom sa menili jednotlivé charakteristiky pohybu najmä dráha a čas. Pre priemernú
rýchlosť môžeme podľa obrázku 11 napísať:
celkový
celkováp
t
sv resp.
n
n
celkový
celkováp
ttt
sss
t
sv
...
...
21
21
Obrázok 11 Pohyb formule F1 po závodnom okruhu
Poznámka: Priemernú rýchlosť nepočítame ako aritmetický priemer rýchlostí, ktorými sa
teleso pohybovalo, ale existuje špeciálny prípad, keď časy pripadajúce na dráhu prejdenú sú
rovnaké
3.6 Priamočiary pohyb
V tejto kapitole popíšeme rovnomerný, rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb a špeciálne