3 : Khả vi và Vi phân

§3 : Khả vi và Vi phân

Hàm 2 biến f(x,y) xác định trong lân cận của (x0,y0)

được gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu số gia

Δf = f(x0+ Δx,y0+ Δy) – f(x0,y0)

viết được dưới dạng:

trong đó A, B là hằng số và α, β →0 khi Δx, Δy →0 .

Δf = A.Δx + B.Δy + α.Δx + β.Δy

Khi ấy, đại lượng: A.Δx + B.Δy được gọi là vi phân

của hàm f(x,y) tại (x0,y0) và kí hiệu là :

df (x0,y0) = A.Δx + B.Δy


Định lý 1: Hàm khả vi tại (x0,y0) thì liên tục tại đó

Định lý 2: (Điều kiện cần khả vi) Nếu hàm f(x,y) khải

vi tại (x0,y0) thì nó có các đạo hàm riêng theo x, y tại

(x0,y0) và tương ứng bằng A, B trong định nghĩa vi

phân.

Định lý 3: (Điều kiện đủ khả vi) Cho f(x,y) xác định

trong miền mở chứa (x0,y0) và các đạo hàm riêng

liên tục tại (x0,y0) thì hàm khả vi tại (x0,y0)


Từ 2 định lý 2 và 3, ta có công thức vi phân

0 0 0 0 0 0, , . , .f f

df x y x y dx x y dyx y

Mặt cong z=f(x,y)

Tiếp diện

Phương trình

tiếp diện của

mặt cong

z=f(x,y) tại điểm

(a,b,f(a,b)) là:

, ( , )z f a b dz a b

f , , . , .x y

a b f a b x a f a b y b


Ví dụ: Cho hàm f(x,y) = 2x2y – 3xy2. Tính df(2,-1)

Giải:

Tính đạo hàm riêng 2 24 3 , 2 6x yf xy y f x xy

Thay vào công thức vi phân df(2,-1) = -11dx + 20dy

Ví dụ : Tính vi phân hàm f(x,y,z) = (xy)z

Tương tự như hàm 2 biến, ta có vi phân hàm 3 biến

x y zdf f dx f dy f dz

1 1 ( ) ln( )z z z z zdf zx y dx zx y dy xy xy dz

Nên ta được


Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1

( ) ( )x yd f dx d f dy 2 ( ) ( )x yd f d df d f dx f dy ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))x x y yd f dx f d dx d f dy f d dy

2 22xx xy yyf dx f dxdy f dy

Hay ta viết dưới dạng2 2 2

2 2 2

2 22

f f fd f dx dxdy dy

x x y y

Vậy ta viết dưới dạng quy ước sau

2

2d f dx dy fx y

df dx dy fx y


3

3

3 2 2 33 3xxx xxy xyy yyy

d f dx dy fx y

f dx f dx dy f dxdy f dy

Vi phân cấp 2 của hàm 3 biến f(x,y,z)

2

2

2 2 2

( , , )

2 2 2xx yy zz xy yz zx

d f x y z dx dy dz fx y z

f dx f dy f dz f dxdy f dydz f dzdx

Tổng quát cho hàm 3 biến và cho vi phân cấp 3

Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y)


Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xy2 – 2yz2 + ex+y+z.

Tính df, d2f

Giải

Sử dụng công thức vi phân:

x y zdf f dx f dy f dz

df = (y2+ex+y+z)dx+(2xy–2z2+ex+y+z)dy+(-4yz + ex+y+z)dz

d2f=ex+y+zdx2+(2x+ex+y+z)dy2+ (-4y+ex+y+z) dz2 +

2(2y+ex+y+z)dxdy+2(-4z+ex+y+z)dydz + 2(ex+y+z)dzdx

2 2 2 2 2 2 2xx yy zz xy yz zxd f f dx f dy f dz f dxdy f dydz f dzdx

§4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp

Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp

Định lý : Cho hàm z = z(x,y) khả vi trong miền D; x, ylà các hàm theo biến t: x=x(t), y=y(t) khả vi trong khoảng (t1,t2), khi ấy hàm hợp z = z(x(t),y(t)) (hàm 1 biến z=z(t)) cũng khả vi trong khoảng (t1,t2) và

dz z dx z dy

dt x dt y dt

Chứng minh: Từ định nghĩa vi phân:

. .z z

z x y x yx y

, suy ra

. .z z x z y x y

t x t y t t t


Ví dụ : Cho hàm z = x2-3xy, x = 2t+1, y= t2-3. Tính dz

dt

Giải: dz z dx z dy

dt x dt y dt

=(2x – 3y)2 + (-3x)2t

Khi : 0t

0

0

x x t t x t

y y t t y t

Vậy:

0limt

dz z

dt t

0 0 0 0 0 0lim lim lim . lim lim . limt t t t t t

z x z y x y

x t y t t t

z dx z dy

x dt y dt

0

0


Tổng quát hơn:

Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàm

hợp của 2 biến u, v. Ta có công thức tương tự:

z z x z y

u x u y u

z z x z y

v x v y v

Ta có thể tổng quát

bằng sơ đồ sau :

z z

y

z

x

x yx

u

x

v

u v u v

y

u

y

v

Cần tính đạo hàm của z

theo biến nào ta đi theo

đường đến biến đó


Ví dụ : Cho hàm z = xey, trong đó x=cosu+sinv,

y=u2+v2. Tính ,

z z

u v

Giải: Ta sử dụng công thức trên để tính

. . ( sin ) .2y yz z x z ye u xe u

u x u y u

. . (cos ) .2y yz z x z ye v xe v

v x v y v

Chú ý: Có thể tính đạo hàm trên bằng cách thay x, y

theo u, v vào biểu thức của hàm z rồi tính đạo hàm

riêng thông thường. Tuy nhiên, việc sử dụng công

thức đạo hàm hàm hợp (nói chung) sẽ cho ta kết quả

nhanh hơn


Ví dụ: Cho hàm z = y.f(x2-y2). Tính ,x yz z

Giải:

Ta đặt t = x2-y2, thì f là hàm theo 1 biến t: z=y.f

Áp dụng công thức:

, z”xy

( ) (2 . ( ))xy x y y

z z xy f t

2 . ( ) 2 . ( ).y

x f t xy f t t 22 . 4 .x f xy f

. .x

zy f t

x

. .2y f x . .y

zf y f t

y

. .( 2 )f y f y


Giải: 2 1 2(2 ) ( 2 )2v

u x u y uz z x z y xy y vu x xy u

2 1 2 1 2(2 ) (2 )( ) ( 2 ) 2v v

uv v v vz xy y vu xy y vu x xy u

Ví dụ: Cho hàm z = x2y - xy2, x = uv, y =u2 - v2.

Tính uvz

Ta lấy đạo hàm theo v của biểu thức trên:

1 2 1 1( )2 ln . 2 2 2 (2 )( ln )

2 ln 2 ln . 2

( )( ) ( )

( )( ( )2)

v v v v

v v

u u y x v y v vu xy y u vu u

xu u u u y x v u


Ví dụ: Cho hàm z = f(x+y,2x-3y). Tính các đhr đến

cấp 2 của hàm z

Giải :

Ta đặt thêm 2 biến trung gian : u = x+y, v = 2x – 3y

để thấy rõ ràng hàm z = f(u,v) là hàm hợp

Dùng công thức đh hàm hợp, ta được 2 đhr cấp 1:

z’x= f’u.u’x+f’v.v’x

Sau đó, lấy đhr của các đh cấp 1, ta được các đhr

cấp 2:

= f’u+2f’v ;

z’y = f’u.u’y+f’v.v’y = f’u-3f’v

Tương tự, ta được


z”xx = [f’u]’x + 2[f’v]’x =

z”xx = [(f’u)’u.u’x+(f’u)’v.v’x]+2[(f’v)’u.u’x+(f’v)’v.v’x]

Lấy đhr cấp 2 theo thì tương ứng nhân với đhr

của u, v theo x

Giữ nguyênGiữ nguyên

Lấy đhr theo v thì nhân

với đhr của v theo x

Lấy đhr theo u thì nhân

với đhr của u theo x

Tương tự: z”xy = f”uu-f”uv-6f”vv, z”yy = f”uu-6f”uv+9f”vv

Vi phân cấp 1 : Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v)

tức là z là hàm hợp của 2 biến u, v. Ta tính vi phân

của hàm z theo vi phân của 2 biến độc lập u, v

bằng cách dùng công thức như hàm 2 biến thường

v udz z dv z du


Ta chỉ tính vi phân cấp 2 của hàm z theo biến độc

lập u, v; tức là ta sử dụng công thức vi phân cấp 2

của hàm z(u,v). Vậy vi phân cấp 2 của hàm hợp là

2 2 22uu uv vvd z z du z dudv z dv


( cos sin ) ( cos sin )dz v y x y du u y x y dv

Ví dụ: Cho z = xcosy, x = uv, y = u+v. Tính dz, d2z

theo vi phân của 2 biến độc lập: du, dv

Giải:

Ta sẽ tính các đạo hàm riêng đến cấp 2, rồi thay

vào công thức vi phân, ta được:

2 2 2( 2 sin cos ) ( 2 sin cos )

2( sin cos sin cos )

d z v y x y du u y x y dv

v y y u y x y dudv

§5 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn

Hàm ẩn 1 biến : Cho hàm y=y(x) xác định từ

phương trình hàm ẩn F(x,y)=0

Tính từ đẳng thức trên, ta được công thức dy

dx

Ta tính đạo hàm y’ bằng cách lấy đạo hàm 2 vế

phương trình F(x,y)=0 theo x:

. . 0F dx F dy

x dx y dx

x

y

dy Fy

dx F


Giải:

Ta đặt F(x,y) = x – y + arctany, rồi áp dụng công thức

2

1

11

1

x

y

Fy

F

y

2

2

1 y

y

2 4

1 2(1 )

yyy

y y

2

5

2( 1)y

y

Ví dụ : Tính y’, y” biết x – y + arctany = 0

Để tính đạo hàm cấp 2, ta lấy đạo hàm của đạo

hàm cấp 1 với ghi nhớ rằng y’ đã có trước đó để

thay vào kết quả cuối cùng.


Hàm ẩn nhiều biến: Cho hàm z=z(x,y) xác định từ

phương trình hàm ẩn F(x,y,z) = 0. Ta phải tính 2

đạo hàm riêng

Tương tự hàm ẩn 1 biến, ta lấy đạo hàm 2 vế pt hàm

ẩn theo x:

, yxx y

z z

FFz z

F F

. . . 0F dx F dy F z

x dx y dx z x

Trong đó: 1, 0

dx dy

dx dx

Thay vào đẳng thức trên, ta rút ra đạo hàm theo x cần

tìm và làm tương tự để tính đh theo y


Ví dụ : Cho hàm z = z(x,y) xác định bởi phương

trình x2+y2+z2-3x+6y-5z+2 = 0. Tính ,x yz z

Giải:

Cách 1: Lấy đạo hàm 2 vế phương trình đã cho

theo x, coi y là hằng số

2 2 3 5 0x xx zz z 3 2

2 5x

xz

z

Và lấy đạo hàm theo y, coi x là hằng số

6 22 2 6 5 0

5 2y y y

yy zz z z

z


Cách 2: Sử dụng công thức bằng cách đặt F(x,y,z)

là vế trái của phương trình đã cho

2 3, 2 6, 2 5x y zF x F y F z Ta cũng sẽ được kết quả như trên.

Để có đạo hàm cấp 2, ta lấy đạo hàm của đạo hàm

cấp 1, và nhớ rằng z là hàm, biến còn lại là hằng số

Vi phân của hàm ẩn: hàm y(x) hoặc z(x,y) đều là

các hàm theo 1 hoặc 2 biến độc lập nên ta tính vi

phân các cấp của chúng như với hàm bình thường

kaoma_000

Pencil


Ví dụ: Tính dz, d2z nếu zex + 3y + z - 1 = 0 tại (0,1)

Giải:

Tiếp đó, ta tính các đạo hàm riêng đến cấp 2 bằng

cách đặt F(x,y,z) là vế trái của phương trình trên

Trước tiên, ta thay (x,y) = (0,1) vào phương trình để

được z = -1

3,

1 1

x

x yx x

zez z

e e

1(0,1) ( 3 )

2dz dx dy

1 3(0,1) , (0,1)

2 2x y

z z


2 3(0,1)2

d z dxdy

30,

1yy x

y

ze

3

1yx x

x

ze

2

3

( 1)xe

3(0,1)

4xy

z

1

x

xx x

x

zez

e

2

( . . )( 1) .

( 1)

x x x x x

xx

z e z e e ze e

e

1( 1)2 12(0,1) 0

4xx

z

Vậy


Ví dụ : Cho hàm z = f(x+y,x.y), tính vi phân dz, d2z

Giải:

Ta đi tính đạo hàm riêng đến cấp 2 của hàm z theo x,

y rồi thay vào công thức vi phân

Trước hết, ta đặt t = x+y, s = x.y

Suy ra:

, thì z là hàm theo 2

biến t và s: z = f(t,s), trong đó t, s là hàm theo 2 biến

x và y.

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp:

. .x t x s xz f t f s .x sf y f , . . .y t y s y x s

z f t f s f x f

. .x y

z dx zd dz y . .t s t sf y f dx f x f dy


Ta tính tiếp 3 đạo hàm cấp 2:

. .tt x ts xf t f s . .st x ss xy f t f s

.xy t s y

z f y f . .tt y ts yf t f s

sf . .st y ss y

y f t f s

.xx t s x

z f y f 22

tt st ssf yf y f

s tt st ssf f x y f xyf

.yy t s y

z f x f . . . .tt y ts y st y ss yf t f s x f t f s

22 .tt stf x f x f

Suy ra: 2 22 . . 2 .xx yy xyz dx z dy z dd xz dy

2 2 2 22 . 2 .tt st ss tt st ssf y f y f dx f x f x f dy

2 s tt st ssf f x y f xyf dxdy


Ví dụ: Tính z’x, z’y nếu z = z(x,y) xác định từ pt

F(x+y+z,x+y-2z) = 0

Giải :

Tương tự ví dụ trên, ta cũng đặt thêm 2 biến trung

gian t = x+y+z, s = x+y-2z

Trước tiên, ta dùng công thức đạo hàm hàm ẩn

, yxx y

z z

FFz z

F F

Sau đó, sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp để

tính 3 đạo hàm riêng của hàm F (ta coi F là hàm hợp

theo t, s và t, s là hàm theo 3 biến x, y, z)


Thay vào công thức trên, ta được kết quả

2t s

x y

t s

F Fz z

F F

. .sx t x s xF F t F t sF F

. .sy t y s y t s

F F t F F F

. .s 2z t z s z t sF F t F F F

3 : Khả vi và Vi phân

Documents