3 Elementární geometrické objekty v rovině a vztahy mezi nimivinkle/mafynet/GeoGebra/matematika/planime... · 2013. 12. 7. · 3. Elementární geometrické objekty v rovině

3. Elementární geometrické objekty v rovině a vztahy mezi nimi

3 Elementární geometrické objekty v rovině avztahy mezi nimi

3.1 Základní pojmy

Část geometrie, která se zabývá geometrickými útvary v rovině se označujejako planimetrie. Systematickému budování rovinné geometrie na logickémpodkladě jsme se věnovali již v kapitole věnované axiomatické metodě v geo-metrii, kde jsme zavedli pojem eukleidovská geometrie pro geometrii po-psanou axiómy incidence, uspořádání, shodnosti, spojitosti a rovnoběžnosti;rovinu, ve které se pohybujeme označujeme potom eukleidovská rovina aznačíme ji E (resp. E2).

V úvodní kapitole jsme se již setkali s některými elementárními geometrickýmiobjekty. Jak víme, základními útvary rovinné geometrie jsou bod a přímka.Bod, ani přímku nedefinujeme. Primitivním pojmem je rovněž pojem inci-dence (Bod inciduje s přímkou, popř. přímka inciduje s bodem; ve významu:Bod leží na přímce, popř. přímka prochází bodem — značíme A ∈ p, popř.p 3 A). Dalším primitivním pojmem je pojem uspořádání bodů na přímce(Bod B leží mezi body A, C; popř. bod B odděluje body A, C — značímeA ∗B ∗ C).

Množinu bodů na přímce nebo v rovině nazýváme geometrický útvar. Uza-vřenou oblast v rovině nazýváme obrazec.

BodBod označujeme obvykle písmenem velké latinské abecedy (A, P , X, . . . ).

Dva body A, B jsou navzájem různé (A 6= B), nebo totožné (A = B).

Tři různé body buďto neleží v přímce (jsou nekolinární); anebo leží v přímce(jsou kolinární).

PřímkaPřímku označujeme obvykle písmenem malé latinské abecedy (a, p, x, . . . )nebo dvojicí různých bodů na přímce (přímka AB, přímka PQ, přímka MN ,. . . ; popř. symbolicky ↔AB, ↔PQ, ↔MN , . . . ).

Dvě přímky a, b v rovině jsou navzájem

a) různoběžné (a 6‖ b), mají-li jediný společný bod — průsečík;

b) rovnoběžné různé (a ‖ b), nemají-li žádný společný bod;

c) splývající (totožné) (a = b) mají-li všechny body společné.

1

GEOMETRIE I. — Základy geometrie v rovině

Svazek přímek, značíme S(a, b, c, . . .), je množina všech přímek v rovině,které mají společný bod S — tzv. střed svazku (obr. 3.1.1).

S

Obr. 3.1.1

s

Obr. 3.1.2

Směr s je množina všech navzájem rovnoběžných přímek; vztah přímka análeží směru s značíme a ∈ s (obr. 3.1.2).

PolopřímkaBod O dělí přímku p na dvě navzájem opačné polopřímky se společnýmpočátkem O. Je-li bod A vnitřní bod polopřímky (tj. A 6= O), potomtuto polopřímku značíme polopřímka OA, popř. stručně 7→OA. Opačná polo-přímka k polopřímce OA se značí ←OA. Jestliže pro dvě polopřímky na téžepřímce platí 7→OA ⊂7→OB, anebo 7→OB ⊂7→OA, potom říkáme, že majístejný smysl.

Dvě polopřímky 7→AB ⊂ p a 7→CD ⊂ q na dvou různých rovnoběžkách p, qmohou být

a) souhlasně rovnoběžné — vedeme-li bodem B přímku rovnoběžnou spřímkou AC, potom protne polopřímku CD (obr. 3.1.3);

b) nesouhlasně rovnoběžné— vedeme-li bodem B přímku rovnoběžnous přímkou AC, potom protne polopřímku opačnou k polopřímce CD(obr. 3.1.4).

A B

C D

p

q

Obr. 3.1.3

A B

CD

p

q

Obr. 3.1.4

2


ÚsečkaÚsečkou AB nazýváme průnik dvou polopřímek 7→AB, 7→BA (obr. 3.1.5)— značíme úsečka AB, popř. pouze AB. Body A, B nazýváme krajní bodyúsečky AB; ostatní body se nazývají vnitřní body úsečky AB.

Otázka shodnosti úseček (značíme AB ∼= CD) a grafického součtu (popř.rozdílu) úseček byla řešena v kapitole týkající se axiómů shodnosti. Proble-matikou míry úsečky jsme se zabývali v kapitole věnované axiómům spoji-tosti (délku, popř. velikost úsečky značíme |AB|).

A B

ABBA

Obr. 3.1.5

A B

o

S

Obr. 3.1.6

Středem úsečky AB nazýváme bod S úsečky AB, pro který platí AS ∼= BS.

Osou úsečky AB nazýváme přímku o, která prochází středem úsečky AB aje k ní kolmá (obr. 3.1.6).

PolorovinaPřímka p =↔ AB dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny sespolečnou hraniční přímkou AB. Je-li bod X vnitřní bod poloroviny(tj. X 6∈ p), potom tuto polorovinu značíme polorovina ABX, popř. stručně7→ABX nebo 7→pX. Opačná polorovina k polorovině ABX se značí← ABX.

PásPásem určeným přímkami p, q rozumíme průnik dvou polorovin pB a qA,jejichž hraniční přímky p, q jsou rovnoběžné a A ∈ p, B ∈ q.

A

B

p

q

o

Obr. 3.1.7

3


Konvexní a nekonvexní množiny bodůMnožinu bodů nazveme konvexní, jestliže pro každé dva její body X, Yplatí, že úsečka XY je její podmnožinou (obr. 3.1.8). Prázdnou množinu ajednobodové množiny řadíme mezi konvexní množiny. Množina bodů, kteránení konvexní, se nazývá nekonvexní (obr. 3.1.9).

Obr. 3.1.8Obr. 3.1.9

Příklady konvexních množin, kterými jsme se již zabývali, jsou přímka, úsečka,polopřímka, polorovina a pás.

Průnik konečného počtu konvexních množin bodů je konvexní množina bodů.

ÚhelV kapitole věnované axiómům uspořádání jsme zavedli pojem úhlu následovně:průnik polorovin AV B a BV A nazýváme úhel. Uvedená definice se však týkájen jednoho speciálního typu úhlu. Na tomto místě je vhodné zavést pojemúhlu obecněji.

Konvexním úhlem AV B rozumíme:

1. průnik polorovin AV B a BV A v případě, že body A, V , B jsou třinekolineární body; tento úhel se rovněž označuje jako tzv. dutý úhel(obr. 3.1.10);

2. každou z polorovin s hraniční přímkou AB v případě, že body A, V , Bjsou tři různé kolineární body a bod V leží mezi body A, B (tj. A∗V ∗B);tento úhel se rovněž označuje jako tzv. přímý úhel (obr. 3.1.11);

A

B

V

Obr. 3.1.10

A

V

B

Obr. 3.1.11

4


3. v případě, že body A, V , B jsou tři různé kolineární body a bod V neležímezi body A, B,

(a) každou rovinu obsahující přímku AB; tento úhel se rovněž označujejako tzv. plný úhel (obr. 3.1.12);

(b) polopřímku V A (resp. V B); tento úhel se rovněž označuje jako tzv.nulový úhel (obr. 3.1.13).

AV B

Obr. 3.1.12

AV B

Obr. 3.1.13

Jestliže jsou A, V , B tři nekolineární body, potom se sjednocení polorovinopačných k polorovinám AV B a BV A nazývá nekonvexní úhel AV B (obr.3.1.14).

A

B

V

Obr. 3.1.14

Ve všech případech se polopřímky V A a V B nazývají ramena úhlu, bod Vvrchol úhlu, body úhlu neležící na ramenech označujeme jako body vnitřkuúhlu a body roviny, které nepatří do úhlu AV B, jako body vnějšku úhlu.

Pro konvexní úhel AV B používáme označení ∠AV B, pro nekonvexní úhelAV B označení ∠AV B. Je zřejmé, že konvexní (resp. nekonvexní) úhly jsoukonvexními (resp. nekonvexními) množinami bodů. Není-li uvedeno jinak, pakvždy pod pojmem úhel budeme rozumět úhel konvexní (resp. ještě přesnějiúhel dutý).

Otázka shodnosti úhlů (značíme ∠AV B ∼= ∠CUD) a grafického součtu(popř. rozdílu) úhlů byla řešena v kapitole týkající se axiómů shodnosti.

5


Problematikou míry úhlu jsme se zabývali v kapitole věnované axiómůmspojitosti (velikost úhlu značíme |∠AV B|).Osou úhlu AV B nazýváme polopřímku V C, která vychází z vrcholu V úhluAV B a tento úhel půlí tak, že platí ∠AV C ∼= ∠CV B.

V

A

B

Co

Obr. 3.1.15

Dvojice úhlů

Dva úhly v rovině se nazývají styčné, jestliže mají jedno rameno společnéa zbývající dvě ramena leží v opačných polorovinách vymezených hraničnípřímkou, v níž leží společné rameno (obr. 3.1.16).

Dva úhly v rovině se nazývají vedlejší, jestliže mají jedno rameno společnéa zbývající dvě ramena jsou polopřímky navzájem opačné (obr. 3.1.17).

Dva úhly v rovině se nazývají vrcholové, jestliže mají společný vrchol a jsou-liramena jednoho úhlu opačnými polopřímkami k ramenům druhého úhlu (obr.3.1.18). Vrcholové úhly jsou shodné.

V

A

C

B

Obr. 3.1.16

V

A

C B

Obr. 3.1.17

V A

B

A’

B’

Obr. 3.1.18

Obr. 3.1.19

a

b

P

Obr. 3.1.20

6


Úhel shodný se svým úhlem vedlejším se nazývá pravý (obr. 3.1.19). Značímejej obloučkem s tečkou, popř. písmenem R. Dvě různoběžné přímky a, b tvořícíshodné vedlejší (tj. pravé) úhly jsou k sobě kolmé, což zapisujeme a ⊥ b.Průsečík P kolmých přímek a, b nazýváme pata kolmice (obr. 3.1.20).

Jsou dány různé přímky a, b proťaté přímkou p zvanou příčka v bodech A,B. Přímky vytvářejí čtyři úhly s vrcholem A (α1, α2, α′1, α

′2) a čtyři úhly s

vrcholem B (β1, β2, β′1, β′2) (obr. 3.1.21)

Souhlasné úhly (dvojice α1, β1, resp. α′1, β′1, resp. α2, β2, resp. α

′2, β

′2) leží

na téže straně příčky p i přímek a, b.Střídavé úhly (dvojice α1, β′2, resp. α

′1, β2, resp. α2, β

′1, resp. α

′2, β1) leží

na opačných stranách příčky p i přímek a, b.Přilehlé úhly (dvojice α1, β2, resp. α2, β1, resp. α′1, β

′2, resp. α

′2, β

′1) leží na

téže straně příčky p a opačných stranách přímek a, b.

A

B

p

a

b

α1

β1

α2

β2

α’2

β’2

α’1

β’1

Obr. 3.1.21

a

b

p

Obr. 3.1.22

Každé dva souhlasné úhly i každé dva střídavé úhly jsou shodné, právě kdyžjsou přímky a, b rovnoběžné (obr. 3.1.22).

Klasifikace úhlů

Klasifikace úhlů podle jejich velikostí ve stupňové (resp. obloukové míře) míře:

– nulový úhel (α = 0◦; resp. α = 0)

– ostrý úhel (0◦ < α < 90◦; resp. 0 < α < π2 )

– pravý úhel (α = 90◦; resp. α = π2 ); značíme jej R

– tupý úhel (90◦ < α < 180◦; resp. π2 < α < π)

– přímý úhel (α = 180◦; resp. α = π); značíme jej 2R

– nekonvexní úhel (180◦ < α < 360◦; resp. π < α < 2π)

– plný úhel (α = 360◦; resp. α = 2π); značíme jej 4R

7


Orientovaný úhel

Orientovaný úhel v rovině je uspořádaná dvojice polopřímek V A, V B sespolečným počátkem V , přičemž polopřímka V A, resp. V B se nazývá počá-teční, resp. koncové rameno a bod V se nazývá vrchol orientovanéhoúhlu. Jestliže →V A 6=→V B, potom ∠AV B 6= ∠BV A.

Z definice je patrné, že na rozdíl od neorientovaného úhlu není orientovanýúhel částí roviny, ale skládá se jen ze dvou polopřímek.

α π+2kα

V A A

BB BVAAVB

Obr. 3.1.23

Velikostí orientovaného úhlu rozumíme velikost neorientovaného úhlu (vmíře stupňové, obloukové, . . . ), jehož všemi body proběhne počáteční ramenoV A při otočení do polohy koncového ramena V B. Děje-li se otáčení v klad-ném smyslu (proti směru hodinových ručiček), je velikost orientovaného úhlukladná, v opačném případě je záporná.

Je vidět, že za velikost orientovaného úhlu je možné vzít kterékoliv z čísel

α+ k · 360◦, resp. α+ 2kπ,

kde k je celé číslo a pro úhel α platí 0◦ 5 α < 360◦, resp. 0 5 α < 2π —velikost α se nazývá základní velikost orientovaného úhlu.

VzdálenostVzdáleností dvou bodů A, B rozumíme velikost úsečky AB.

Vzdáleností bodu A od přímky p nazýváme vzdálenost bodu A od patykolmice vedené z bodu A k přímce p (budeme značit |A, p|).Vzdáleností dvou rovnoběžných přímek a, b nazýváme vzdálenost libo-volného bodu jedné přímky od druhé přímky (budeme značit |a, b|). Vzdále-nost dvou splývajících a různoběžných přímek je nulová.

OdchylkaOdchylkou dvou přímek a, b nazýváme velikost nulového, ostrého nebopravého úhlu, který má libovolně zvolený vrchol V a ramena na přímkáchprocházejících bodem V rovnoběžně s přímkami a, b (budeme značit |∠a, b|).Z uvedené definice je patrné, že odchylka dvou rovnoběžek je 0◦.

8


Dělicí poměr uspořádané trojice bodůDělicím poměrem bodu C na přímce vzhledem k základním bodům A, B(B 6= C) rozumíme číslo

λ = (ABC) = ε|AC||BC|

,

kde ε = −1, resp. ε = 1, jestliže bod C leží, resp. neleží mezi body A, B.

A Bλ>10<λ<1 λ<0

λ=0 λ neexistuje

Obr. 3.1.24

Hledejme body s dělicími poměry 0 a ±1 vzhledem k základním bodům A, B:

• Jestliže A = C, potom |AC| = 0, a proto i (ABC) = 0.

• Střed úsečky S leží mezi body A, B, tj. ε = −1, a současně |AS| = |BS|,a proto (ABS) = −1.• Obdobně se ptáme, zda lze najít bod X takový, že (ABX) = 1. Jelikož(ABX) > 0, bod X neleží mezi body A, B. Označíme-li |AB| = d(d 6= 0) a v případě A ∗ B ∗ X (resp. X ∗ A ∗ B) |BX| = x (resp.|XA| = x), potom

(ABX) =d+ x

x, (resp. (ABX) =

x

d+ x).

Ovšem vzhledem k tomu, že pro všechna x ∈ R+ je d+xx 6= 1 (resp.

xd+x 6= 1), v eukleidovské rovině neexistuje bod, který by měl k základnímbodům dělicí poměr roven 1.

Každému číslu λ 6= 1 odpovídá jediný(!) bod C na přímce ↔AB takový, že(ABC) = λ.

Označme (ABC) = λ, potom platí: (BAC) = 1λ ; (ACB) = 1 − λ; (CAB) =

11−λ ; (BCA) = λ−1

λ ; (CBA) = λλ−1 .

Dvojpoměr uspořádané čtveřice bodůDvojpoměrem čtyř bodů A, B, C,D (v tomto pořadí) na přímce rozumímečíslo

(ABCD) =(ABC)(ABD)

, kde (ABD) 6= 0.

Jestliže (ABCD) = −1, potom body A, B, C, D názýváme harmonickáčtveřice bodů přímky — body A, B označujeme jako základní body;bod C (resp. D) jako vnitřní (resp. vnější) dělicí bod.

9


PromítáníMějme dány dvě různé přímky p a p′. Na přímce p zvolme různé body A, B,C,. . . a na přímce p′ zvolme různé body A′, B′, C ′,. . .Jestliže je poloha těchto bodů taková, že přímky AA′, BB′, CC ′,. . . jsounavzájem rovnoběžné, potom říkáme, že body A′, B′, C ′,. . . jsou rovno-běžné průměty bodů A, B, C,. . . na přímku p′. Směr přímek AA′, BB′,CC ′,. . . nazýváme směr promítání (obr. 3.1.25).Je-li poloha těchto bodů taková, že přímky AA′, BB′, CC ′,. . . procházejí týmžbodem S , potom říkáme, že body A′, B′, C ′,. . . jsou středové průměty bodůA, B, C,. . . na přímku p′. Bod S nazýváme střed promítání (obr. 3.1.26).

A BC

A’ B’C’

p

p’

Obr. 3.1.25

A B C

A’ B’ C’

p

p’

S

Obr. 3.1.26

Dělicí poměr se rovnoběžným promítáním nemění.

Snadno bychom se přesvědčili, že dělicí poměr není invariantní (tj. neměnný)vůči středovému promítání. Promítáme-li body A,B,C, D ∈ p na přímku p ‖p, potom se sice dělicí poměr zachovává, ale při promítání na různoběžnoupřímku p′ již invariantní není. Invariantem jak středového, tak rovnoběžnéhopromítání je dvojpoměr čtyř bodů.

Pappova věta: Jsou-li A′, B′, C ′, D′ rovnoběžné nebo středové průměty čtyřnavzájem různých bodů A, B, C, D přímky p na přímku p′ 6= p, potom

(ABCD) = (A′B′C ′D′).

A BC

A’=A B’ C’

p

p’S

D

D’

B D pC

Obr. 3.1.27

10


3.2 Kružnice, kruh

Každý bod kružnice má od pevného bodu S danou vzdálenost r > 0 . Bod Sse nazývá střed kružnice, kladné reálné číslo r (popř. úsečku o délce r, jejímžjedním krajním bodem je střed kružnice a druhým krajním bodem je libovolnýbod kružnice) nazýváme poloměr kružnice.1 Zapisujeme k(S; r). Číslo 2r(popř. úsečka o délce 2r procházející středem kružnice s oběma krajními bodyna kružnici) se nazývá průměr kružnice a označuje se d.2 Úsečka, jejíž obakrajní body leží na kružnici se nazývá tětiva kružnice; průměr je nejdelšítětivou kružnice. Body, jejichž vzdálenost od středu je menší než r, náležejítzv. vnitřku kružnice. Body, jejichž vzdálenost od středu je větší než r,náležejí tzv. vnějšku kružnice.

S rd

k

Obr. 3.2.1

S rd

K

Obr. 3.2.2

Všechny body, jejichž vzdálenost od středu je menší než poloměr nebo rovnapoloměru, náležejí kruhu K(S; r) s hraniční kružnicí k(S, r). O středu, polo-měru a průměru kruhu hovoříme ve stejném významu jako u kružnice. Body,jejichž vzdálenost od středu je menší než r, vytvářejí tzv. vnitřek kruhu.Body, jejichž vzdálenost od středu je větší než r, náležejí tzv. vnějšku kruhu.

Části kružnice, popř. kruhu

S

k

A B

Obr. 3.2.3

S

k

A B

r r

Obr. 3.2.4

S

k

A B

Obr. 3.2.5

Obloukem kružnice nazýváme souvislou část kružnice ohraničenou jejímidvěma různými body. Každé dva různé body kružnice dělí kružnici na dvaoblouky (obr. 3.2.3).

1r — z latinského radius2d — z latinského diameter

11


Kruhovou výsečí rozumíme část kruhu omezenou dvěma poloměry a oblou-kem kružnice (obr. 3.2.4).

Kruhovou úsečí rozumíme část kruhu omezenou tětivou a obloukem kruž-nice (obr. 3.2.5).

Kružnice a přímka

Označme v vzdálenost středu kružnice k(S; r) od přímky p. Přímka p mávzhledem ke kružnici k právě jednu z těchto poloh:

• Je-li v > r, potom přímka p nemá s kružnicí k žádný společný bod a jevnější přímkou kružnice (obr. 3.2.6).

Sk

p

r

Obr. 3.2.6

Sk

pT

r

Obr. 3.2.7

• Je-li v = r, potom má přímka p s kružnici k jediný společný bod T aje tečnou kružnice. Bod T se nazývá bod dotyku. Tečna kružnice jekolmá na poloměr ST . V každém bodě kružnice existuje jediná tečna; zvnějšího bodu lze setrojit ke kružnici dvě tečny (obr. 3.2.7).

• Je-li v < r, potom má přímka p s kružnici k společné právě dva body(tzv. průsečíky) a je sečnou kružnice. Úhel sečny a kružnice jeostrý nebo pravý úhel, který svírá sečna s tečnou v jednom z průsečíků(pro oba průsečíky dostáváme shodné úhly) (obr. 3.2.8). Jestliže svírápřímka p s tečnou v jednom z průsečíků (a tím i s kružnicí k) pravý úhel,říkáme, že přímka a kružnice jsou kolmé (ortogonální). Je zřejmé, žepotom přímka p prochází středem kružnice k (obr. 3.2.9).

S

kp

A

rr

B

ϕ

tA

Obr. 3.2.8

S

k

p

A

r

B

tA

Obr. 3.2.9

12


Dvě kružnice

Dvě kružnice o společném středu se nazývají soustředné. Část roviny ome-zená dvěma soustřednými kružnicemi se nazývá mezikruží.

Dvě kružnice o různých středech se nazývají nesoustředné. Úsečka spojujícístředy nesoustředných kružnic se nazývá středná.

Označme s velikost středné kružnic k1(S1; r1) a k2(S2; r2) (předpokládejmer1 6= r2). Kružnice k1, k2 mají právě jednu z těchto vzájemných poloh:

• Je-li s > r1+ r2, potom kružnice nemají žádný společný bod a leží vněsebe (obr. 3.2.10).

S1S2

k1 k2

Obr. 3.2.10

S1 S2

k1 k2

T

Obr. 3.2.11

• Je-li s = r1 + r2, potom kružnice mají jediný společný bod (bod do-tyku) a dotýkají se vně (obr. 3.2.11).

• Je-li |r1 − r2| < s < r1 + r2, potom kružnice mají společné právě dvabody (tzv. průsečíky) a protínají se. Úhel dvou protínajících sekružnic je ostrý nebo pravý úhel, který svírají tečny v jednom z prů-sečíků (pro oba průsečíky dostaneme shodné úhly) (obr. 3.2.12). Jestližesvírají tečny v jednom z průsečíků (a tím i obě kružnice) pravý úhel, ří-káme, že kružnice jsou kolmé (ortogonální). Je zřejmé, že potom středS1 kružnice k1 leží na tečně kružnice k2 sestrojené v jejich průsečíku arovněž střed S2 kružnice k2 leží na tečně kružnice k1 sestrojené v jejichprůsečíku (obr. 3.2.13).

Aϕ

1tA 2tA

S1S2

k1k2

B

Obr. 3.2.12

A

1tA 2tA

S1 S2

k1

k2

B

Obr. 3.2.13

• Je-li s = |r1 − r2|, potom kružnice mají jediný společný bod (bod do-tyku) a dotýkají se uvnitř(obr. 3.2.14).

13


S1 S2

k1 k2

T

Obr. 3.2.14

S1 S2

k1 k2

Obr. 3.2.15

S S1 2=

k1

k2

Obr. 3.2.16

• Je-li s < |r1 − r2|, potom kružnice nemají žádný společný bod a jednaleží uvnitř druhé (obr. 3.2.15). Sem by se daly zařadit i soustřednékružnice (obr. 3.2.16).

Dvě kružnice mohou mít následující počet společných tečen.

• V případě, že kružnice leží vně sebe, potom mají čtyři společné tečny.Dvě tečny protínající střednou se nazývají vnitřní tečny, dvě tečnyneprotínající střednou se nazývají vnější tečny.• V případě, že kružnice mají vnější dotyk, potom existují tři společnétečny — dvě vnější a jedna ve společném bodě dotyku.• V případě, že se kružnice protínají, potom existují dvě společné tečny—vnější tečny.• V případě, že kružnice mají vnitřní dotyk, potom existuje jedna společnátečna — tečna ve společném bodě dotyku.• V případě, že jedna kružnice leží uvnitř druhé, potom neexistuje žádnáspolečná tečna.

Obr. 3.2.17

O konstrukci společných tečen dvou kružnic se zmíníme v kapitole 4.7.

14


Úhel středový, obvodový a úsekový

Zvolme na kružnici k(S; r) tři různé body A, B, M . Úhel ∠AMB se nazýváobvodový úhel a úhel ∠ASB středový úhel oba příslušné k témuž obloukukružnice s krajními body A, B, jestliže každý bod tohoto oblouku náleží jakúhlu ∠AMB tak i úhlu ∠ASB. Pro pevně zvolený oblouk najdeme jedinýstředový úhel ∠ASB, ale nekonečně mnoho úhlů obvodových ∠AMB.

ϕ

ϕ

ϕ

ω

A

B

M

k

S

YObr. 3.2.18

Úhel ∠BAX (resp. ∠ABY ) tvořený tečnou kružnice v bodě A (resp. B) asečnou AB se nazývá úsekový úhel příslušný k oblouku kružnice s krajnímibody A, B, jestliže každý bod zvoleného oblouku náleží úhlu ∠BAX (resp.∠ABY ). Pro pevně zvolený oblouk najdeme dvojici úsekových úhlů.

Věta 3.2.1: (Základní věta o obvodových úhlech) Všechny obvodovéúhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné mezi sebou i úsekovým úhlem pří-slušným k témuž oblouku. Každý obvodový úhel je roven polovině příslušnéhostředového úhlu. �

ϕ1 ϕ2

ϕ1ω1 ϕ2ω2

A

B

Mk

Sϕ

ϕω

A B

Mk

S β

β αω ϕ

A B

M

k

S

Obr. 3.2.19

Důkaz: Důkaz tvrzení ω = 2ϕ (ω — středový úhel ASB, ϕ — obvodový úhelAMB) je nutné provést ve třech částech, a to pro případ, že střed kružnice

15


a) náleží vnitřku obvodového úhlu; b) leží na rameni obvodového úhlu; c)leží vně obvodového úhlu. Poznamenejme jen, že když obvodový úhel AMBpřísluší polokružnici, anebo většímu oblouku s krajními body A a B, potomstřed kružnice S náleží vždy vnitřku obvodového úhlu.

Provedeme pouze důkaz části a), zbytek si můžete vyzkoušet jako cvičení.PřímkaMS rozdělí obvodový úhel ϕ na dva úhly ϕ1+ϕ2 = ϕ a středový úhelω na dva úhly ω1+ω2 = ω. Trojúhelník AMS (a takéBMS) je rovnoramenný3

— |SA| = |SM | = |SB| = r — a proto ∠MAS ∼= ∠AMS (a také ∠MBS ∼=∠BMS). Jelikož součet dvou vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven protějšímuvnějšímu úhlu a úhel ω1 (resp. ω2) je vnějším úhlem 4AMS (resp. 4BMS),platí ω1 = 2ϕ1 (resp. ω2 = 2ϕ2). Sečtením dostaneme ω = ω1 + ω2 = 2ϕ1 +2ϕ2 = 2(ϕ1 + ϕ2) = 2ϕ.

Část věty týkající se vztahu obvodového a úsekového úhlu ihned plyne zeskutečnosti, že se jedná o úhly s rameny na sebe kolmými. Q.E .D.

Důsledek 3.2.1. (Thaletova věta) Všechny obvodové úhly sestrojené vkružnici nad průměrem jsou pravé (obr. 3.2.20). �

S

k

Obr. 3.2.20

S

k

A

Obr. 3.2.21

Thaletovu větu používáme při konstrukci tečen kružnice z vnějšího bodu (obr.3.2.21).

3.3 Trojúhelník

Jsou-li dány v rovině tři nekolineární body A, B, C, potom společná částpolorovin ABC, BCA a CAB se nazývá trojúhelník ABC, což symbolickyzapisujeme4ABC. Body A, B, C se nazývají vrcholy trojúhelníka, úsečkyc = AB, a = BC, b = CA se nazývají strany trojúhelníka. Vnitřní úhlytrojúhelníka ABC jsou úhly ∠CAB = α, ∠ABC = β, ∠BCA = γ. Vedlejší

3Zde trochu předbíháme, neboť kapitola týkající se trojúhelníka následuje až za kapitolouo kružnici, nicméně již v kapitole 2.5 jsme se o rovnoramenném trojúhelníku zmiňovali.

16


úhly k vnitřním úhlům (je jich šest, vždy dva shodné u jednoho vrcholu) senazývají vnější úhly trojúhelníka — značíme je α′1, α

′2; β

′1, β

′2; γ

′1, γ

′2.4

Sjednocení stran tvoří tzv. obvod trojúhelníka.5 Body trojúhelníka nená-ležející obvodu jsou body vnitřku trojúhelníka, body nenáležející trojúhel-níku jsou body vnějšku trojúhelníka.

S trojúhelníky jsme se setkali již v kapitolách týkajících se Hilbertovy axio-matické soustavy. Do této kapitoly tak automaticky patří všechny věty euk-leidovské geometrie, které již byly uvedeny — např. α + β + γ = 180◦ (obr.3.3.1).

A B

C

α

α

β

βγ

Obr. 3.3.1

A,a,α

C,c,γ B,b,β

Obr. 3.3.2

Abychom nemuseli vyslovovat některé definice a věty trojmo, budeme v dalšímtextu využívat tzv. cyklickou záměnu — nahradíme-li v definici (popř. větě)týkající se trojúhelníka 4ABC trojice písmen (A, a, α), (B, b, β), (C, c, γ) pořadě trojicemi (B, b, β), (C, c, γ), (A, a, α) a dále (C, c, γ), (A, a, α), (B, b, β)(obr. 3.3.2), dostaneme další tvary definic (popř. vět).

Trojúhelníky dělíme podle velikostí stran na:

různostranné(a 6= b 6= c 6= a);

A B

C

α β

γ

ab

c

Obr. 3.3.3

rovnoramenné(a = b 6= c);

A B

C

α α

γaa

c

Obr. 3.3.4

rovnostranné(a = b = c).

A B

C

α α

α

a

aa

Obr. 3.3.54V případě značení úseček (zde stran) se v geometrii objevuje nejednoznačnost. Malé

písmeno latinské abecedy tak někdy označuje úsečku a někdy délku této úsečky. Totéž platíi pro označování úhlů, popř. jejich velikostí malými písmeny řecké abecedy.5Někdy se pod pojmem obvod rozumí součet velikostí stran (tj. číslo).

17


Podle úhlů dělíme trojúhelníky na:ostroúhlé(α, β, γ < 90◦);

A B

C

α β

γ

ab

c

Obr. 3.3.6

pravoúhlé(α, β < 90◦, γ = 90◦);

A

B

C

α

β

a

b

c

Obr. 3.3.7

tupoúhlé(α, β < 90◦, γ > 90◦).

A

B

Cα

β

γa

b

c

Obr. 3.3.8

Příčka trojúhelníka je úsečka spojující dva body na obvodu trojúhelníka,které neleží na jedné jeho straně. Střední příčka trojúhelníka je spojnicestředů dvou stran (obr. 3.3.9).

A B

C

C1

B1 A1

Obr. 3.3.9

Věta 3.3.1: Střední příčka je rovnoběžná se stranou, jejímž středem nepro-chází a má délku rovnou polovině délky této strany.

Výška trojúhelníka je kolmice sestrojená vrcholem trojúhelníka na přímku,v níž leží protější strana. Výšku z bodu A na stranu a budeme značit va; patutéto výšky budeme označovat A0 (obr. 3.3.10).

Věta 3.3.2: Výšky trojúhelníka se protínají v jednom bodě, zvaném ortocen-trum trojúhelníka (obr. 3.3.10).

A B

C

C0

B0

A0

V

vc

va

vb

Obr. 3.3.10

A B

C

C1

tc

ta tb

B1 A1T

Obr. 3.3.11

18


Težnice trojúhelníka je úsečka spojující vrchol trojúhelníka se středem pro-tější strany. Těžnici spojující vrchol A se středem A1 strany BC budeme zna-čit ta (obr. 3.3.11).

Věta 3.3.3: Těžnice trojúhelníka se protínají v jednom bodě, zvaném těžištětrojúhelníka (obr. 3.3.11). Vzdálenost těžiště od vrcholu trojúhelníka je rovnadvěma třetinám délky příslušné těžnice (tj. (AA1T ) = −2). �Osou strany trojúhelníka nazýváme osu úsečky, která je stranou trojúhel-níka. Osu strany a budeme značit oa (obr. 3.3.12).

Věta 3.3.4: Osy stran trojúhelníka se protínají v jednom bodě, který je stře-dem kružnice opsané trojúhelníku (obr. 3.3.12), tj. kružnice procházejícívšemi vrcholy trojúhelníka (poloměr kružnice opsané zpravidla označujemer). �

A B

C

C1

oc

oa

ob

B1 A1S

r r

r

Obr. 3.3.12

A B

C

uα

uβ

uγ

S’ρ

ρρ

Obr. 3.3.13

Osou vnitřního úhlu trojúhelníka rozumíme osu úhlu, který je vnitřnímúhlem trojúhelníka. Osu vnitřního úhlu α budeme značit uα (obr. 3.3.13).

Věta 3.3.5: Osy vnitřních úhlů trojúhelníka se protínají v jednom bodě, kterýje středem kružnice vepsané trojúhelníku (obr. 3.3.13), tj. kružnice dotý-kající se všech stran trojúhelníka (poloměr kružnice vepsané zpravidla ozna-čujeme %). �

Můžeme vyslovit několik zajímavých vět:

Věta 3.3.6: Těžiště a střed kružnice vepsané náleží vždy vnitřku trojúhelníka.Ortocentrum a střed kružnice opsané náleží jeho vnitřku v trojúhelníku ostro-úhlém, jeho obvodu v trojúhelníku pravoúhlém a jeho vnějšku v trojúhelníkutupoúhlém. �

Věta 3.3.7: V trojúhelníku ABC označme T těžiště, V průsečík výšek aS střed kružnice opsané. Potom platí, že buďto T = S = V (je-li 4ABCrovnostranný), anebo každé dva z těchto bodů jsou různé a leží na jedné přímce(tzv. Eulerova přímka), přičemž (SV T ) = − 12 (obr. 3.3.14). �

19


A

B

C

vc

ob

oc

tc

ta

tb

oa

vb va

V

T

S

Obr. 3.3.14

Věta 3.3.8: V trojúhelníku ABC označme V průsečík výšek; S střed kružniceopsané; A1, B1, C1 středy stran a, b, c; A0, B0, C0 paty výšek va, vb, vc aA′, B′, C ′ středy úseček AV , BV , CV . Potom platí:

• Na kružnici k0 procházející body A1, B1, C1 leží také body A0, B0, C0a A′, B′, C ′.

• Střed S0 kružnice k0 je středem úsečky SV , když S 6= V ; je-li S =V , potom i S0 = S. Poloměr kružnice k0 se rovná polovině poloměrukružnice k opsané trojúhelníku ABC.

Kružnice k0 se nazývá kružnice devíti bodů anebo Feuerbachova kruž-nice trojúhelníka ABC (obr. 3.3.15). �

A

B

C

vc

ob

oc

tc

ta

tbk0

C1C0

A1

A0

B1

B0oa

vb va

V

T

S

S0

A’ B’

C’

k

Obr. 3.3.15

20


Věty o shodnosti trojúhelníků

Připomeňme si definici shodnosti dvou trojúhelníků:

Dva trojúhelníky jsou shodné, jestliže existuje vzájemně jednoznačná kores-pondence mezi jejich vrcholy taková, že odpovídající si strany a odpovídajícísi úhly jsou shodné.

Věta 3.3.9: Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li sea) ve všech třech stranách (věta sss);b) ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném (věta sus);c) ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich (věta Ssu);d) v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých (věta usu). �

Věty o podobnosti trojúhelníků

Pojem shodnosti trojúhelníků v sobě zahrnuje stejný tvar a stejnou velikosttrojúhelníků. Vypustíme-li požadavek stejné velikosti a ponecháme jen stejnýtvar, hovoříme o podobných trojúhelnících.

Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže existuje vzájemně jednoznačná ko-respondence mezi jejich vrcholy taková, že odpovídající si úhly jsou shodné.

Věta 3.3.10: Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li sea) v poměrech délek všech tří odpovídajících si stran (věta sss);b) v poměrech délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu jimi sevřeném(věta sus);

c) v poměrech délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu proti větší z nich(věta Ssu);

d) ve dvou úhlech (věta uu). �

Věty o určenosti trojúhelníka

S větami o shodnosti trojúhelníků úzce souvisí tzv. věty o určenosti trojúhel-níka:

Věta 3.3.11: Trojúhelník je jednoznačně určen, jsou-li dány jeho určovacíprvky:a) délky tří stran, pro něž platí |a− b| < c < a+ b (věta sss);b) délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného (věta sus);c) délky dvou různých stran a velikost úhlu protilehlého k delší straně (větaSsu);

d) délka strany a velikosti dvou k ní přilehlých úhlů, jejichž součet velikostíje menší než 180◦ (věta usu). �

Obecný trojúhelník

Je jednoznačně charakterizován šesti základními proměnnými prvky: třistrany (a, b, c) a tři úhly (α, β, γ). Z nich jsou tři nezávisle proměnné (např.

21


sss, sus atd. — viz věty o určenosti trojúhelníka), a proto je uvedených šestzákladních prvků svázáno třemi nezávislými rovnicemi. Volíme např. tyto jed-noduché vztahy:

α+ β + γ = 2R,

a : b = sinα : sinβ,

a : c = sinα : sin γ.

První rovnice je zřejmá a již jsme se o ní zmiňovali (zachycuje jednu z větekvivalentních s axiómem rovnoběžnosti). Zbývající dvě rovnice vyjadřují větusinovou, tj.

a

sinα=

b

sinβ=

c

sin γ= 2r,

kde r je poloměr kružnice trojúhelníku opsané. Důkaz sinové věty snadnoprovedeme s využitím Základní věty o obvodových úhlech — 3.2.1 (str. 15)(proveďte!).

Z výše uvedených tří rovnic již můžeme odvodit všechny ostatní rovnice platícípro základní prvky trojúhelníka — jednou z nejdůležitějších je tzv. kosinovávěta

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα.

Pravoúhlý trojúhelník

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem γ nazýváme strany a, bodvěsny a stranu c přepona. Pata C0 výšky vc rozděluje stranu c na dvěúsečky AC0, resp. C0B, které nazýváme úsek přilehlý k odvěsně b, resp.a a značíme cb, resp. ca.

A B

C

ab

α

α

β

β

C0

vc

Obr. 3.3.16

Pravoúhlý trojúhelník je jednoznačně charakterizován pěti základními pro-měnnými prvky: tři strany (a, b, c) a dva ostré úhly (α, β). Z nich jsou dvanezávisle proměnné, a proto lze uvedených pět základních prvků popsat třeminezávislými rovnicemi. Dvě z nich jsou např.

α+ β = R,

a = c · sinα.

22


Třetí rovnici si nyní odvodíme.

Platí AC ⊥ BC a AB ⊥ CC0, a proto ∠CAB = ∠BCC0 = α a∠ACC0 = ∠ABC = β. Podle věty (uu) o podobnosti trojúhelníků platí4ABC ∼ 4ACC0 ∼ 4CBC0. Z poměru odpovídajících si stran (např. zpodobnost trojúhelníků 4ABC a 4CBC0 plyne a

ca= c

a apod.) odvodímesnadno tzv. Eukleidovy věty.

Věta 3.3.12: (Eukleidova věta o odvěsně)(obr. 3.3.17)Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníkase rovná obsahu obdélníka, jehož jednou stranou je přepona a druhá strana jeshodná s úsekem přepony přilehlým k této odvěsně (a2 = c · ca, resp. b2 =c · cb). �

Věta 3.3.13: (Eukleidova věta o výšce)(obr. 3.3.18) Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníkase rovná obsahu obdélníka sestrojeného z úseků přepony tvořených výškou(v2 = ca · cb). �

b ab

a

c

c

A B

C

cacb

Obr. 3.3.17

b a

A B

C

ca

ca

cb

v

v

Obr. 3.3.18

Z Eukleidových vět ihned vyplývá platnost tzv. Pythagorovy věty:

Věta 3.3.14: (Pythagorova věta)(obr. 3.3.17)Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníkaje roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami. (c2 = a2+ b2). �

23


Právě rovnicia2 + b2 = c2

lze zařadit jako třetí do systému nezávislých rovnic popisujících pravoúhlýtrojúhelník.

Na tomto místě je nutné zdůraznit, že při rozhodování o tom, zdali je či nenídaný trojúhelník pravoúhlý, nepoužíváme Pythagorovu větu, ale obrácenouPythagorovu větu:

Věta 3.3.15: (Obrácená věta k Pythagorově větě)Jestliže je obsah čtverce sestrojeného nad jednou stranou trojúhelníka rovensoučtu obsahů čtverců sestrojených nad zbývajícími dvěma stranami (tj. platí-li c2 = a2 + b2), potom je daný trojúhelník pravoúhlý (s přeponou c). �

*****V mnoha matematických příručkách a učebnicích bychom mohli vyhledat de-sítky dalších vět týkajících se nejrůznějších zajímavých vztahů platících vtrojúhelnících. Za všechny uveďme závěrem alespoň dvě věty, které jsou dourčité míry pokračováním a upřesněním již zmíněné Paschovy věty. Jsou tověty platící v obecnější geometrii než je geometrie eukleidovská, a to v tzv.geometrii afinní, o které se ještě zmíníme.

Věta 3.3.16: (Menelaova věta) Je dán trojúhelník ABC a přímka p, kteráneprochází žádným z bodů A, B, C a protíná přímky AB, BC, CA po řadě vbodech C ′, A′, B′ (obr. 3.3.19). Potom je

(ABC ′) · (BCA′) · (CAB′) = 1. �

AB

C

C’

A’B’p

Obr. 3.3.19

AB

C

C’

A’B’ M

Obr. 3.3.20

Věta 3.3.17: (Cevova věta) Je dán trojúhelník ABC a bod M neležící naobvodě trojúhelníka ABC. Průsečíky přímek AM , BM , CM s přímkami BC,CA, AB označme po řadě A′, B′, C ′ (obr. 3.3.20). Potom je

(ABC ′) · (BCA′) · (CAB′) = −1. �

24


3.4 Čtyřúhelník

Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení dvou trojúhelníků ACB,ACD ležících v opačných polorovinách s hraniční přímkou AC, jestliže žádnétři body A, B, C, D nejsou kolineární. Uvedená definice čtyřúhelníka při-pouští, že daný útvar může být i nekonvexní. Nekonvexními čtyřúhelníky sezabývat nebudeme, a proto pod názvem čtyřúhelník budeme nadále rozumětvždy jen čtyřúhelník konvexní — v opačném případě bychom nekonvexnostčtyřúhelníka zdůraznili!

A

B

C

D

Obr. 3.4.1

A

B

C

D

Obr. 3.4.2

Body A, B, C, D se nazývají vrcholy čtyřúhelníka, úsečky a = AB, b =BC, c = CD, d = DA se nazývají strany čtyřúhelníka a úsečky e = AC,f = BD nazýváme úhlopříčky. Vnitřní úhly čtyřúhelníka ABCD jsouúhly ∠DAB = α, ∠ABC = β, ∠BCD = γ, ∠CDA = δ.

Sjednocení stran tvoří tzv. obvod čtyřúhelníka, body čtyřúhelníka nenáleže-jící obvodu jsou body vnitřku čtyřúhelníka, body nenáležející čtyřúhelníkujsou body vnějšku čtyřúhelníka.

Se čtyřúhelníky (konvexními!) jsme se setkali již v kapitolách týkajících seHilbertovy axiomatické soustavy, a proto do této kapitoly patří rovněž všechnyvěty eukleidovské geometrie, které již byly uvedeny (např. α+β+γ+δ = 360◦).

Čtyřúhelníky dělíme na

• rovnoběžníky (a ‖ c ∧ b ‖ d):

– pravoúhelníky (α, β, γ, δ = R) — čtverec (a = b = c = d) (obr.3.4.3) a obdélník (a = c 6= b = d)(obr. 3.4.4)

a

a

a

a

Obr. 3.4.3

a

b

a

b

Obr. 3.4.4

25


– kosoúhelníky (α, β, γ, δ 6= R) — kosočtverec (a = b = c = d) (obr.3.4.5) a kosodélník (a = c 6= b = d) (obr. 3.4.6)

a

a

a

a

Obr. 3.4.5

a

b

a

b

Obr. 3.4.6

• lichoběžníky (a ‖ c ∧ b 6‖ d) (obr. 3.4.7) — a, c jsou tzv. základny ab, d tzv. ramenaspeciálními případy jsou lichoběžník rovnoramenný (b = d) (obr. 3.4.8)a pravoúhlý (α = R) (obr. 3.4.9)

a

b

c

d

Obr. 3.4.7

c

a

bb

Obr. 3.4.8

a

b

c

d

Obr. 3.4.9

• různoběžníky (a 6‖ c ∧ b 6‖ d)mezi ně patří např. tzv. deltoid (d = a 6= b = c) (obr. 3.4.10)

a

b

b

a

Obr. 3.4.10

Věta 3.4.1: Protější strany rovnoběžníka jsou stejně dlouhé, protější úhlyshodné, součet sousedních úhlů dává úhel přímý a úhlopříčky rovnoběžníka senavzájem půlí. �

Věta 3.4.2: Úhlopříčky obdélníka jsou stejně dlouhé. �

Věta 3.4.3: Úhlopříčky kosočtverce jsou navzájem kolmé. �

Věta 3.4.4: Úhlopříčky čtverce jsou stejně dlouhé a navzájem kolmé. �

26


Každému trojúhelníku lze vepsat i opsat kružnici, u čtyřúhelníků však tomuobecně tak být nemusí. Některým lze opsat kružnici (tzv. tětivové čtyř-úhelníky— obdélník, rovnoramenný lichoběžník, čtverec), jiným vepsat (tzv.tečnové čtyřúhelníky— např. kosočtverec, deltoid, čtverec), většinou všaknelze kružnici ani opsat ani vepsat. Čtyřúhelník, jemuž můžeme opsat i ve-psat kružnici (středy mohou, ale nemusejí splývat) se nazývá dvojstředovýčtyřúhelník — např. čtverec.

Věta 3.4.5: Součet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníka je úhelpřímý (α+ γ = β + δ = 2R). �

Důkaz: (obr. 3.4.11) Podle věty o středovém a obvodovém úhlu snadno na-hlédneme, že platí 2α + 2γ = 4R (viz obr.) a odtud α + γ = 2R. Dáleα+ β + γ + δ = 4R, a proto β + δ = 2R. Q.E .D.

2γ

γ

2α

αA

B

C

D

Obr. 3.4.11

A

B

C

D

S

Ta

Tc

Td

Tb

xx y

y

z

zu

u

Obr. 3.4.12

Věta 3.4.6: Součty velikostí obou dvojic protějších stran tečnového čtyřúhel-níka jsou si rovny (a+ c = b+ d). �

Důkaz: (obr. 3.4.12) Snadno bychom dokázali, že délky tečen z bodu A (tj.velikosti úseček měřených od bodu A k dotykovým bodům Ta, Td) jsou stejné( 4ATdS ∼= 4ATaS (Ssu) ⇒ |ATd| = |ATa|) ; obdobně i pro délky tečen zbodů B, C a D. Jestliže |ATa| = x, |BTb| = y, |CTc| = z a |DTd| = u, potoma = x+y, b = y+z, c = z+u, d = u+x a odtud a+c = x+y+z+u = b+d.Q.E .D.

3.5 Mnohoúhelník

Trojúhelník a čtyřúhelník patří mezi tzv. mnohoúhelníky nebo jiným názvemn-úhelníky.

Nechť je v rovině dáno n různých bodů A1, A2,. . . ,An (n ≥ 3) takových, ževšechny vždy leží pouze v jedné polorovině určené hraniční přímkou spojujícídva po sobě jdoucí body Ai a Ai+1 (i = 1, . . . , n a An+1 = A1), přičemž

27


žádné tři body nejsou kolineární. Mnohoúhelníkem (nebo n-úhelníkem)A1A2 . . . An nazýváme průnik všech takto určených polorovin.6 Pro n = 3,resp. n = 4 obdržíme trojúhelník, resp. čtyřúhelník.

Body A1, A2,. . . , An se nazývají vrcholy mnohoúhelníka, úsečky A1A2,A2A3, . . . , AiAi+1, . . .An−1An, AnA1 se nazývají strany mnohoúhelníkaa úsečky spojující nesousední vrcholy nazýváme úhlopříčky mnohoúhel-níka. Vnitřní úhly mnohoúhelníka A1A2 . . . An jsou úhly ∠AnA1A2,∠A1A2A3,. . . , ∠An−1AnA1.

A1 A2

A3

An-1

An

Obr. 3.5.1

Sjednocení stran tvoří tzv. obvod mnohoúhelníka, body mnohoúhelníkanenáležející obvodu jsou body vnitřku mnohoúhelníka, body nenáležejícímnohoúhelníku jsou body vnějšku mnohoúhelníka.

Věta 3.5.1: Počet úhlopříček n-úhelníka je dán vztahem un =n(n−3)2 . �

Věta 3.5.2: Součet vnitřních úhlů n-úhelníka je (n− 2) · 2R. �

Jsou-li všechny strany i vnitřní úhly navzájem shodné, potom se daný mnoho-úhelník nazývá pravidelný. Pro n = 3 dostáváme rovnostranný trojúhelník,pro n = 4 čtverec. O pravidelných mnohoúhelnících se ještě zmíníme v kapitole5.2 věnované eukleidovským konstrukcím.

3.6 Souřadnicová soustava v rovině

K určení polohy bodu v rovině užíváme tzv. souřadnicových soustav,z nichž nejdůležitější jsou pravoúhlé souřadnicové soustavy. Při zavádění sou-řadnicových soustav jde o určení vzájemně jednoznačného zobrazení množinyvšech bodů roviny E2 na množinu R2 = R × R (obě množiny pak často zto-tožňujeme a píšeme E2 = R2).6Uvedená definice nepřipouští, že by daný útvar mohl být nekonvexní. Nekonvexní mno-

hoúhelník by bylo nutné definovat jiným způsobem.

28


V rovině zvolíme dvě různoběžky x, y s průsečíkem O, který nazýváme po-čátek souřadnicové soustavy. Přímku x (resp. y) nazveme první (resp.druhou) souřadnicovou osou. Dále zvolme dva body X ∈ x a Y ∈ y(X, Y 6= O). Počátek O dělí každou z os na dvě polopřímky. Polopřímku OX(resp. OY ) nazveme první (resp. druhou) kladnou souřadnicovou polo-osou— značíme x+ (resp. y+). Polopřímku opačnou k polopřímce OX (resp.OY ) nazveme první (resp. druhou) zápornou souřadnicovou poloosou— značíme x− (resp. y−). Úsečku OX (resp. OY ) považujeme za jednot-kovou úsečku na ose x (resp. y) a vztahujeme k ní všechny délky na danéose.

P x y[ , ]

x

y

X

Y

0 P1

P2

Obr. 3.6.1

Polohu libovolného bodu P roviny určíme následovně: Bodem P vedeme rov-noběžky s osami x a y a jejich průsečíky s osami x a y označíme po řadě P1 aP2. První (neboli x-ovou) souřadnicí bodu P nazýváme číslo x0 = ξ|OP1|,přičemž ξ = 1, resp. ξ = −1, právě když bod P1 náleží první kladné, resp. zá-porné poloose. Druhou (neboli y-ovou) souřadnicí bodu P nazýváme čísloy0 = ν|OP2|, přičemž ν = 1, resp. ν = −1, právě když bod P2 náleží druhékladné, resp. záporné poloose. Počátek O má souřadnice x0 = 0, y0 = 0. BodP se souřadnicemi x0, y0 značíme P [x0, y0], popř. P = [x0, y0].

x

y

X

Y

0θ

Obr. 3.6.2

x

y

X

Y

0

Obr. 3.6.3

x

y

X

Y

0

Obr. 3.6.4

V závislosti na úhlu θ, který svírají osy x a y, a na délkách jednotkových

29


úseček OX, OY rozlišujeme následující typy souřadnicových soustav:

• jestliže θ = |∠x, y| 6= π2 , hovoříme o kosoúhlé souřadnicové soustavě

{O;x, y} (obr. 3.6.2);• jestliže θ = |∠x, y| = π

2 , hovoříme o pravoúhlé (ortogonální) souřad-nicové soustavě {O;x, y} (obr. 3.6.3);• jestliže θ = |∠x, y| = π

2 a navíc |OX| = |OY |, hovoříme o kartézské(ortonormální) souřadnicové soustavě {O;x, y} (obr. 3.6.4).

Je-li orientovaný úhel vymezený kladnou poloosou x+ a zápornou poloosou y+

(v tomto pořadí!) kladně orientovaný, hovoříme o kladně orientované sou-řadnicové soustavě {O;x, y} (viz předcházející obrázky); v opačném případěhovoříme o záporně orientované souřadnicové soustavě {O;x, y}.Vzorec pro eukleidovskou vzdálenost bodů P1[x1, y1] a P2[x2, y2] v kartézskésoustavě souřadnic(!) má tvar

|P1P2| =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

Každou přímku v rovině lze popsat pomocí tzv. obecné rovnice přímky

ax+ by + c = 0, kde a, b, c ∈ R ∧ [a, b] 6= [0, 0].

Rovnice kružnice s středem S[m,n] a poloměrem r v kartézských souřadni-cích(!) je

(x−m)2 + (y − n)2 = r2.

Závěrem se zmíníme o souvislosti bodů eukleidovské roviny E2 s komplexnímičísly. Každé komplexní číslo z ∈ C lze zapsat ve tvaru

z = x+ iy, kde i2 = −1 ∧ x, y ∈ R;

Re(z) = x (resp. Im(z) = y) je tzv. reálná (resp. imaginární) složkakomplexního čísla. Uvedený zápis nazýváme kartézský tvar komplexníhočísla. Číslo z∗ = x−iy je tzv. číslo komplexně sdružené s číslem z = x+iy.Dále definujeme absolutní hodnotu komplexního čísla předpisem

|z| =√

x2 + y2 =√

z · z∗.

Protože každému komplexnímu číslu z přísluší právě jedna uspořádaná dvojice[x, y] reálných čísel, lze je znázornit jako bod [x, y] v kartézské souřadnicovésoustavě. Jde tedy o vzájemně jednoznačné zobrazení množiny C = R2 = R×Rna množinu všech bodů eukleidovské roviny E2 s kartézskou soustavou souřad-nic {O;x, y}. Při této interpretaci pak přímo ztotožňujeme komplexní čísla s

30


body roviny, které jim odpovídají. Dostáváme tak tzv. rovinu komplexníchčísel (neboli komplexní rovinu, popř. Gaussovu rovinu). První souřadni-covou osu pak označujeme jako reálná osa a druhou souřadnicovou osu jakoimaginární osa.

z = = | |(cos + sin ) = ex+yi z iα α iα| |z

reálná osax

y|z|

α

Obr. 3.6.5

Od geometrické interpretace komplexních čísel je již pouhý krok k tzv. goni-ometrickému tvaru. Platí x = |z| · cosα a y = |z| · sinα, kde |z| je absolutníhodnota komplexního čísla (neboli tzv. modul) a α je velikost orientovanéhoúhlu s počátečním ramenem Re+ (kladná reálná poloosa) a koncovým rame-nem 0z (polopřímka vycházející z počátku a jdoucí obrazem komplexního číslaz) — tzv. argument komplexního čísla. Proto můžeme psát

z = |z| · (cosα+ i sinα).

Komplexní čísla je někdy vhodné psát v tzv. exponenciálním tvaru, kterýje dán vztahem

z = |z|eiα = |z|(cosα+ i sinα).

3.7 Množiny bodů dané vlastnosti

DEFINICE 3.7.1: Množina všech bodů dané vlastnosti V je množina Mvšech bodů základní množiny, které splňují tyto požadavky:(i) každý bod množiny M má danou vlastnost V,(ii) každý bod základní množiny, který má danou vlastnost V, patří do mno-žiny M . �

Uveďme příklady některých jednoduchých množin bodů dané vlastnosti v ro-vině (tj. rovina E2 je základní množinou), které se často objevují při řešeníplanimetrických konstrukčních úloh.

31


1. Množinou všech bodů roviny, které mají od daného bodu S vzdálenostr ∈ <+, je kružnice se středem S a poloměrem r.

M = {X ∈ E2; |SX| = r}, tj.M = k(S, r)

2. Množinou všech bodů roviny, které mají od dané přímky p vzdálenosta ∈ <+, je dvojice rovnoběžek s přímkou p, jejichž vzdálenost od přímkyp je a.7

a

a p

q1

q2

Obr. 3.7.1

M = {X ∈ E2; |X, p| = a}, tj.M = q1 ∪ q2,kde q1 ‖ q2 ‖ p ∧ |q1, p| = |q2, p| = a

3. Množinou všech bodů roviny, které mají od dané kružnice k(S, r) vzdá-lenost a ∈ <+ (0 < a < r), je dvojice kružnic soustředných s kružnicí ko poloměrech r − a a r + a.8

a

a

kl1

l2

S

Obr. 3.7.2

M = {X ∈ E2; |X, k| = a}, tj.M = l1 ∪ l2,kde l1(S, r − a) ∧ l2(S, r + a)

4. Množinou všech bodů roviny, které mají od dvou různých bodů A, Bstejnou vzdálenost, je osa úsečky AB.

A B

o

S

Obr. 3.7.3

M = {X ∈ E2; |AX| = |BX|}, tj. M = o,kde o ⊥ AB ∧ S ∈ o (S – střed úsečky AB)

5. Množinou všech bodů konvexního úhlu ∠AV B, které mají stejnou vzdá-lenost od obou ramen úhlu AV B, je osa úhlu AV B.

o

A

V

B

R

Obr. 3.7.4

M = {X ∈ ∠AV B; |X, 7→ V A| =|X, 7→V B|}, tj.M = 7→V R, kde R ∈ ∠AV B∧ ∠AV R ∼= ∠BV R

7tzv. ekvidistanta přímky.8tzv. ekvidistanta kružnice.

32


6. Množinou všech bodů roviny, které mají od dvou daných rovnoběžek p, qstejnou vzdálenost, je osa rovinného pásu určeného těmito rovnoběžkami.

d

d

p

q

o

Obr. 3.7.5

M = {X ∈ E2; |X, p| = |X, q|}, tj. M = o,kde o ‖ p ‖ q ∧ |o, p| = |o, q|

7. Množinou všech bodů roviny, které mají od dvou daných různoběžek p,q stejnou vzdálenost, je sjednocení os všech úhlů určených těmito růz-noběžkami.

p

q

o1

o2

Obr. 3.7.6

M = {X ∈ E2; |X, p| = |X, q|}, tj.M =o1∪o2, kde o1∪o2 je sjednocení os všech čtyřkonvexních úhlů určených různoběžkami p, q

8. Množinou vrcholů všech pravých úhlů v rovině, jejichž ramena procházejídvěma různými body A, B, je tzv. Thaletova kružnice s průměrem AB,tj. kružnice s průměrem AB s výjimkou bodů A a B.

popř.Množinou všech bodů v rovině, ze kterých je úsečku AB vidět pod pra-vým úhlem, je tzv. Thaletova kružnice s průměrem AB, tj. kružnice sprůměrem AB s výjimkou bodů A a B.

A BS

Obr. 3.7.7

M = {X ∈ E2; |∠AXB| = 90o}, tj. M =k(S, |AB|

2 )\{A,B}, kde S je střed úsečky AB

9. Jsou dány dva různé body A, B a konvexní úhel o velikosti ϕ, který nenínulový, přímý, ani plný. Množinou vrcholů X všech úhlů v rovině, jejichžramena procházejí body A, B a pro jejichž velikost platí |∠AXB| = ϕ,je sjednocení dvou shodných oblouků k̂1, k̂2 s krajními body A, B svýjimkou bodů A, B.

popř.Množinou všech bodů v rovině, ze kterých je úsečku AB vidět pod úhlemo velikosti ϕ (0 < ϕ < π), je . . .

33


A B

k1

k2

ϕ

ϕ

Obr. 3.7.8

M = {X ∈ E2; |∠AXB| = ϕ}, tj. M =k̂1 ∪ k̂2 \ {A,B}

Při důkazu tvrzení Útvar U je množinou M všech bodů dané vlastnosti V jetřeba ověřit rovnost dvou množin U =M . Musíme tedy dokázat:a) U ⊂M , tzn. (∀X ∈ E2)(X ∈ U ⇒ X ∈M) — každý bod patřící útvaru

U má vlastnost Vb) M ⊂ U , tzn. (∀X ∈ E2)(X ∈M ⇒ X ∈ U) — každý bod s vlastností Vpatří útvaru U

Implikaci b) často nahrazujeme obměněnou implikacíb)∗ (∀X ∈ E2)(X 6∈ U ⇒ X 6∈ M) — žádný bod nepatřící útvaru U nemávlastnost V

Ukažme si provedení důkazu pro případ, kdy útvar U je osa úsečky AB aM jemnožina všech bodů v rovině, které mají od bodů A, B stejnou vzdálenost︸︷︷︸

vlastnost V

:

a) Dokazujeme: každý bod patřící útvaru U má vlastnost VStřed S, který náleží ose o, má samozřejmě vlastnost V.(obr. 3.7.9) Libovolný bod X ∈ o, X 6= S, spolu s body A, S a B, S určujetrojúhelníky ASX a BSX, které jsou shodné podle věty sus (AS ∼= BS,∠ASX = R a ∠BSX = R, SX je společná strana), a proto AX ∼= BX, tj.|AX| = |BX|.

A B

o

S

X

Obr. 3.7.9

A B

o

S

X

Y

Obr. 3.7.10

34


b) Dokazujeme: žádný bod nepatřící útvaru U nemá vlastnost VNa přímce AB leží jediný bod mající od bodů A, B stejnou vzdálenost a tímje střed S, který však náleží ose.(obr. 3.7.10) Zvolme mimo přímku AB bod Y , který nenáleží ose úsečky AB.Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že mezi body A, Y leží bod X ∈ o,tj. |AY | = |AX|+ |XY |. Pro bod X navíc podle části a) platí |AX| = |BX|.Závěrem aplikujeme trojúhelníkovou nerovnost na trojúhelník BY X, tj.

|BX|︸︷︷︸=|AX|

+|XY |

︸︷︷︸=|AY |

> |BY |,

a proto |AY | 6= |BY |. Q.E .D.

Množinami bodů dané vlastnosti mohou být přímky, kružnice, podmnožinypřímek a kružnic, může se dokonce jednat i množinu izolovaných bodů, resp.i o množinu prázdnou. Množin všech bodů dané vlastnosti lze užít přímo ik definování — například kružnice k(S, r) je množinou všech bodů v rovině,které mají od pevného bodu S danou vzdálenost r > 0.

V geometrických úlohách se množiny všech bodů dané vlastnosti objevujívelmi často. Jedná se především o úlohy typu:a) Určete množinu všech bodů dané vlastnosti.b) Sestrojte množinu všech bodů dané vlastnosti.

V kapitole 5 se zmíníme o konstrukčních úlohách řešených metodou množinbodů dané vlastnosti. Jak uvidíme, při řešení touto metodou hledáme dvěmnožiny, z nichž každá je množinou všech bodů jisté vlastnosti požadovanév zadání úlohy. Každý společný bod obou množin pak vede k řešení úlohy.Často je např. požadována konstrukce kružnice splňující dané podmínky. Ztohoto důvodu je vhodné zmínit se o některýchmnožinách středů všech kružnicsplňujících určitou vlastnost (s řadou těchto množin jsme se již setkali).

Množinou středů všech kružnic, které procházejí dvěma různými body A, B jeosa o úsečky AB.

Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dvou rovnoběžných přímeka, b, je osa pásu určeného těmito rovnoběžkami; poloměr % všech takovýchtokružnic je |a, b|/2.Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dvou různoběžných přímeka, b, jsou obě osy o1, o2 různoběžek a, b (sjednocení os všech úhlů určenýchtěmito rovnoběžkami) s výjimkou jejich průsečíku.

Množinou středů všech kružnic, které mají daný poloměr % > 0 a dotýkajíse dané přímky p, jsou dvě přímky q1, q2 rovnoběžné s p, které mají od pvzdálenost %.

35


Množinou středů všech kružnic, které mají daný poloměr % > 0 a dotýkají sedané kružnice k(S, r), jsou za předpokladu % 6= r dvě kružnice k′(S, r + %)(vnější dotyk), k′′(S, |r − %|) (vnitřní dotyk) a za předpokladu % = r jedinákružnice k′.

Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dané přímky a v bodě A, jepřímka p kolmá k přímce a, která prochází bodem A, s výjimkou bodu A.

Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dané kružnice k(S, r) v boděT , je přímka p =↔ST , s výjimkou bodů S a T .

Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dvou soustředných kružnick1(S, r1), k2(S, r2) (předpokládejme r1 < r2), jsou dvě kružnice l(S, r1+r2

2 )(vnější dotyk s k1 a vnitřní dotyk s k2; poloměr % všech dotýkajících se kružnicje potom r2−r1

2 ) (obr. 3.7.11) a l′(S, r2−r12 ) (vnitřní dotyk s k1 i k2; poloměr

%′ všech dotýkajících se kružnic je v tomto případě r1+r22 ) (obr. 3.7.12).

S

k1

r1

r2

k2

l

ρ ρ

Obr. 3.7.11

S

k1

r1

r2

k2

l’

ρ’

ρ’

Obr. 3.7.12

Příklad 3.7.1. Sestrojte kružnici, která se dotýká daných dvou soustřednýchkružnic k1(S, r1), k2(S, r2) (r1 < r2) a třetí kružnice k3(S3, r3). ♦

Množina středů všech kružnic, které se dotýkají soustředných kružnic k1(S, r1)a k2(S, r2) je dvojice kružnic l(S, r1+r2

2 ) a l′(S, r2−r12 ). Zároveň víme, že kruž-

nice, jejichž středy leží na l, mají poloměr % = r2−r12 a kružnice, jejichž středy

leží na l′, mají poloměr %′ = r1+r22 . Množinou středů všech kružnic, které se

dotýkají kružnice k3(S3, r3) a mají daný poloměr % (resp. %′) jsou za předpo-kladu % 6= r3 (resp. %′ 6= r3) dvě kružnice m1(S3, r3+%), m2(S3, |r3−%|) (resp.dvě kružnice m′

1(S3, r3+%′), m′2(S3, |r3−%′|)) a za předpokladu % = r3 (resp.

%′ = r3) jediná kružnice m1 (resp. m′1). Každá z kružnic m1, m2 (existuje-li)

protne kružnici l nejvýše ve dvou bodech a rovněž každá z kružnic m′1, m′

2(existuje-li) protne kružnici l′ ve dvou bodech. Úloha může mít tudíž až osmřešení. �

36


3.8 Mocnost bodu ke kružnici. Chordála. Potenční střed

Mocnost bodu ke kružnici

Věta 3.8.1: Nechť je dána kružnice k(S, r) a bod M , který na ní neleží.Nechť p a p′ jsou dvě libovolné sečny kružnice k, které procházejí bodem M aprotínají kružnici v bodech A, B a A′, B′. Potom platí

|MA| · |MB| = |MA′| · |MB′| = k,

kde k je konstantní číslo (k > 0). �

A

B

A’B’

M

p

p’

Sk

Obr. 3.8.1

A

B

A’

B’

M

p

p’

Sk

Obr. 3.8.2

Důkaz: (i) Uvažujme nejprve vnější bod M kružnice k(S, r) (obr. 3.8.1). Troj-úhelníky MAB′ a MA′B jsou podobné podle věty uu (∠AMB′ = ∠BMA′;∠MAB′ ∼= ∠MA′B, neboť se jedná o obvodové úhly nad týmž obloukem skrajními body B a B′), a proto můžeme psát

|MA||MA′|

=|MB′||MB|

.

Odtud již plyne dokazovaný závěr.

(ii) Nechť je nyní M vnitřní bod kružnice k(S, r) (obr. 3.8.2). TrojúhelníkyMAB′ a MA′B jsou rovněž podobné podle věty uu (∠AMB′ ∼= ∠A′MB, ne-boť se jedná o úhly vrcholové; ∠MAB′ ∼= ∠MA′B, neboť se jedná o obvodovéúhly nad týmž obloukem s krajními body B a B′), a proto můžeme psát

|MA||MA′|

=|MB′||MB|

.

Odtud již opět vyplývá dokazovaný závěr. Q.E .D.

37


Věta 3.8.2: Nechť je dána kružnice k(S, r) a její vnější bod M . Nechť pje libovolná sečna kružnice k, která prochází bodem M a protíná kružnici vbodech A, B, a t je tečna, která se dotýká kružnice k v bodě T . Potom platí

|MA| · |MB| = |MT |2 = k,

kde k je konstantní číslo (k > 0). �

Důkaz: (obr. 3.8.3) Trojúhelníky MAT a MTB jsou podobné podle věty uu(∠AMT = ∠BMT ; ∠MAT ∼= ∠MTB, neboť se jedná o obvodový a úsekovýúhel příslušné k témuž oblouku s krajními body B a T ), a proto můžeme psát

|MA||MT |

=|MT ||MB|

.

Odtud již plyne dokazovaný závěr. Q.E .D.

A

BM

p

S

tT

kdr

Obr. 3.8.3

A

M

p

Sk

Bd

r+d

r-d

Obr. 3.8.4

Věta 3.8.3: Jestliže označíme |MS| = d, potom pro vnější bod M kružnicek(S, r) platí

|MA| · |MB| = |MA′| · |MB′| = . . . = |MT |2 = d2 − r2

a pro vnitřní bod M kružnice k(S, r) platí

|MA| · |MB| = |MA′| · |MB′| = . . . = r2 − d2. �

Důkaz: Je-li bod M vnější (obr. 3.8.3), potom platí |MA| · |MB| = |MA′| ·|MB′|= . . . = |MT |2. Vzhledem k tomu, že 4MST je pravoúhlý s pravýmúhlem při vrcholu T , potom podle Pythagorovy věty můžeme psát |MT |2 =|MS|2 − |ST |2 = d2 − r2.Je-li bod M vnitřní (obr. 3.8.4), potom vedeme sečnu p středem S. Potom|MA| = r + d, |MB| = r − d a odtud |MA| · |MB| = |MA′| · |MB′| = . . . =(r + d) · (r − d) = r2 − d2. Q.E .D.

38


DEFINICE 3.8.1: Nechť je dán bodM a kružnice k(S, r). Označme vzdálenost|MS| = d.Mocností bodu M ke kružnici k(S, r) (značíme µM

k ) rozumímečíslo

µMk = d2 − r2. �

Důsledek 3.8.1. M je vnější bod kružnice k (tj. d > r), potom µMk =

d2−r2 > 0. M je vnitřní bod kružnice k (tj. d < r), potom µMk = d2−r2 < 0.

M je bod na kružnici k (tj. d = r), potom µMk = d2 − r2 = 0. �

Chordála dvou nesoustředných kružnic

Příklad 3.8.1. Určete množinu všech bodů v rovině, které mají stejnou moc-nost ke dvěma zadaným nesoustředným kružnicím k1, k2. ♦

Jsou dány kružnice k1(S1, r1) k2(S2, r2) (S1 6= S2). Chceme určit množinu

M = {X ∈ E2; µXk1 = µX

k2}.

X x y0 0[ , ]

x

y

S1

k1

S2

k2

Obr. 3.8.5

Pro určení uvedené množiny použijeme analytickou metodu souřadnic. Zakladnou poloosu x+ zvolíme polopřímku S1S2. Potom je S1[0, 0], S2[s, 0] (s 6=0) a libovolný bod X množinyM nechť má souřadnice [x0, y0]. Pro tento bodplatí

µXk1 = µX

k2 ,

tj. podle definice mocnosti (d2 − r2)

|XS1|2 − r21 = |XS2|2 − r22.

Použitím vzorce pro eukleidovskou vzdálenost můžeme psát

x20 + y20 − r21 = (x0 − s)2 + y20 − r22

39


a po úpravě dostáváme

x0 =s2 + r21 − r22

2s.

Bod X[x0, y0] tudíž leží na přímce rovnoběžné s osou y o rovnici x = s2+r21−r222s .

Pouhým obrácením postupu bychom snadno ověřili (Proveďte!), že pro každý

bod X přímky o rovnici x = s2+r21−r222s platí µX

k1= µX

k2.

Závěr:Množinou všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke kružnicímk1(S1, r1) a k2(S2, r2) (|S1S2| = s 6= 0) je přímka c kolmá na přímku↔ S1S2,

jejíž patou je bod P ∈7→S1S2, pro který platí |S1P | = s2+r21−r222s . �

DEFINICE 3.8.2: Přímka c, která je množinou všech bodů v rovině majícíchstejnou mocnost k nesoustředným kružnicím k1 a k2, se nazývá chordálakružnic k1, k2. �

Příklad 3.8.2. Sestrojte chordálu dvou nesoustředných kružnic k1, k2. ♦a) k1, k2 se protínají v bodech A, B. Platí A ∈ k1 ⇒ µA

k1= 0 a A ∈ k2 ⇒

µAk2= 0. Bod A je jedním bodem chordály. Ze stejného důvodu i B ∈ c,

tj. c =↔ AB (obr. 3.8.6).

b) k1, k2 se dotýkají v bodě T . Platí T ∈ k1 ⇒ µTk1= 0 a T ∈ k2 ⇒

µTk2= 0. Bod T je jedním bodem chordály. Dále víme: c ⊥↔ S1S2 (obr.

3.8.7).

c) k1 ∩ k2 = ∅ — viz dále (potenční střed) �

S1

k1

S2

k2

c

A

B

Obr. 3.8.6

S1

k1

S2

k2

c

T

Obr. 3.8.7

Potenční střed tří (po dvou nesoustředných) kružnic

Příklad 3.8.3. Jsou dány kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2), k3(S3, r3) (S1 6=S2 6= S3 6= S1). Vyšetřete, zdali existuje bod, který by měl stejnou mocnostke všem kružnicím. ♦

40


a) S1, S2, S3 — kolineární. Potom chordály ch12, ch23, ch31 jsou navzájemrovnoběžné, přičemž buďto všechny splynou (nekonečně mnoho hleda-ných bodů) (obr. 3.8.9), anebo žádné dvě spolu nesplynou (ani jeden bodvyhovující podmínce ze zadání) (obr. 3.8.8).

S2S1

k2

k1

S3

k3

ch12ch13 ch23

Obr. 3.8.8

S2S1

k2

k1

S3

k3

ch =ch =ch12 13 23

T

Obr. 3.8.9

b) S1, S2, S3 — nekolineární. Potom se chordály ch12, ch23, ch31 protínajív jednom bodě (jediný bod vyhovující podmínce ze zadání) (obr. 3.8.10).

S2

S1

k2

k1

S3

k3

ch12

ch13

ch23P

Obr. 3.8.10

S2S1

k2k1

k3

ch12

ch13

ch23

P

Obr. 3.8.11

DEFINICE 3.8.3: Bod P , který má stejnou mocnost ke kružnicím k1, k2, k3se nazývá potenční střed kružnic k1, k2, k3. �

Příklad 3.8.4. Sestrojte chordálu dvou nesoustředných kružnic k1, k2 bezspolečného bodu. ♦

(obr. 3.8.11) Sestrojíme libovolnou pomocnou kružnici k3(S3, r3) tak, že jejístřed S3 neleží na středné S1S2, přičemž k3 protíná k1 i k2. Chordála ch13kružnic k1, k3 protíná chordálu ch23 kružnic k2, k3 ve společném potenčnímstředu P kružnic k1, k2, k3. Kolmice z bodu P na přímku S1S2 je hledanáchordála kružnic k1, k2. �

41


3.9 Nevlastní prvky. Rozšířená Eukleidova rovina

Vlastnost býti incidentní v Eukleidově rovině E vykazuje nedostatek symetrie— zatímco každé dva body incidují s jednou přímkou, neplatí, že každé dvěpřímky (speciálně dvě různé rovnoběžky) incidují s jedním bodem! Naše dalšíúvahy jsou tudíž vedeny snahou odstranit tuto nejednotnost, a to přidánímspeciálních „bodů v nekonečnuÿ.

DEFINICE 3.9.1: Nevlastní přímkou nazýváme množinu p∞ ={s; s je směr v rovině E}; ostatní přímky roviny E označujeme jako vlastní.Prvky množiny p∞ (tj. směry) nazýváme nevlastní body (značíme A∞,B∞, P∞ apod.); ostatní body roviny E označujeme jako vlastní. Rozšířenáeukleidovská rovina E se skládá z roviny E a všech nevlastních bodů. �

p

A B

C

a1

c1

b1

a2

c2

b2 a3E2

Obr. 3.9.1

V rozšířené rovině platí pro vlastní útvary (vlastní body a vlastní přímky)všechny dříve uvedené axiómy a věty. Ovšem pro nevlastní útvary předpoklá-dáme platnost následující jednoduché věty.

Vlastní přímka prochází svým nevlastním bodem, který je asociován s jejímsměrem.

Všimněme si nyní podrobněji incidence v rovině E:

Věta 3.9.1: Každé dva různé body určují jedinou přímku. �

Důkaz: Mohou nastat tři případy:• A, B – oba vlastní. Potom tyto body podle axiómu [I-1] určují jedinouvlastní přímku p v rovině E, tj. i v E;• A – vlastní, B∞ – nevlastní. Potom podle axiómu [R] existuje jedinávlastní přímka p v rovině E, tj. i v E procházející bodem A a náležejícísměru b určeném bodem B∞;• A∞, B∞ – oba nevlastní. Potom tyto body určují jedinou nevlastnípřímku p∞ v rovině E. Q.E .D.

42


Věta 3.9.2: Každé dvě různé přímky určují jediný bod. �

Důkaz: Opět mohou nastat tři případy:

• p, q – obě vlastní a současně p 6‖ q. Potom se tyto přímky protínají vjediném vlastním bodě P v rovině E, tj. i v E;• p, q – obě vlastní a současně p ‖ q. Potom tyto přímky náležejí témužsměru v rovině E a protínají se v jediném nevlastním bodě P∞ v roviněE;• p – vlastní, q∞ – nevlastní. Potom přímka p má v rovině E jediný ne-vlastní bod P∞, který současně náleží q∞. Q.E .D.

Přirozená představa nevlastních bodů jako „bodů v nekonečnuÿ umožňujerozšířit pojem dělicího poměru:

(ABC∞) = limx→∞

d+ x

x= 1, (resp. lim

x→∞

x

d+ x= 1).

Dělicí poměr nevlastního bodu přímky p vzhledem k libovolným dvěmazákladním bodům A 6= B této přímky je roven 1 (tj. (ABC∞) = 1).

Předcházející přístup k dělicímu poměru samozřejmě umožňuje i obecnějšíchápání dvojpoměru čtyř bodů, např.

(ABCD∞) =(ABC)(ABD∞)︸︷︷︸

=1

= (ABC).

Neboť dělicí poměr středu úsečky vzhledem k jejím krajním bodům je roven−1, snadno nahlédneme, že střed úsečky AB je harmonicky sdružen s nevlast-ním bodem přímky určené body A, B vzhledem k bodům A, B.9

V kapitole 4.10 věnované kruhové inverzi se seznámíme s jiným rozšířenímeukleidovské roviny, kde na rozdíl od roviny E (přímka nevlastních bodů)vystačíme jen s jedním(!) nevlastním bodem.

9Tvrzení, že střed S úsečky AB je harmonicky sdružen s nevlastním bodem P∞ přímkyAB vzhledem k bodům A, B, můžeme jinak formulovat ve tvaru: body A, B, S, P∞ tvoříharmonickou čtveřici.

43

3 Elementární geometrické objekty v rovině a vztahy mezi nimivinkle/mafynet/GeoGebra/matematika/planime... · 2013. 12. 7. · 3. Elementární geometrické objekty v rovině

Documents