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Primer Cuatrimestre de 2014
Departamento de Produccin y Trabajo
Carrera: Ingeniera en Informtica
Asignatura: Fsica I
Material de Trabajo
Gua terico-prctica N 3 Dinmica
Elaboracin: Gustavo Montero Miguel DallOsso
Toms Manuel Jovic Miguel Rodrguez Paulina Armagno
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Leyes del Movimiento de Newton
Se ha dicho en reiteradas ocasiones, incluso muchos de nuestros
libros de fsica lo hacen, que la Cinemtica estudia el movimiento de
los cuerpo sin importar las causas que lo producen y que la Dinmica
estudia las causas que producen el movimiento. Lo cierto es que la
dinmica aborda principalmente el estudio de las fuerzas, y estas a
partir de las leyes de Newton.
La paradoja es que en este esquema de razonamiento, las fuerzas
seran las causas del movimiento, llevndonos a pensar que si las
fuerzas son las causas del movimiento, entonces los cuerpos no se
mueven si no actan fuerzas sobre ellos. Muy en sintona con lo que
nos indica el sentido comn, pero muy lejos de lo que nos muestran
las leyes de Newton.
Las leyes de Newton vienen a romper justamente con la idea
aristotlica del movimiento de los cuerpos donde, tal cual lo
expresado en el prrafo anterior, los cuerpos sobre los cuales no
acta ninguna fuerza tienden a su estado natural de reposo.
Las leyes de Newton, en fuerte contradiccin con el sentido comn
y por ende con la teora aristotlica del movimiento enuncian: 1ra
ley: Un cuerpo sobre el que no acta ninguna fuerza neta, se mueve
con velocidad constante. Pudiendo tambin estar en reposo (v=0)
La primera ley no nos habla entonces de las fuerzas como una
causa del movimiento, de hecho no nos importa qu lo puso en
movimiento, sino que el planteo es para los cuerpos que se mueven
con velocidad constante (ya estn en movimiento!) y seguirn con MRU
hasta que una fuerza resultante acte sobre ellos. 2da ley: Si una
fuerza neta acta sobre un cuerpo, ste adquiere una aceleracin en la
misma direccin que la fuerza. La aceleracin ser directamente
proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa
mFa neta
De esta manera obtenemos una relacin cuantitativa entre estas
tres variables
involucradas y queda definida la masa como una caracterstica
propia de los cuerpo relacionada con la aceleracin que adquiere un
cuerpo en relacin a la fuerza involucrada. 3ra Ley: Si un cuerpo A
ejerce una fuerza sobre un cuerpo B (una accin), entonces, B ejerce
una fuerza sobre A (una reaccin). Estas dos fuerzas tienen la misma
magnitud y direccin, pero sentidos opuestos, y actan sobre
diferentes cuerpos.
La tercera ley nos explica que una fuerza es una interaccin, por
lo tanto es un fenmeno que ocurre involucrando a dos cuerpos, en
todas las situaciones. El par de fuerzas Accin- Reaccin, siempre
actan sobre cuerpo diferentes. Nunca el par Accin- Reaccin puede
estar sobre el mismo cuerpo.
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Ejemplo 1: Un coche circula a 90 km/h, cuando el conductor, a la
vista de un obstculo, frena bruscamente y se detiene tras recorrer
50m. Calcula el coeficiente de rozamiento que existe entre el piso
del bal y una caja de 5kg guardada en su interior, si la caja est a
punto de deslizarse mientras frena, pero no lo hace. La maleta al
no estar solidariamente unida al coche, debera (de acuerdo con el
primer principio de la dinmica) seguir su movimiento como si nada
pasase. Si no lo hace, es porque la fuerza de rozamiento que existe
entre ella y el suelo del vehculo impide dicho movimiento. Por
tanto, la maleta, vista desde el exterior del coche, es decir,
vista por un observador inercial, es un objeto que se mueve con
cierta velocidad y que se detiene porque una fuerza (la de
rozamiento con el coche) le obliga a hacerlo. Por tanto:
amFroz . amgm ... ga
Podemos calcular la aceleracin de frenado conociendo la ecuacin
del movimiento del coche y el hecho de que tras recorrer los 50m se
detiene (vf = 0): Como la aceleracin es constante, entonces
1)tva
tsma /25 (donde nos faltar el tiempo t )
Planteamos la ecuacion horaria del espacio dependiente del
tiempo
2) 2..21. tatVx i x =25m/s. t + 2
1 )( a 2t
Reemplazamos la ecuacin 1) en la ecuacion 2) y nos quedar:
m50 = sm /25 . t +21
tsm )/25( 2t m50 = sm /25 . t - 5.12 sm / . t st 4
Con este tiempo calculamos la aceleracin
ssma
4/25
2/25,6 sma
Recordando que amFroz . amgm ... ga
Y habiendo obtenido. a reemplazamos 22
/81,9/25,6smsm
63,o
**Recordar que la fuerza de rozamiento y la aceleracin provocada
deben tener el mismo signo.
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Ejemplo 2: Un cuerpo de 3kg se somete a la accin de una sola
fuerza F perpendicular a la velocidad del cuerpo. El cuerpo recorre
una circunferencia de 2 m de radio y realiza una revolucin completa
cada 3s. a) Cul es el valor de la aceleracin?, b) Cul es el modulo
de F?
La velocidad tangencial de cuerpo en movimiento circular es:
Trv 2
smv
322
smv /
34
rva
2
m
sma
2
/34 2
22
2
/29
16 smm
a
22 /98 sma
Aplicando la 2da ley de Newton
amF 22 /983 smkgF NF 2
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Ejercicio de aplicacin directa: Un cuerpo de se somete a la
accin de una fuerza F perpendicular a la velocidad del cuerpo,
equivalente a 40 N. El cuerpo recorre una circunferencia de 4,5 m
de radio y realiza una revolucin completa cada 1,2s. Cul es el
valor de la masa del cuerpo? Rta: 3,2 kg/2
Ejemplo 3: Una persona jala horizontalmente del bloque B de la
figura, haciendo que ambos bloques se muevan juntos como una
unidad. Mientras este sistema se mueve, elabore un cuidadoso
diagrama de cuerpo libre del sistema, si a) no consideramos el
rozamiento entre ningunas de las superficies de contacto; y si b)
hay friccin entre el bloque B y la mesa solamente, y c) si hay
friccin entre todas las superficies de contacto.
En los ejercicios donde el sistema sometido a las fuerzas
contengan ms de un cuerpo debemos plantear el diagrama de cuerpo
libre (DCL) para cada cuerpo.
Ejercicio de aplicacin directa: Un conductor que circula a 32
m/s por una carreta recta, aplica los frenos y frena. Si
consideramos que el coeficiente de rozamiento entre las llantas y
la carretera es de 0,4. Cunta distancia recorre hasta que se
detiene? Rta: 130,61 m
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Tenemos entonces: a)
DCL Cuerpo A
DCL Cuerpo B
Al no haber rozamiento entre A y B no hay interaccin horizontal
entre ambos cuerpos, por eso solo acta el Peso y la Normal (fuerza
que ejerce B sobre A)
En este diagrama podemos observar que la Normal sobre B (fuerza
que ejerce la mesa sobre B) ser mayor que en el cuerpo A dado que
tendr que contrarrestar los Pesos de ambos cuerpos.
En el eje horizontal solo acta la fuerza F (tirn) y mueve
solamente al cuerpo B. Ntese que por esta razn, si existe F, no hay
manera que el cuerpo B se mueva con velocidad constante. Si acta F
entonces B adquiere aceleracin y su movimiento es un MRUV. Las
ecuaciones que obtenemos de estos diagramas sern: Cuerpo A 0XF No
hay fuerzas en el eje x sobre el cuerpo A
0YF 0 AA PN
Cuerpo B amF BX .
amF b .
b)
DCL Cuerpo A
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DCL Cuerpo B
Cuerpo A 0XF No hay fuerzas en el eje x sobre el cuerpo A
0YF 0 AA PN
Cuerpo B Para el eje X, dependiendo del valor de F podemos tener
3 posibilidades:
1) Si F es mayor a FrA, entonces el cuerpo tendr aceleracin
amF BX . amFrF bA .
2) Si F es igual a FrA, entonces el cuerpo
podr moverse con Velocidad Constante.
0XF 0 AFrF
3) Si F es menor a FrA, entonces el cuerpo no
se mover
0XF 0 AFrF Para el eje Y solo hay una posibilidad. 0YF 0 BAB
PPN
c)
DCL Cuerpo A
Cuerpo A amF AX . amFr AA . En este caso la fuerza de rozamiento
FrA es la interaccin que provoca el movimiento. Advertir que la
fuerza F en ningn momento acta sobre el cuerpo A.
0YF 0 AA PN
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DCL Cuerpo B
Cuerpo B
amF BX .
amFrFrF bBA . Para poder mover el sistema F deber ser mayor que
los valores mximos que podrn tomar ambas fuerzas de rozamiento.
Este es un caso general de abordaje de los ejercicios de dinmica
donde encontramos un sistema de partculas puntuales sometido a ms
de una fuerza en ambos ejes. Para la resolucin de todos los
ejercicios de este tipo ser necesario seguir lo pasos
descriptos:
a) Realizar los diagramas de cuerpo libre para cada cuerpo del
sistema b) Plantear las ecuaciones de sumatorias de fuerzas para
ambos ejes: YF y
XF c) De esta manera debemos poder tener tantas ecuaciones como
incgnitas
tengamos para poder resolver el sistema.
Ejemplo 4: Usted est bajando dos cajas, una encima de la otra,
por la rampa que se muestra en la figura, tirando de una cuerda
paralela a la superficie de la rampa. Ambas cajas se mueven juntas
a rapidez constante de 15cm/s. El coeficiente de friccin cintica
entre la rampa y la caja inferior es 0.444, en tanto que el
coeficiente de friccin esttica entre ambas cajas es de 0.800. a) Qu
fuerza
Ejercicios de aplicacin directa: El bloque A de la figura 5,64
pesa 1,2 N, y el bloque B pesa 3,6 N. El coeficiente de friccin
cintica entre todas las superficies es de 0,3. Determine la
magnitud de la fuerza horizontal necesaria para arrastrar el bloque
B hacia la izquierda con rapidez constante, a) si A descansa sobre
B y se mueve con l y b) si A no se mueve. Rta: a) 1,44 N b) 1,8
N
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deber ejercer para lograr esto? b) Cules son la magnitud y la
direccin de la fuerza de friccin sobre la caja superior? En primer
lugar calculamos el ngulo del plano inclinado para luego poder
calcular las proyecciones de las fuerzas que debamos
descomponer.
mmtg
75,450,2
076,27
Realizamos lo DCL para cada cuerpo: Llamaremos cuerpo A al que
est arriba y cuerpo B al de abajo. Para el cuerpo A
En primer lugar calculamos los valores de los pesos y las
componentes de:
gmP AA . 2/8,9.32 smkgPA NPA 6,313
gmP BB .
2/8,9.48 smkgPB NPB 4,470 Ahora las componentes
cos.AyA PP 076,27cos.6,313 NPyA
NPyA 5,277
senPP AxA . 076,27.4,470 senNPxA
NPxA 09,219 Y la sumatoria de fuerzas 0YF 0 yAA PN NN A
5,277
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Si el sistema sube con velocidad constante entonces ninguno de
los cuerpos tiene aceleracin. Por lo tanto 0xF 0 xAA PFr xAA PFr En
este caso la fuerza de rozamiento mxima viene dada por
AAA NFr .max, NFrA 5,277.8,0max, NFrA 222max, Claramente la FrA,
max es mayor que el valor de PxA, por lo tanto el cuerpo A no est
en movimiento respecto al sistema de referencia tomado. Para el
cuerpo B
Para el caso de los ejercicios con algn plano inclinado conviene
girar los ejes con el fin de evitar tener que descomponer un gran
nmero de fuerzas involucradas. De esta manera solo debemos
descomponer las fuerzas PA y PB. Obteniendo entonces el siguiente
diagrama:
cos.Byb PP
076,27cos.4,470 NPyb NPyb 26,416
senPP BxB .
076,27.4,470 senNPxB NPxB 09,219
Podemos observar que no hay movimiento de ningn tipo en el eje y
por lo tanto no hay aceleracin en este eje. 0YF 0 yByAB PPN
yByAB PPN NNNB 26,4165,277
NN B 76,693
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Dado que se aclara que las cajas sube por la rampa con velocidad
constante, entonces el sistema no tiene aceleracin en el eje x
tampoco. 0XF 0 BA FrFrF AABB NNF ..
NNF 6,313.8,076,693.44,0 NF 13,556
b) Al no estar en movimiento relativo la caja A respecto de B la
fuerza de rozamiento sobre la caja A ser xAA PFr max, NFrA
09,219max,
Ejemplo 5: El bloque B con masa de 5.00 kg descansa sobre el
bloque A cuya masa es de 8.00 kg que, a la vez, est sobre una mesa
horizontal (figura). No hay friccin entre el bloque A y la mesa,
pero el coeficiente de friccin esttica entre el bloque A y el B es
de 0.750. Un cordn ligero atado al bloque A pasa por una polea sin
masa ni friccin, con el bloque C colgando en el otro extremo. Qu
masa mxima que puede tener el bloque C, de modo que A y B an se
deslicen juntos cuando el sistema se suelte del reposo?
Ejercicios de aplicacin directa: Sobre una rampa muy lisa (sin
friccin), un automvil de 1130 kg se mantiene en su lugar con un
cable ligero. El cable forma un ngulo de 31 por arriba de la
superficie de la rampa, y la rampa misma se eleva a 25 por arriba
de la horizontal. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para el
auto. b) Obtenga la tensin en el cable. c) Qu tan fuerte empuja la
superficie de la rampa al auto? Rta: b) 5460 N c) 7220 N
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Planteamos los diagramas de cuerpo libre para cada cuerpo
Cuerpo A
Cuerpo B
Cuerpo C
ammF BAX
ammT BA 0YF
0 BAA PPN
amF BX
amFr BB 0YF
0 BB PN
amF CY
amTP CC
Resolvemos para el cuerpo B
amFr BB amN BB . amgm BB .. ga Resolvemos para A
ammT BA gmmT BA . Reemplazamos en la amF CY
amTP CC gmgmmgm CBAC gmmgmgm BACC gmmgm BAC 1
1BA
Cmmm
75,0175,058
kgkgmC
kgmc 39
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Ejercicios y problemas propuestos para esta unidad Ejercicio 1
En este ejercicio se trabajaran la primera y segunda ley de Newton,
sobre un mismo sistema en diferentes situaciones
Un cuerpo de 2kg cuelga de un dinammetro (calibrado en Newtons)
sujeto al techo de un ascensor segn la figura. Qu lectura indicara
el dinammetro a) cuando el ascensor se mueve hacia arriba con
velocidad constante de 30 m/s, b) cuando el ascensor desciende con
velocidad constante de 30 m/s, c) cuando el ascensor acelera hacia
arriba a 10 m/s2? , d) De t=0 s a t=2 s, el ascensor se mueve hacia
arriba a 10 m/s. Su velocidad se reduce entonces uniformemente a
cero en los siguientes 2 s, de modo que queda en reposo para t=4 s.
Describir la lectura del dinammetro durante el tiempo t=0 s a t=4
s, e) En t=4s, la cuerda se corta que marcara el dinammetro justo
antes de chocar?, f) Podra usted determinar una situacin donde el
ascensor viaje a velocidad constante y que el dinammetro marque 0N?
Justifique su respuesta, g)Cmo deber ser la aceleracin (modulo y
sentido) del ascensor para que el dinammetro marque 0N?
Ejercicio de aplicacin directa: El bloque A pesa 60 N. El
coeficiente de friccin esttica entre el bloque y la superficie
donde descansa es de 0.25. El peso w es de 12N y el sistema est en
equilibrio. a) Calcule la fuerza de friccin ejercida sobre el
bloque A. b) Determine el peso mximo w con el cual el sistema
permanecer en equilibrio Rta: a) 15 N b) 15 N
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Ejercicio 2 En este ejercicio se trabajara el diagrama de cuerpo
libre, la segunda y tercer ley de Newton.
El coeficiente de friccin entre la caja A y la vagoneta de la
figura es 0,6. La caja tiene una masa de 2kg.
a. Realice el diagrama de cuerpo libre la caja A b. Determinar
la aceleracin mnima a de la vagoneta ya la caja para que esta
no se caiga. c. Cul es la magnitud de la fuerza de friccin en
este caso? d. Si la aceleracin supera este mnimo ser entonces mayor
que en b) la
fuerza de friccin? Razonar la respuesta e. Si la aceleracin no
supera el mnimo, Qu sucede con la caja A y porque? f. Demostrar que
para una caja de masa cualquiera, la caja no caer si la
aceleracin es ega / siendo e el coeficiente de friccin
esttica.
Ejercicio 3 En este ejercicio se trabajara conceptos de pares de
fuerzas reactivas, diagramas de cuerpos libres para cada cuerpo en
relacin al otro, descomposicin de las fuerzas que actan sobre el
sistema del plano inclinado.
Dos objetos estn conectados mediante una cuerda de masa
despreciable como indica la figura. El plano inclinado y la polea
carecen de rozamiento. a) Realice los diagramas de cuerpos libres
de cada cuerpo b) Calcule la aceleracin para =30 y m1=m2= 5kg c)
Calcule la aceleracin para valores generales de , m1 y m2 d) Si la
cuerda se cortara, m1 no caera con aceleracin igual a g, justifique
porque sucede esto e) Si el plano y la polea tuviera rozamiento, la
aceleracin generada en el sistema sera menor o mayor?
Justifique
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Ejercicio 4
En este ejercicio se trabajara los diagramas de cuerpos libres
vinculados, descomposicin de fuerzas en el sistema, plano
inclinado, pares de fuerzas reactivas, la segunda y tercera ley de
Newton.
Los bloques A, B y C se colocan como en la figura y se conectan
con cuerdas de masa despreciable. Tanto A como B pesan 25N cada
uno, y el coeficiente de friccin cintica entre cada bloque y la
superficie es de 0.35. El bloque C desciende con velocidad
constante.
a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre que muestre las fuerzas
que actan sobre A, y otro para B.
b) Calcule la tensin en la cuerda que une los bloques A y B.
c) Cunto pesa el bloque C?
d) Si se cortara la cuerda que une A y B, qu aceleracin tendra
C?
e) Si el ngulo de inclinacin seria mayor, Cmo sera la aceleracin
del tem d)? Justifique su respuesta
f) Si se cortara la cuerda entre el bloque B y C, Cmo se vera
afecto el bloque A cuando cambia el sistema? Justifique su
respuesta
Problema E:
Observe el chiste:
a) Identifique todos los casos donde se manifiesten las leyes de
Newton (realice el diagrama de cuerpo libre en caso de ser
necesario).
b) Cmo cambiaria usted la situacin para que el astronauta que
choca los cinco no salga despedido al espacio exterior?
c) Qu hubiera pasado si ambos astronautas hubieran saltado para
chocar los cinco?
d) Qu ocurrir con cada uno de los cuerpos del sistema luego de
un largo tiempo?
e) Si esta misma situacin hubiera pasado sobre la superficie
lunar, Cmo cree usted que terminara el chiste (si resulta ser
chiste al final)?
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Problema F: Observe el grafico:
a) Explique cmo sera el movimiento
del sistema de cuerpos vinculados. b) Exprese la aceleracin del
sistema
cuando se corta la cuerda 1 en funcin de las masas y los ngulos
de inclinacin
c) Exprese la aceleracin del sistema cuando se corta la cuerda 2
en funcin de las masas y los ngulos