3 : DERIVATION - SUJETEXA

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47 Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net : Workbook : Premières C & D : 2015-2016

LISTE DES COMPETENCES

CODE DENOMINATION

D101 savoir déterminer le nombre dérivé en un point

D102 Savoir calculer la dérivée dune monôme

D103 Savoir calculer la dérivée dune polynôme

D104 Savoir calculer la dérivée d’une fonction homographique

D105 Savoir calculer la dérivée d’un produit de deux fonction

D106 Savoir calculer la dérivée d’une somme de fonction

D107 Savoir calculer la dérivée d’un quotient de deux fonctions

D108 Savoir calculer la dérivée de l’inverse d’une fonction

D109 Savoir écrire l’équation de la tangente à une courbe en un point

D110 Savoir déterminer graphiquement le nombre dérivé en un point.

D111 Savoir déterminer les extrema d’une fonction

D112

D113

D114 Savoir déterminer le nombre de racine d’un polynôme, en étudiant les variations

D115 Savoir encadrer la racine d’un polynôme entre deux entiers consécutifs

D116

D117

D118

D119

D120

D121

D122

D123

D124

3 : DERIVATION



Exercice n° 1 Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions définies sur (Attention à l’ensemble de dérivation

1. 3( ) 2 2f x x x et 2 1( ) 2 3g x x x

2. 2 1( )2 3th t et

3 2

( )3 2 5 2x x xy x

3. u définie. Sur ] 0 :+ [ par 21( ) 4u x xx

Exercice n° 2 f est une fonction définie sur par 2 3( ) 1 2 3 7f x x x x . On écrit ( ) ( ) ( )f x u x v x .

1) a) Recopier et compléter : ( )u x = … ( )v x = … ( )u x = …… ( )v x = …..

b) Calculer alors ( )f x pour tout réel x . 2) Développer l’expression de f , dériver et retrouver le résultat du 1b) Exercice n° 3 1. Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes et l’ensemble de dérivation.

a. f définie sur par 2( ) 2f x x x

b. g définie sur par 3( ) 2 1g x x x x

2. Donner une équation des tangentes à fC et gC au point d’abscisse 1

Exercice n° 4

f est la fonction définie sur par 22( ) 2 4f x x x

1. Développer ( )f x et calculer ( )f x pour tout réel x. 2. Autre méthode

a. On écrit 2( ) ( )f x u x . Donner l’expression de ( )u x

b. Calculer ( )f x avec la formule 2 2u uu

3. Quelle est la méthode la plus rapide ? Exercice n°5 Déterminer la fonction dérivée après avoir précisé l’ensemble de définition et de dérivation de chacune des fonctions définies par :

1. 21 2( )

2 4xf xx

2. 1 2( )2 4

xg x xx

Exercice n°6

f est la fonction définie sur \ 0 par 2 1( )f x xx

1. Déterminer la fonction dérivée de f . 2. Déterminer une équation de la tangente à fC au point d’abscisse 2.

3. La droite d’équation 1y x est-elle tangente à la courbe

fC ? Si oui en quel point ?



Exercice n°7

f est la fonction définie sur ]0 ; + [ par f(x) = x

x + 2

1. Déterminer la fonction dérivée de f . 2. La courbe fC admet-elle une tangente horizontale ?

Si oui en quel point ? Exercice n°8

f est la fonction définie sur ]0 ; + [ par f(x) = 1

x

1. Déterminer la fonction dérivée de f . 2. Déterminer une équation de la tangente à fC au point d’abscisse 4.

3. La courbe fC admet-elle une tangente horizontale ?

Si oui en quel point ? Exercice n°9

f est la fonction définie sur par 21( )2

f x x de courbe fC .

1. Déterminer la fonction dérivée de f . 2. Déterminer une équation de la tangente T à fC au point d’abscisse 1. On note y ax b cette équation.

3. Soit d la fonction définie sur par ( ) ( ) ( )d x f x ax b Etudier le signe de ( )d x et en déduire la position de fC par rapport à T.

Exercice n°10 f est la fonction définie sur par 3 2( )f x ax bx cx d

Déterminer les réels a, b, c et d sachant que : - fC coupe l’axe des ordonnés au point d’ordonnée 20, et

- que fC passe par le point A(-1 ;18) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 3., et

- que fC admet une tangente horizontale au point d’abscisse 0.

Exercice n°11 Déterminer la fonction dérivée f de la fonction f dans chacun des cas :

1) 2)

3)

4)

5)

6) 7)

8)

9) 2

5( )1

xf xx

10) 2 4( )3 1xf xx

11) ( ) (2 3)(3 7)f x x x

12) 2( ) 4 3 1f x x x

13) 4 3( ) 3 2 5 4f x x x x

14) ( ) xf xx x

15) ( )f x x x

16) 1( )f xx x

17) 31( )

1f x

x

18) 1( ) 1f x xx

19)

20)

21)

22)

23)

24)

( ) 3f x ( ) 3f x x

5( )2

f x x

2( )f x x7( )f x x

3( ) 2f x x( ) 3 2f x x

1( )f x xx

2 7( )2

f x x x

4( )f xx

4

1( )f xx

5( ) 2f x x x

2( ) 3 2f x x x

( ) ( 2 1)( 1)f x x x



Exercice n°12 Répondez directement sur la feuille par V (vrai) ou F (faux). Chaque question a une réponse. Toute réponse bonne vaut 1 point, toute réponse fausse vaut – 0,5, pas de réponse vaut 0. Dans chacun des exercices suivants, toutes les réponses peuvent être vraies ou fausses.

1. La courbe représentative de la fonction f ci-dessus permet de dire que :

f est impaire. f’ s’annule deux fois.

f’(−1)=1. Si f(x) est un polynôme, il est au moins de degré 4.

existe et est comprise entre

10 et 15.

La tangente en –1 a un coefficient directeur négatif.

L’équation f(x)=0 n’a pas de solutions. Il n’existe aucun point de C d’ordonnée inférieure à –30.

La dérivée f’ est croissante sur l’intervalle [−2 , −1].

L’équation f(x) = 20 a deux solutions sur [−2, +2].

Le coefficient directeur de la tangente

en est égal à 10. La fonction f admet un extremum relatif en 1.

Quand x [0, 1], la courbe de f est en dessous de sa tangente en tout point.

f(2) = 60.

2. Soit , définie sur . C sa courbe représentative. Alors :

. f’(0)=0.

f change de sens de variation en 0. f’ s’annule en .

Pour tout réel x, . La courbe de f a trois tangentes horizontales.

Il existe plus de une tangente à C parallèle à la droite (y= –x).

f(−101000)>f(−101001).

3. Soit . Alors :

La dérivée de g est définie sur . g est strictement décroissante sur

.

x

y

-2 -1 0 1 20

20

40

0

( )limx

f xx

12

3 2( ) ( 1)f x x x 2'( ) (1 )(3 5 )f x x x x

12

x

3( ) ( )5

f x f

( ) 1 2g x x 1] , ]2

1] , ]2



. La tangente à la courbe représentative de g a une tangente orthogonale à (y = x) en 0.

La tangente à Cg en est horizontale. Les coefficients directeurs des tangentes à Cg sont tout positifs.

4. Soit . H sa courbe représentative.

H est symétrique par rapport à l’axe (O y).

La droite y= –x est asymptote de H.

h est strictement croissante sur l’intervalle ]0, [.

La courbe H est toujours en dessous de la droite (y = x).

La dérivée seconde de h est strictement négative.

La courbe H coupe la droite (x = 0).

5. On se donne une fonction f qui possède les caractéristiques suivantes :

*Ef = –{–1, 1} ; *f est impaire ; *f est croissante sur ] , −3], décroissante sur [−3, −1[, croissante sur ]−1, 0] ; *La tangente à Cf en 0 a pour coefficient directeur 1 ; *La droite (y = x) est au dessus de Cf pour x < 0 ; *La tangente à Cf au point d’abscisse –2 a pour équation y = −2x−9.

Tracer une courbe Cf correspondant à ces conditions dans le repère suivant : Exercice n°13 Dans chacun des cas calculer le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a et tracer cette tangente.

1) 2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Exercice n°14

Soit 5( )

2 7xf xx

Déterminer les points de la représentation graphique en lesquels les tangentes ont pour coefficient directeur m 1) 17m 2) 15m

Exercice n°15 Soit 3 2( ) 4 5 2 3f x x x x

1) Donner une équation de la tangente au point d’abscisse 0 5x

2) Déterminer s’il existe des points en lesquels la tangente est parallèle à l’axe des abscisses. Exercice n°16

2( ) 5 3 7f x x x et ( )C sa courbe représentative.

Déterminer en quel point de ( )C la tangente à ( )C est parallèle à la droite d’équation 7 2y x

2'( )1 2

g xx

12

1( )h x xx

2: 3 2 1 3f x x x a : 2 1f x x a

2 1: 4 4 5 4

f x x x a

: 1 2 3 7 0f x x x a

2 1: 3 3

f x x x a

2

3: 12 3

f x ax

: 2 1 1f x x a 1: 1

3 4xf x ax



Exercice n°17

2

2

4 3( )

2 3 5x

f xx x

et ( )C sa courbe représentative.

Déterminer les coordonnées des points de ( )C où les tangentes sont horizontales. Donner les équations de ces tangentes. Exercice n°18 Etudier les variations des fonctions suivantes.

1) 2( ) 5 3 9f x x x

2) 2( ) 3 11f x x x

3) 3 2( ) 2 9 12 3f x x x x

4) 3 2( ) 5 3 4 5f x x x x

5) 4 3 2( ) 3 4 24 48 3f x x x x x

6) 4 2( ) 2 8 5f x x x x

7) ( ) 1f x x

8) 3 1( )2 5xf xx

9) 2( )4 1

xf xx

10) 9( ) 3

2f x x

x

11) 2 4 2( )

3x xf xx

12) 2

2

8 24( )4

x xf xx

13) 11 4( )2 5

xf xx

Exercice n°19 Dans chacun des cas, on considère une fonction f définie sur un intervalle I. déterminer l’ensemble sur lequel f est dérivable et calculer f’(x) où f’ est la fonction dérivée de f.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

2: 3 2 1: f x x x I 4 2: 2 3 : f x x x x I

2 3: 1 3 3 3 : f x x x x I 25 2 3: :

6x xf x I

2: (3 5)( 1) : f x x x I

22: 1 2 : f x x I 3 2: 4 (11 2 1)( 1) : f x x x x x I

2: 5 2 : f x x x x I

: 1 1 : f x x x I

2

3 1: : 1

xf x Ix

2 2: : ;1

1xf x Ix

5 4: : ;3 4 3

f x Ix

23 5: : ; 2

2 4xf x Ix

: 3 : 0;f x x x x I

5

5: : ;0f x Ix

2: : f x x x I

: 2 3 2 : f x x x I 23 23: :

14x xf x I

2 2 2: 3 2 3 : f x x x x I

2: 2 1 3 : f x x x I

2

12: : 1;11

f x Ix

2: 2 : f x x I

12: : 0;xf x Ix

2

5: : 1

f x Ix x

2: : 0;xf x Ix

2: 2 3 3 : 0;f x x x x I



Exercice n°20 Dans chacun des cas donner une équation de la tangente au point d’abscisse

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Exercice n°21 Dans chaque cas, etudierle sens de variations de la fonction 10 ; 10 .

10636=)( 23 xxxxg

6243=)( 23 xxxxq

3182

15=)( 23 xxxxk

xxxxf 1622633=)( 23

9722

15=)( 23 xxxxp

9216152=)( 23 xxxxk 136152=)( 23 xxxxf

52712=)( 23 xxxxp

7542633=)( 23 xxxxg

8216392=)( 23 xxxxp

Exercice n°22 Dans chaque cas, on donne une fonction sur 10 ; 10 (a) Justifier que la fonction est définieet dérivablesur I . (b) Déterminer la dérivée pour tout 10] ; 10[x . (c) Déduire le sens de variations de la fonction sur I .

a) 4332=)(

xxxg

b) 352=)(

xxxf

9315=)(

xxxg

c) 745=)(

xxxf

d) 7214=)(

xxxf

e) 1272=)(

xxxg

f) 3483=)(

ttth

g) 8262=)(

ttth

h) 63

95=)(xxxk

i) 9495=)(

xxxk

Exercice n°23

est la fonction définie sur . est sa courbe représentative.

1. Donner une équation de la tangente T à au point A d’abscisse 3.

2. a) Etudier le signe de f (x) − (−8x + 18). b) En déduire la position relative de par rapport à T.

0x3 2

0: 1 ; 0f x x x x

0: 2 ( 3) 1 ; 2f x x x x

02: ; 1

1xf x x

x

30

1: ; 2

f x x x x

0: 2 3 ; 4f x x x

02: ; 2f x xx

f fC

fC

fC



Exercice n°24 Soit la fonction définie sur par . En revenant à la définition du nombre dérivé,

montrer que est dérivable en 0. Préciser .

b. A l’aide des formules de dérivation, vérifier que est dérivable sur et exprimer pour

. Préciser alors l’ensemble des réels pour lesquels est dérivable. Exercice n°25

est la fonction . Montrer que l’approximation affine locale de au voisinage de 0 est

égale à .

b. En déduire des approximations des nombres suivants : et .

Exercice n°26 Soit la fonction trinôme telle que . Déterminer les réels a, b, c tels que sa courbe Cf

admette au point une tangente de coefficient directeur égal à −2 ainsi qu’une tangente

horizontale au point d’abscisse 1. Exercice n°27 Etudier les variations de la fonction sur (calcul de la dérivée, étude de son signe, variations de f). On donnera l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse −1. Exercice n°28 Soit la fonction définie sur par Soit (C) la courbe représentative de la fonction et soit (D) la droite d’équation

1) Calculer où est la fonction drivée de 2) Résolvez dans l’équation 3) Montrer que (C) admet une tangente (T) parallèle à (D). 4) Déterminer les coordonnées de deux points de (T)

Exercice n°29 Soit la fonction définie sur par

Soit (C) la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal

1) Calculer où est la fonction drivée de 2) Résolvez dans l’équation 3) Montrer que (C) admet deux tangente (T) parallèles à l’axe des abscisses. 4) Déterminer les coordonnées de deux points de chacune d’elles.


1. Calculer où est la fonction drivée de 2. Déterminer le signe de sur


1. Calculer où est la fonction drivée de , puis résolvez l’équation 2. Déterminer le signe de .

f 1 ; 1f x x x

f ' 0f

f 1 ; 'f x

1x x f

f 21xx

2

1

2 h1

4h

21

1,997 21

2,001

f 2f x ax bx c

2 ; 5A

4 3: 2 3f x x x

f 2( ) 3 2 1f x x x f 2 3y x

'( )f x 'f f '( ) 2f x

f 3( ) 2 1f x x x

f ; ,O i j

'( )f x 'f f '( ) 0f x

f ( ) 3 2f x x '( )f x 'f f

'( )f x

f 2( ) 2 31f x x x '( )f x 'f f '( ) 0f x

'( )f x



Exercice n°32 Tracer la courbe d'une fonction f vérifiant f(0) =12; ; f(2) =2 f(5) =1 f(-2) = 1 f'(0) =0 ; ; f'(2) =1 f'(5) = -3; f'(-2) = - 12; Exercice n°33 On considère la fonction définie sur par : . Soit . Étudier la dérivabilité de

en et donner, s'il existe, le nombre dérivé en .

Exercice n°34 On considère la fonction définie sur par : .

On rappelle que si , on a et si , . Tracer la représentation graphique de . Soit . Étudier la dérivabilité de en et donner la valeur éventuelle de

(On pourra envisager plusieurs cas) Exercice n°35 On considère la fonction définie sur par .

1°) Donner, suivant les valeurs de , le signe de . 2°) En déduire, suivant les valeurs de , une expression de n'utilisant pas la valeur absolue. 3°) Tracer la représentation graphique de 4°) En utilisant GeoGebra : a) Tracer la courbe représentative de et vérifier la courbe tracée à la question précédente. Avec

GeoGebra l'expression de s'écrit abs( ) b) Définir un curseur . c) Tracer la tangente T à la courbe au point d'abscisse . Pour cela on pourra écrire dans le champ de saisi e : T= tangente[ ,f] d) Déplacer le curseur a et constater le déplacement de la tangente. Quelle est l'équation de la tangente lorsque prend la valeur 1 ? lorsque prend la valeur 2 ? 5°) Étudier la dérivabilité de f en 1 et en 2 et comparer avec les résultats de la question précédente. Exercice n°36 Soit définie sur par :

1°) Tracer la courbe en utilisant GeoGebra. 2°) Placer sur la courbe le point d'abscisse 1. Définir un curseur mallant de -10 à 10 par pas de 0,5 et tracer la droite d passant par et de coefficient directeur m. On pourra pour cela écrire dans le champ de saisie la commande d=droite[ , +(1,m)] En faisant varier , vérifier que la valeur correspond à la tangente à la courbe au point . 3°) En utilisant la méthode précédente et en déplaçant le point , compléter le tableau :

abscisse du point A : 2 1 0 -1

coefficient directeur de la tangente -1

f ( ) 3 5f x x 0x f

0x 0x

f ( )f x x0x ( )f x x 0x ( )f x x

f0x f 0x 0( )f x

2( ) 4f x x

x 2 4x x ( )f x

f

f( )f x 2 4x

aa

a

a a

f 3 2( ) 2 2f x x x

AAA A

m 1m AA

x

'( )f x m



4°) Dans le champ de saisie de GeoGebra écrire l'expression Vérifier, dans la fenêtre d'algèbre, que

l'expression de est . En utilisant cette expression, calculer ; ; et

et vérifier les valeurs du 3°).

Exercice n°37

Soit définie sur par :

On pose

1°) Le tableau de variations de est donné ci-dessous (on ne demande pas de le justifier) :

a) Quel est le minimum de sur ? b) En déduire que la fonction est définie sur . c) Déterminer les valeurs exactes de g(-1) ; g(0) et g(2) et en donner des valeurs approchées à près.

2°) a) Tracer avec une calculatrice ou un grapheur la courbe représentative de et vérifier qu'elle correspond au tableau de variations donné. b) Tracer sur le même graphique la courbe représentative de . c) Conjecturer, d'après le graphique, le tableau de variation de

Exercice n°38

Soit définie sur par : . On pose

1°) Donner le sens de variation de . Justifier que est définie sur . 2°) a) Tracer avec une calculatrice ou un grapheur les courbes représentatives de et de .

b) Conjecturer, d'après le graphique, le sens de variation de Exercice n°39 La fonction f est donnée par le tableau de variation ci-dessous :

1°) Déterminer le tableau de variations de la fonction définie par

2°) Déterminer le tableau de variations de la fonction définie par

'( )f x'( )f x 23 4x x '(2)f '(1)f '(0)f

'( 1)f

f 4 3 21 1( ) 34 3

f x x x x

( ) ( )g x f xf

f g

310

f

gg

f 2 3( )2

f x x 1( )( )

g xf x

f g f g

g

g ( ) 3 ( ) 10g x f x

h ( ) ( ) 2h x f x



Exercice n°40 On considère la fonction f définie et dérivable sur 0;I par ( )f x x x .

a) Déterminez sa fonction dérivée.

b) En déduire la limite de quand x tend vers 4.

Exercice n°41 On considère la fonction f définie par ( ) 1f x x x sur .

1) Démontrer que 1( )4

f x pour tout x .

2) En déduire que la fonction f admet un maximum en 12

x .

3) Démontrer que 21 1( )

4 2f x x

.

4) En déduire que la fonction f est croissante sur l’intervalle 1;2

et décroissante sur

1 ;2

.

Exercice n°42 On considère la fonction définie par 2( ) 1f x x x . On note fC sa courbe représentative.

On considère également la fonction g définie par ( ) 3g x x . On note ( )D sa représentation graphique. 1) Calculer la dérivée f de f .

2) Déterminer une équation de la tangente ( )T à la courbe fC au point d’abscisse 0 2x

3) Résoudre par le calcul l’équation ( ) ( )g x f x .

4) Préciser les coordonnées des points d’intersections de fC et ( )D .

5) Tracer sur un même repère les droites ( )T , ( )D et la courbe fC .

Exercice n°43

Soit f la fonction définie sur \ 1 par : 2 3( )

1xf xx

.

On note ( )fC sa courbe représentative.

1) Calculer la dérivée f de f . 2) Soit A le point d’intersection de ( )fC avec l’axe des abscisses.

Calculer les coordonnées de A , puis une équation de la tangente AT à la courbe ( )fC au point A

3) Soit B le point d’intersection de ( )fC avec l’axe des ordonnées.

Calculer les coordonnées de B , puis une équation de la BT à la courbe ( )fC au point B .

4) Tracer sur un même repère AT , BT et ( )fC .

Exercice n°44 Soit f la fonction définie par 3( ) 2f x x x sur l’intervalle 2;2 .

Soit fC sa courbe représentative.

1) Donner, en justifiant, l’équation de la tangente T à fC au point A d’abscisse 0.

2) Tracer dans un même repère la fC et la tangente T sur l’intervalle 2;2 .

48

xxx



Exercice n°45 1) Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur par : 2( ) 3 2f x x x . 2) Résoudre l’équation ( ) 0f x . Exercice n°46 On considère la fonction f définie sur par 3 2( ) 4 4f x x x x . 1) Calculer la dérivée f de f . 2) Etudier le signe de la dérivée f . 3) En déduire le tableau de variations de la fonction f . On précisera les éventuels extremums.

4) Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle 1;3

5) Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection fC avec l’axe des abscisses.

Exercice n°47 On considère les deux fonctions f et g définies sur par :

2( ) 3f x x x 3( ) 3g x x x 1) Etude de f . a) Calculer la dérivée f de f . b) Etudier le signe de la dérivée f . c) En déduire le tableau de variations de la fonction f . 2) Etude de g . a) Calculer la dérivée gde g . b) Etudier le signe de la dérivée g . c) En déduire le tableau de variations de la fonction g . 3) Comparaison des deux fonctions. a) Graphiques. i. Tracer soigneusement, dans un même repère, les courbes fC et gC représentant les fonctions f et

g . On se limitera à l’intervalle 2;2 .

ii. A l’aide du graphique, essayer de répondre aux questions suivantes : A. Combien y a-t-il de points d’intersections entre fC et gC ?

B. Quelles sont leurs coordonnées ? b) Pour avoir plus de précision, on se propose de retrouver ces résultats par le calcul. i. Résoudre l’équation ( ) ( )f x g x .

ii. En déduire, par calcul, les coordonnées des points A et B d’intersection de fC et gC

Exercice n°48

On considère la fonction f définie par 2( )1

xf xx

sur .

1) Démontrer que f est une fonction impaire. 2) Calculer la dérivée f de f . 3) Quel est le signe du dénominateur ( )f x ? 4) Résoudre l’inéquation ( ) 0f x . 5) Dresser le tableau de variations de la fonction f en précisant la valeur M de son maximum et la valeur m de son minimum. 6) Tracer soigneusement la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle 4;4



Exercice n°49 On considère la fonction f définie sur par : 3( ) 3 3f x x x .

On note fC sa représentation graphique.

1) Calculer la dérivée f de f puis étudier son signe. 2) Dresser le tableau de variations de la fonction f .

3) Déterminer une équation de la tangente T à fC au point d’abscisse 0.

4) Tracer T et fC dans un même repère.

5) Démontrer que l’équation ( ) 0f x admet une solution unique dans l’intervalle 2;3

6) Donner une valeur approchée de , par défaut, à 110 près. Exercice n°50 On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 m.

1) Déterminer ses dimensions (longueur L et largeur l ) sachant que son aire S est égale à 234cm

.2) On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale. a) Exprimer S en fonction de l . b) On considère la fonction l définie sur par ( ) (2 )f x x x . Calculer la dérivée f de f puis étudier son signe. Dresser le tableau de variations de la fonction l . Tracer la représentation graphique fC de la fonction f sur [0 ; 2].

c) En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 m et l’aire S est maximale. Exercice n°51 Soit P la parabole définie par la fonction 2( ) 3 1f x x x . Calculer les coordonnées de son sommet S. Exercice n°52 Soit f la fonction définie sur par 4( ) 2 1f x x x . fC sa courbe représentative.

1) Donner, en justifiant, l’équation de la tangente T à la courbe fC au point A d’abscisse 0.

2) Tracer dans un même repère la courbe fC et la tangente T sur l’intervalle 1;1,5

Exercice n°53

On considère la fonction f définie * 4( ) 2f x xx

.

1) Calculer la dérivée f et étudier son signe. 2) Dresser le tableau de variations de la fonction f .

3) Tracer la représentation graphique fC de la fonction f sur 4;0 0;4



Exercice n°54 Soit fC la représentation graphique de la fonction f définie sur \ 2 par :

2

( ) , ,2

x ax bf x a bx

1) Déterminer ( )f x .

2) Déterminer a et b tels que la droite d’équation 8y soit tangente à fC au point d’abscisse 3.

3) Déterminer les limites suivantes : lim ( )x

f x

; lim ( )x

f x

; 22

lim ( )xx

f x

; 22

lim ( )xx

f x

4) Déduire de la question précédente que fC admet une asymptote dont on précisera une équation.

5) Question facultative : déterminer l’abscisse de l’autre point de fC où la tangente est horizontale.

Exercice n°55 Question préliminaire : factoriser le polynôme 2( ) 2 3P x x x . On considère les fonctions f et g définies sur par :

2( ) 2 1f x x et 3( ) 3 1g x x x . 1) Etudier la parité des fonctions f et g . 2) Etudier les limites en et en des fonctions f et g . 3) Calculer les dérivées f et g . Etudier leur signe. 4) Dresser les tableaux de variations des fonctions f et g .

5) Tracer les courbes fC et gC des fonctions f et g . On se limitera à l’intervalle 3;3

6) Résoudre, par le calcul, l’inéquation ( ) ( )f x g x . On pourra utiliser la question préliminaire. Exercice n°56

On considère la fonction f définie sur \ 2 par : 2 3 6( )

6x xf xx

:

1) Etudier les limites de la fonction f en , et 2 par valeurs inférieures et supérieures. Préciser les éventuelles asymptotes horizontales et verticales. 2) Calculer la dérivée f et étudier son signe. 3) Dresser le tableau de variations de la fonction f .

4) Le but de cet question est de démontrer que la courbe fC admet une asymptote oblique .

a) Déterminer trois réels , et a b c tels que : ( )2

cf x ax bx

:

b) En déduire que la droite d’équation 1y x est une asymptote oblique à la courbe fC en et

en . 5) Tracer fC et ses asymptotes.

Exercice n°57

Soit f la fonction définie * par : 1( ) 2f xx

:

1) Montrer que f est dérivable en 2.

2) Déterminer une équation de la tangente ( )T à la courbe fC représentant f au point d’abscisse 2.



Exercice n°58

On considère la fonction f définie sur \ 4 par : 3( ) 2

4f x

x

:

On note fC la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ; ,O i j

.

1) Etudier les limites de f en , et en 4 par valeurs inférieures et supérieures. Préciser les équations des éventuelles asymptotes. 2) Calculer la dérivée f de la fonction f et préciser son signe. 3) Dresser le tableau de variations complet de la fonction f . On n’oubliera pas d’y reporter les limites calculées à la question 1) ainsi que la valeur interdite ... 4) Tracer la courbe fC avec ses éventuelles asymptotes.

Conseil : tracer d’abord les asymptotes, s’il y en a ... Exercice n°59

On considère la fonction f définie sur \ 1 par : 2( ) 3

1f x

x

:

On fC la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ; ,O i j

.

1) Etudier les limites de f en et en . 2) Etudier les limites de f en 1 par valeurs inférieures et supérieures. 3) Calculer la dérivée f de la fonction f . Quel est son signe ? 4) Dresser le tableau de variations complet de la fonction f .

5) Déterminer l’équation de la tangente T à la fC au point d’abscisse 3.

6) Tracer la tangente T , la courbe fC avec ses éventuelles asymptotes.

7) Résoudre graphiquement l’inéquation ( ) 1f x . Exercice n°60

On considère la fonction f définie sur 0; par : 2 3 1( ) x xf xx

:

On fC la courbe représentative de f dans un repère ; ,O i j

.

1) Résoudre l’équation ( ) 0f x .

2) Vérifier que 1( ) 3f x xx

.

3) Etudier la limite de f quand x tend vers 0 . En déduire que fC admet une asymptote D dont on

précisera une équation. 4) Etudier la limite de f quand x tend vers .

5) Calculer lim ( ) ( 3)x

f x x

.

En déduire que fC admet une asymptote oblique en dont on précisera l’équation.

Quelle est la position de fC par rapport à ?

6) Calculer la f de f et montrer que l’on a : 2

( 1)( 1)( ) x xf xx

:

7) Etudier le signe de f puis en déduire le tableau de variations de f .



Exercice n°61

On considère la fonction f définie par : 2( ) 4f x x x On note fC sa représentation graphique dans

un repère ; ,O i j

.

1) Déterminer le domaine de définition fD de la fonction f .

2) Etudier les limites de f en 4 et en .

3) Etude de la fonction f sur 4;

a) Etudier de la dérivabilité de la fonction f au point 0 4x .

b) Calculer la dérivée f (pour 4)x . Etudier le tableau de variations de f sur l’intervalle 4; .

c) Tracer la courbe fC représentant f sur l’intervalle 4;10 .

Exercice n°62 Sur le graphique ci-dessous sont représentées la courbe fC de la fonction f définie sur par :

4

( ) 12xf x

ainsi que la tangente T à fC au point d’abscisse 0 4x .

1) Donner, par lecture graphique, et sans justifications, la valeur du nombre (4)f . 2) Déterminer, à l’aide du calcul de la dérivée de f , la valeur du nombre (3)f .

Exercice n°63 Soit f la fonction définie sur par 3 2( ) 3 9f x x x x . 1) Calculer la dérivée f et étudier son signe. 2) Dresser le tableau de variations de la fonction f .



Exercice n°64 Soient f et g deux fonctions dérivables sur l’intervalle 0;1I telles que : (0) (0)f g et f g sur I

. Démontrer que f g sur I . On pourra étudier les variations de g f . Exercice n°65

On considère la fonction f définie sur par : ( )1xf xx

:

1) On s’intéresse à la dérivabilité de f en 0.

a) Calculer le rapport( ) (0)f h f

h

.

b) En déduire que f est dérivable en 0. Que vaut ce nombre dérivé ?

c) Déterminer une équation de la tangente T à fC en 0.

2) Tracer la droite T et la courbe fC représentative de la fonction f sur l’intervalle 8;8

Exercice n°66 Soit n un entier naturel fixé et t un nombre positif.

Le but de l’exercice est de prouver l’inégalité de Bernoulli : 1 1nt nt .

1) Vérifier que l’inégalité est vraie pour n et 1n . 2) On suppose 2n et on considère sur 0; la fonction définie par :

( ) 1 1nt t nt

a) Calculer ( )t ( )t . b) Montrer que pour tout 0t , on a ( ) 0t . c) En déduire l’inégalité.

3) Conclure et faire une interprétation graphique de ce résultat pour quelques valeurs de n .

Exercice n°67 On considère la fonction f définie par : 2( )f x ax bx c dont la parabole fC passe par les points

0;1A et 2;3B . Les tangentes en A et B se coupent au point 1; 4C .

1) Déterminer une équation des tangentes à fC . En déduire (0)f et (2)f .

2) Exprimer ( )f x en fonction de , et a b c . 3) A l’aide des valeurs de (0)f , (2)f et (0)f , trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l’expression algébrique de la fonction f .

Exercice n°68

On considère la fonction f définie sur par 2( )1

xf xx

.

1) Calculer les limites de f en et en . 2) Calculer la dérivée f de f et étudier son signe. 3) Dresser le tableau de variation de la fonction f .



Exercice n°69 La courbe fC représentée ci-contre est

une partie de la représentation graphique de la fonction f définie sur

* par ( ) cf x ax bx

où les

coefficients sont à déterminer. 1) Déterminer graphiquement (1)f ,

(1)f , (2)f et (2)f . 2) Déterminer ( )f x en fonction de

, et a b c . 3) Montrer que les réels , et a b c vérifient

le système :

43

4 0

a b ca ca c

.

4) Déterminer l’expression de ( )f x .

Exercice n°70 On considère la fonction f définie sur par : 3 2( ) 3 4f x x x .

On appelle fC sa courbe représentative.

1) Etudier les variations de f .

2) a) Déterminer l’équation réduite de la tangente D à la courbe fC au point d’abscisse 1.

b) Vérifier que 3 3 21 3 3 1x x x x .

En déduire la position relative de fC par rapport à D .

3) La courbe fC a-telle un centre de symétrie ? Justifier.

Exercice n°71 1) Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur par : ( ) (1 )f x x x .

2) En déduire un encadrement de ( )f x sur 0;2 .

Exercice n°72

Soit f la fonction définie sur \ 2 par 2 3 3( )

2x xf xx

:

On appelle fC sa courbe représentative dans un repère ; ,O i j

.

1) Déterminer les réels , et a b c tels que ( )2

cf x ax bx

.

2) Calculer la dérivée de f et étudier les variations de f . Dresser son tableau de variations.

3) Montrer que le point 2; 1I est le centre de symétrique de fC .



Exercice n°73 Une parabole P admet dans un ; ,O i j

une équation du type :

2 ( 0)y ax bx c a :

Déterminer les coefficients , et a b c sachant que P coupe l’axe

des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées au point B d’ordonnée 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation 2 2y x pour tangente.

Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de P avec

Ox

Exercice n°74

1. On donne xxxf

sin2cos1=)(

, Déterminer fD et calculer )(lim0

xfx

2. Calculer les expressions des dérivées des fonctions suivantes. (a) xxxf sin5sin=)( 2

(b) xxxg tan3)(=)( 2 (c) xxxh sin5cos2=)( 52

Exercice n° 75 La courbe ci-contre est celle de la dérivée ′ d’une fonction définie et dérivable dans ℝ et on note ( ) la courbe de . 1. Conjecturer un élément de symétrie de la courbe de

′. Que peut-on alors conclure quant à la courbe de la fonction définie dans ℝ par ( ) = ( ) − 2 ?

2. Déterminer le signe de ( ) suivant les valeurs de x et en déduire les variations de .

3. Sachant que pour tout réel x, ( ) = + ++ + , Calculer les réels a, b, c et d.

Dans toute la suite on prendra = ; =

0 ; = − ; = 2. 4. Calculer les limites de en +∞ et en -∞ puis

dresser le tableau de variation de . 5. Montrer que ( ) admet deux points d’inflexion

dont on précisera les coordonnées. 6. Ecrire les tangentes (T) et (T’) aux points

d’abscisses -1 et 0 respectivement. 7. Dans 4n repère orthonormé (O, I, J) du plan

construire (T), (T’) et ( ) (On placera les points



d’abscisses -3 et -1 respectivement). 8. Déterminer graphiquement le signe de la fonction h définie dans ℝ par

ℎ( ) = ( ) − .

9. Soit (E) : − + 2 − = 0.

a) Déterminer le réel k tel que l’on ait (E)⟺ ( ) = . b) En déduire graphiquement le nombre et le signe des solutions de l’équation (E).

10. Soit p la fonction définie dans ℝ par ( ) = (| |). a) Justifier que p est une fonction paire. b) Construire dans le repère précédent la courbe ( ’) de p. c) P est-elle dérivable en 0 ? quel est le nombre dérivé de à droite de 0 ? à gauche de 0 ?

Exercice n°76

Soit f la fonction définie par

2

4 1( )

2 5x

f xx x

Etudier les variations de f et démontrer que, quel que soit le réel x , ( ) 1f x

Exercice n°77

Soit 2 2( )

1x xf xx

1) Démontrer qu’il existe trois réels , et a b c tels que : ( )1

cf x ax bx

2) Etudier les variations de f . Vérifier sur cet exemple que l’ordonnée du minimum relatif peut être supérieure à celle du maximum relatif

Exercice n°78 On considère deux paraboles 1P et 2P d’équations respectives : 2

1 2 3 2y x x et 22 3 1y x x

1) Déterminer les coordonnées du point d’intersection A de 1P et 2P

2) Démontrer que 1P et 2P admettent la tangente en A

Exercice n°79

On considère la fonction qui à x associe 2

4( )2

x bf xx bx c

Déterminer les paramètres b et c pour que la courbe représentative présente des extrema pour 2x et 1x . Donner la nature de ces extrema. Exercice n°80

Soit f la fonction définie par : 1( )f x xx a

Quelle valeur faut – il donner à a pour que l’abscisse du minimum relatif de f soit égale au triple de celle du maximum relatif ? Exercice n°81

On considère la famille de fonction mf de dans définie par 1( )m

mxf xx m

Etudier les variations de mf en fonction de m



Exercice n°82 Soit 2( )f x ax bx c et ( )C sa courbe représentative.

Déterminer a , b et c pour que ( )C présente un minimum en A(2 ;1) et coupe l’axe des ordonnées en B(0 ;5) Exercice n°83 Soit 2( )f x ax bx c et ( )C sa courbe représentative.

Déterminer a , b et c pour que ( )C passe par le point A(-2 ;21) et admette au point B d’abscisse 1 une tangente d’équation 4 2y x . Exercice n°84 Déterminer les coefficients a, b, c et d de la fonction f qui à x associe 3 2( )f x ax bx cx d pour que fmaximum en A(1 ; 1) puis étudier les variations de f Exercice n°85 On considère la fonction f définie par 3 2( )f x x px qx r

Déterminer p , q et r de façon que f s’annule pour 1x et admette pour 2x un maximum ou un minimum égal à 1. Résoudre l’équation ( ) 0f x et dire si pour 2x , f(x) est maximum ou minimum. Exercice n°86

On considère la fonction qui à x fait correspondre 3 2

2( ) ax bx cf xx

Déterminer les coefficients , et a b c pour que la courbe représentative (C) de f passe par les points (1 ;6), (-2 ;0) et admette un extremum pour 2x Exercice n°87

On considère la fonction qui à x fait correspondre 3 223 19 356 3 6

x x x

1) Etudier les variations de f et en déduire le nombre de racines de l’équation ( ) 0f x

2) Calculer (2)f et 52

f

et en déduire, par interpolation linéaire, une valeur approchée de la racine

de l’équation ( ) 0f x Exercice n°88 Déterminer le réel a et b de telle sorte que la somme des carrés des racines de l’équation

2 2 3 0x a x a soit minimale.

Exercice n°89

Soit la fonction21 1: xf x

x x

1) Quel est l’ensemble de définition de f 2) Démontrer que la fonction f admet en 0 un prolongement par continuité g 3) La fonction g est –elle dérivable en 0 ? 4) Déterminer la fonction dérivée g de g



Exercice n°90 Soit g la fonction définie et dérivable sur telle que (2) 0g . On considère la fonction f définie sur par

( ) 2 ( )f x x g x

Prouver que 2 annule f mais n’annule pas f Exercice n°91 Soit g la fonction définie et dérivable sur telle que (2) 0g , et que g est également dérivable sur . On

considère la fonction f définie sur par 2( ) 2 ( )f x x g x

Prouver que 2 annule f et f . Est –ce que 2 annule f ?

Exercice n°92 Dans quel cas la fonction 3 2x x ax bx c n’admet –elle aucun extremum sur Exercice n°93 Un examen comporte trois épreuves. Français, coefficient : x

Mathématiques, coefficient : 2x Physique, coefficient : 2x Un candidat obtient les notes suivantes sur 20 : Français : 8 ; Mathématiques : 11 ; Physique : 9 ; On note ( )f x sa moyenne pondérée.

1) Vérifiez que 11 26( )

3xf xx

2) Etudier les variations de f ainsi définie sur 0; et tracer sa courbe représentative

3) En utilisant le graphique, puis par le calcul, dites pour quelles valeurs de x le candidat serait reçu, c'est-à-dire obtiendrait une moyenne pondérée supérieure ou égale à 10 ?

Exercice n°94

Montrer que l’équation 2

3 2 13xx x a une racine unique.

Exercice n°95 Montrer que l’équation 3 3 1 0x x admet trois racines dont l’une appartient à l’intervalle 1;2

Exercice n°96 Dans chacun des cas, déterminer le nombre l’équation, localiser ces solutions entre deux entiers consécutifs.

1) 3 22 3 36 1 0x x x 2) 4 3 24 8 2 0x x x

Exercice n°97 Quelle est la plus grande valeur de ( )f x dans chacun des cas

1) 3 2( ) pour 0;f x x x x

2) 3 2( ) -x+1 pour 0;2f x x x x

3) 2 2( ) + pour 3;0f x x xx



Exercice n°98

On se propose de déterminer le minimum de 1 1a ba b

où a et b sont des réel strictement

positifs. On pose bxa

1) Montrer que 1 1 ( )a b f xa b

avec

1( ) 1 1f x xx

2) A l’aide de la dérivation, déterminer le minimum de f sur 0;

3) En déduire que quels que soient les réels a et b strictement positifs 1 1 2 2a ba b

,

légalité n’ayant lieu que lorsque a b

Exercice n°99 1) Soit x un réel positif ou nul. Etablir successivement les inégalités suivantes :

a) sin x x

b) 2

1 cos2x x

c) 3

sin6xx x

d) 2 4

cos 12 24x xx

2) Déduire de ce qui précède que :

a. Pour tout x réel, positif ou nul, 3

sin6xx x x

b. Pour tout x réel, 2 2 4

1 cos 12 2 24x x xx

3) Application N°1 : Donner un encadrement de sin(0,5) et de cos(0,5) à l’aide des inégalités

précédentes

Application N°2 : Déterminer 0

sinlim1 cosx

x xx

Exercice n°100 Un rectangle ABCD est inscrit dans un demi – cercle de diamètre IJ avec 2IJ . Déterminer le

rectangle d’aire maximale en prenant comme inconnue



Exercice n°101

Soit f la fonction définie sur 0;3 par :

( ) 3 pour 1 2( ) pour 1;2f x x xf x x x

Utiliser la représentation graphique pour montrer que f réalise une bijection de 0;3 dans lui-même.

Exercice n°102 Construire la courbe représentative d’une fonction f vérifiant toutes les conditions suivantes : ∗ f est définie sur [0; 2]. ∗ f (0) = −1 ; f (1) = 2 ; f (2) = 1. ∗ f est dérivable en 0, en 1 et en 2. De plus, (0) 1f ; (1) 0f ; (2) 1f

Exercice n°103 Sur le schéma ci - dessous les courbes représentatives des fonctions f et g définies sur 0; par

2( ) 2f x x et 2( ) 1g xx

Ces deux courbes semblent avoir la même tangente au point A(1; 1).

Qu’en est-il exactement ?



Exercice n°104 Pour chacune des fonctions suivantes, rechercher les extremums locaux sur l’intervalle I donné. (On précisera chaque fois s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum)

1) 3 2( ) 2 9 12 1 sur 0;6f x x x x I

2) 1( ) sur 2;0 0;3f x x Ix

3) ( ) 2 sur 0;3f x x x I

4) 4 3( ) 3 4 sur 1;2f x x x I

5) 2

( ) sur 1;41

xf x Ix

6) 3 2( ) 3 1 sur 4;2f x x x I

7) 2

1 ( ) sur 0;66 10

f x Ix x

8) ( ) sur 2;01xf x x Ix

9) 2

2

4 6 8 ( ) sur 1;53 4

x xf x Ix x

10) 2 2 1 3( ) sur ;5

1 4x xf x Ix

11) 2

1( ) sur 4;32 2xf x I

x x

12) 9( ) -1 sur 1;4f x x Ix

Exercice n°105 A partir des tableaux de variations suivants, construire les courbes représentatives de fonctions dérivables sur leur ensemble de définition et donner le signe de ( )f x en fonction de x

a)



Exercice n°106 Sur la figure ci – contre, la représentation graphique d’une fonction f Par lecture graphique, déterminer : (0)f ; (0)f ; (4)f ; (4)f ; (0)f ; ( 4)f ; ( 2)f ; ( 3)f

Exercice n°107 Pour chacune des fonctions numériques données par les formules et les domaines de définitions ci-dessous, trouver les maxima et minima locaux et globaux.

1) 21 ; 2 2x x x

2) 23 ; 3 3x x x

3) 2sin ; x x x

Exercice n°108

Soit f la fonction donnée par la formule 2( )

3 1xf xx

.

Déterminez le domaine de définition et l’image de f et décider si f est injective ou non. Lorsque f est bijective, trouvez l’expression de la fonction réciproque et déterminez le domaine de définition et l’image de cette dernière. Puis tracez la fonction et sa réciproque dans un même repère.



Exercice n°109

On considère la fonction f : 2

1( )4 3

axf xx x

définie sur \ 1;3 .

1. Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles la fonction: a) n’admet ni maximum, ni minimum ? b) admet un maximum M et un minimum m (démontrer alors que M . m > 0) c) admet seulement un minimum ? 2. Représenter, sur une même figure, les courbes correspondant à a égal à 2, 0 et 4.

3 : DERIVATION - SUJETEXA

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