formierbare Medien Eigenschaften deformierbarer fester Kör 3.1.1. Elasti zitätsmodul, Hookesches Gesetz Wesentliche Einschränkung: betrachte nur isotrope, homogene Körper Allgemeine Theorie: Landau, Liftschitz („Elastizitätstheorie”) Def.: Zugspannung Relative Dehnung A F σ L L Δ ε A Feste Wand L F A Querschnitt F Hookesches Gesetz: ε E σ E Elastizitätsmodul , Materialeigenschaft, E1 N m 2 .. Druck, , Temperatur ε, E E unabhängig von Geometrie (A und L)
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Archimedisches Prinzip:Die Auftriebskraft ist gleich
dem Gewicht der/des verdrängten Flüssigkeit/Gases
gmK
AFAuftriebskraft
ρFl
ρKmK
Schwerkraft oder Trägheitskraft, wenn System beschleunigt bewegt
GF FlA
dA
Beweis: ( hier für kleinen Quader )( allgemein Gaußscher Integralsatz )
ze
dz
dV dmFl
p(zdz)
p(z)
zA edAdzzpzpFd
dzzρg Fl
zFl edVzρg
Fldm
.d.e.q,GdedmgFd FlzFlA
Folgerung:
K Fl Körper sinkt zu Boden
K Fl Körper schwimmt (partielles Eintauchen)
K Fl Körper schwebt
Beispiel: Eisberg
T = 0 ºC
Eisberg10 %
lkg1,05ρ
lkg0,95ρ
Salzwasser
Eis
lkg1,05ρ
lkg0,95ρ
Salzwasser
Eis
3.2.5. GasdruckGase sind komprimierbar p
(Empirisches) Gesetz von Boyle-Mariotte
p V const. bei konstanter Temperatur T
x
Druck p Volumen V x
Experiment:
p x1
T.constVp Folgerungen:
• Kompressibilität
p
V
p
Vp
p
.const
dp
dV22
T
p
1
pd
Vd
V
1κ
• Dichte
pV
1
V
Mρ
TTT
ppρ bei T const.
• Barometrische Höhenformel ( Tafelrechnung )
zexp0pzp 0p
g0ρ zexp0ρzρ 0p
g0ρ
3.2.6. Luftdruck
ρ
Luftdruck p
Vakuum
gρ
pΔh
Messung mit Quecksilbersäule:
Def.: 1 Torr 1 mm Hg-Säule
Umrechnung: 1 Torr 133,3 Pa
Def.: Der Normaldruck von
wird als 1 physikalische Atmosphäre bezeichnet
Pa101325Torr760
3.2.7. Grenzflächen einer (realen) Flüssigkeit
0FR
EE InnenpotOberflächepot
Def.: Sei W die Arbeit, die für die Vergrößerung der Oberfläche um A aufgebracht werden muss. Dann heißt
spezifische Oberflächenenergie der Flüssigkeit.
ΔA
ΔWε mJ1ε 2
σL2
Fε
L
s
F
Flüssigkeitshaut
Messung der spezifischen Oberflächenenergie:
dAεdsFdW
dsL2dA
2 Oberflächen
εL2F
Def.: Oberflächenspannung tangentiale Zugkraft pro Länge der Begrenzungslinie der Oberfläche
F
Wasserhaut
hr
Beispiel: Messung der Zerreißfestigkeit einer Wasserhaut
σrπ22F (Gewicht der Haut vernachlässigt)
Minimalflächen:Bei vorgegebenen Randlinien nimmt die Flüssigkeitshaut die zweidimensionale Form mit minimaler Energie an. Bei vernachlässigtem Gewicht ist dies eine Fläche mit (relativ) minimalem Flächeninhalt, eine Minimalfläche. Unberandete Flüssigkeiten bilden also Kugeltropfen.
Laminare Strömung Zirkulationsströmung durch Drehung
Auftrieb
v2
v1 v2
Anwendung: Prandtlsches Staurohr
Luftströmung (Fahrtwind)
ρ
v
p
p0
Flüssigkeit
221
0 vρpp
3.4.4. Die reale viskose Flüssigkeit
Navier-Stokes-Gleichung
vΔηgρpvvρ t
Änderung der Impulsdichte Druck-kraftdichte
Schwerkraft-dichte
Reibungs-kraftdichte
Spezialfall 0 Euler-Gleichung
Interessanter Term: vvvvv 221
Geschwindig-keitsänderung
Wirbelbildung und Dynamik
Wirbelfreie (laminare) Strömung 0v
Wirbelbildung: Wände/Kanten mit großer Haftreibung großvΔ
v kleinkeine Reibung
laminar
v großOberflächenreibung
turbulent
S1 S2
QS1 S2
W Δp
S1: v 0 p(S1) = p0
Q: v max p(Q) = min p0
S2: v 0 p(S2) = p0
• Reibung v(W) 0
• Vakuum bei S2 Wirbel
• v groß in Wirbeln p bei S2 p bei S1 „Druckwiderstand“
Beispiel: Umströmter Kreiszylinder
Beispiel: Kantenwirbel
Rohr Kantenwirbel
Membran
runde, scharfkantige Öffnung
Wirbelring
Wirbelstärke:Wirbelfläche A
Winkelgeschwindigkeit
Definition: Die Größe
Ω·A bzw.
heißt Wirbelstärke
A
AdΩ
Helmholtzscher Wirbelsatz: In einer reibungsfreien Flüssigkeit ist die Wirbelstärke zeitlich konstant. Wirbel können weder entstehen noch vergehen.Anschaulich: Wegen Drehimpulserhaltung. Wirbel verhalten sich wie rotierende starre Körper.
3.4.5. Turbulente Strömung und StrömungswiderstandLuftströmung (Fahrtwind)
ρ
v
A
Wirbelstraße
Reibung Wirbel reißen ab Wirbelstraße
Druckwiderstand Reibungswiderstand
Bernoulli-Gleichung 2
2ρ vΔp
AvcF 22ρ
WW ParametrisierungFW Widerstandskraft
cW Widerstandsbeiwert
3.4.6. Ähnlichkeitsgesetze
Längenskala L , Zeitskala T
dimensionslose Größen:
ppLvvt 2
LT
ρ1
LT
Tt
Navier-Stokes-Gleichung: vRe
1pvv
t
v
Tη
LρRe
2
mit Reynoldsche Zahl
Folge: Zwei Strömungen sind ähnlich, d. h. relativ skaliert in Raum und Zeit, wenn Re in beiden Fällen identisch ist und die Dimensions-verhältnisse (Gefäße, Objekte) ebenso relativ skaliert sind.
Anwendung: Modelltests im Windkanal
3.5. Reibung zwischen festen Körpern3.5.1. Haftreibung reale, rauhe
OberflächeF
NF
Normalkraft
F FH Körper haftet
F FH Körper gleitet
Empirisch: FμF NHH H HaftreibungskoeffizientExperimenteller Test:
HFF
NF
HFF
NF
NF2
HF2F
Messung von μH :
αH
m
gm
HF
NF
αH
αH Winkel beim
Losrutschen
NHHNH FμαtanFF !
HH αtanμ
BF
Bremskraft ( Seilspannung )
Beispiel: Haftreibung eines Fixierungsseils
Belasteter Stab, Poller, Abseilkarabiner, ...
n Windungen
Seil
F
Kraft durch Last am Stab
Stabquerschnitt
Infinitesimales Seilstück
F(φ) F(φ)Spannung
φ
dφ
Nachbarseilstück:
F(φ dφ) F(φ) dF
Nachbarseilstück:
F(φ dφ) F(φ) dF
φ dφ
Tafelrechnung Hμnπ2
B eFF
3.5.2. Gleitreibung
Empirisch: FμF NGG
G Gleitreibungskoeffizient
reale, rauhe Oberflächev
NF
Normalkraft
GF
vμμ GG HG μμ
•Stokes-Reibung: G v (für kleine, langsame Körper)
•Newton-Reibung: G v2 (für große, schnelle Körper)
bzgl. Drehung um Finger 1
Experiment: Stock auf zwei Fingern
Stockm S
Finger 1 Finger 2
a b
F mg M a·F
F1
F2 M2 ( a b )·F2
Gleichgewicht:gmF,gmF ba
b1ba
a2
a b ① rutschtb a ② rutscht
Treffpunkt im Schwerpunkt
3.5.3. Rollreibung
Empirisch: FμM NRR
R Rollreibungskoeffizient
Deformation (übertrieben) bremsendes Drehmoment
NF
αR Winkel beim
Losrollen
αR
m
gm
RF
NF
αR
r
i) Haftung:
RRNR
RR
RR
αcosgmμFμαsinrgmM
αsingmF
RR αtanrμ
Beobachtung: R ≪ H
ii) Rollvorgang: vμμ RR Experiment: Vergleich zwischen Gleiten und Rollen:
1rμ
μ
rM
F
F
F
R
G
R
G
R
G
Große technische Bedeutung: Kugellager, Schmiermittel, Autoreifen, Bohren, Drehen, Fräsen,