§3 6衍射光栅 - USTChome.ustc.edu.cn/~rambo/kejian/gx/ch3-6.pdf · 解：λ=400 ~ 760nm d =1/6500 cm 1.48 1 1cm 6500 3 7.6 10 cm sin 5 1 1 = > × × = ′ ′= − d mλ 红光

正弦光栅黑白光栅

§3—6衍射光栅

• 衍射光栅：具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。

• 可以具有反射或透射结构；

• 可以按不同的透射或反射率分为黑白光栅、正弦光栅等；

• 对于光栅的每一个单元，按衍射分析；不同的单元之间，按干涉分析。

a

b d

透射光栅 反射光栅

光栅的特征参数

光栅常数（周期）：相邻栅线的间距，即空间周期的长度，以d表示

光栅频率：光栅常数的倒数1/d，以f0表示

单色点光源S经透镜L1准直后垂直照射在一黑白光栅G上，透过光

栅的衍射光波经透镜L会聚在其像方焦平面上，形成夫琅禾费衍射。

黑白光栅的夫琅禾费衍射

L

f '

Pθ

P0

θ

S

L1 G

θ

一、多缝夫琅禾费衍射

用振幅矢量法求解衍射强度

• 每一个衍射单元的复振幅用一个

矢量表示；

• 相邻衍射单元间具有位相差δ；

• 所有单元衍射的矢量和为光栅衍

射的复振幅。

θ

θd

1l

2l

3l

4lθsindl =Δ

λθπδ sin2 d=

N个矢量首尾相接，依次转过δ，即2β角。

δβ =2 λθπβ sind=

ββ

αα

βββ θθ

sinsinsin

sinsinsin2

0NE

NENRE i

=

==

δ

β2

θiEr

βN2

O

NB

1B2B

R

R

θEr

22

0 sinsinsin

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ββ

αα

θNII

主极大值位置： π=π

= mdλ

θβ sin m=0, ±1, ± 2, ± 3, ···

λθ md =sin

( )2

02

maxsin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

ααINIPI主极大值强度：

中央主极大值强度： ( ) 02

max0 INIPI == （α=0）

极小值位置： πλ

θβ )(sinNjmd

+=π

=

j=1,2,···N-1

极小值强度： ( ) 0min == IPI

1、衍射图样的强度分布

λθ )(sinNjmd +=

两个主极大之间有N-1个零点

光栅方程

次极大值位置：

① 在单缝衍射的每一级亮纹区域内又出现了一系列新的强度极值点。相邻

两个主极大值之间分布着N-1个极小值和N-2个次极大值。一般情况下

衍射光能量主要集中在各主极大值条纹上。

② 主极大值位置与狭缝数目无关，但其强度大小正比于狭缝数目的平方及

单缝衍射强度因子。一方面主极大值中心点的光强度随狭缝数目的增大

而增大；另一方面，各级主极大值中心点的相对强度又按sinc2α形式分

布，中央主极大值中心点的光强度最大。

j=2,···N-1λθ )21(sinNN

jmd ++=

多缝或光栅衍射实际上是受单缝衍射因子调制的多光束干涉。给定缝

的间隔d后，强度主极大值位置即确定，单缝衍射因子并不改变主极大值的

位置，只改变各级主极大值的强度。

多缝的夫琅禾费衍射图样及强度分布

α /π-2 -1 0 1 2

N=1

N=2d=3a

N=3d=3a

N=5d=3a

N=4d=3a

归一化强度分布衍射图样

半角宽度：主极大到其相邻暗纹中心的角间距，以Δθm表示。

光栅衍射第m个主极大值中心的角位置： ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dmmλθ arcsin

相邻第一极小值的角位置： ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

dNmm

λθ 1arcsin'

第m个主极大条纹的半角宽度：m

mmm Nd θλθθθcos

' =−=Δ

2、光栅衍射条纹的半角宽度及角间距

光栅衍射主极大值条纹的半角宽度正比于照射光的波

长，反比于狭缝数目及光栅常数，并随着衍射角的增

大而增大。当狭缝数目很大时，主极大值条纹将变为

一明细的亮线，即光栅的衍射谱线。

Ndλθ =Δ 0中央主极大：

mθΔ

mθ

缺级现象：衍射图样中亮条纹的缺位现象。

光栅衍射的缺级现象（N=20）

-3 -2 -1 0 1 2 3

d=2a

d=3a

d=5a

d=4a

给定衍射角方向上相应级次的主极大

值条纹中心与单缝衍射的某一级极小值位

置重合。

缺级亮条纹级次：

整数== nadm

3、缺级现象

⎩⎨⎧

==

λθλθ

namd

sinsin m=0, ±1, ±2 ···

n=±1, ±2 ···

光栅方程：平面衍射光栅在给定衍射角方向出现主极大值中心的必要条件

平行光垂直入射：

平行光斜入射：

λθ md =sin

( ) λθθ md =± 0sinsin

符号规则：

入射光与衍射光在光栅法线同侧，取+；

入射光与衍射光在光栅法线异侧，取-。

4、光栅方程

m=0, ±1, ±2 ···

m=0, ±1, ±2 ···

θ0θ

d θ0θ

光栅光谱：根据光栅方程，在给定亮纹级次情况下，衍射角与波长成正比。

复色光照射时，同一级次不同波长的衍射主极大值位置不同，

从而形成的一组不同波长彼此分开的锐细的彩色谱线。

二、光栅光谱

1、分光原理

同一级谱线中，长波谱线的衍射角大于短波谱线；

随着级次的增大，不同波长、不同级次的谱线可能发生重叠；

白光照射时，除中央0级亮纹中心仍为白色外，其余各级均为自短波长

到长波长排列的连续光谱。

θsin0

I

一级光谱二级光谱

三级光谱dλ

−

光栅光谱仪：基于光栅衍射分光原理的光谱仪——摄谱仪、单色仪、分光计。

光栅光谱仪原理

L2

平行光管

蓝

绿

红

白光光源

L1

S

0级衍射

光栅

由于不同元素（或化合物）各有自己特定的光谱，所以由谱线的成分，可分析出发光物质所含的元素或化合物；还可从谱线的强度定量分析出元素的含量．

光栅的色散本领（Dθ)：衍射角随波长的变化率

线色散本领：

mdmDθλδ

θδθ cos

==

ml d

mffllDθδλ

δδλδ

cos'' 2

2 ===

光栅光谱的色散本领与光栅常数d成反比，与衍射光谱级次m成正

比。色散本领反映光栅将两相近谱线的中心分立的程度。衍射级次

越高，光栅常数越小，色散本领越大。

2、色散本领

光栅光谱仪的量程

光栅的衍射角最大不超过90o（θ<90o），故满足光栅方程的最大波

长：λmax≤d。光栅光谱仪的最大量程为光栅常数d。工作于不同波段的

光谱仪要选用适当光栅常数的光栅备件。

为使相邻级次光谱不至于出现重叠现象，要求光谱仪工作波段第m级的

上限（长波）λ+ΔλF与第（m+1）级的下限（短波）λ满足关系：(j+1)λ>j(λ+ ΔλF)。满足这一关系的波长范围ΔλF ，称为光谱仪在该衍射级的自由光谱范

围。

4、光栅的自由光谱范围

3、色分辨本领

光栅的色分辨本领（R)：光栅对两条相近谱线的分辨能力

mNR ==λδλ

由Rayleigh判据， δθm = Δθm为可以分辨的极限。

利用高级次光谱并增加光栅缝数，可提高光栅的色分辨本领。

光栅的第m级光谱的自由光谱范围：mFλλ =Δ

用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平面光栅上，求第三级光

谱的张角。

解： nm760~400=λ cm 6500/1=d

148.165001cm

cm106.73sin5

11 >=

××=

′=′

−

dmλθ红光

第三级光谱的张角

第三级光谱所能出现的最大波长

nmdm

d 5133

90sin' ===o

λ 绿光

78.065001cm

cm1043sin5

11 =

××==

−

dmλθ紫光

o26.511 =θ

ooo 74.3826.5190 =−=Δθ

看不到

波长为 λ =590nm的平行光正入射到每毫米 500条刻痕的光栅上时，

屏幕上最多可以看到多少条明纹？

解：光栅常数 nm 2000mm 5001 ==d

L2,1,0m sin ±±== λθ md

时o90=θ λmd =090sin

3 43590

2000⇒⋅===

λdm

最多可以看到 2×3+1=7 条明纹。

波长为700 nm的单色光，垂直入射在平面透射光栅上，光栅常数为3×10-4cm，缝宽为10-4cm。求(1)最多能看到第几级光谱?(2)哪些级出现缺级现象?

最多可看到第四级光谱

解 L2,1,0m sin ±±== λθ md

时o90=θ λmd =090sin

4 28.4nm 700

cm 103 4

⇒=×

==−

λdm

满足 时缺级nadm = L31,2,n 3 == nm

m=3 时缺级——第三级出现缺级。

即光屏上实际呈现级数为4-1=3，

对应于明纹k=-4,-2,-1,0,1,2,4共七条。

透射光栅的缺点：平面式光栅的零级谱无色散，但该级却具有最大的能

量。仅有很少部分光能量分布于高级次条纹上。

闪耀光栅：由一组锯齿状刻槽构成的反射式光栅。

闪耀光栅的特点：可将单槽衍射的0级与槽间干涉的0级在空间错开，从而把

光能量转移并集中到所需要的某一级光谱上。

闪耀角：刻槽面法线与光栅面法线之间的夹角，以θB表示。

三、闪耀光栅

闪耀光栅的结构

d

θ b

光栅平面

刻槽平面

1910年伍德（W. Wood)最先成功刻制了闪耀光栅。

由于刻槽表面相对于光栅面法线方向夹角为θB，单槽衍射的0级极

大值不再沿刻槽面法线方向，而是沿与光栅面夹角θ0=2θB的反射方向。

相邻刻槽表面反射的光束间的光程差变为：Δ=dsin(2θB)。因此，闪耀条

件变为

m= 1, 2, 3, ···( ) mB md λθ =2sin

单缝衍射中央主极大方向

θ0

d

θ b

光栅衍射中央主极大方向

闪耀光栅的衍射（垂直栅面照射）

闪耀波长： λB；闪耀级次：m。

闪耀光栅的特点：

单槽宽度a与刻槽间距d相差很小，故其它衍射级次（包括中央0级）

都因几乎落在单槽衍射的极小值位置而形成缺级，从而将80%～90%

的光能量都集中到λB成分的第m级谱线上。当a取值很小时，单槽衍

射的中央主极大分布较宽，从而可使得位于闪耀波长附近波段的光谱

强度都得到提高。

满足由闪耀条件时，波长λB的第m级谱线将被转移到单槽衍射的0级极大值方向，从而大大提高谱线的亮度。通过闪耀角θB的不同

设计，可以使光栅适用于某一特定波段的某级光谱上。

-3 -2 -1 0 1 2 3

d≈am=1N=20

d≈am=2N=20

闪耀光栅的衍射原理 反射式光栅单色仪结构光路

M1

探测器 狭缝S2

狭缝S1光源

M2

凹面反射镜闪耀光栅

G