ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018 3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3 ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου 2 2 2 : c x y σε ένα σημείο του 1 1 , xy έχει εξίσωση: 2 1 1 xx yy . Μονάδες 10 A2. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και . Μονάδες 5 Α3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. i. Αν ( , ) τότε 1 . ii. Ισχύει για οποιαδήποτε διανύσματα , και . iii. Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο 0 0 ( , ) x y έχουν εξίσωση της μορφής 0 0 ( ) y y x x . iv. Η ακτίνα ρ του κύκλου 2 2 2 : c x y είναι ίση με α. v. Αν 2 2 4 , τότε η εξίσωση 2 2 0 x y x y παριστάνει κύκλο. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β Δίνονται τα διανύσματα , , με (1, 3) , (1, 2) και 4 . Β1. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος και στη συνέχεια το εσωτερικό γινόμενο . Μονάδες 7
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018
3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3
ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018
Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου 2 2 2:c x y σε ένα σημείο του
1 1,x y έχει εξίσωση: 2
1 1xx yy .
Μονάδες 10
A2. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και .
Μονάδες 5
Α3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη
λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη.
i. Αν ( , ) τότε 1 .
ii. Ισχύει για οποιαδήποτε διανύσματα , και .
iii. Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο 0 0( , )x y έχουν εξίσωση της μορφής
0 0( )y y x x .
iv. Η ακτίνα ρ του κύκλου 2 2 2:c x y είναι ίση με α.
v. Αν 2 2 4 , τότε η εξίσωση 2 2 0x y x y παριστάνει κύκλο.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται τα διανύσματα , , με (1, 3) , (1,2) και 4 .
Β1. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος και στη συνέχεια το εσωτερικό
γινόμενο .
Μονάδες 7
ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018
3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 2 ΑΠΟ 3
Β2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x x .
Μονάδες 6
Β3. Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων και .
Μονάδες 6
Β4. Αν 2( 4, )u να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε u .
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται τα σημεία Α(3, 2), Β(5, α-1) και Γ(4, 1).
Γ1. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α τα σημεία Α, Β και Γ είναι κορυφές
τριγώνου;
Μονάδες 6
Γ2. Αν το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με 2 να βρείτε τις τιμές του α.
Μονάδες 6
Γ3. Για 3 να βρείτε τις εξισώσεις της πλευράς ΒΓ και της διαμέσου ΑΜ.
Μονάδες 7
Γ4. Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ΒΓ και : 3 2 7 0x y .
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η εξίσωση 2 2 2 (2 6) 5 2 0 (1)x y x y .
Δ1. Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε πραγματικό αριθμό λ των οποίων να
βρείτε τα κέντρα και την ακτίνα.
Μονάδες 6
ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018
3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3
Δ2. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων.
Μονάδες 6
Δ3. Να βρείτε ποιος από τους παραπάνω κύκλους εφάπτεται στον άξονα 'y y .
Μονάδες 6
Δ4. Να βρείτε ποιο σημείο του γεωμετρικού τόπου των κέντρων των κύκλων απέχει
ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων και στη συνέχεια να υπολογίσετε πόσο είναι
αυτή.
Μονάδες 7
ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018
3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 4
ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018
Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Θεωρία σελίδα 83.
Α2. Θεωρία σελίδα 41.
Α3. i. Σωστό ii. Λάθος iii. Λάθος iv. Λάθος v. Σωστό
ΘΕΜΑ Β
Β1. Είναι 4 (1, 3) 4(1,2) (1, 3) (4,8) (1 4, 3 8) (5,5) και
1 1 ( 3) 2 1 6 5 .
Β2. Έστω ω η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x x . Ισχύει ότι
51
5 . Όμως είναι x=5>0 και y=5>0 άρα 0
2
. Επομένως
4
.
Β3. Είναι 2 2 2 2
5 5 5 5,
| | | | 10 5 2 5 5 5 21 ( 3) 1 2
1 2
22
. Άρα η γωνία των διανυσμάτων και είναι ίση με
3
4
.
Β4. Ισχύει u οπότε 2 20 4 ( 3) ( ) 0 3 4 0 4 1u ή .
ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018
3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 2 ΑΠΟ 4
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Για να είναι τα σημεία Α, Β και Γ κορυφές τριγώνου πρέπει τα διανύσματα και
να είναι μη συγγραμμικά. Είναι:
(5 3, 1 2) (2, 3) και (4 3,1 2) (1, 1) . Η ορίζουσά τους είναι
2 3
det , 2 ( 1) 1 ( 3) 2 3 11 1
.
Πρέπει det , 0 οπότε 1 0 δηλαδή 1 . Άρα τα σημεία Α, Β, Γ
σχηματίζουν τρίγωνο για κάθε 1 .
Γ2. 1 12 det , 2 1 2 1 4 1 4 1 4
2 2ή
5 3ή . Οι τιμές είναι δεκτές.
Γ3. Για 3 είναι (5, 4) . Η ευθεία ΒΓ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης
1
1 ( 4) 55
4 5 1
και εξίσωση 1 5( 4) 5 20 1 5 21y x y x y x .
Έστω Μ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ. Θα έχει συντεταγμένες 5 4 9
2 2x
και
4 1 3
2 2y
. Επομένως θα είναι
9 3,
2 2
. Η ευθεία ΑΜ θα έχει συντελεστή
διεύθυνσης 2
3 72
72 29 3 3
32 2
. Η εξίσωσή της θα είναι:
72 ( 3) 3 6 7( 3) 3 6 7 21 7 3 27 0
3y x y x y x x y .
Γ4. Ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία ΒΓ: 5 21 0x y είναι το (1, 5)a . Ένα
διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία : 3 2 7 0x y είναι το (2,3) .
Η γωνία θ των δύο ευθειών ισούται με τη γωνία των διανυσμάτων και οπότε:
2 2 2 2
1 2 ( 5) 3 2 15 13 13 2
226 13 2 13 13 13 21 ( 5) 2 3
ΑΠΟ 02/04/2018 ΕΩΣ 14/04/2018
3η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 4
Άρα 0135 οπότε η οξεία γωνία των δύο ευθειών είναι ίση με 045 .