2.Teori Potensial Inkompresibel

BAB 2.TEORI POTENSIAL

INKOMPRESIBEL

2.1. Garis Aliran, Stream Function, Sirkulasi, Vortisitas

Dalam bab ini akan dibahas teori yang mengawali ilmu termodinamika,

yaitu tentang medan atau aliran potensial. Mula-mula akan dikenalkan garis

aliran atau streamline, kemudian konsep stream function yang merupakan

pernyataan lain dari Hukum kekekalan massa fluida incompressible. ditambah

dengan konsep sirkulasi dan vortisitas. Vortisitas adalah komponen pusar dari

medan aliran. Di sini di definisikan bahwa medan potensial adalah medan

dengan vorisitas nol atau ir-rotasional, atau medan aliran dengan komponen

pusar. Ternyata hanya beberapa jenis aliran elementer yang termasuk dalam

medan potensial, yaitu aliran merata, source/sink, free-vortex dan doublet, yang

dari merekalah akan tersusun teori-teori terapan seperti conformal mapping,

metoda panel, teori airfoil Glauert dan sebagainya.

Tidak kalah penting di sini peran "Teori fungsi variabel kompleks", yang

masih diperkenalkan dalam operasi paling sederhana untuk memberikan

contoh-contoh pemakaiannya yang menawarkan kernudahan.

1) Teori ini meliputi tinjauan

- Aliran incompressible

- Mengabaikan viskositas

- 2- dimensional

Kinematika fluida : deformasi, kecepatan, percepatan fluida.

- Metoda Lagrangian

- Metoda Eularian

2) Definisi FLUX adalah kecepatan volume dari aliran lewat permukaan yang

ditinjau dapat dinyatakan pada :

3-dimensi :

fluks = ∫2- dimensi :

fluks =∫3) Persamaan Kontinuitas (HKM)

Dalam suatu sistem aliran, Aliran massa+ ( ) arah x :

masuk : ( )keluar : + ( )Keluar dari elemen volumetrik neto = ( ) (arah x)

arah y = ( )arah z = ( )aliran massa neto keluar dari V =( ) + ( ) + ( )masa fluida dalam elemen :

Perubahan masa fluida : -

Jadi dengan demikian diperoleh persamaan kontinuitas di bawah ini

A. Hukum Kekekalan masa (kontinuitas) :

Aliran tak mantap, tak mampat

Tiga dimensional + ( ) + ( ) + ( ) = 0B. Aliran mantap, compressible, = 0 :

3-dimensional ( ) + ( ) + ( ) = 0

C. Aliran incompressible : =

3-dimensional + + + + + + = 0+ + ∇ = 02-dimensional

- Kartensian : + = 0- Kutub (polar) : + + = 0

4) Persamaan Garis Aliran

a. Cartesian :

q = veltor kecepatan yang menyinggung garis aliran y(x)

q² = u² + v²

persamaan garis aliran : y = y(x)

kemiringan (slope) y = y(x)=

b. Polar : r = r ()

Kemiringan di P :=CONTOH :

a. Aliran merata :

u = U = kons tan

v = V = kons tan+ = 0 2 −persamaan garis aliran := = tan= + tan

(i) V = 0 y = konstan

(ii) U = 0 x = konstan

b. u = x

v = -y

a. + = 0 2 −b. = → = − → + = 0

In y + In x = In konstan

xy = konstan

persamaan garis adalah :

c. source & sink :

r² = x² + y² persamaan garis aliran :

r = 0 ; titik singular

m = strength of the source

Source

kalau tanda dibalik m =negativ sink

d. forced - vortex :

persamaan garis aliran

rotasi benda padat

e. free-vortex : k>0

r2 = x2 +y2 persamaan garis aliranq 0 ; r q ; r 0

sirkulasi

STREAM FUNCTION: (x, y)

: flux yang melewati garis

Fluks antara A B(B — B)

a. Cartensian :

HKM (kontinuitas)

definisi stream function (11)

Menghapus keharusan untuk meyakinkan bahwa aliran adalah :

2-dimensi

Incompressible

b. Polar :

CONTOH :

a. Aliran merata :

b. Source di O :

Stream line = konstan.

c. Free-vortex di O :

Logarithmis

Garis aliran = garis r konstan.

d. Forced-vortex pusat di O :

Kuadratis

PRINSIP SUPERPOSISI :

Aliran 1 :

Aliran 2 :

Kalau :

Maka :

CONTOH :

a. Pasangan SOURCE-SINK :

- Source & sink sama kuat (±m) di sumbu x berjarak a dari O

- Lingkaran-Iingkaran yang lewat ± m berpusat di sumbu y

b. Doublet = pasangan SOURCES-SINK dengan

- Bila a kecil ditahan dengan =

konstan

- Iingkaran-Iingkaran yang lewat

O berpusat di sumbu y.

SIRKULASI

adalah integral garis daripada komponen tangensial (singgung) kecepatan

mengelilingi kurva tertutup C (berlawanan dengan jarum jam.

VORTICITY :

vorticity vektor yang arahnya bidang x-y

sebagai gambaran :

vorticity ROTASI

Aliran Irrotasional, Potensial Kecepatan

ALIRAN IRROTATIONAL :

Suatu medan yang bebas dari VORTICITY

Vorticity ()= 0 dimana-mana dalam medan tersebut

Contoh

a. Aliran merata :

b. Source atau sink (disekeliling)

c. Free vortex (disekeliling)

Sirkulasi

Contoh :

a. Aliran shear merata :

Vorticity 0, bukan irrotational

Aliran rotational

Walaupun kecepatan sejajar

b. Forced vortex :

memang seperti benda padat berputar

dimanapun

- Aliran rotational

Contoh : aliran irrotational

Aliran merata

Source, sink, doublet

Free vortex selain dititik-titik singular

VELOCITY POTENTIAL ()

tak tergantung lintasan (ACB atau AC'B)

berharga tunggal

berharga tunggal

(single valued)

= potensial kecepatan (velocity potential)

Contoh : aliran irrotational

Aliran merata

Source, sink, doublet

Free vortex selain dititik-titik singular

VELOCITY POTENTIAL ()

tak tergantung lintasan (ACB atau AC'B)

berharga tunggal

berharga tunggal

(single valued)

= potensial kecepatan (velocity potential)

Contoh : aliran irrotational

Aliran merata

Source, sink, doublet

Free vortex selain dititik-titik singular

VELOCITY POTENTIAL ()

tak tergantung lintasan (ACB atau AC'B)

berharga tunggal

berharga tunggal

(single valued)

= potensial kecepatan (velocity potential)

Agar single-valued = 0, aliran irrotational

Aliran = POTENTIAL FLOW = single-valued

Kalau tidak single-valued (multi-valued) :

- Tergantung pada lintasan yang dipilih

RINGKASAN :

Aliran potential (pengaruh viscos diabaikan)

Aliran yang invicid dan irrational ( = ∇ ̅ = 0)Syarat :

= vel. Potential single-valued

q² = u² + v²

atau : syarat irrotational

Aliran incompressible (2-dimensi) :

definisi Stream function :

irrotational

TEORI FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS :

Suatu fungsi

adalah analytic ( single-value) dalam suatu domain D bila dan ada

dan memenuhi persamaan Cauhy-Riemann

Yang akibatnya (x,y) dan (x, y) adalah harmonik dalam D artinya

Polar :

CONTOH :

a) Aliran merata : u=U,v=V

a. Source di O :

b. Free-vortex di 0 :

c. Doublet dengan kekuatan = zam di O

2.2. Pemakaian Aljabar Bilangan Kompleks

Karena : vel. Potential () dan stream function ()

Untuk aliran potential tak mampat

(∇ = 0 dan ∇)

Dapat menyusun fungsi analitis w(z)

P O T E N S I A L

K O M P L E K S

Dalam suatu domain D dalam bidang komplex.

Analisa dan

bisa menggunakan analisa variable komplek.

CONTOH : (potential kompleks)

a. Aliran merata :

b. Source di O :

c. Free-vortex di O :

d. Doublet di O :

Kalau w(z) — analitis (dalam suatu domain)

CONTOH :

a. Aliran merata

b. Source di O :

c. Free-vortex di O :

d. Doublet di O :

Aliran merata melewati benda :

Aliran ideal (inviscid)

Sama dengan — benda berjalan dengan kecepatan konstan melewati fluida diam.

Simulasi diperoleh dengan kombinasi aliran merata + (doublet, source, sink,

vortex)

Batasan (syarat-syarat) :

a) Jauh dari benda, pengaruh adanya tak dirasa

b) Tak ada aliran menembus batas benda

c) Tak ada "singularity" dalam daerah fluida

d) Jumlah "source" dan "sink" dalam benda = nol.

Contoh-contoh :

a. Half body dari Rankine

b. Rankine oval

ALIRAN LEWAT SILINDER :

Potential kompleks :

a. Kekuatan doublet menentukan besarnya silinder : (terhadapV)

b. Usahakan lingkaran r = a suatu garis aliran

c. Stream function pada lingkaran r = a

Misal :

d. Potensial kompleks

Kekuatan doublet

dilingkaran r = a

2.3. ALIRAN LEWAT SILINDER DENGAN SIRKULASI

Potential Kompleks:

Dengan adanya tambahan sirkulasi (vortex), tidak nol lagi di lingkaran r =a, agar

tetap nol, dicari harga c.

dilingkaran

agar di r = a

potensial kompleks :

2.4 THEOREMA BLASIUSMisal w(z) = potensial kompleks aliran dua dimensi invicid lewat benda. X dan Y

adalah komponen gays dalam arah x dan y. M adalah momen berlawanan

dengan arah jarum jam di z = 0, maka

C : kurva yang merupakan batas benda.

Contoh :

Artinya : X = 0, tidak ada drag di lembert paradox Y= lift hasil dari Kutt

Joukowski. M = 0, lift- ,

bekerja melalui gars lewat 0.

2.5 CONFORMAL MAPPING

Fungsi transformasi

Catatan :

o potensial kompleks dibidang z adalah juga potensial kompleks dibidang

o potential kecepatan (W)

o sources, sinks dan vortex tertransformasi ke sources, sinks dan vortex dengan

kekuatan yang sama

o kecepatan kompleks W tertransformasi mengikuti mapping function di atas.

Potential Kompleks:

Dengan adanya tambahan sirkulasi (vortex), tidak nol lagi di lingkaran r =a, agar

tetap nol, dicari harga c.

dilingkaran

agar di r = a

potensial kompleks :

2.4 THEOREMA BLASIUSMisal w(z) = potensial kompleks aliran dua dimensi invicid lewat benda. X dan Y

adalah komponen gays dalam arah x dan y. M adalah momen berlawanan

dengan arah jarum jam di z = 0, maka

C : kurva yang merupakan batas benda.

Contoh :

Artinya : X = 0, tidak ada drag di lembert paradox Y= lift hasil dari Kutt

Joukowski. M = 0, lift- ,

bekerja melalui gars lewat 0.

2.5 CONFORMAL MAPPING

Fungsi transformasi

Catatan :

o potensial kompleks dibidang z adalah juga potensial kompleks dibidang

o potential kecepatan (W)

o sources, sinks dan vortex tertransformasi ke sources, sinks dan vortex dengan

kekuatan yang sama

o kecepatan kompleks W tertransformasi mengikuti mapping function di atas.

Potential Kompleks:

Dengan adanya tambahan sirkulasi (vortex), tidak nol lagi di lingkaran r =a, agar

tetap nol, dicari harga c.

dilingkaran

agar di r = a

potensial kompleks :

2.4 THEOREMA BLASIUSMisal w(z) = potensial kompleks aliran dua dimensi invicid lewat benda. X dan Y

adalah komponen gays dalam arah x dan y. M adalah momen berlawanan

dengan arah jarum jam di z = 0, maka

C : kurva yang merupakan batas benda.

Contoh :

Artinya : X = 0, tidak ada drag di lembert paradox Y= lift hasil dari Kutt

Joukowski. M = 0, lift- ,

bekerja melalui gars lewat 0.

2.5 CONFORMAL MAPPING

Fungsi transformasi

Catatan :

o potensial kompleks dibidang z adalah juga potensial kompleks dibidang

o potential kecepatan (W)

o sources, sinks dan vortex tertransformasi ke sources, sinks dan vortex dengan

kekuatan yang sama

o kecepatan kompleks W tertransformasi mengikuti mapping function di atas.

2.6 TRANSFORMASI JOUKOWSKIJauh dari benda aliran "free stream"

Modified Joukowski Transformation :

Kelemahan "Joukowski transformation" :

sudut pada "trailing edge" (TE) harus nol (cusped).

Modifikasi :

untuk n=2 transformasi Joukowski.

Mirip dengan Joukowski tapi sudut "trailing edge" (TE) tertentu.