TANIM: Bu denklemi sağlayan x 1 ,x 2 gerçel sayılarına denklemin gerçel a,b,c R ve a≠0 olmak üzere , ax 2 +bx+c=0 denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. ax 2 +bx+c=0 denkleminin çözüm kümesini bulmak için; A ) denklem çarpanlara ayrılabiliyorsa her çarpan sıfıra eşitlenerek x değerleri bulunur. kökleri denir.
2.DERECE DENKLEMLER. TANIM:. a,b,c R ve a≠0 olmak üzere , ax 2 +bx+c=0 denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemi sağlayan x 1 ,x 2 gerçel sayılarına denklemin gerçel. kökleri denir. ax 2 +bx+c=0 denkleminin çözüm kümesini bulmak için;. - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
TANIM:
Bu denklemi sağlayan x1,x2 gerçel sayılarına denklemin gerçel
a,b,c R ve a≠0 olmak üzere , ax2+bx+c=0 denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
ax2+bx+c=0 denkleminin çözüm kümesini bulmak için;A ) denklem çarpanlara ayrılabiliyorsa her çarpan sıfıra eşitlenerekx değerleri bulunur.
kökleri denir.
ÖRNEK1:
(x+2)(x-1)=0x+2=0 veya x-1=0
x2+x-2=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
x=-2 x=1 veya
bulunur.
Bu durumda ÇK={-2,1 } dir.
ÇÖZÜM:
B) ax2+bx+c= 0 denkleminde ax2+bx+c çarpanlara ayrılamıyorsa;
∆=b2-4ac (discriminant)
I. ∆ < 0 ise R’ de çözüm kümesi boşkümedir.II. ∆ = 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır.
x1= x2= -b/(2a)
III. ∆ > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.
k=(4ac-b2)/4a=f(r)olmak üzere tepe noktası T(r,k)’dır.
2. Grafiğin , varsa koordinat eksenlerini kestiği noktalar bulunur.
A.Grafiğin x eksenini kestiği noktalarda y=0 olduğundan ax2+bx+c=0 olur.
∆=b2-4ac<0 ise grafik x eksenini kesmez.
∆=b2-4ac=0 ise grafik x eksenini (x1=x2,0) noktasında keser. (teğettir)∆=b2-4ac>0 ise grafik x eksenini (x1,0), (x2,0) gibi iki farklı noktada keser.B.Grafiğin y eksenini kestiği noktada x=0 y=c dir. Bu durumda
grafik y eksenini (0,c) noktasında keser.3. x=-b/(2a) fonksiyonun simetri
eksenidir.4. y=(4ac-b2)/4a fonksiyonun a<0 ise maksimum, a>0 ise minimum değeridir.5. Değişim tablosundan yararlanılarak grafik çizilir.
∆=b2-4ac>0 ise parabolün kolları yukarı doğru,∆=b2-4ac<0 ise parabolün kolları aşağı doğrudur.
ÇÖZÜM: Tepe noktası bulunur. r=-b/(2a)=3, k=f(2)= -3 T(3,-3)
Parabolün y eksenini kestiği nokta x=0 için y=5 tir. (0,5)Parabolün x eksenini kestiği noktalar; y=0 için x2-6x+5=0(x-5)(x-1)=0x1=1ve x2=5(1,0) ve (5,0)
ÇÖZÜM: Tepe noktası: r=-b/(2a)=1, k=f(1)= 0 T(1,0)
Parabolün y eksenini kestiği nokta x=0 için y=-1 dir. (0,-1)Parabolün x eksenini kestiği nokta; y=0 için –(x-1)2=0x1=x2=1 dir.Çift katlı kök olduğundan grafik x=1 de x eksenine teğettir.
Değişim tablosu:x - 0 1 +
y - -1 0 -1
-1
f(x)=a(x-r)2+k parabolünün tepe noktası T(r,k) dır.NOT:
ÖRNEK6: fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2)1x(21
)x(f 2
02)1x(21 2
ÇÖZÜM: Tepe noktası: T(1,-2) dir.Parabolün y eksenini kestiği nokta x=0 için y=-3/2 dir. (0,-3/2)Parabolün x eksenini kestiği noktalar; y=0 için
x1=-1ve x2=3 (-1,0) ve (3,0) dır.
Değişim tablosu:x - 0 1 +
y + -3/2 -2 + 1
-2-3/2
-1 3
EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARIN KOORDİNATLARI VERİLEN BİR PARABOLÜN DENKLEMİ:
y=a(x-x1)(x-x2)= a(x2 -(x1+x2)x+x1x2)şeklindedir.
x=0 için y=n alınarak a bulunur. x2x1
n
ÖRNEK7: x eksenini A(2,0) ve B(4,0) noktalarında, y eksenini
Parabol y eksenini 8 de kestiğinden, x=0 için denklemde y=8 olmalıdır.
8=a(0-2)(0-4)a=1 bulunur.
O halde, denklem: y=1(x-2)(x-4)= x2-6x+8 dir.
ÖRNEK8:
-1 4
-2
Grafiği aşağıda verilen parabolün denklemini bulunuz.
ÇÖZÜM: Denklem : y=a(x+1)(x-4) şeklindedir.
Parabol y eksenini -2 de kestiğinden, x=0 için denklemde y=-2 olmalıdır.
-2=a(0+1)(0-4)a=1/2 bulunur.O halde,
denklem: .dir2x
23
x21
)4x)(1x(21
y 2
ÖRNEK9: x eksenine (-1,0) da teğet olan ve (1,4) noktasından geçen parabolün denklemini yazınız.
ÇÖZÜM: Denklem : y=a(x+1)2 şeklindedir.
Eğri (1,4) noktasından geçeceğinden ;4=a(1+1)2a=1 bulunur.
O halde, denklem: y=1(x+1)2 dir.
DOĞRU İLE PARABOLÜN ORTAK NOKTALARI
Bir parabol ile bir doğrunun kesişmeleri, kesişmemeleri veya teğet olmaları istenirse ortak çözüm yapılır.Ortak çözüm sonucunda ax2+bx+c=0 biçiminde ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem oluşur.İkinci derece denkleminde ;
∆ >0 ise farklı iki noktada kesişirler.
∆ =0 ise teğet olurlar.
∆ < 0
ise kesişmezler.
ÖRNEK10: y=2x2+3x+2 parabolü ile y=-x+8 doğrusunun kesim noktasının koordinatlarını bulunuz.
ÇÖZÜM:
2x2+3x+2=-x+8 2x2+4x-6=0 (2x-2)(x+3)=0 x1=1 ve x2=-3 tür.
x1=1y1=-1+8=7 , x2=-3y2=3+8=11 bulunur.
Bu durumda kesim noktaları A(1,7) ve B(-3,11 ) dir.
ÖRNEK11: y=x2-3x parabolünün y=x+m doğrusuna teğet olması için m parametresini
bulunuz.
ÇÖZÜM:
Ortak çözüm denkleminin tek kökü olacağından;
x2-3x=x+m x2-4x-m=0
∆=016+4m=0m=-4 bulunur.
ÖRNEK12: y=x2 parabolüyle y=2x-m doğrusunun kesişmemesi için m’ in alacağı değerler kümesini