2_DDS_1ddl_k_2

1

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B. Lallemand - T. Tison 137

Etude des systèmes discrets à 2 ddls Généralisation du cas à 1 ddl

Extension 2 ddl

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B. Lallemand - T. Tison

Cette partie est une "introduction" aux systèmes à plusieurs degrés de liberté.

Le cas d'un système à seulement deux degrés de liberté et sans amortissement a été choisi pour introduire les diverses notions spécifiques des systèmes à plusieurs degrés de liberté.

Seules les vibrations libres seront étudiées et permettront d'introduire les notions de mode de vibration et de réponse par superposition des modes (superposition modale).

Introduction Extension 2 ddl

x1(t) x2(t)

x

138

2

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Détermination des équations d'équilibre

Les équations régissant l'équilibre du systèmes à 2 ddl peuvent être obtenues de différentes manières:

soit en étudiant l'équilibre des forces intérieures et extérieures associées à chacun des ddl "isolé", par application de la 2nde loi de Newton;

soit en utilisant des approches énergétiques, et par exemple ici, les équations de Lagrange.

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

139

x1(t) x2(t)

x

f1(t) f2(t)

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Détermination des équations d'équilibre 1ère méthode : Étude de l'équilibre de chaque ddl

12121111 fx-xkxkxm Équilibre du ddl 1:

12212111 fxkxkkxm

Efforts d'inertie

Efforts élastiques

Efforts extérieurs

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

140

m1

x1(t) x2(t)

x

f1(t)

k1 k2

3

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Détermination des équations d'équilibre

22312222 fxkx-xkxm

22321222 fxkkxkxm

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

141

1ère méthode : Étude de l'équilibre de chaque ddl (suite…)

m2

x1(t) x2(t)

x

f2(t)

k2 k3

Équilibre du ddl 1:

Efforts d'inertie

Efforts élastiques

Efforts extérieurs

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Détermination des équations d'équilibre

22321222

12212111

fxkkxkxm

fxkxkkxm

2

1

2

1

322

221

2

1

2

1

f

f

x

x

kkk

kkk

x

x

m0

0m

fx Kx M

M : matrice de masse du système (2x2) K : matrice de rigidité du système (2x2) x : vecteur déplacements (2x1) ẍ : vecteur accélérations (2x1) f : vecteur forces extérieures (2x1)

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

142

1ère méthode : Étude de l'équilibre de chaque ddl (suite…)

m2 m1

x1(t) x2(t)

x

f1(t) f2(t)

k2 k3 k1

4

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Détermination des équations d'équilibre

i

iii

fx

V

x

T

x

T

dt

d

T : Énergie cinétique totale du système. V : Énergie potentielle du système .

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

143

2ème méthode : Équations de Lagrange

i

iii

fx

V

x

T

x

T

dt

d

m2 m1

x1(t) x2(t)

x

f1(t) f2(t)

k2 k3 k1

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Détermination des équations d'équilibre

2

22

2

1121 xm2

1xm

2

1TTT Équilibre cinétique totale :

Équilibre potentielle totale : 2

23

2

122

2

11321 xk2

1xxk

2

1xk

2

1VVVV

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

144

2ème méthode : Équations de Lagrange (suite …)

i

iii

fx

V

x

T

x

T

dt

d

m2 m1

x1(t) x2(t)

x

f1(t) f2(t)

k2 k3 k1

5

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Détermination des équations d'équilibre

2

22

2

11 xm2

1xm

2

1T 2

23

2

122

2

11 xk2

1xxk

2

1xk

2

1V

i

iii

fx

V

x

T

x

T

dt

d

Dérivation par rapport au 1er ddl x1:

11

1

xmx

T

11

1

xmx

T

t

12211

1

xxkxkx

V

12212111 fxkxkkxm

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

145

2ème méthode : Équations de Lagrange (suite …)

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Détermination des équations d'équilibre

2

22

2

11 xm2

1xm

2

1T 2

23

2

122

2

11 xk2

1xxk

2

1xk

2

1V

i

iii

fx

V

x

T

x

T

dt

d

Dérivation par rapport au 1er ddl x1:

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

146

2ème méthode : Équations de Lagrange (suite …)

22

2

xmx

T

22

2

xmx

T

t

23122

2

xkxxkx

V

22321222 fxkkxkxm

2

1

2

1

322

221

2

1

2

1

f

f

x

x

kkk

kkk

x

x

m0

0m

6

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Equations d'équilibre

2

1

2

1

322

221

2

1

2

1

f

f

x

x

kkk

kkk

x

x

m0

0m

fx Kx M

On voit que les équations ne sont plus indépendantes. On peut remarquer que les équations sont couplées, c’est-à-dire qu’une perturbation sur la coordonnées x2

va avoir un effet sur le degré de liberté x1

et vice-versa. Si les forces extérieures sont nulles et si on néglige l’amortissement, on peut trouver des régimes d'oscillations propres du système qui sont caractérisés par:

des fréquences de résonance ou des valeurs propres (il y a autant de fréquences naturelles que de degrés de liberté); des déformées propres (ou modes ou vecteurs propres), associées à ces fréquences.

On peut se ramener à des équations indépendantes ou découplées, moyennant un changement de variable approprié, en introduisant la notion de mode propre.

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

147

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Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

On cherche des solutions de la forme: En injectant ces différents termes dans l'équation d'équilibre, on obtient: où la valeur propre λ représente le carré de la pulsation propre ω². Remarque : on peut également rechercher les solutions en sin(ωt) ou exp(jωt).

ωtXcosx

ωtωXsinx

ωtXcosωx 2

0X KX M-ω2 0X M-ωK 2 0X λM-K

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

148

0

0

x

x

kkk

kkk

x

x

m0

0m

2

1

322

221

2

1

2

1

0x Kx M

7

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B. Lallemand - T. Tison 149

Détermination des valeurs propres

Le problème aux valeurs propres à résoudre est :

1. Les valeurs propres λi sont déterminées en calculant les racines du polynôme caractéristique (λi =ωi

2):

2. Pour chaque valeur λi déterminée, le vecteur propre associé Φi est calculé par l'équation aux valeurs propres :

Remarques :

Il y a autant de modes que de degrés de liberté;

Le vecteur propre de M-1 K représente la forme de la déformée modale de la structure; il est sans unité !

Le vecteur propre est défini à un facteur multiplicatif près (Normalisation des vecteurs propres). On s'arrange souvent (toujours) pour le normaliser par rapport à la matrice de masse:

Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

λM-Kdetλp λI-KMdetλp -1

0Φ Mλ-K ii

0Φ Mλ-K ii 0Φ Iλ-KM ii

1

Extension 2 ddl

1MΦΦ i

T

i ii

T

i λKΦΦ

0Φ Iλ-KM ii

-1

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B. Lallemand - T. Tison 150

Réponse libre du système La solution générale est une combinaison linéaire de ces deux solutions propres, à savoir les contributions des réponses de chacun des modes, l'un à la pulsation propre ω1, l'autre à la pulsation propre ω2.

Les quatre inconnues A, B, ϕ1 et ϕ2 sont déterminées par les conditions initiales, associées aux conditions du lâcher libre, à savoir les déplacements et les vitesses des deux ddl à l'instant t=0: x(t=0) et ẋ(t=0). On peut également exprimer cette réponse sous la forme matricielle suivante : avec Φ, base modale constituée des vecteurs propres rangés en colonne, et q vecteur des coordonnées modales généralisées (qi(t)=qi0cos(ωit+ϕi)).

Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

222111

2

1 tωcosBΦtωcosAΦtx

txtx

tq Φtx

2

1iii

2

1

21 tqΦtq

tq ΦΦtx

Principe de Superposition modale

Extension 2 ddl

8

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B. Lallemand - T. Tison 151

Illustration

Équations d'équilibre:

Calcul des valeurs propres:

Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

0

0

tx

tx

2kk

k2k

tx

tx

m0

0m

2

1

2

1

0λm2kk

kλm2kdet

0λM)det(K

m

3k

2m

2mk4mkλ

m

k

2m

2mk4mkλ

22

21

soit : (Hz)

m

3k

2π

1f

(Hz) m

k

2π

1f

02

01

0kλm2k 22

Extension 2 ddl

m2 m1

x1(t) x2(t)

x

k2 k3 k1

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Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

0M)Φλ(K ii avec :

2i

1i

ix

xΦ

0xk2kkx

0kxxk2k

2111

2111

i=1 m

kλ1 2111 xx soit par exemple

1

1Φ1

soit par exemple

0x3k2kkx

0kxx3k2k

2212

2212

i=2 m

3kλ2 2212 xx

1

1Φ2

Matrice modale :

11

11Φ ou normée par rapport à la matrice de masse :

telle que ΦTMΦ=I

11

11

2m

1Φ

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

152

Illustration

Calcul des vecteurs propres:

9

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Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

Mode 2

Mode 1

m

kλ1

m

3kλ2

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

153

Illustration

Calcul des vecteurs propres:

x

x

x

x1=1

x1=1

x2=1

x2=-1

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B. Lallemand - T. Tison 154

Illustration

Calcul de de la réponse libre:

Application numérique :

m = 1 kg

k = 10 N/m

Conditions initiales :

Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

1

1

2m

1Φ1

m

kω1

1-

1

2m

1Φ2

m

3kω2

Mode 1 Mode 2

Valeur propre 10 30

Pulsation propre (rad/s) 3.162 5.477

Fréquence propre (Hz) 0.509 0.817

Période propre(s) 1.987 1.147

Déformée modale [0.707 0.707]T [0.707 -0.707]T

0

0(0)x

0.1

0x(0)

Extension 2 ddl

0

0(0)q

0.1-

0.1

2

1q(0)

10

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

t (s)

q1(t

)=q

01cos(

1t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

t (s)

q2(t

)=q

02cos(

2t)

B. Lallemand - T. Tison 155

Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

T2

Extension 2 ddl

Illustration

Calcul de de la réponse libre: Réponse harmonique des modes

T1

Période Ti(s)

1,987

1,147

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Illustration

Calcul de de la réponse libre: Réponse en déplacements des 2 ddl associées aux masses

B. Lallemand - T. Tison 156

Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

T2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

t (s)

x1(t

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

t (s)

x2(t

)

0.1

0x(0)

Extension 2 ddl

11

Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications

Illustration

Calcul de de la réponse libre: Réponse en vitesses des 2 ddl associées aux masses

B. Lallemand - T. Tison 157

Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

T2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t (s)

v 1(t

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

t (s)

v 2(t

)

0

0(0)x

Extension 2 ddl

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Illustration

Calcul de de la réponse libre: Réponse en accélérations des 2 ddl associées aux masses

B. Lallemand - T. Tison 158

Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

T2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1

0

1

2

t (s)

a1(t

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1

0

1

2

t (s)

a2(t

)

Extension 2 ddl

2-

1(0)x

12

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B. Lallemand - T. Tison 159

Illustration

Calcul de de la réponse libre: Évaluation de l'énergie cinétique

Rappel:

Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t (s)

Ecin

Ec Masse 1

Ec Masse 2

Ec Totale

22

c xm2

1mv

2

1E

Extension 2 ddl

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B. Lallemand - T. Tison 160

Illustration

Calcul de de la réponse libre: Évaluation de l'énergie potentielle

Rappel:

Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

t (s)

Epot

Ep Ressort 1

Ep Ressort 2

Ep Ressort 3

Ep Totale

2

p kx2

1E

Extension 2 ddl

13

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B. Lallemand - T. Tison 161

Illustration Calcul de de la réponse libre: Évaluation de l'énergie totale du système

Il y a transfert entre l'énergie potentielle et l'énergie cinétique.

Le système n'ayant pas d'amortissement, l'énergie totale est constante !

Le système est bien conservatif.

Résolution d'un système non amorti en vibrations libres

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

t (s)

Eto

t

Ep Totale

Ec Totale

E Totale Système

Extension 2 ddl

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B. Lallemand - T. Tison 162

La réponse libre non amortie est déterminée en définissant la réponse temporelle comme la somme des mouvements harmoniques à chaque fréquence naturelle (principe de superposition modale).

L’amplitude des mouvements harmoniques est égale au mode multiplié par une constante à déterminer.

Les inconnues (amplitudes et phases) sont déterminées par les conditions initiales de déplacement et de vitesse : si les conditions initiales sont sous forme de déplacement, le mouvement s’exprimera

sous forme cosinusoïdal;

si les conditions initiales sont sous forme de vitesse, le mouvement s’exprimera sous forme sinusoïdal;

si les conditions initiales sont sous forme de déplacement et de vitesse, le mouvement s’exprimera sous forme quelconque.

Résumé Extension 2 ddl

tq Φtx

14

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B. Lallemand - T. Tison 163

Résolution d'un système non amorti en vibrations libres Extension 2 ddl

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B. Lallemand - T. Tison 164

f1(t) et f2(t) sont sinusoïdales, soit en notation complexe:

Il s'agit donc d'une équation différentielle du second ordre.

La solution est du type :

xG est la solution générale de l'équation homogène associée (cas des vibrations libres)

xP est la solution particulière de l'équation complète, avec second membre

La solution particulière xP est du type:

Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique

tf

tf

tx

tx

2kk

k2k

tx

tx

m0

0m

2

1

2

1

2

1

tjΩ

2

1

2

1 eF

F

tf

tf

txtxtx PG

tjΩtjΩ

2

1

P XeeX

Xtx

tjΩ2

P XeΩtx tjΩ

P XejΩtx

Extension 2 ddl

15

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B. Lallemand - T. Tison 165

En reportant les déplacements, les accélérations et les chargements dans l'équation d'équilibre, on obtient:

La résolution de ce système, fonction de la pulsation d'excitation Ω, donne:

Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique

2

1

2

12

F

F

X

X

m0

0m

2kk

k2k

2

1

2

2

2

1

F

F

mΩ2kk

kmΩ2k

Δ

1

X

X mΩ3kmΩkΔ 22

mΩ3kmΩk

kFF mΩ2kX

22

21

2

1

mΩ3kmΩk

F mΩ2kkFX

22

2

2

12

tjΩ

2

1

P eX

Xtx

Extension 2 ddl

tf

tf

tx

tx

2kk

k2k

tx

tx

m0

0m

2

1

2

1

2

1

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Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique

Illustration : Cas particulier pour lequel F2=0. On obtient alors 2 FRF :

mΩ3kmΩk

F mΩ2kX

22

1

2

1

mΩ3kmΩk

kFX

22

12

Δ

mΩ2k

mΩ3kmΩk

mΩ2k

F

X 2

22

2

1

1

Δ

k

mΩ3kmΩk

k

F

X22

1

2

B. Lallemand - T. Tison

Extension 2 ddl

166

16

Introduction Systèmes à 1 DDL Systèmes à n DDL Techniques Avancées A.M.E. Annexes Introduction Régime libre conservatif Isolation Régime forcé conservatif Régime libre dissipatif Régime forcé dissipatif Extension 2 ddl Applications

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10-2

10-1

100

(rad/s)

| X

/F |

|X1/F

1|

|X2/F

1|

Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique

Si Ω=ω1 ou si Ω=ω2, le déterminant Δ s'annule; la réponse du système devient alors infinie !

Si Ω=ω0', le 1er ddl ne vibre pas (|X1/F1|=0 - Antirésonance), mais le 2nd ddl vibre.

m

kω1 m

3kω2

m

2kω0

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167

Illustration (suite...)

Étouffeur de vibration !

Branches infinies !

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Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique

Si Ω=0, on retrouve la solution du régime statique

Si Ω , l'amplitude des réponses des 2 ddl tend vers 0.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10-2

10-1

100

(rad/s)

| X

/F |

|X1/F

1|

|X2/F

1|

1

2

3k

1

FX

FX

12

11

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168

Illustration (suite...)

17

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Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique

La solution particulière a alors comme expression:

mΩ3kmΩk

F mΩ2kX

22

1

2

1

mΩ3kmΩk

kFX

22

12

tjΩ

2

1

P eX

Xtx

tjΩ

22

1

2

1 emΩ3kmΩk

F mΩ2ktx

tjΩ

22

12 e

mΩ3kmΩk

kFtx

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169

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Vibrations forcées en régime conservatif – Excitation harmonique Illustration (suite...)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

t (s) - = 1rad/s

x(t

)

x1

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

t (s) - = 4.4721rad/s

x(t

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.5

0

0.5

t (s) - = 5.3677rad/s

x(t

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1

0

1

2x 10

-3

t (s) - = 30rad/s

x(t

)

rad/s 3,162m

kω1 rad/s 5,477

m

3kω2 rad/s 4,472

m

2kω0

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170

18

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