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Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
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29. Grundlegendes zu Magnetfeldern
29.1. Die LORENTZ-Kraft
− Ladungen werden nicht nur von elektrischen Feldern beeinflusst
(COULOMB-Kraft, Gl. (25- 4)), sondern auch von magnetischen
Feldern. !
− Experimente zeigen:
· Kraft wirkt nur auf bewegte Ladungen F ~ v· Kraft wirkt immer
senkrecht zu v
r, also keine Änderung des Betrages von | v
r|
bzw. der kinetischen Energie Ekin, sondern nur
Richtungsänderung· Bei homogenen Magnetfeldern sieht man, dass die
Kraft von der Richtung von
vr
relativ zum Magnetfeld Br
abhängt· positive und negative Ladungen q/-q werden
entgegengesetzt abgelenkt
− Letztlich zeigt sich, dass für die LORENTZ-Kraft gilt:
BvqFrrr
×⋅= (1)
Br
... magnetische Feldstärke
Es gilt die Rechte-Hand-Regel:
Mit Gl. (1) ist eine Präzisierung der experimentellen Ergebnisse
möglich:
)B,vsin(BvqFrrrrr
⋅⋅⋅=
· F wird minimal (F = 0) für vr
|| Br
.· F wird maximal für v
r ⊥ B
r.
− Damit ist Br
analog zu Er
über die Kraftwirkung auf elektrische Ladungen definiert.
= Nmä
Maß-einheit:
]B[211 Am
JmsmC
JsmC
N]v[]q[
]F[=
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
⋅=
−− SI
mit: P UI ⋅= (26 - 14)
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]P[sJ
VA ≡⋅= SI
æ
AsJ
V = , damit ergibt sich für B
Maß-einheit:
]B[ TmVs
2≡= ... Tesla SI
Eine veraltete Nicht-SI-Einheit ist das Gauß (1 Tesla = 104
Gauß).
29.2. Kräfte auf Ströme im Magnetfeld
− Strom in einem Leiter
AvnqI ⋅⋅⋅=rr (2)
n ... Zahl der Ladungsträger pro Volumenq ... Ladung pro
Ladungsträgervr
... mittlere Driftgeschwindigkeit
vgl. hierzu auch Gl. (26 - 10), allerdings ist in Gl. (2)noch
die korrekte Richtungsbeziehung enthalten
mit:lA
Nn
⋅= wobei N die Zahl der Ladungsträger im Drahtstück ist,
folgt aus Gl. (2)
Ir
AvlA
Nq ⋅⋅
⋅⋅=
r Br
×
BIrr
×l1
FNl1
BvqN T ⋅⋅=⋅×⋅⋅=rrr
(3)
TFr
beschreibt die LORENTZ-Kraft auf einen Ladungsträger. Die
gesamte Gl. (3) hin-gegen drückt die Kraft auf alle Ladungsträger
pro Längeneinheit im Drahtstück aus.
Die resultierende Kraft auf alle Ladungsträger im Drahtstück
ergibt sich zu
BIlFrrr
×⋅= (4a)
bzw. BlIFrrr
×⋅= (4b)
dabei gilt:
elIlIIlrrr
⋅⋅≡⋅=⋅er
... Einheitsvektor in Draht-/Stromrichtunglr
... Drahtlänge mit „Vektorcharakter“ || Ir
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Kommentar: uDie Kraft ist unabhängig davon, wie der Strom zu
Stande kommt (viele/wenigeLadungsträger, viel/wenig Ladung pro
Ladungsträger, große/kleine Driftge-schwindigkeit)! Entscheidend
ist nur der Strom, also Ladung pro Zeit.
Einschub zur Richtungskonvention !für positive Ladungsträger (q
> 0) gilt:
AI
j~I~v~Errrrr
≡
vr
... Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger
In Metallen sind die frei beweglichen Ladungsträger die
Elektronen (q = -e), siebewegen sich natürlich entgegengesetzt. Die
Formeln gelten natürlich auch dort,wir müssen nur q = -e
einsetzen.
− Wir betrachten eine stromdurchflossene Leiterschleife im
Magnetfeld:
Nur die LeiterstückeAB und CD führen zueiner Drehung.
Die Kräfte auf BC undD/A kompensiereneinander!
Nun untersuchen wir den Schnitt durch diese Leiterschleife:
Zur Drehung tragennur die Kraftkompo-nenten senkrecht zur
Leiterschleife bei ( nFr
).
Die Kraftkomponen-ten tangential dazu( tFr
) kompensieren sich.
− Letztendlich zeigt sich, dass für das Drehmoment M gilt:
BsinAIMr
⋅ϑ⋅⋅= (5)
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Kommentar: u
· Das Drehmoment ist proportional zu A, d.h. entscheidend ist
die Fläche!(„Leiterstück AB bringt die Kraft, Leiterstück BC bringt
den Hebelarm“)
· Außerdem ist das Drehmoment winkelabhängig (~ sin θ). Es
versucht, dieSchleife senkrecht zum Magnetfeld zu stellen
(„maximale Wechselwirkungzwischen I
r und B
r“). So funktionieren Messgeräte und Motoren!
− Trick: Einführung eines Vektors Ar
mit | Ar
| = A, Richtung senkrecht zur Lei-terschleifenfläche und
Berücksichtigung der Rechten-Hand-Regel be-züglich des Stromes
I:
aus Gl. (5) folgt damit
BAIMrr
×⋅= (6)
− Mitunter werden I und Ar
zum magnetischen Moment µr
der Stromschleife zu-sammengefasst
AIrr
⋅=µ (7)
⇒ BMrr
×µ= (6‘)
Kommentar: u
· Das magnetische Moment µ bestimmt, wie wir noch vertiefen
werden, dieStärke der „magnetischen Wirkung“ der
stromdurchflossenen Leiterschlei-fe. Es steigt mit der Fläche A
und/oder dem Strom I.
!
· Die stromdurchflossene Leiterschleife ist das magnetische
Analogon zumelektrischen Dipol, das magnetische Moment entspricht
dem (elektrischenDipolmoment). Das Verhalten, d.h. die
Wechselwirkung mit einem äußerenFeld, ist völlig analog.
!
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29.3. Magnetfeld eines geraden Leiters
− Wir betrachten das Magnetfeld einesstromdurchflossenen
Leiters
− Eine genaue Untersuchung (z.B. durchMessung der Kraft auf eine
bewegte Pro-beladung q in Drahtnähe) liefert
rI
2B 0 ⋅
πµ
=r
(8)
mit der Richtung von Br
lt. der Rechten-Hand-Regel. Dabei ist µ0 die magneti-sche
Feldkonstante oder Induktionskonstante.
AmVs
1026,1AmVs
104 6
70−⋅≈
π=µ
− µ0 ist ursprünglich einmal gemessen worden, inzwischen aber
durch die Defini-tion des Ampere in seinem Zahlenwert
festgelegt.
− Multipliziert man die Influenz- und Induktionskonstante,
folgt
2
218612
00ms
101,11AmVs
10...26,1VmAs
10...85,8 −−− ⋅≈⋅⋅⋅=µ⋅ε
Dieser Wert entspricht c-2 (c...Lichtgeschwindigkeit im
Vakuum)!
002c1
µ⋅ε= (9)
Dies ist kein Zufall, sondern wird auch durch komplexere
Betrachtungen bestätigt.
29.4. Einige allgemeine Eigenschaften des Magnetfeldes
Wir vergleichen dazu mit dem Er
-Feld:
1.) · Für das elektrische Feld Er
war
12
r
r
UdrE2
1
−=⋅∫r
r
r(25 - 14)
unabhängig vom Weg, d.h.
0drE =⋅∫r
Dies ist die aus bekannte KIRCHHOFFsche Maschenregel.
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· Wenn wir obigen Ausdruck analogfür das magnetische Feld B
r mittels
Integration längs R = const. um denDraht bilden, erhalten
wir
∫=
⋅const.R
drBr
R2RI
20 π⋅⋅π
µ=
I0 ⋅µ=
Es lässt sich leicht zeigen, dass allgemeingilt:
Kurve d. innerhalb ges,0Kurve eeschlosseng
IdrB ⋅µ=⋅∫r
(10)
2.) · Für das elektrische Feld Er
war außerdem
0
Edivερ
=r
(25 - 20)
Will man diesen Sachverhalt in integraler Schreibweise
ausdrücken benötigtman die Beziehung
∫ ⋅Fläche geschl.
dAEr
∫ ⋅=Flächeder
inVolumen
dVEdivr
Dies ist der allgemein gültige mathematische Satz von
GAUß-OSTROGRADSKI, aus dem mit Gl. (25 - 20) folgt
∫ ⋅Fläche geschl.
dAEr
Flächeder ges,in 0
Fläche d.in Vol. 0
Q1
dV ⋅ε
=⋅ερ
= ∫ (25 - 10)
· Für das magnetische Feld Br
gilt wegen der selben Mathematik
∫ ⋅Fläche geschl.
dABr
∫ ⋅=Flächeder
inVolumen
dVBdivr
(11)
Da es aber keine magnetischen Ladungen gibt, die Quellen oder
Senkenvon Feldlinien sind, sondern magnetischen Feldlinien immer in
sich ge-schlossen sind, gilt:
!
0Bdiv =r
(12)
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Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
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daher ist
∫ ⋅Fläche geschl.
dABr
0dVBdiv
Flächeder inVolumen
=⋅= ∫r
(11)
Analog zum elektrischen Fluss heißt Φm magnetischer Fluss.
∫ ⋅=ΦFläche
m dABr
(13)
Für nicht geschlossene Flächen ist der magnetische Fluss Φm im
Allgemei-nen nicht Null! !
29.5. Die magnetische Feldgröße H
− Analog zum „Pärchen“ Er
↔ Dr
bildet man mit
B1
H0
rr⋅
µ= (14)
eine zweite Feldstärkegröße1 für das Magnetfeld.
Maß-einheit: m
A]H[ = 2 SI
− Dies hat – wiederum analog – zur Folge, dass sich verschiedene
Gleichungenformal vereinfachen, z.B. Gl. (10)
Kurve d. innerhalb ges,Kurve eeschlosseng
IdrH =⋅∫r
(10‘)
− Der eigentliche Unterschied zwischen Br
↔ Hr
wird allerdings erst später deut-lich werden, wenn wir Materie
im Magnetfeld vertieft behandeln. Dann ergibtsich in weiterer
Analogie
HB 0rr
⋅µ⋅µ= (15) µ ... Permeabilität des Materials
29.6. Ursachen von Magnetfeldern
− Es gibt zwei scheinbar unterschiedliche Ursachen für deren
Existenz:a) magnetische Materialien („Magnete“)b) elektrische
Ströme
1 Eine Zusammenstellung der in verschiedenen bekannten
Lehrbüchern verwendeten Begriffe zur die
Beschreibung der elektrischen und magnetischen Felder findet
sich im Anhang auf S. VI.2 Dies folgt sofort aus und Gl. (8).
Beachte wieder die Analogie zum E
r-Feld mit [E] = V m-1!
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Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
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− Hinter a) steckt die Tatsache, dass die Bausteine der Atome
(Elektronen e-, Pro-tonen p+, Neutronen n) kleine magnetische
Momente besitzen, die wir uns als„winzige Kreisströme“ vorstellen
können.
magnetischeMomente
der e-, p+, n → ngÜberlageru
magnetischesMoment des
Atoms
≠µ
=µ=
0
ion)(Kompensat0
A
A rr
rr
− Wenn die atomaren Aµr
bereits von sich aus (ohne äußeres Magnetfeld)
parallelausgerichtet sind, liegt ein ferromagnetisches Material vor
(= „Magnet“). !
− Richtungskonvention für Br
, Hr
: Vom Nord- zum Südpol !In diesem Fall sind die „atomaren
Kreisströme“wie in folgender Skizze orientiert:
− Die Ursachen a) und b) sind also gar nicht so verschieden!
− Magnetische Materialien werden in vertieft behandelt, in
diesem Kapitel be-schäftigen wir uns mit den Magnetfeldern von
Stromanordnungen. Wir betrachten imExperiment:· Draht,·
Leiterschleife,· lockere und dichte Spule,· Ringspule,·
HELMHOLTZ-Spulen(paar),· Überlagerung von Spulenfeldern
(Vektoraddition).
− Beispiel: HELMHOLTZ-Spulen nAls HELMHOLTZ-Spulen bezeichnet
man die Anordnung zweier kreisförmigerStromschleifen (mit Radius R)
genau im Abstand R. !
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Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
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⇒ Das resultierende Magnetfeld ist bei parallelem Strom relativ
gut homogen,bei entgegengesetztem Stromfluss hingegen relativ gut
linear.
− Kommentar zur langen Spule: u· Mit zunehmender Spulenlänge ist
das Feld mehr und mehr auf den Innen-
raum konzentriert.· Beim Grenzfall der unendlich langen Spule
existiert das Feld nur innen und
ist dort homogen (Analogie zum Plattenkondensator!). !· Die
Ringspule kann als Näherung für die lange Spule betrachtet
werden.
− Wir untersuchen nun das Feld im Innern einer langen Spule.
Zunächst schreiben wir nun Gl. (10) mit Hilfe von Gl. (14) für
Hr
statt für Br
Kurve d. innerhalb ges,0Kurve geschl.Kurve geschl.
0 IdrBdrH ⋅µ=⋅=⋅µ ∫∫rr
es folgt also
Kurve d. innerhalb ges,Kurve geschl.
IdrH =⋅∫r
(10‘)
Wir wenden nun Gl. (10‘) auf die Kurve K in der Skizze an
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Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
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Anzahl der Windungen innerhalb der Kurve Kä
lH ⋅ nIIges ⋅==
lH ⋅ln
lI ⋅⋅=
æWindungen pro Länge
Hln
I ⋅= (16)
Kommentar: uIges würde einem gerolltenBlech entsprechen.
Dies geht ebenso, abertechnisch wird eben dieflächenhafte
Stromvertei-lung über das Aufwickelnvon isolierten
Drähtenverwirklicht.
29.7. Der Satz von BIOT-SAVART
− Beim elektrischen Feld war
rr
r4q
)r(E2
0
rrr
⋅πε
= (25 - 4)
das Feld einer Ladung q am Punkt )r(Pr
(wenn q am Ursprung sitzt).
− Gibt es noch weitere Ladungen q‘, q‘‘, ... müssen wir die
Felder der einzelnenLadungen addieren (vgl. Beispiel des
elektrischen Dipols in ). Es gilt al-so das Superpositionsprinzip
(Ursache dafür ist die Linearität der Gl. (25 - 4))
− Das Superpositionsprinzip gilt auch für magnetische Felder. !·
elektrisches Feld: Überlagerung vieler kleiner Punktladungen dq·
magnetisches Feld: Überlagerung vieler kleiner Stromelemente dI
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Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
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Das StromelementdlI~dI ⋅ bewirkt
am Punkt )r(Pr
ein
Feld dH mit
2r1
I~dH ⋅
Dieses Feld zeigt die gleiche Abstandsabhängigkeit wie Gl. (25 -
4). Man mussaber noch die Richtung berücksichtigen, denn im
Gegensatz zum elektrischenFeld ist
dlH ⊥r
und rHrr
⊥ (nicht ~ rr
!)
Es zeigt sich, dass gilt
3r4rdlI
dHπ
×⋅=
r(17)
Dies ist das Gesetz von BIOT-SAVART.
Mit dessen Hilfe kann man im Prinzip die Magnetfeldverteilung
jeder beliebi-gen Stromanordnung (Spule, etc.) berechnen. !
29.8. Bewegte Bezugssysteme
− Gedankenexperiment:
Eine Ladung q bewegesich mit v
r im Laborsy-
stem.
Im Labor herrscht einhomogenes MagnetfeldBr
Beobachter A befindet sich im Labor, Beobachter B fliegt neben
der Ladung her,d.h. er befindet sich in einem relativ zum Labor mit
v
r bewegten Bezugssystem.
− Beobachter A: Die Ladung erfährt eine LORENTZ-Kraft
BvqFLrrr
×⋅=
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Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
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− Beobachter B: Auch er mißt Br
, für ihn ist aber 0F 'Lrr
= , da die Ladung in sei-nem System ruht.
Er merkt natürlich auch, dass auf q eine Kraft wirkt, kann
dieseaber nur als COULOMB-Kraft interpretieren
⇒ BvqF'Eq'Frrrrr
×⋅==⋅= (18)å â æ
(Beobachter B) Kraft muss (Beobachter A)ein und die-selbe
sein!
Im bewegten Bezugssystem herrscht also ein elektrisches Feld
'Er
,das vom Magnetfeld im Laborsystem herrührt (vgl. b) in Gl.
(20a)) !⇒ Bv'E
rrr×= (19)
− Wenn im Laborsystem außer dem Br
-Feld auch noch ein Er
-Feld existiert, sospürt dieses der bewegte Beobachter auch
(vgl. a) in Gl. (20a)). !
ruhendes System mit vr
bewegtes System
elektrisches Feld Er
BvE'Errrr
×+= (20a)
â â
a) b)
magnetisches Feld Br
)Ev(c1
B'B2
rrrr×−= (20b)
â âc) d)
− Nun zum magnetischen Feld im bewegten Bezugssystem:
· Wenn es im Laborsystem ein Magnetfeld Br
gibt, spürt das der BeobachterB auch (vgl. c) in Gl. (20b)).
(Dass er keine LORENTZ-Kraft findet, liegt ja an vrel = 0! In
dem Maße, indem sich die Ladung durch „seine“ COULOMB-Kraft zu
bewegen beginnt,wirkt auch für ihn eine LORENTZ-Kraft auf die
Ladung!)
· Es ist jedoch nicht überraschend, dass nicht nur ein 'Er
-Feld-Anteil aus Br
erwächst, nämlich, wie schon erwähnt,
Bv'Errr
×=
sondern auch ein 'Br
-Feld-Anteil aus dem Er
-Feld des ruhenden Systems.
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Elektrizitätslehre – Grundlegendes zu Magnetfeldern
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Es zeigt sich, dass dieser Anteil (Glied d) in Gl. (20b))
folgende Gestalt hat
)Ev()Ev(c1
'B 002rrrrr
×εµ−=×−=
− Also: Im bewegten System herrschen Er
und Br
des ruhenden Systems(Teile a), c)) und dazu noch ein 'E
r-Anteil aus B
r sowie ein 'B
r-Anteil
aus Er
(Teile b), d) der Gleichungen (20a) und (20b).
!
− Dies gilt für v