Malo prave matematike... Definicija Pod elipsom podrazumevamo skup svih tačaka u ravni takvih da je za svaku od njih zbir rastojanja od dveju datih tačaka konstantan. Date tačke nazivamo žižama ili fokusima elipse.
Malo prave matematike...Definicija Pod elipsom podrazumevamo skup svih tačaka u ravni takvih da je za svaku od njih zbir rastojanja od dveju datih tačaka konstantan.
Date tačke nazivamo žižama ili fokusima elipse.
1( ,0)A a 2 ( ,0)A a
x
y
( , )M x y2 (0, )B b
1(0, )B b
0
1r 2r
1( , )F e o 2 ( , )F e o
1( , )F e o 2 ( , )F e oi - žiže ili fokusi elipse- rastojanje između žiža je 2e, to je žižno rastojanje elipse- označimo sa 2a (a>0) zbir rastojanja proizvoljne tačke elipse od žiža, koji je prema definiciji elipse konstantan
- neka je M proizvoljna tačka elipse
1 2Kako je 2 , po pravilu o odnosu stranica trou l :g aFM F M a
1 2 1 22 2 , pa je . Neka je .a FM F M FF e a e a e
ekscentritetom eliOdnos nazivamo ; taj broj je uvek manji od se .p 1e
a
Za 0, tj. u slučaju kružnice, dobija se da je 0. e
ea
2 22 21 1 2 2Uočimo i ,MF r x e y MF r x e y
2 22 2 2 (rastojanje između dve tačke).x e y x e y a
Ovaj oblik jednačine elipse može se uprostiti sledećim
transformacijama:
2 22 2 2
2 2 22 2 2 2
22 2 2 2 2 2
2 2 2 2
22 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
2
2 /
4 4
2 4 4 2
/
2
2 2
2 2
x e y a x e y
x e y a a x e y x e y
x xe e a a x e y x xe e
a x e y a xe
a x e a y a a xe x e
a x xe e a y a a xe x e
a x a xe a e a y a a xe x e
x a
2 2 2 2 2 2 2 ;e a y a a e
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
2 2
0, uvodimo smenu ,
, , .1
a e a e b a e
x b a y a b by
ax
a be
Ovo je kanonski oblik jednačine elipse.
2 2 2 2 2 2
2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
2
Posmatrajmo jednačinu: i rešimo je po y:
za 0, ; 0, ; 0, ;
b x a y a b
a b b x ba y a b b x y y a x
a ab
x y a b x y b x y ba
1 2
1 2 1 2
0, i 0, su tačke na elipsi, a takođe i na osi ;
znači elipsa seče osu u tačkama B 0, i B 0, .
Tačke i su temena elipse, a 2 je
elip
manja osa
se.
y
y
b b O
O b b
B B B B b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 22 2 2
2
1 2
1 2
Rešimo jednačinu elipse po , dobijamo
temena na osi :
;
za 0, ,
elipsa seče x-osu u tačkama ,0 i ,0
2 je elipse.veća osa
x
b x a y a b x
O
a b a y ax x b y
b ba
y x b ab
A a A a
A A a
1(0, )B b
2 (0, )B b
1( ,0)A a2 ( ,0)A a0
x
y
-a i b su poluose elipse, a veza koja postoji između veće poluose, polovine žižnog rastojanja i manje poluose elipse je
2 2 2.a e b
Elipsa je simetrična u odnosu na obe koordinatneose.
Ako su poluose elipse jednake, ona je onda krug.
Zadaci:
2 2 2 2 2 2
1 2
1. Pokazati da su rastojanja proizvoljne tačke ( , ) koja
pripada elipsi od žiža date elipse jednaka:
, .
M x y
b x a y a b
e er a x r a x
a a
2 22 21 1 2 2
22 2 2 2 21 2
22 2 2 2 21 2
221 2 1 2
2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
,
( ) ,
( )
( )
2 2
24 2 4 ;
2 ,
MF r x e y MF r x e y
r x e y r x e y
r r x e y x e y
r r r r x e x e
r r r r x ex e x ex e
exr r r r ex r r a ex r r
aex
r r r ra
1
2 2
1
2
22 2 2 , ;
2 2
.
exa r a
ae
er a x
aee
a x r a r a a xa
raa
a x
2 22. Odrediti koordinate one tačke elipse 9 25 225, čije
je rastojanje od desnog fokusa četiri puta veće od rastojanja od
levog fokusa.
x y
2 2
2 2 2 2
Poluose su: 9 3 i 25 5.
25 9 4.
b b a a
a e b e e
2 (5,0)A1( 5,0)A
2 (0,3)B
1(0, 3)B
1( 4,0)F 2 (4,0)F
( , )M x y
2r1r
0 x
y
2 1
1 2 1 2
2 2
4 - uslov zadatka
4 4 , 5 5
5 54 4 4 16
5 4 5 , 5 205 5 5 5
2015 4 15 .
515
Drugu koordinatu tačke dobijamo zamenom u4
9x 25 225
15
4
.
r r
e er a x r a x r x r x
a a
x x x x
x x x
M x
y
22 2
2 2
15 2259 25 225 9 25 225
4 16
3600 2025 6325 , .
16 16
63
4
y y
y y y
2 23. U elipsi 4 4 upisan je jednakostraničan trougao.
Jedno teme tog trougla pripada desnom temenu na velikoj
osi elipse. Odrediti koordinate ostala dva temena trougla.
x y
2
2
1
4
b
a
1( 2,0)A 2 (2,0)A
2 (0,1)B
1(0, 1)B
y
x0 30
D
C
30
1l
2
1
1 2
Trougao je jednakostraničan. Teme se nalazi u
preseku prave i elipse, pa moramo odrediti jednačinu
prave . Ona prolazi kroz tačku 2,0 i gradi ugao od
150 sa pozitivnim smerom ose .x
A CD C
l
l A
O
1 1 1: ( );l y y k x x 3150 ;
3k tg
1
2 2
2
2
3 3 2 3: 0 2
3 3 3
3 2 34 4
3 3
3 2 34 4;
3 3
l y x y x
x y y x
x x
2 2
1 2
2 2 2 2
21,2
22
3 2 3 2 3 4 34 4
9 3 3 9
1 4 4 4 16 164 4 4 / 3
3 3 3 3 3 3
16 256 1127 16 4 0 , ;
14
4 48, ;
4 4
2, 2
7
4 3
9 7
x x x
x x x x x x
x x x
xy y
x x
2 4 3, ,
7 7C
2 4 3, .
7 7D
Koordinate temena su:
Zadaci za vežbu:
1 2
1. Odrediti jednačinu elipse u kanonskom obliku ako elipsa
prolazi kroz tačke (1,3) i (4,1).M M
2 2
2. Odrediti dužinu tetive, koja sadrži žižu i normalna je na
veću osu elipse 1.64 16
x y
2 2
3. Na pravoj 5 odrediti tačku podjednako udaljenu od
leve žiže i temena koje pripada pozitivnom delu ordinatne
ose elipse 5 20.
x
x y
2 2
4. Na elipsi 1 odrediti tačku čiji su radijus vektori20 4
uzajamno normalni.
x y
Hvala na pažnji