2.6 数列求和 1 ．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式． 2 ．会用错位相减法，裂项相消法求一些简单数列的前 n 项 和．

2.6 数列求和

1 ．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式．

2 ．会用错位相减法，裂项相消法求一些简单数列的前 n 项

和．

1 ．等差数列 {an} 的求和公式为 ________________________ ．

练习 1 ：在等差数列 {an} 中，若 a1 ＝ 100 ， S100 ＝ 100 ，则公

差 d ＝ ________.－ 2

2 ．等比数列 {an} 的求和公式为 ___________________________ ．

Sn＝n

a1＋an

2 ＝na1＋n

n－1

2 d

Sn＝ na1， q＝1，a1

1－qn

1－q＝

a1－anq1－q

，q≠ 1

3 ．裂项求和法．把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消

去中间项，只剩下有限项再求和．

练习 2 ：数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，若 an ＝ 1nn ＋ 1

，则 S5

＝ ( )B

A．1 B.56 C.

16 D.

130

解析：an＝1

nn＋1 ＝1n －

1n＋1

，S5＝a1＋a2＋…＋a5＝

1－12＋

1

2－13＋…＋

1

5－16＝1－

16＝

56.

4 ．错位相减法．给 Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋…＋ an 各边同乘以一个适当的数或式子，

然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出

前 n 项和 Sn. 一般适应于数列 {anbn} 的前 n 项求和，其中 {an} 成

等差数列， {bn} 成等比数列．

练习3：数列22，

422，

623，…，

2n2n，…前n项的和为

____________ .

解析：设Sn＝22＋

422＋

623＋…＋

2n2n， ①

12Sn＝

222＋

423＋

624＋…＋

2n2n＋1， ②

由①－②，得

1－12 Sn＝

22＋

222＋

223＋

224＋…＋

22n－

2n2n＋1

＝2－1

2n－1－2n

2n＋1.

∴ Sn＝4－n＋22n－1 .

Sn＝4－n＋22n－1

1 ．当数列 {an} 是一个等差数列或等比数列时，用什么方法

求和？

答案：公式法 .

2 ．等差数列的求和公式是用什么方法推导出来的？等比数

列呢？

答案：等差数列的求和公式是用倒序相加法推导出来的，

等比数列的求和公式是用错位相减法推导出来的．

题型 1 公式法求和

例 1 ：已知在等差数列 {an} 中， a1 ＝ 1 ， a3 ＝－ 3.

(1) 求数列 {an} 的通项公式；

(2) 若数列 {an} 的前 k 项和 Sk ＝－ 35 ，求 k 的值．

自主解答：(1)设等差数列{an}的公差d，则an＝a1＋(n－

1)d，

由题设，得a3＝－3＝a1＋2d＝1＋2d，所以d＝－2.

an＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n.

(2)因为Sk＝ka1＋ak

2 ＝k1＋3－2k

2 ＝k(2－k)＝－35，

所以k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.

因为k∈N*，所以k＝7.

【变式与拓展】

1 ．求和： 22 ＋ 23 ＋ 24 ＋… 2n ＋ 3 ＝ ________.

解析：这是一个以 4 为首项， 2 为公比的等比数列的求和

问题，其项数为 (n ＋ 3) － 2 ＋ 1 ＝ n ＋ 2 ，

2n ＋ 4 － 4

∴ Sn＋2＝41－2n＋2

1－2＝2n＋4－4.

题型 2 分组求和例 2 ：设 {an} 是公比为正数的等比数列， a1 ＝ 2 ， a3 ＝ a2 ＋ 4.

(1) 求 {an} 的通项公式；(2) 设 {bn} 是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列，求数列 {an ＋

bn} 的前 n 项和 Sn.

自主解答：(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，

a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，

即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.

所以{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．

(2)Sn＝21－2n

1－2＋n× 1＋

nn－12 × 2＝2n＋1＋n2－2.

【变式与拓展】

2 ．已知在等差数列 {an} 中， Sn 是它前 n 项和， a6 ＝ 2 ， S10

＝ 10.

(1) 求数列 {an} 的通项公式；

(2) 若从数列 {an} 中依次取出第 2 项，第 4 项，第 8 项，…，

第 2n 项，…，按取出的顺序组成一个新数列 {bn} ，试求数列 {bn}

的前 n 项和 Tn.

解：(1)设数列{an}首项，公差分别为a1，d.

则由已知，得a1＋5d＝2， ①

10a1＋10× 9

2 d＝10. ②

联立①②，解得a1＝－8，d＝2.

所以an＝2n－10(n∈N*)．

(2)bn＝a2n＝2·2n－10＝2n＋1－10(n∈N*)，

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝41－2n

1－2－10n＝2n＋2－10n－4.

例 3 ：求数列 ， ，…的前 n 项和．

题型 3 裂项相消法求和

1 11×3 3×5

，…， 12n－ 12n＋ 1

自主解答：1

1× 3＋

13× 5

＋…＋1

2n－12n＋1

＝12

1－

13＋

13－

15＋

15－

17…＋

12n－1

－1

2n＋1

＝12

1－

12n＋1＝

n2n＋1

.

【变式与拓展】1

1 ＋ 2 ＋ 3 ＋…＋ n，则数列 {an} 的前 n 项和 Sn3 ．已知 an ＝

＝ __________.

解析：an＝1

1＋2＋3＋…＋n＝

2nn＋1，

∴ Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2

1× 2＋

22× 3＋…＋

2nn＋1

＝2

1－

12＋

12－

13＋…＋

1n－

1n＋1＝2

1－

1n＋1＝

2nn＋1

.

2nn＋1

， ， 的前 n 项和．4 ．求数列 1 1 11×3 2×4 3×5

，…， 1nn ＋ 2

解：1

1× 3＋

12× 4＋

13× 5＋…＋

1nn＋2

＝12 1－

13＋

12－

14＋

13－

15…＋

1n－2－

1n＋

1n－1－

1

n＋1＋

1n－

1n＋2

＝12

1＋

12－

1n＋1－

1n＋2＝

34－

2n＋32n＋1n＋2.

题型 4 错位相减法求和

例 4 ：求和： Sn ＝ 1 ＋ 3x ＋ 5x2 ＋ 7x3 ＋…＋ (2n － 1)xn － 1(x≠0) ．当x≠ 1时，

∵ Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1，

∴ xSn＝x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－3)xn－1＋(2n－1)xn.

两式相减，得(1－x)Sn＝1＋2x(1＋x＋x2＋…＋xn－2)－(2n

－1)xn＝1－(2n－1)xn＋2xxn－1－1

x－1，

∴ Sn＝2n－1xn＋1－2n＋1xn＋1＋x

x－12 .

【变式与拓展】

5．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且

a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设cn＝an

bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；

当n≥ 2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，

故数列{an}的通项公式为an＝4n－2，

即数列{an}是首项a1＝2，公差d＝4的等差数列．

设数列{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，d＝4，∴ q＝14.

故bn＝b1qn－1＝2×

14n－1，即{bn}的通项公式为bn＝

24n－1.

(2)∵ cn＝an

bn＝

4n－22

4n－1

＝(2n－1)4n－1，

∴ Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝[1＋3× 41＋5× 42＋…＋(2n－1)·4n－1]．

∴ 4Tn＝[1× 4＋3× 42＋5× 43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)4n]．

两式相减，得3Tn＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n

＝13[(6n－5)4n＋5]，

∴ Tn＝19[(6n－5)4n＋5]．

例5：设各项为正数的等比数列{an}的首项a1＝12，前n项和

为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{nSn}的前n项和Tn.

试解：(1)由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得

210(S30－S20)＝S20－S10，

即210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20，

可得210·q10(a11＋a12＋…＋a20)＝a11＋a12＋…＋a20.

因为an>0，所以 210q10＝1，解得q＝12.

所以an＝a1qn－1＝

12n，n＝1,2，….

(2)因为{an}是首项为a1＝12，公比为q＝

12的等比数列，

故Sn＝

12

1－12n

1－12

＝1－12n，nSn＝n－

n2n.

则数列{nSn}的前n项和为：

Tn＝(1＋2＋…＋n)－

1

2＋222＋…＋

n2n，

Tn

2＝12(1＋2＋…＋n)－

1

22＋223＋…＋

n－12n ＋

n2n＋1 .

两式相减，得

Tn

2＝12(1＋2＋…＋n)－

1

2＋122＋…＋

12n＋

n2n＋1

＝nn＋1

4 －

12

1－12n

1－12

＋n

2n＋1，

即Tn＝nn＋1

2 ＋1

2n－1＋n2n－2.

易错点评：本题的处理易忽略已知条件 an>0 而导致解答错

误．因而在审题的时候要仔细认真．

对于数列的求和问题，常用的方法有三种，如下：

(1) 公式法：对于等差数列和等比数列的求和，可运用其前

n 项和公式．

(2) 裂项相消法：通过把通项分裂成两项之差，从达到项相

互抵消．

(3) 错位相减法：有的数列既不是等差数列，也不是等比数

列，但通过适当的变换，可以化成等差数列或等比数列的求和

问题来解决．