2.5 光的相干性

2.5 光的相干性

2.5.1 光源大小对干涉条纹可见度的影响 —— 光的空间相干性

2.5.2 光源非单色性对条纹可见度的影响 —— 光的时间相干性

2.5.3 干涉的定域性

2.5.4 相干性的定量描述

2.5.5 激光的相干性

2.5.1 光源大小对干涉条纹可见度的影响 ——光的空间相干性

干涉条纹可见度 V —— 表征干涉程度

在杨氏干涉实验中，如果采用点光源，则通过干涉系统将产生清晰的干涉条纹， V = 1 ；如果采用扩展光源，其干涉条纹可见度将下降。

多组条纹的叠加

S1

SS

d

R

P0 OS

S2

P

E

以杨氏双缝干涉为例：

若考察干涉场中的某一点 P ，则位于光源中点 S 的元光源( 宽度为 dx) 在 P 点产生的光强度为 ：

coscos2 02010201 IIIII

π2

cos1d2d 0 xII s

式中， I0 dx 是元光源通过 S1 或 S2 在干涉场上所产生的光强度； 是元光源发出的光波经 S1 和 S2 到达 P 点的光程差。

若考察干涉场中的某一点 P ，则位于光源中点 S 的元光源( 宽度为 dx) 在 P 点产生的光强度为 ：

式中，是由 C 处元光源发出的、经 S1 和 S2 到达 P 点的两支相干光的光程差。

距离 S 为 x 的 C 点处的元光源，在 P 点产生的光强度：

S

S

S

S1

S2

E

P

P0

x

dx C

'xII

π2

cos1d2d 0

xR

xdd

R

dx

dCSCS

2

12

由图中几何关系可得到如下近似结果：

于是可得：

)(

π2cos1d2d 0

xxII

式中， = d/R 是 S1 和 S2 对 S 的张角。因此

x'

对上式进行积分，即可得到宽度为 b 的扩展光源在 P 点所产生的光强度为：

式中，第一项与 P 点的位置无关，表示干涉场的平均强度，第二项表示干涉场光强度周期性地随 变化。

由于第一项平均强度随着光源宽度的增大而增强，而第二项不会超过 2I0/ ，所以随着光源宽度的增大，条纹可见度将下降。

π2cos

πsin

π22

d)(π2

cos2

00

2/

2/ 0

bIbI

xxIIIb

b

条纹可见度随光源宽度的变化

0 / b

V1

2/

根据干涉条纹可见度的定义式可求得 ：

b

bV

πsin

π

上述讨论实际上是考察了光源的大小对扩展光源 SS

照射与之相距 R 的平面，并通过其上二点 S1 和 S2 的光在

空间再度会合时产生干涉的影响，它反映了光源在这两点产生光场的空间相干特性。

当光源是点光源时，所考察的任意两点 S1 和 S2 的光

场都是空间相干的；当光源是扩展光源时，光场平面上具有空间相干性的各点的范围与光源大小成反比。

对于一定的光波长和干涉装置，当光源宽度 b 较大，且满足： b R /d 或 b / 时，通过 S1 和 S2 两点的光将不发生干涉，因而这两点的光场没有空间相干性。

44C

p b

b

通常可用 bp 确定干涉仪应用中的光源宽度容许值。

当光源宽度不超过临界宽度的 1/4 时，计算可得此时的可见度 V ≥ 0.9 。此光源宽度称为许可宽度，表示为：

式中， = d / R 是干涉装置中的两小孔 S1 和 S2 对 S 的张角。

—— 光源的临界宽度

Cb

0 /

V1

b

此外，也可从另一个角度对光的空间相干性的范围进行考察。对一定的光源宽度 b ，通常称光通过 S1 和 S2 恰好不发生干涉时所对应的这两点的距离为横向相干宽度。用 dt

表示，则有：

S1

SS

d

R

P0 OS

S2

P

用扩展光源对 O 点 (S1S2 连线的中点 ) 的张角 来表示，则：b

Rd

t

td

如果扩展光源是方形的，则其相干面积为：

22

tC dA

可以证明，对于圆形光源而言，其照明平面上横向相干宽度为：

22.1

td

相干面积：22

610π

2

221π

..

AC

例如，直径为 1 mm 的圆形光源，若 = 0.6 m ，在距光源 1m 的地方，其横向相干宽度约为 0.7mm 。因此，

干涉装置中小孔 S1 和 S2 的距离，必须小于 0.7mm 才能产

生干涉条纹。而与此相应的相干面积 AC ≈ 0.38mm2 。

又 如 ， 从 地 面 上 看 太 阳 是 一 个 角 直 径 =032=0.018rad 的非相干光源，若认为太阳是一个亮度均匀的圆盘面，且只考虑 =0.55 m 的可见光，则太阳光直射地面时，它在地面上的相干面积是直径约为 0.08mm

的圆面积。

用相干孔径角 C 表征相干范围更直观。给定 b 和 ，凡是

在该孔径角以外的两点 ( 如 S1 和 S2) 都是不相干的，在孔径角

以内的两点 ( 如 S1 和 S2) 都具有一定程度的相干性。

Cb空间相干性的反比公式：

S1

S1

S2

S2

C

S1

S2R

b

2.5.2 光源非单色性对条纹可见度的影响 —— 光的时间相干性

光源的非单色性 ( 复色性 ) 直接影响着条纹的可见度。

在干涉实验中， 范围内的每一种波长的光都生成各自的一组干涉条纹，并且各组条纹除零干涉级外，相互间均有位移。

其相对位移量随干涉光束之间光程差 的增大而增大，所以干涉场总强度分布的条纹可见度随光程差的增大而下降，最后降为零。

I

0

光源非单色性对条纹的影响 (a) 强度曲线； (b) 条纹可见度曲线

0

V

2/

Δk 范围内光谱分量的强度

为讨论光源非单色性对条纹可见度的影响，假设光源 范围内各波长的强度相等，或 k 宽度内不同波数的光谱分量强度相等。

I

I0

kk0k/2 k0 k0+k/2

I0 表示光强度的光谱分布 ( 谱密度 ) ，为常数； I0dk 是在 dk 元宽度的光强度。在 k 宽度内各光谱分量产生的总光强度为

)cos(

2Δ

2Δsin

1Δ2

d)cos1(2

00

2/Δ

2/Δ 0

0

0

kk

kkI

kkIIkk

kk

则元波数宽度 dk 的光谱分量在干涉场产生的强度为：

dI = 2I0 dk(1+cosk)

第一项常数表示干涉场平均光强度；第二项随光程差 的大小变化，但变化的幅度越来越小。

条纹可见度 ：

2Δ

2Δsin

k

kV

0

V

2/ V 随 的变化曲线

对一定的 ， V 随着 k 变化， k 增大，可见度 V 下降：

当 k = 0 、光源为单色光源时， V = 1 ；

当 0 < k< 2/ 时， 0 < V < 1 ；

当 k = 2 / 时， V = 0 。

说明：上面的讨论假设了在 ( 或 k) 内的光谱强度是等强度分布的。实际上，光源并非等强度分布，但根据实际光谱分布求得的可见度曲线与图示的曲线相差不大。故与 V = 0 相应的最大光程差的数量级，仍可由下式决定。

2Δ

2Δsin

k

kV

当 时， V = 0 ，完全不相干。ΔΔ

π2 2

k

能够发生干涉的最大光程差叫相干长度，用 C 表示。显然，光源的光谱宽度愈宽， 愈大， C愈小。

在实际应用中，除了利用相干长度考察复色性的影响外，还经常采用相干时间 C 来度量，定义为

cC

C

利用关系 : v

v

得 :

Δ

11

ΔC

即： 1Δ C

C 反映了同一光源在不同时刻发出光的干涉特性，凡是在相干时间 C 内不同时刻发出的光，均可以产生干涉，而在大于 C 期间发出的光不能干涉。所以，这种光的相干性叫光的时间相干性。

任意一个实际光源所发出的光波都是一段段有限波列的组合，若这些波列的持续时间为 ，则相应的空间长度为 L= c ，它们的初相位无关，因而不相干。

由同一波列分出的两个子波列，只要经过不同路径到达某点能够相遇，就会产生干涉。

所以，实际上相干时间 C 就是波列的持续时间 τ ，相

干长度 C 就是波列的空间长度 L 。

因此可以说，光源复色性对干涉的影响，实际上反映了时域中不同二时刻光场的相关联程度，因而是光的时间相干性问题。

2.5.3 干涉的定域性

1 、点光源产生干涉的非定域性

2 、扩展光源产生干涉的定域性

2.5.4 相干性的定量描述

1. 复相干函数和复相干度 如图，考虑扩展的非单色光源照明的杨氏干涉实验，如图。

PS1

S

AE

S2

r1

r2

E1(t)

E2(t)

t 时刻 P 点的总光场为：

相应的光强：

即：

)()()( 2211 ttEttEtEP

)()( * tEtEI PPP

)()()()(

)()()()(

221*12

*211

2*2221

*111

ttEttEttEttE

ttEttEttEttEIP

设光场是平稳的，即统计性质与时间无关，取 t = t1 ， =t1t2 。则

)()0()()0(

)()()0()0(

2*1

*21

*22

*11

EEEE

EEEEIP

)()()0()0( *222

*111 EEIEEI

是 S1 、 S2 在 P 点的光强。

)(Re2)()0()()0( 122*1

*21 EEEE

是 的实部。称为互相干函数。 )()0()( *2112 EE

故： )(Re2 1221 IIIP

干涉项的存在，使 P 点的总强可以大于、小于或等于I1+I2 。

讨论：

当 S1 、 S2重合时，互相干函数变为自相干函数：

)()0()()()0()( *2222

*1111 EEEE 或

当 =0 时：222111 )0()0( II

归一化的互相干函数称为复相干度：

21

12

2211

1212

)(

)0()0(

)()(

II

复相干度一般是的周期函数，描述光场的相干性更方便：

当 12()=1 时，表示光场完全相干；

当 0< 12()<1 时，表示光场部分相干；

当 12()=0 时，表示光场完全不相干。

P 点的光强可用复相干度表示为：

)(Re2 122121 IIIIIP

干涉条纹的可见度可表示为：

)(2

21121221

21 IIVII

IIV

作 业

35 ， 36 ， 39