数学2 4章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」<基本問題①> 組 番 名前 1 右の図は,AB CD,AB=CDです。 // このとき,△AOB≡△DOCとなることを証明 しなさい。 2 右の図で,AB=AC,∠ABD=∠ACEであるとき, △ABD≡△ACEであることを証明しなさい。 A D C O B A B C D E
数学2 4章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」<基本問題①>
組 番 名前
1 右の図は,AB CD,AB=CDです。//このとき,△AOB≡△DOCとなることを証明
しなさい。
2 右の図で,AB=AC,∠ABD=∠ACEであるとき,
△ABD≡△ACEであることを証明しなさい。
A
DC
O
B
A
B C
DE
<基本問題①・解答>数学2 4章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」
1
△AOBと△DOCで
仮定より AB=DC
AB CDで錯角が等しいので//∠A=∠D
∠B=∠C
したがって,1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△AOB≡△DOC
2
△ABDと△ACEで
仮定より
AB=AC
∠ABD=∠ACE
また,∠Aは共通な角
したがって,1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABD≡△ACE
A B▲=
●△
O
▲=
C
●
D
△
A
B C
DE
= =
● ●
△
数学2 4章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」<基本問題②>
組 番 名前
1 次の図のように,∠XOYにおいて,OA=OB,AP=BPとなるように作図しました。
このとき,OPは∠XOYの二等分線となり,∠XOP=∠YOPが成り立ちます。
このことを,次のように説明しました。このとき にあてはまる記号や言葉をかきなさい。□
AとP,BとPを結ぶ。
△OAPと△OBPで,作図から
OA= ・・・①(1)
AP=(2) ・・・②
共通な辺だから OP=OP・・・③
①②③より (3) がそれぞれ等しいので,,
△OAP≡△OBP
合同な図形では,対応する角の大きさは等しいので,
∠AOP=(4)
したがって ∠XOP=∠YOP
このように,あることがらが成り立つことを,すじ道を立てて明らかにすることを
(5) といいます。
この証明は,OA=OB,AP=BP から ∠XOP=∠YOPであるということ
(ア) (イ)(ア)は与えられてわかっていること (イ)は(ア)から導こうとしていがらを導きました。 ,
ることです。
(ア)の部分を(6) (イ)の部分を (7) といいます。,
2 右の図で,AB=DC,AC=DB ならば,
△ABC≡△DCB
であることを証明します。
このとき,証明のすじ道は下の図のようになります。
それぞれの の中にあてはまる根拠となる
ことがらを,次の①,②,③から選びなさい。
① 三角形の合同条件
② 共通な辺
③ 仮定
△ABCと△DCBで, (1)
AB=DC
AC=DB BC=CB
↓
△ABC≡△DCB (2)
(3)
Y
B
A
P
OX
A
C
D
B
<基本問題②・解答>数学2 4章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」
1
(1)OB (2)BP (3)3辺 (4)∠BOP (5)証明 (6)仮定 (7)結論
2
(1)③ (2)② (3)①
数学2 4章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」<基本問題③>
組 番 名前
1 次のことがらについて,仮定と結論をいいなさい。
(1)a>0,b>0ならば,ab>0である。
(2)△ABC≡△PQRならば,BC=QRである。
2 「三角形の3つの内角の和は180°である」ことを下図を用いて証明しました。どのようなこ
とがらを根拠として使っていますか。
次の中から正しいものをすべて選びなさい。
① 対頂角は等しい
② 三角形の3つの内角の和は180°である。
③ 2つの直線が平行ならば同位角は等しい。
④ 2つの直線が平行ならば錯角は等しい。
⑤ 同位角が等しいならばこの2つの直線は
平行である。
⑥ 錯角が等しいならばこの2つの直線は平行である。
⑦ 一直線の角は180°である。
3 次の図で,AO=BO,CO=DO ならば, AC=BD であることを証明します。
この証明は下記のようになります。
それぞれの の中にあてはまる適切なことばをかきなさい。
△AOCと△BODにおいて
(1) より
AO=BO ・・・①
CO=DO ・・・②
(2) が等しいので
∠AOC=∠BOD ・・③
①②③より (3),
がそれぞれが等しいので
△AOC≡△BOD
合同な図形では (4)
は等しいので
AC=BD
D
C●
E○
●
A
○B
F
G
○
A
C B
D
O
<基本問題③・解答>数学2 4章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」
1
(1)仮定 a>0 ,b>0 結論 ab>0
(2)仮定 △ABC≡△PQR 結論 BC=QR
2
③,④,⑦
③ 2つの直線が平行ならば同位角は等しい。
④ 2つの直線が平行ならば錯角は等しい。
⑦ 一直線の角は180°である。
3
(1)仮定 (2)対頂角 (3)2組の辺とその間の角 (4)対応する辺の長さ
D
C●
E○●
A
○B
F
G
○
数学2 4章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」<基本問題④>
組 番 名前
1 四角形ABCDで,AB=CD,BC=DA ならば ∠ABC=∠CDA
であることを証明します。
(1)仮定と結論をかきなさい。
(2)三角形の合同条件を用いて,次のように証明しました。
にあてはまる式や言葉をかきなさい。○ ○ア エ~
AとCを結ぶ。 △ABCと△CDAで,
仮定より AB=CD ・・・①
・・・②○ア
共通な辺だから ・・・③○イ
①②③より がそれぞれ等しいので○ウ
△ABC≡△CDA
合同な図形では は等しいので○エ
∠ABC=∠CDA
2 AB=ACの二等辺三角形の∠Aの二等分線を作図し,辺BC
との交点をDとします。
このとき,BD=CD,AD⊥BCとなることを次のように
~ にあてはまる式や言葉をかきなさい。証明しました。○ ○ア エ
また, の中に式や言葉をかいて証明を完成させなさい。
(証明)
△ABDと△ACDにおいて
・・・・・ ①仮定より,AB=AC
・・・・・ ②○ア
共通な辺だから ・・・・・ ③○イ
①②③より がそれぞれ等しいので,△ABD≡△ACD○ウ
合同な図形では は等しいので BD=CD,○エ
また,
DA
B C
A
B CD
<基本問題④・解答>数学2 4章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」
1
(1)仮定 AB=CD,BC=DA
結論 ∠ABC=∠CDA
BC=DA AC=CA 3辺 対応する角の大きさ(2)○ ○ ○ ○ア イ ウ エ
と )(○ ○ア イ 対応する頂点の順ならば可
2
△ABDと△ACDにおいて
・・・・・ ①仮定より,AB=AC
・・・・・ ②○ア
共通な辺だから ・・・・・ ③○イ
①②③より がそれぞれ等しいので,△ABD≡△ACD○ウ
合同な図形では は等しいので○エ
BD=CD
また,
対応する角も等しいので ∠ADB=∠ADC
∠ADB+∠ADC=180°
したがって, ∠ADB=∠ADC=90°
よって, AD⊥BC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
2辺とその間の角
A
B CD
対応する辺
数学2 4章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」<応用問題>
組 番 名前
1 右の図のように,長方形ABCDを対角線ACを折り目として折り返したところ,点Dは点Pに
移動しました。APとBCの交点をEとしたとき,AE=CEであることを証明しなさい。
2 右の図のように,線分ABと線分CDが点Oで交わっています。
OA=OB,OC=ODならば,AC DBであることを証明しなさい。//
A
B
C
D
O
A
B C
D
E
P
<応用問題・解答>数学2 4章 図形の調べ方 「図形の性質の確かめ方」
1
△ABEと△CPEで
仮定より,AB=CP ・・・①
∠ABE=∠CPE(=90° ・・・②)
ここで,対頂角は等しいので
∠AEB=∠CEP
また,三角形の内角の和は180°なので
∠BAE=180°-∠AEB-∠ABE
∠PCE=180°-∠CEP-∠CPE
よって ∠BAE=∠PCE・・・③
①②③より1 ので,辺とその両端の角がそれぞれ等しい
△ABE≡△CPE
合同な図形では,対応する辺は等しいので
AE=CE *別解あり
2
△AOCと△BODで
仮定より OA=OB ・・・①
OC=OD ・・・②
ここで,対頂角は等しいので
∠AOC=∠BOD ・・・③
①②③より2辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△AOC≡△BOD
合同な図形では,対応する角は等しいので
∠OAC=∠OBD(もしくは∠OCA=∠ODB)
錯角が等しいので
AC DB//
A
B
C
D
O●
●
=
=
-
-
A
B C
D
E
P
●
●
=
=
△
△