Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi 9 / 30. Juni 2009 106 2.4 Wölbtorsion 2.4.1 Offene Querschnitte Wird die Funktion des Verdrehwinkels keiner Einschränkung ( φ´( ) = 0 ) z unterworfen, dann existiert als einzige Dehnung zz (s. (3.12)): Man erhält damit die einzige nicht verschwindende Normalspannung: Wölbnormalspannung (3.37) Erfolgt die Belastung ausschließlich durch ein Torsionsmoment, dann verschwinden die mit zz formulierten Schnittgrößen. Demzufolge gilt (s. (1.9)): Mit zz aus (3.37) wird daraus: Dieses Gleichungssystem kann mit: (3.38) (3.39) und den speziellen Werten für ein Schwerpunkts-Koordinatensystem 0 ´ ´ ´´ . zz z z D D v v y x x y 0 ´ ´´ . zz zz z D D E E v y x x y ( ) ( ) ( ) 0 0 0 . L zz bx zz by zz A A A F dA M y dA M x dA 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ´ ´´ 0 ´ ´´ 0 ´ ´´ . z D D A A A A z D D A A A A z D D A A A A v dA y x dA x y dA dA v x dA y x dA x x y dA x dA v y dA y x y dA x y dA y dA ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - Flächeninhalt statische Momente der Fläche Flächenmomente 2. Ordnung sektorielles statisches Moment Sektor A y x A A xx yy xy A A A A x D y A A dA A S x dA S y dA I y dA I x dA I x y dA S dA I x dA I y dA ( ) zentrifugalmomente A 0 x y S S S
22
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2.4 Wölbtorsion - georgi-dd.de · bab s 2 2 a s 2 b 2 1 ... SSs ah mm 4 200 M I S a 4 M I S cm 4 ...
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Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi
9 / 30. Juni 2009 106
2.4 Wölbtorsion 2.4.1 Offene Querschnitte Wird die Funktion des Verdrehwinkels keiner Einschränkung ( φ (́ ) = 0 )z unterworfen,
dann existiert als einzige Dehnung zz (s. (3.12)): Man erhält damit die einzige nicht verschwindende Normalspannung:
Wölbnormalspannung (3.37) Erfolgt die Belastung ausschließlich durch ein Torsionsmoment, dann verschwinden die mit zz formulierten Schnittgrößen. Demzufolge gilt (s. (1.9)):
Mit zz aus (3.37) wird daraus:
Dieses Gleichungssystem kann mit: (3.38) (3.39) und den speziellen Werten für ein Schwerpunkts-Koordinatensystem
0´ ´ ´́ . zz z z D Dv v y x x y
0´ ´́ . zz zz z D DE E v y x x y
( ) ( ) ( )
0 0 0 . L zz bx zz by zz
A A A
F dA M y dA M x dA
0
( ) ( ) ( ) ( )
20
( ) ( ) ( ) ( )
20
( ) ( ) ( ) ( )
0 ´ ´́
0 ´ ´́
0 ´ ´́ .
z D D
A A A A
z D D
A A A A
z D D
A A A A
v dA y x dA x y dA dA
v x dA y x dA x x y dA x dA
v y dA y x y dA x y dA y dA
( )
( ) ( )
2 2
( ) ( ) ( )
( )
( )
-
Flächeninhalt
statische Momente der Fläche
Flächenmomente 2. Ordnung
sektorielles statisches Moment
Sektor
A
y x
A A
xx yy xy
A A A
A
x D y
A
A dA A
S x dA S y dA
I y dA I x dA I x y dA
S dA
I x dA I y dA( ) zentrifugalmomenteA
0 x yS S S
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kürzer geschrieben werden: Aus der ersten Gleichung folgt (wie erwartet): Die anderen beiden Gleichungen sind dann erfüllt für: bzw.: (3.40) Damit steht neben (3.5) ein weiterer Gleichungssatz zur Bestimmung des Schub-mittelpunktes M - des sich bei fehlender Fixierung des Drehpunktes D frei einstellen-den Punktes - zur Verfügung. An Hand der konkreten Aufgabenstellung ist daher zu entscheiden, welcher Formelsatz die gewünschten Koordinaten effektiver liefert. Für die Wölbnormalspannung (3.37) gilt mit (3.17):
´´ ME . (3.41)
Mit und wird eine weitere Schnittgröße, das so genannte Bimoment B formu-liert:
(3.42)
mit:
Sektorträgheitsmoment (3.43) (Wölbwiderstand)
Das Produkt
ME I wird als Wölbsteifigkeit bezeichnet.
Mit dem Bimoment lautet die Wölbnormalspannung: (3.44) .
2
( )M M
A
I dA MI
M
M
B
I
00 ´
0 ´́
0 ´́ .
z
x D yy D xy
y D xy D xx
v A
I y I x I
I y I x I
0 .konstzv =
´́ ´0 bzw. konst. d.h. reine Torsion
2
2.
x xy y yyD
xx yy xy
x xx y xyD
xx yy xy
I I I Ix
I I I
I I I Iy
I I I
w w
w w
+=
-
+=-
-
2
( ) ( )
( ) ´́ ´́ MM M
A A
B z dA E dA E I
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9 / 30. Juni 2009 108
Beim allgemeinen Belastungszustand setzt sich damit die Normalspannung in Stab-längsrichtung aus folgenden Anteilen zusammen (Beschreibung mit x und y als Haupt-achsen – s. o.): . (3.45) Die Wölbnormalspannungen bedingen sekundäre Schubspannungen , die zu-
sätzlich zu den Schubspannungen der reinen Torsion sv (bisher ) auftreten.
Diese werden über ein Kräftegleichgewicht in Stablängsrichtung am Stabelement
dV ds dz h gewonnen:
Mit nach Gleichung (3.41) wird daraus:
(3.46) Die Integrationskonstante ergibt sich aus der Randbedingung ( 0, ) 0s z zu null.
Die Beziehung für die sekundäre Schubspannung lautet schließlich: oder:
, (3.47)
mit:
sektorielles statisches Moment ( s. (3.38) )
h dick
Schubflusst h
t ds
,zt t dz ds
,st t ds dz
t d z
z
s ,zdz h ds h ds
,s s sds h dz
sh dz
0
0
( , ) ´́ ´ ( ) ( ) ( ) . s
Mt s z E s h s ds t z
0
´́ (́ )( , ) ( ) ( ) ,
( )
s
M
E zs z s h s ds
h s
0
( ) ( )M
s
MS s h s ds
( )( )( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( )
M
bybxLzz M
xx yy
M zM zF z B zs z y s x s s
A I I I
( )( , ) ´´´( )
( )
MS s
s z E zh s
: t dz t , st ds dz h ds ,
, , ,
( )
0
0 .
z
s z z
s
dz h ds
t h t h ds
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9 / 30. Juni 2009 109
Das Torsionsmoment Mt wird als Summe aus dem der reinen Torsion t svM und dem
der Wölbtorsion tM aufgefasst:
(3.48) Für t svM gilt die bekannte Beziehung (3.22):
(3.22)
tM ist im Gegensatz zu t svM vom Bezugspunkt abhängig. Es folgt aus einer
Äquivalenzbetrachtung für das Moment um die Stabachse (s. auch S. 102):
Mit t über Gleichung (3.46) wird daraus:
0 0
´́ ´ .
l s
t M tMM E h ds r ds
Unter Beachtung von tM Mr ds d (s. (3.14) ), führt eine partielle Integration über:
vorerst auf: Da
0 ( )
0 , M
l
M M
A
S h ds dA
wird daraus mit dem Sektorträgheitsmoment
MI (3.43):
(3.49)
Diese Beziehung wird in die Gleichung für ( , )s z (3.47) eingesetzt:
. . (3.50)
x
x
yy
SM
s
t ds
r tM
´ .t sv tM G I
( ) ( ) .t t t svM z M z M
0
.l
t tMM t r ds
( )( )( , )
( )
M
M
t S sM zs z
I h s
´´´ .MtM E I
0 0'
´́ ´ 1l s
t M M
u
v
M E h ds d
2
00 ( )
´́ ´ .s
s l
t M M MsA
M E h ds dA
Tragwerksberechnung apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi
9 / 30. Juni 2009 110
Beim allgemeinen Belastungszustand setzt sich damit die Schubspannung tangential zur Profilmittellinie aus folgenden Anteilen zusammen (Beschreibung mit x und y als Hauptachsen – s. o.):
0 0
( )( ) ( )1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
( )
M
M
tQy Qxsz sv x y
xx yy
M zF z F zs z s S s S s S s
h s I I I (3.51)
Mit den bereitgestellten ( )t sv tM M zund(3.22) (3.49) ergibt sich nach (3.49) die
Torsions-Dgl. zu: ´´´( ) (́ ) ( )
M t tE I z G I z M z
(3.52) mit: k Abklingfaktor . (3.53) Diese Dgl. wird zweckmäßigerweise noch für ein über die Stablänge verteiltes Moment (Linienmomentendichte) formuliert. Über die Momentengleichgewichtsbedingung
kommt man auf eine inhomogene gewöhnliche Dgl. vierter Ordnung: . (3.54) Die allgemeine Lösung setzt sich aus einem homogenen und einem partikulären Anteil zusammen.
Der Ansatz ( ) i zh iz A e führt auf die charakteristische Gleichung (analog zu [2/3] )
mit dem Ergebnis . . (3.55)
Bei dieser Formulierung wurde wieder davon Gebrauch gemacht, dass die Terme
kze mit wachsendem z bzw. ( )k l ze mit wachsendem l - z abklingen (s. Zylinder-
schale).
zdz
m dzt
MtM +M ´dzt t
2 ´́M
IV tmk
E I
2´́ ´ ´M
tMk
E I
2
M
tG Ik
E I
4 2 2 0i ik
( )1 2 3 4( ) kz k l z
h z A A z A e A e
: tM tM ´ 0
´ .
t t
t t
M dz m dz
M m
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Die Formulierung mit Hyperbelfunktionen (s. [2/3] ) führt auf: . (3.56) Die Partikulärlösung ( )p z erhält man über einen an die Funktion ( )tm z angepassten
Ansatz. Zur Bestimmung der Integrationskonstanten können Aussagen getroffen werden über: Wichtigste Randbedingungen:
Lagerung Skizze Randbedingungen Freiheitsgrad
Starre Einspannung
f = 0
Gabellagerung ohne Axialbelastung
f = 3
freies Ende ohne Axialbelastung
f = 6
2.4.2 Geschlossene Querschnitte Die Diskussion des Einflusses der Wölbbehinderung auf den Spannungs- und Ver-zerrungszustand soll an Hand der Gegenüberstellung eines offenen und eines ge-schlossenen Querschnitts erfolgen.
1 2 3 4( ) sinh coshh z C C z C kz C kz
0
´ 0
0
´´ 0
´́ 0
; ´ ; ´́ .
M
B
E I
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Beispiel: Geschlitzter (Fall I) bzw. geschlossener (Fall II) dünnwandiger Kasten- träger unter Torsionsmomentenbelastung Geg.: Ges.: 1. Schubmittelpunkt 2. Verläufe der Einheitsverwölbungen
3. Verhältnis der Schubspannungen bei reiner Torsion 4. Verhältnis der Drillungen 5. Verhältnis der Zusatzspannungen bei Wölbtorsion 6. Vergleich der Ergebnisse mit den über DUENQ erhaltenen
Querschnittskennwerte für beide Profile
Schwerpunkt, Flächenmomente 2. Ordnung
Mittlerer Flächeninhalt, Wandstärke
Querschnittskennwerte offenes Profil (Fall I)
Torsionsträgheitsmoment (3.28)
Widerstandsmoment
a
l
h
Mt
x
z y
S b
5
40 , 2 80 ,
10 400 , 0,1 4 ,
2,1 10 , 0,3,
500t
a mm b a mm
l a mm h a mm
E MPa
M Nm
S
s1 s3
s2
3 22 4 4 4
2 32 4 4 4
0
0
1 12 3 85,33 10
12 4 6 3
1 72 3 29,87 10
4 12 6 60
0 (Symmetrie zur - Achse)
S
S
xx
yy
xy x
x
y
h b bI a h a b b h a mm
a h aI b h a b a h a mm
I
3
3 3 4 4 4
1
1 22 0,002 0,512 10
3 3t I i ii
I h l a b h a mm
2 3 3 3
max
20,02 1, 28 10
3t I
t I
IW a b h a mm
h
2 2 2
min max
2 32 10mA a b a mm
h h h
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Einheitsverwölbung bezüglich des Schwerpunktes S (3.14)
i tSir Si I is ix iy ( )Mi I is
1 2
a 12
as
2
a
1s 1
13 2
2 3
a b a s
a b
2 2
b 22 4
b a b
s 22
as
2
b
2
13 2 3
2 3 2
a ba b a b b s
a b
3 2
a 3
3
2 4
a a bs
2
a 32
bs 2
3
1 39 4
2 3 2
a b a b a sa b
Grafische Darstellung des Verlaufs ( )S I s für b = 2a : (Verlauf ( )S M I s zum späteren Vergleich):
Sektorzentrifugalmomente bezüglich des Schwerpunktes (3.39)
0 0
0
0
( ) 0
( )
(Symmetrie zur - Achse)
s
S I tS I I
S i I i tSi i S i I
xs r ds
s r s
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1 1 2 2 3 3 3
0 0 0
2 5 5 5
0 ω
32
2 2 2 4 2 2 4
20,4 409,6 10
4
antimetrisch zur - Achse
x S I S I S I
A s
y S I S I
A s
b ba
I x dA h x ds x
I y dA h y ds
a b b a b b ah s s ds s ds s s a b ds
a ba b h a mm
S
2 2
-2 -2
1,50,3
-1,5-0,5 -0,3
-0,7
0,7
0,5
SM
s1s3
s2
2
S I
a
2
M I
a
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Koordinaten des Schubmittelpunktes M (3.40) Einheitsverwölbung bezüglich des Schubmittelpunktes (3.17)
s. obige Tabelle (S. 113)
Grafische Darstellung der Funktion ( )M I is für b = 2a :
Analytisch: DUENQ 6 mit: : Sektorielles statisches Moment (3.38)
0
0(Symmetrie zur - Achse)
M S M M
M
M S M
x
x y y x k
k
y
x y
2
22
2
23 2 64 48
1 2 3 536
0 (Symmetrie zur - Achse)
x xy y yy yM
xx yy xy xx
y xy x xxM
xx yy xy
x
a ba b hI I I I I a b
x a a mmI I I I a ba b b h
I I I Iy
I I I
2 216a cm
2
M I
cm
2
M I
a
2
-2
0,3
-0,3
-0,7
0,7
SM
1
( ( )) 0
1 3
( ) ω ω ( ) ( 0)
( 0) ( ) 02
folgt aus der Bedingung
M M
M M
s
I M I M I I
A s
I I
S s dA h s ds S s
bS s S s
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i ih M i I iS s
1 h
2 21
2 21
4 3 2
8 3 4 3
4 2 3 2 416 3
a b a ba b h a h s
a b a b
a ha b b a b s
a b
2 h
2 22 2
22 2
11 43 2 3
16 3 4 3
11 4 3 2 4 3 416 3
a b b ha b h a b a s a b s
a b a b
b ha b a b a b a s a b s
a b
3 h
2 23 3
2 23 3
15 43 9 4
16 3 4 3
15 4 12 36 1616 3
a b a ha b h a b s a b s
a b a b
a ha b b a b s a b s
a b
Grafische Darstellung M IS für b = 2a :
Analytisch: DUENQ 6 mit :
-12
-23-23,9
-23
-19
0,7a
-19
S
22
2
20
3 4 42 20max
3 2 3 2 04 3
3 2 728
2 3 10
478( ) 30,59 10
400
M
M M
I
I I
S b ha b a a b s
s a b
a bs a a mm
a b
S S s a h mm
4
200
M IS
a
4M IS
cm
441,28
200
acm
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