19 2.4 Relasi dan Fungsi Relasi dan fungsi adalah pokok dari matematika. Relasi menggambarkan hubungan sederhana antara dua himpunan. Sedangkan fungsi akan diterangkan pada bahasan berikutnya, sebagai suatu relasi yang khusus. Relasi Hubungan antara beberapa objek atau bilangan dapat dianalisa menggunakan ide dari teori himpunan. Sebagai contoh, pada himpunan {1, 2, 3, 4}, kita dapat menyatakan suatu hubungan “ a adalah pembagi b “ dengan mendaftar semua pasangan berurutan (a,b) untuk setiap hubungan yang sesuai, yaitu {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}. Pada bagian ini kita akan mempelajari tentang sifat-sifat dari relasi. Relasi digunakan pada matematika untuk merepresentasikan suatu hubungan antara dua bilangan atau objek. Sebagai contoh, ketika kita membilang, “3 kurang dari 7”, “2 faktor dari 6”, dan “segitiga ABC adalah sebangun dengan segitiga DEF”, kita menyatakan hubungan antara pasangan bilangan-bilangan ke dalam dua kasus pertama dan segitita-segitiga sebagai hal berikutnya. Lebih umum lagi, konsep dari relasi tersebut dapat diterapkan untuk sebarang himpunan. Suatu himpunan pasangan berurutan dapat digunakan untuk menyatakan bahwa pasangan tertentu dari suatu objek adalah berhubungan. Sebagai contoh, himpunan {(Hawai, 50), (Alaska, 49), (New Meksiko, 48) daftar dari Negara bagian baru dari United State dan urutan menjadi Negara bagian. Relasi tersebut dapat dinyatakan secara lisan “__________ adalah Negara bagian ke ________ yang bergabung dengan United State” ; sebagai contoh,”Alaska adalah Negara bagian ke 49 yang bergabung dengan United state”. Gambar 2.36 Gambar 2.37
12
Embed
2.4 Relasi dan Fungsi - erikvalentinomath.files.wordpress.com · sifat-sifat dari relasi. Relasi digunakan pada matematika untuk merepresentasikan suatu hubungan antara dua bilangan
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
19
2.4 Relasi dan Fungsi
Relasi dan fungsi adalah pokok dari matematika. Relasi menggambarkan
hubungan sederhana antara dua himpunan. Sedangkan fungsi akan diterangkan pada
bahasan berikutnya, sebagai suatu relasi yang khusus.
Relasi
Hubungan antara beberapa objek atau bilangan dapat dianalisa menggunakan
ide dari teori himpunan. Sebagai contoh, pada himpunan {1, 2, 3, 4}, kita dapat
menyatakan suatu hubungan “ a adalah pembagi b “ dengan mendaftar semua
pasangan berurutan (a,b) untuk setiap hubungan yang sesuai, yaitu {(1,1), (1,2),
(1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}. Pada bagian ini kita akan mempelajari tentang
sifat-sifat dari relasi.
Relasi digunakan pada matematika untuk
merepresentasikan suatu hubungan antara dua bilangan
atau objek. Sebagai contoh, ketika kita membilang, “3
kurang dari 7”, “2 faktor dari 6”, dan “segitiga ABC
adalah sebangun dengan segitiga DEF”, kita menyatakan
hubungan antara pasangan bilangan-bilangan ke dalam
dua kasus pertama dan segitita-segitiga sebagai hal
berikutnya. Lebih umum lagi, konsep dari relasi tersebut
dapat diterapkan untuk sebarang himpunan. Suatu
himpunan pasangan berurutan dapat digunakan untuk
menyatakan bahwa pasangan tertentu dari suatu objek
adalah berhubungan. Sebagai contoh, himpunan
{(Hawai, 50), (Alaska, 49), (New Meksiko, 48) daftar
dari Negara bagian baru dari United State dan urutan
menjadi Negara bagian. Relasi tersebut dapat dinyatakan
secara lisan “__________ adalah Negara bagian ke
________ yang bergabung dengan United State” ;
sebagai contoh,”Alaska adalah Negara bagian ke 49 yang
bergabung dengan United state”.
Gambar 2.36
Gambar 2.37
20
Secara diagram untuk menotasikan hubungan melalui dari diagram panah.
Ketika relasi dapat dinyatakan dalam sebuah himpunan tunggal, suatu digram panah
dapat digunakan pada himpunan tersebut dengan dua cara. Sebagai contoh, relasi
“adalah faktor dari” dari himpunan {2, 4, 6, 8} bisa ditampilkan dalam dua cara
yang ekuivalen pada gambar 2.36, menggunakan satu himpunan pada bagian (a)
dan menggandakannya pada bagian (b). Keuntungan menggunakan dua himpunan
dalam suatu digram panah adalah bahwa relasi antara dua himpunan berbeda dapat
digambarkan.
Secara formal, relasi R dari himpunan A ke himpuan B adalah himpunan
bagian dari A x B, Cartesian produk dari A dan B. jika A = B, kita menyebutnya
bahwa R adalah suatu relasi pada A. Pada paragraph sebelumnya, “adalah faktor
dari” himpunan A dan B adalah sama, yaitu himpunan {2, 4, 6, 8}. Relasi terakhir
ini dijelaskan dengan pasangan berurut di bawah ini.
R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (4,4), (4,8), (6,6), (8,8)}
Perhatikan bahwa R adalah himpunan bagian dari {2, 4, 6, 8} x {2, 4, 6, 8}
Pada masalah suatu relasi R pada himpunan A, dimana R ⊆ A × A, ada tiga
sifat yang digunakan yang memungkinkan adanya suatu relasi.
1. SIFAT REFLEKSIF
Suatu relasi R pada suatu himpuan A dikatakan refleksif jika (a,a) ϵ R
untuk setiap a ϵ A. kita katakan bahwa R refleksif jika setiap anggota di A direlasikan
dengan dirinya sendiri. Secara umum, dalam suatu diagram panah, suatu relasi
dikatakan refleksif jika setiap anggota di A memiliki titik panah ke dirinya sendiri
(gambar 2.38)
Gambar 2.38
21
2. SIFAT SIMETRIK
Suatu relasi R pada suatu himpunan A dikatakan simetrik jika untuk setiap
(a,b) ϵ R, kemudian (b,a) ϵ R juga, dapat dikatakan, jika a direlasikan ke b, maka b
derelasikan a. Dimana R menjadi relasi “ adalah lawan dari “ pada himpunan A = {1,
-1, 2. -2}. Kemudian R = {(1,-1), (-1,1), (2,-2), (-2,2)}, bahwa R mempunyai semua
pasangan berurutan yang mungkin (a,b) dari A × A jika a adalah lawan dari b.
Diagram panah dari relasi ini ditunjukkan pada gambar 2.39.
3. SIFAT TRANSITIF
Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan transitif jika untuk setiap (a,b) ϵ
R dan (b,c) ϵ R, maka (a,c) ϵ R. dengan kata lain, suatu relasi dikatakan trasitif jika
untuk setiap a, b, c di A, jika a terhubung dengan b dan b terhubung dengan c, maka
a terhubung dengan c. bandingkan relasi “ adalah faktor dari “ pada himpunan {2,
4, 6, 8}. Dengan memperhatikan bahwa 2 faktor dari 4, dan 4 faktor dari 8, dan 2
faktor dari 8. Juga 2 faktor dari 4, dan 4 faktor dari 12, dan 2 faktor dari 12.
Permasalahan terakhir untuk pertimbangan, bahwa keterlibatan 2, 6, dan 12 juga
benar. Demikian “adalah faktor dari” adalah relasi transitif pada himpunan {2, 4, 6,
8, 12}. Dalam diagram garis, suatu relasi dikatakan transitif jika ada suatu panah “a
ke b” dan panah “b ke c”, maka juga ada ada suatu panah “a ke c” (gambar 2.40).
Sekarang bandingkan relasi “mempunyai angka yang satuan yang sama”
pada himpunan bilangan {1, 2, 3, …, 40}. Jelas, bahwa setiap bilangan mempunya
angka satuan yang sama dengan dirinya sendiri, maka relasi itu dapat dikatakan
Gambar 2.39
Gambar 2.40
22
refleksif, itu juga simetrik, dan transitif. Relasi pada suatu himpunan yang refleksif,
simetrik, dan juga transitif disebut dengan dengan relasi ekuivalen. Oleh karena itu
relasi “punya angka yang satuan yang sama” adalah suatu relasi ekuivalen pada
himpunan {1, 2, 3, …, 40}. Masih banyak lagi relasi ekuivalen dalam matematika.
Beberapa yang umum adalah “adalah sama dengan” pada himpunan bilangan dan
“adalah kongruen dengan” dan “adalah sebangun dengan” pada himpunan bangun
geometri.
Salah satu sifat penting dari relasi ekuivalen R pada himpunan A adalah
bahwa relasi tersebut membagi suatu bagian dari himpunan A ke dalam himpuanan
yang tidak kosong, pasangan himpunan bagian yang saling lepas (i.e., irisan dari dua
himpunan bagian tersebut ∅). Sebagai contoh, jika bilangan yang berpasangan
dengan bilangan lainnya pada paragraph sebelumnya dikumpulkan ke dalam suatu
himpunan, relasi R pada himpunan {1, 2, 3, …, 40} adalah ditunjukkan dalam
himpunan tidak kosong berikut, pasangan himpunan bagian saling lepas.