2.4 基本设计表达式 2.4.1 随机变量的统计特征值 2.4.2 结构的可靠性与可靠 2.4.3 基本设计表达式.

2.4 基本设计表达式

2.4.1 随机变量的统计特征值

2.4.2 结构的可靠性与可靠

2.4.3 基本设计表达式

(1) 数理统计常识： 随机变量平均值 （ 2-5 ）

标准差（均方差） (2-6)

当统计数据少于 30 个时： (2-7)

变量系数为： (2-8)

回

n

xn

ii

1

n

xi

2)(

1

)( 2

n

xi

2.4.1 随机变量的统计特征值

(2) 正态分布1）随机变量取值的统计规律可用分布函数或者密度函数描述，正态分布的概率密度函数为：

(2-9)

正态分布任一区间事件发生概率 （ 2-10 ）

2）概率分布的特征值在工程应用中，通常要求变量的数值不大于或不小于某一数值。此数值称为特征值。相应的概率值在工程中称为保证率。

dxxfbxaPb

a )()(

2

2

( )

21( ) e

2

x

f x

2.4.1 随机变量的统计特征值

2.4.2 结构的可靠性与可靠度《统一标准》结构可靠度的定义为： 结构在规定的时间内 ,在规定的条件下 ,完成预定功能的概率。

结构的可靠性是用结构完成预定功能的概率大小来定量描述的。

可靠度是可靠性的概率的度量。 规定时间：指设计基准期 规定条件：指设计、施工、使用、维护均属于正常的情况 ,不包括非正常的情况。

若：荷载效应为 S ，抗力为 R ， S 和 R 为随机变量。

S 和 R 均服从正态分布，平均值分别为： R 、 S

标准差分别为 ： R 、 S ，概率密度曲线如下图所示。

2.4.2 结构的可靠性与可靠度

概率密度曲线：2.4.2 结构的可靠性与可靠度

R 应大于 S ，即抗力 R 大于荷载效应 S 。但由于离散性，两条概率密度分布曲线会出现重叠部分，即可能出现 R 小于 S 的情况

重叠部分大小反映结构失效概率大小。今令 Z=R-S ，则 Z 亦为正态分布随机变量：从图中可以看出构件失效出现概率应是 Z=R-S<0 的事件，其值为：

（ 2-11 ）0

)()0( dzZfZPPf

失效概率pf 的计算积分比较麻烦，引入一个可靠指标β：设 pf 表示结构失效的概率； ps 表示结构可靠的概率，ps+pf=1假设 R 、 S 服从正态分布，R 、 S 的平均值为 μR 、 μS ，标准值为 σR 、 σS 、；R 、 S 相互独立，则： Z 的平均值和标准差分别为：

（ 2-12 ）

22SRz SRZ

2.4.2 结构的可靠性与可靠度

如 z 增大，曲线右移，阴影面积减小；如 z 减小 ，曲线变高变窄，阴影面积减小。故将 z 表示为 z 的倍数

z = z （ 2-13 ）

推论： β 值越大，失效概率 pf 越小；可靠概率 ps 越大；

β 可以作为衡量结构可靠度的指标，称为可靠指标；

分析：构件破坏类型不同：延性破坏、脆性破坏引起的后果不同

《建筑结构可靠度设计统一标准》根据结构的安全等级和破坏类型，规定了按承载能力极限状态设计时的目标可靠指标 β 值，设计时只要控制 β [β] ，则结构满足可靠要求。

正常使用极限状态的设计可靠度指标，目前还没有明确规定

可靠指标 β 与 失效概率 Pf 的关系 

安全等级

二级

三级

[β]         

延性破坏

3.7 

1.1

x10-4

3.2 

  2.7 

3.47x10-4

脆性破坏

4.2 

1.3x10-5

3.7   

3.2 

破坏类型

一级

6.87x10-4

[Pf] [Pf] [Pf][β] [β]

6.87x10-4

1.1

x10-4

2.4.3 基本设计表达式

2.4.3.1 分项系数

2.4.3.2 承载力极限状态设计表达式

2.4.3.3 正常使用极限状态实用设计表达式

2.4.3.1 分项系数

在实际设计工作中，采用以基本变量的标准值和分项系数表达的结构构件实用设计表达式。

分项系数：根据基本变量的统计特性，以结构可靠度的概率分析为基础确定的，间接反映 β 值的大小。

2.4.3 基本设计表达式

2.4.3.2 承载力极限状态设计表达式

(1) 设计表达式 0 S R （ 2-14 ） 0--- 结构重要性系数； S --- 荷载效应组合的设计值； R --- 结构构件抗力的设计值，应按有关建筑结构设计规范的规定

确定。

(2) 、对于基本组合，荷载效应组合的设计值 S 应从下列组合值中取最不利值确定：

1 ）由可变荷载效应控制的组合 S

(2-15)

n

iQciQiQQGG iKKKSSSS

211

2.4.3.2 承载力极限状态设计表达式

G --- 永久荷载的分项系数；

Q1 --- 第 i 个可变荷载的分项系数 ;

S GK --- 按永久荷载标准值 计算的荷载效应值；

S Q1K --- 按可变荷载标准值计算的荷载效应值；

ci ---- 可变荷载的组合值系数； n---- 参与组合的可变荷载数；

ikiK

KK

Q

n

iQGG

QQGG

SSS

SSS

1

9.0

11

2.4.3.2 承载力极限状态设计表达式

3) 对于一般排架、框架结构，基本组合可采用简化规则：• （ 2-17 ） （ 2-18 ）

2 ）由永久荷载效应控制的组合： （ 2-16 ）

n

iQciQiGG iKKSSS

1

(3) 偶然组合：承载能力极限状态设计表达式没有统一规定，偶然作用的代表值不乘分项系数

(4 ）基本组合的荷载分项系数：永久荷载分项系数：当其效应对结构不利时

对由可变荷载效应控制的组合，应取 1.2;对由永久荷载效应控制的组合，应取 1.35;

当其效应对结构有利时一般情况下应取 1.0对结构的倾覆、滑移或漂浮验算，应取 0.9

可变荷载分项系数：一般情况下应取 1.4对标准值大于 4kN/m2 的工业房屋，楼面结构的活荷载应取 1.3

回

2.4.3.2 承载力极限状态设计表达式

2.4.3.2 正常使用极限状态实用设计表达式

1 、根据不同的设计要求，采用荷载的标准组合、频遇组合或准永久组合，按下列表达式进行设计：

Sd C （ 2-19 ）

C----- 结构或结构构件达到正常使用要求的规定限值，如变形、裂缝、振幅、加速度、应力等

2.4.3.3 正常使用极限状态实用设计表达式2 、标准组合，荷载效应表达式：

（ 2-20 ）

3 、频遇组合，荷载效应表达式：（ 2-21 ）

4 、对于准永久组合，荷载效应组合的设计值 S 按下式采用：（ 2-22 ）

ci --- 可变荷载的频遇值系数； qi ---- 可变荷载的准永久值系数；

n

iQciQG iKKKSSSS

21

n

iQqiQfG iKKKSSSS

21 1

n

iQqiG iKKSSS

1

分析实用设计表达承载力极限状态设计表达式与正常使用极限状态设

计表达式比较：有明显不同之处：承载力极限状态设计表达式 0 S R

正常使用极限状态设计表达式 Sd C

1 、 无结构重要性系数2 、无荷载分项系数3 、出现荷载的准永久值、频遇值的概念

两种极限状态设计方法引起的破坏后果： 按正常使用极限状态设计时，变形过大或裂缝过宽虽妨害正常使用，但其危害程度不及用承载力不足引起结构破坏而造成的生命财产损失大，故其可靠度的要求可予以的降低

《建筑结构设计统一标准》规定：正常使用极限状态设计计算时可取荷载标准值，不需考虑分项系数和结构重要性系数

考虑可变荷载作用时间的长短对于变形和裂缝大小的影响，可变荷载的最大值并非长期作用在结构，

准永久值系数（ <1 ）

考虑在设计基准期可变荷载超越的总时间或超越的次数， 荷载的频遇值系数