23 integrais triplas

Integral Tripla

Seja definida em uma caixa retangular

( , , )f x y z

Caixa Retangular

Integral Tripla

Definição: A integral tripla de sobre a caixa é

se o limite existir.

fB

Região do Tipo 1

Região do Tipo 1

E e D como Região do Tipo 1

E e D como Região Tipo 1

E como região do Tipo 1 e D como região do Tipo 2

E como região do Tipo 1 e D como região do Tipo 2

Exemplo 1

Calcule onde é o tetraedro

do sólido delimitado pelos quatro planos

,E

z dV

0, 0, 0 e 1.x y z x y z

E

Exemplo 1

Exemplo 1

Exemplo 1

Região do Tipo II

Região do Tipo II

Região do Tipo III

Região do Tipo III

Exemplo 2

Calcule onde é a

região limitada pelo parabolóide

e pelo plano

2 2 ,E

x z dV2 2y x z

4.y

E

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

É extremamente difícil calculá-la.

Exemplo 2

Exemplo 2

e

Aplicações da Integral Tripla

Exemplo 1

Utilize uma integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos

T

2 2, 2 , 0 e 0.x y z x y x z

Exemplo 1

Exemplo 1

2 2

ou 12

x y

xy

Exemplo 1

Outras Aplicações

Todas as aplicações de integrais duplas podem imediatamente estendidas para as integrais triplas.

Massa e Momentos

onde ( , , ) é a função densidade

em unidades de massa por unidade de volume.

x y z

Centro de massa

onde

Centróide e Momentos de Inércia

Se a densidade é constante, o centro de massa do sólido é chamado centróide de

Os momentos de inércia são dados por:

.E

Carga Elétrica Total

onde ( , , ) é a densidade de carga.x y z

Exemplo 2

Determine o centro de massa de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico

e pelos planos

2x y, 0 e 1.x z z x

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

(por causa da simetria de

em relação ao plano portanto

eE

,xz 0.)y

Exemplo 2

Exemplo 2

Exemplo 2

Portanto, o centro de massa é