22 2webs.ono.com/maitetono/Ejercicios Resueltos/Ejercicios Tema 2... · Ejercicios ondas/1 Cuestiones y problemas resueltos, Tema 2 : VIBRACIONES Y ONDAS A) MAS 1 CL-J07 Una partícula

Ejercicios ondas/1

Cuestiones y problemas resueltos, Tema 2 : VIBRACIONES Y ONDAS

A) MAS

1 CL-J07 Una partícula de masa m está animada de un movimiento armónicosimple de amplitud A y frecuencia fDeduzca las expresiones de las energías cinética y potencial de la partículaen función del tiempo .Deduzca la expresión de la energía mecánica de la partícula.Resolución:La posición de la partícula que oscila realizando un MAS, en función deltiempo, sabemos que viene dada por:

0 0x Asen t x Asen 2 ft , siendo 2o, la fase inicial.A partir de la relación anterior es posible deducir las leyes horarias de lavelocidad y de la aceleración (esta última ley la obtendremos para relacionarla constante elástica, K, con los datos del ejercicio):

0 0

00

22 2

02

2

x Asen t Asen 2 ft

d Asen 2 ftdxv A2 fcos 2 ft

dt dtd x

a A 2 f sen 2 ft 2 f xdtkx

k 2 f mm

Ya se puede responder a las preguntas:

2 22 2 2c 0 0

2 22 2 2 2p 0 0

2

M c p

1 1E mv m A2 f cos 2 f 2m A f cos 2 f

2 21 1

E kx m 2 f A sen 2 f 2m A f sen 2 f2 2

E E E 2m A f

Pues al sumar se puede sacar factor común 2m(ABf)2 que multiplica a unseno al cuadrado más un coseno al cuadrado del mismo ángulo, el valor dedicha suma es la unidad.Observa cómo la energía total es directamente proporcional a la masa queoscila y a los CUADRADOS de la amplitud y de la frecuencia de oscilación.

Ejercicios ondas/2

-12 25 s

T 0,4s

1s2,5 períodos

0,4s

2 CL-J03 Una partícula inicia un movimientoarmónico simple en el extremo de sutrayectoria y tarda 0,1 s en llegar al centrode la misma. Si la distancia entre ambasposiciones es de 20 cm, calcule: a) Elperiodo del movimiento y la pulsación.b) La posición de la partícula 1 s después de iniciado el movimiento.Resolución:a) Considera el gráfico adjunto en el que se muestra la posición inicial de lapartícula, el centro de la oscilación y el recorrido. Como el período es eltiempo trascurrido entre el paso de la partícula por el mismo punto dos vecesconsecutivas con el mismo sentido del movimiento, de A al centro, 0,1 scorresponde a la cuarta parte del período, con lo que T=0,4 sPara la pulsación, T, como se tiene:

b) 1 segundo es igual a:

..o, lo que es lo mismo; 2 períodos más medio período. Tras dos períodos lapartícula vuelve a estar en la posición de partida y tras medio período másse encontrará en el extremo opuesto, en B.

3 CL-J06 De dos resortes con la misma constante elástica k se cuelgansendos cuerpos con la misma masa. Uno de los resortes tiene el doble delongitud que el otro ¿El cuerpo vibrará con a misma frecuencia? Razone surespuesta.Resolución:A partir de la ley de Hooke: F=-kx, donde F es la fuerza recuperadora delcuerpo elástico, k la constante elástica, específica de cada cuerpo, y x es ladeformación del cuerpo, se tiene:

F=-kx=ma (2ª ley de Newton)k

a=- xm

Por otra parte el estudio cinemático de un MAS llega a la siguiente relación:2a x

, donde T es la frecuencia angular o pulsación, relacionada con la frecuenciade oscilación (L) por: T2BL

Si se igualan las dos ecuaciones anteriores y se tiene en cuenta la relaciónentre la frecuencia angular y la de oscilación, resulta:

1 k2 m

Ejercicios ondas/3

Como se ve, dicha frecuencia depende sólo de la constante elástica y de lamasa del cuerpo que oscila conectado al elástico (que se supone sin masa).Como no depende de la longitud, se llega a la conclusión de que en amboscasos oscilan con la misma frecuencia.

4 A un muelle de constante elástica K le colocamos una masa m0. Al estirarloun valor A, comienza a oscilar con una frecuencia angular o pulsación T0,teniendo una energía cinética máxima E0 y una velocidad máxima v0. Si almismo muelle en lugar de m0 le colocamos una mas 4m0 y lo estiramos elmismo valorEn función de T0, E0 y v0 determinar:a) La nueva frecuencia angular.b) La nueva energía cinética máxima. c) La nueva velocidad máximaResolución:a) La frecuencia angular, en función de las características de la particulaoscilante, viene dada por:

km

En este caso y ateniéndose a los datos, se tiene:

0 0

0

0k 1 k´

4m 2 m 2

La nueva frecuencia angular resulta ser la mitad de la inicial.

b) La energía cinética máxima, que es igual a la energía potencial máxima porser constante la suma de ambas y ser nulo el valor mínimo de cualquiera deellas, se puede expresar, en consecuencia, así:

20 MAX

1E Ep kA

2

Evidentemente, la constante elástica, no varía (depende de la naturaleza delmuelle y este no ha cambiado). Como la amplitud de oscilación es la mima,se deduce que la nueva energía cinética máxima es la misma cuando oscilala nueva masa.

c) Se puede obtener la nueva velocidad máxima relacionándola con losapartados anteriores:

2

´ 00 0

´20 ´

1kA

k2E v A A ´ A1 m 2

mv2

La velocidad máxima se ha reducido a la mitad.Este último apartado se puede resolver también razonando del modo quesigue: Como la masa se ha cuadruplicado, la velocidad máxima ha debido reducirsea la mitad pues:

Ejercicios ondas/4

2 ´2 ´ 00 0 0 0 0 0

v1 1E m v 4m v v

2 2 2

5 CL-S08 Una partícula de 0,1 kg de masa, se mueve con un movimientoarmónico simple y realiza un desplazamiento máximo de 0,12 m. La partículase mueve desde su máximo positivohasta un máximo negativo en 2,25 s. Elmovimiento empieza cuando eldesplazamiento es x=+0,12 ma) Calcule el tiempo necesario para que lapartícula llegue a x=-0,06 mb) ¿Cuál será la energía mecánica de dicha partícula?Resolucióna) Hay que obtener la ecuación del MAS que describe la partícula para podercalcular el tiempo pedido. La ecuación general del MAS es, como se sabe:

0x(t) Asen t

, siendo A, la amplitud de oscilación, 0,12 m en este caso. No conocemosla frecuencia angular o pulsación ω, pero se puede obtener a partir delperíodo de oscilación ya que:

2 2 4rad / s

T 4,5s 9

, pues, como el tiempo que tarda en desplazarse la partícula de un extremode oscilación al otro es, por definición, el semiperíodo, que es dato, 2,25 s.El período es, obviamente el doble, es decir; 4,5 s.La fase inicial , 20, se determina teniendo en cuenta que para t=0sx=+0,12 m:

0 00

0

0,12 m=0,12 m sen t 1=sen

arc sen 1=2

Con lo que la ecuación del MAS adopta la forma:

4x(t)=0,12sen t (SI)

9 2

Se quiere que x sea -0,06 m. Si se sustituye este valor en la ecuaciónanterior, resulta:

74 1 6-0,06=0,12sen t (SI) = arc sen 9 2 2 11

6

Correspondiendo el primer ángulo al tercer cuadrante y el segundo al cuarto.

Ejercicios ondas/5

Nota que no se ha tomado en cuenta las soluciones anteriores más un nºentero de vueltas porque estamos interesados en hallar la PRIMERA vez queel móvil pasa por ese punto pues pasa infinitas veces.Si en la última igualdad se sustituye 2 por su valor, resulta:

7 3t s

6 24t

9 2 11t 3s

6

Siendo 3/2 s la solución, pues la otra solución corresponde al paso por elpunto x=-0,06 s moviéndose a derecha, como es fácilmente comprobable.Gráficamente:

6 CL-J08 Un cuerpo de 1 kg de masa se encuentra sujeto a un muelle horizontalde constante elástica k=15 N/m. Se desplaza 2 cm respecto a la posición deequilibrio y se libera, con lo que comienza a moverse con un movimientoarmónico simple.a) ¿A qué distancia de la posición de equilibrio las energías cinética ypotencial son iguales?b) Calcule la máxima velocidad que alcanzará elcuerpoResolución: a) Evidentemente, el apartado se resuelve igualandola energía cinética (en función de la posición) a la energía potencial elástica,teniendo en cuenta el valor de la amplitud (2 cm):

pc

2 2 2

EE , en función de la distancia, x, al punto de equilibrio

1 1 2k A x kx x= A 2cm

2 2 2

Luego existen dos puntos, a derecha (+) y a izquierda (-) de la posición deequilibrio, en los que ambas energías son iguales.b) La velocidad en función de la posición viene dada por:

2 2kv A x

m

Con el signo + indicando movimiento a derecha y a izquierda el signo -.Prescindiendo del signo, es decir; del sentido del movimiento, , la velocidadserá máxima cuando x2 sea mínimo, pues el resto se mantiene constante.Evidentemente, el valor mínimo de x2 es cero, con lo que resulta:

2 2max

k k 15N / mv A A 2.10 m 0,077m / s

m m 1kg

Ejercicios ondas/6

7 CL-J05 Un punto realiza un movimiento vibratorio armónico simple de períodoT y amplitud A, siendo nula su elongación en el instante inicial. Calcule elcociente entre sus energías cinética y potencial:a) en los instantes de tiempo t=T/12, t=T/8 y t=T/6b) cuando su elongación es x=A/4, x=A/2 y x=AResolución:a) Como tantas veces sucede en ejercicios de un MAS, lo primero a destacar,como se va a ver, es la ambigüedad del enunciado. Se enuncia que para t=0x=0, pero, ¿moviéndose a derecha o a izquierda?. Nada se dice al respecto.Hagamos el estudio a partir de la ecuación horaria de la elongación:

Se va a suponer que para t=0 el móvil se encuentra en el origen moviéndosea derecha, es decir; que 20=0. Resulta:

... y para las respectivas relaciones Ec/Ep, se tiene:

2

22 2

T P T

2P P

2

A1 3

A2

1kAE E EEc A A21 1 1 1 1

1Ep E E X A 2kx 22

A 11

3A 32

k /m condiciones iniciales:x=0, t=0

0 0 02 / T

(t 0) 0 00(t 0)

0x Asen t 0 sen

siendo el significado físico de ambas soluciones:

dxv A cos t A cos

dt

cos0 A (>0, a dcha)A

c

os A (<0, a izda)

2 T AAsen Asen

T 12 6 22 T A 2

x Asen t Asen AsenT 8 4 22 T A 3

Asen AsenT 6 6 2

Ejercicios ondas/7

El caso b) es más sencillo de tratar por cuanto da directamente la relaciónentre la elongación y la amplitud. Las tres últimas relaciones anteriorestoman ahora los siguientes valores:

Observa cómo en el último caso (x=A) al estar la partícula en el extremo dela oscilación su velocidad es nula por lo que también lo es el cociente Ec/Ep.

8 CL-S04 Una partícula describe un movimiento armónico simple de 20 cm deamplitud. Si alcanza una velocidad máxima de 5 ms-1 en el instante inicial, a) ¿Cuál será la aceleración máxima de la partícula?b) ¿Cuales serán la posición, velocidad y la aceleración de la partícula en elinstante t= 1s?Resolución:Se sabe que, cuando un móvil realiza un MAS lavelocidad es máxima en el centro de la oscilación(y nula en los extremos, en los que invierte elsentido). El enunciado es ambiguo pues en él sedice que alcanza la velocidad máxima en el instante inicial (para t=0) peronada dice acerca del SENTIDO. Por ello vamos a suponer que para t=0alcanza la velocidad máxima con sentido el creciente del eje X. (ver figura)Las ecuaciones de este movimiento con los significados ya sabidos, son:

faseinicial

0

22 2 2

0 0 2

2 20

x Asen t

dx xv A cos t A 1 sen t A 1 A x

dt Adv

a A sen t xdt

a) A partir de los datos, como v es máxima en el instante inicial ( y hemossupuesto movimiento a dcha) :

...y tomamos el signo + MAX 0v valor máximo de A cos t A

(movimiento en sentido creciente eje X)Se tiene:

2

222

T P T

2P P

2

A1 15

A4

1kAE E EEc A A21 1 1 1 3

1 AEp E E Xkx 22

A1 0

A

Ejercicios ondas/8

max 2 2 2max1

v 5m/ s A25rad/ s a x a A 125ms

A 2 10 m

b) Determinemos la fase inicial a partir de la ecuación de la velocidad (que esla magnitud de la que se tiene datos), en función del tiempo que es, como seha escrito:

0v A cos t Como para t=0 dicha velocidad es máxima y hemos supuesto que espositiva, resulta:

0 max(t 0) 0 0

0 (v>0)v A cos t ;v cos 1

(v<0)...ahora ya se pueden calcular la posición, velocidad y aceleración para t= 1s:

1(t 1s)

1(t 1s)

2 2 1 2(t 1s)

x 2.10 sen 25rad 0,0265m

v A cos t 2.10 .25cos 25rad 4,96 m/s

a x 25 .2.10 sen 25rad 16,54m/ s

9 CL-S05 Una masa de 1 kg oscila unida a un resorte de k=5 N/m con unmovimiento armónico simple de amplitud 10-2 m.a) Cuando la elongación es la mitad de la amplitud, calcule qué fracción de laenergía mecánica es cinética y qué fracción es potencial.b) ¿Cuánto vale la elongación de un punto en el cual la mitad de la energíamecánica es cinética y la mitad es potencial?Resolución:a) Cuando una partícula oscila describiendo un MAS , cuando se encuentraen los puntos extremos de la oscilación (x=±A) TODA su energía mecánicaes potencial por cuanto la cinética es nula. Teniendo esto en cuenta, resulta:

M MAX

2

Ax2 2 2 2 2c M p

E Ep

A4

2 2

pc m c c

2m m m m

1 1 1E E E kA kx k A x

2 2 2

1k A x

2EE E E E3 3 1

; 1 11E 4 E E E 4 4kA2

Es decir; en ese punto los 3/4 de su energía mecánica es energía cinética yel cuarto restante, potencial ( o 75% y 25%, si se prefiere)b) Este apartado es opuesto al anterior: se conocen las fracciones de laenergía (tanta cinética como potencial) y se pide en qué punto(s) sucede:

Ejercicios ondas/9

2 2 2 2 2c p

2

1 1E E k A x kx A 2x

2 22 2

x A 10 m2 2

10 CL-J05 Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple. Escribala ecuación de dicho movimiento en unidades del S.I. en los siguientes casos:a) su aceleración máxima es igual a 5B2 cm/s2, el período de las oscilacioneses de 2 s y la elongación del punto al iniciarse el movimiento era 2,5 cm.b) su velocidad es 3 cm/s cuando la elongación es 2,4 cm y la velocidad es2 cm/s cuando su elongación es 2,8 cm. La elongación al iniciarse elmovimiento era nula.Resolución:a) Del estudio teórico del MAS se sabe:

2

kma x

2T

Por un lado se conoce el período, con lo que resulta inmediato el cálculo dela pulsación. Además, como se da el valor MÁXIMO de la aceleración y estese alcanza (en valor absoluto) para x=A, resulta:

Para determinar la fase inicial se parte de la ecuación horaria de la elongación:

... con lo que si se

0,05m 0,05m rad/s rad/s

0 (t 0) 0

movimiento INICIAL (t=0) a derecha..como se comprueba en laley de la velocidad que da positiva para ese valor

0 0

x A sen t x A sen 0 0.025

61

sen2

movimiento INICIAL (t=0) a izquierda..como se comprueba en laley de la velocidad que da negativa para ese valor

56

supone que inicialmente el objeto se mueve a derecha, resulta para laelongación:

2 2 1x 5.10 sen t SI = 5.10 sen t SI6 6

b) En este caso, como da la velocidad en función de la elongación, esnecesario relacionar ambas magnitudes. A partir de la conservación de laenergía mecánica para la partícula que describe el MAS, resulta:

2 2 2 2 2máxima máxima

2T 2s rad/ s

a x a x A 5 cm/ s A 5 cm

Ejercicios ondas/10

Epotencialelástica MÁXIMAEpotencialo energía totalelásticaEcinética

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 k kmv kx kA v A x A x A x

2 2 2 m m

... y sustituyendo datos:

22resolviendo

(datos) el sistema2 2

22

2

22

3cm/ s A 2,4cmv A x

2cm/ s A 2,8cm

A 9,504cm 3,083cm2cm/ s

1,55 rad/ s9,504cm 2,8cm

Obtengamos la fase inicial a partir de las condiciones iniciales (que, como casisiempre, resultan ambiguas):

Si, para emplear la expresión más sencilla, suponemos que inicialmente semueve a derecha, se tiene:

11 M-J03 Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elástica 35N/m, oscila en una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de4 cm. Cuando el bloque se encuentra a 1 cm de su posición de equilibrio,calcule:a) La fuerza ejercida sobre el bloque.b) La aceleración del bloque.c) La energía potencial elástica del sistema.d) La velocidad del bloque.Resolución:a) La fuerza recuperadora es (ley de Hooke) :F=-kx, donde el signo menosindica que dicha fuerza se OPONE al sentido en el que varía la longitud delmuelle. Si se sustituye en dicha igualdad, se obtiene:

0,03083m 1,55 rad/s 0,003083m 1,55 rad/s

0 (t 0) 0

movimiento INICIAL (t=0) a derecha..como se comprueba en laley de la velocidad que da positiva para ese

0 0

x A sen t x A sen 0 0

0

sen 0

valor

movimiento INICIAL (t=0) a izquierda..como se comprueba en laley de la velocidad que da negativa para ese valor

2x 3,083.10 sen 1,55t SI

NF 35

m 0,01m 0,35N

Ejercicios ondas/11

b) A partir de la 2ª Ley de Newton:

20,35NF 0,35N ma a 7ms

0,05kg

,donde el signo menos de la aceleración tiene la misma interpretación que elde la fuerza.

c) El cálculo es inmediato a partir de la expresión de la energía potencialelástica:

22 2 51 1 NEp kx2 0,35 10 m 1,75 10 J

2 2 m

d) Interesa la ecuación que relaciona la velocidad con la posición del objeto:

2 2 2 2 4 2

2 1

k 0,35Nv A x kg 4 1 10 m

m 0,05

10510 ms 0,102m / s

12 AR-S06 Una partícula de masa m = 20 g.oscila armónicamente en la forma x(t)= AsenTt. En la figura se representa la velocidadde la partícula en función del tiempo.a) Determina la frecuencia angular T y laamplitud A de la oscilación. b) Calcula la energía cinética y la potencial dela masa m en función del tiempo. Justificacuanto vale la suma de ambas energías.Resolución:a) Como se representa la velocidad en funcióndel tiempo, obtengámosla a partir de los datos:

d Asen tdx(t)v(t) A cos t

dt dt

Y vemos que se corresponde con el gráfico (función coseno). El valor máximode la velocidad, a partir de la función, es:

MAXv A

Del gráfico se puede obtener que dicho valor máximo es 10 B m/s. Por otraparte, del mismo gráfico se obtiene que el período es 0,4 s, con lo que sepuede plantear:

Ejercicios ondas/12

2T 0,4s 5 rad / s

10 10A 10 A 2m

5

Calcular la energía cinética en función del tiempo es inmediato por cuanto setiene la masa y la velocidad. Para expresar la energía potencial elásticanecesitamos obtener primero el valor de la constante recuperadora

222 2 2

2A

2k

2 2

222 2 2

p

k Nk m 0,02kg 5 rad / s

m 2 m

1 1 radE mv 0,02kg 2m5 cos5 t

2 2 s cos 5 t J

1 1E kx g 2sen5 t sen 5 t J

2 2 2

Si sumamos la energía cinética y potencial antes obtenidas, resulta:

2 2k 2 2 2 2

k p2 2p

1

2 2 2 2

E cos 5 t JE +E = cos 5 t J sen 5 t J

E sen 5 t J

cos 5 t +sen 5 t J = J

Obteniéndose el consabido resultado: la suma de ambas energía es constantee igual al valor máximo de cualquiera de ellas.

Ejercicios ondas/13

B) Sobre la ecuación de la onda

13 CL-J01¿ En qué consiste el movimiento ondulatorio? . ¿Qué expresafísicamente la ecuación de propagación de una onda en una dimensión.?Respuesta:“la transmisión de una perturbación que se origina en un estado de equilibrioy que se propaga con el tiempo a través del espacio sin transporte neto demateria”Representa el estado de la perturbación de los diferentes puntos del medio(variable x) alcanzados por la onda en función del tiempo. Ya que la funciónes doblemente periódica. Si se fija x, es decir se observa un punto dado, lafunción describe la perturbación de ese punto con el transcurrir del tiempo,mientras que si se fija t, la función describe la perturbación de los diferentespuntos del medio cuando se describe en un instante determinado.

14 CL-J03 Defina las siguientes magnitudes que caracterizan una onda:velocidad de propagación, velocidad de vibración, amplitud, periodo y númerode ondas. Indique en cada caso cual es la unidad correspondiente en elSistema InternacionalRespuesta:a) Velocidad de propagación es aquella con la que se propaga la perturbación,con la que los diferentes puntos son alcanzados por la onda. (m/s). Dichavelocidad es cte para cada ondab) Velocidad de oscilación es la velocidad (variable)con la que vibran alrededorde la posición de equilibrio los diferentes puntos del medio afectados por laonda. (m/s)c) La amplitud o máxima perturbación de los puntos . Depende de lo que serepresente por A. Puede ser una longitud (m) , una presión (Pa), un campoeléctrico (N/C)...d) Período o tiempo que tarda la onda en recorrer un espacio igual a lalongitud de onda. También, desde otro punto de vista, tiempo que tarda unapartícula alcanzada por la perturbación, en realizar una oscilación completa.(s).e) nº de ondas o cte de propagación. Matemáticamente es la cte que seintroduce para que el argumento de la función armónica sea adimensional.Físicamente representa el nº de longitudes de ondas que caben en 2B ( de ahíel nombre) (m-1)

15 CL-J09 Defina las siguientes magnitudes que caracterizan un movimientoondulatorio: amplitud; frecuencia; longitud de onda; número de onda. Indiqueen cada caso las unidades correspondientes en el S. I.Resolución: La amplitud (R0), se refiere al máximo valor que alcanza la perturbación quese propaga en el medio. Si , por poner un ejemplo muy sencillo, se considerael caso de una onda en una cuerda, la amplitud, que en este caso es unalongitud, es la distancia del máximo o mínimo de la cuerda respecto a lahorizontal (cuerda tensa sin oscilación).La frecuencia (L) hace referencia al número de pulsos u oscilacionescompletas que en la unidad de tiempo (usualmente , el segundo) ejecuta el

Ejercicios ondas/14

foco ( y el resto de los puntos del medio, al transmitirse la perturbación)

La longitud de onda (8)es la distancia mínima entre dos puntos que seencuentran oscilando de idéntica manera (mismo valor de la perturbación, ymisma velocidad de oscilación)El número de onda (k=2B8), matemáticamente es una constaste que seintroduce en la ecuación de la onda para hacer que la fase sea un ángulo.Físicamente representa el número de longitudes de onda que caben en 2BLas unidades en el SI son: Amplitud: depende de la magnitud que oscile:puede ser metros, (ondas en una cuerda), pascales (ondas sonoras), N/C(componente eléctrica de una onda electromagnética), etc. Frecuencia: s-1,Longitud de onda: m. Número de onda: m-1

16 CL-S08 Escriba la expresión matemática de una onda armónicaunidimensional como una función de x (distancia) y t (tiempo) y que contengalas magnitudes indicadas en cada uno de los siguientes apartados:a) Frecuencia angular T y velocidad de propagación.b) Período T y longitud de onda 8Respuesta:La ecuación general de una onda monodimensional es:

0(x,t) Asen t kx Donde en la izquierda se representa la magnitud que oscila, siendo A, laamplitud de oscilación, T, la frecuencia angular o pulsación , k el nº de ondasy 20 la fase inicial. El signo menos corresponde a propagación a derecha y elmás a izquierda. Como se tiene:

kv

Resulta:

0(x,t) Asen t xv

Además, a partir de las relaciones:

2T

2k

, se obtiene finalmente:

0

2 2(x,t) Asen t x

T

Ejercicios ondas/15

17 CL-S03 Explique brevemente cómo se clasifican las ondas según:a) el medio de propagación;b) la relación entre la dirección de oscilación y la dirección de avance de laonda.Proponga encada caso un ejemplo.Respuesta:a) Si una onda, como el sonido, necesita un medio material para propagarse,recibe el nombre de onda mecánica. Si puede propagarse en el vacío como lasondas de radio, luz visible, infrarrojo.. recibe el nombre de ondaelectromagnética.b) Las ondas en las que lo que oscila lo hace en dirección perpendicular a lade avance de la onda, como las ondas en una cuerda o las ondas que seproducen en la superficie del agua, reciben el nombre de transversalesmientras que si la dirección de oscilación es la misma que la de propagación,como las ondas sonoras o las generadas al estirar o comprimir un muelle, elnombre que recibe esta clase de ondas es el de longitudinales.

18 CL-S04 ¿Qué se entiende por onda longitudinal y por onda transversal?. Lasondas sonoras, son longitudinales o transversales?. Explique las trescualidades del sonido: intensidad, tono y timbre.Respuesta:Ondas longitudinales. En estas ondas coincide la dirección de oscilación conla de propagación. Una onda longitudinal es una sucesión de compresionesy expansiones del medio. Como ejemplos de esta clase de ondas tenemos lassonoras y las ondas sísmicas P Ondas transversales. En esta clase de ondas la dirección de propagación esperpendicular a la de vibración de las partículas. Las ondas en una cuerda ylas ondas sísmicas S son ejemplos de esta clase de ondas.Ver teoría “cualidades del sonido” (tema 2) para el resto de la cuestión.

19 CL-S01 a) Defina el concepto de intensidad de una onda.b) Demuestre que, si no existe absorción, la intensidad de una onda esféricaes inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor.Resolución:a) La intensidad de una onda es, por definición (ver teoría): “La energía que atraviesa en la unidad de tiempo la unidad de superficiecolocada perpendicularmente a la dirección de propagación en ese punto” .En el SI se mide en Js-1.m-2 = W.m-2. b) Para un frente de onda esférico , teniendo en cuenta el valor de lasuperficie de una esfera de radio, R se tiene, según la definición: I = Pe/4BR2

, siendo R la distancia del foco al punto considerado. Luego, tal como seafirma en el enunciado, la intensidad disminuye con el cuadrado de ladistancia.

20 CL-S06 Discuta razonadamente cómo varían, en un movimiento ondulatorio,las siguientes magnitudes cuando aumentamos la frecuencia de la onda: a)Período; b) Amplitud; c) Velocidad de propagación; d) Longitud de ondaResolución:a) Como el período es la inversa de la frecuencia, al aumentar ésta disminuye

Ejercicios ondas/16

22 800

340400

1720

2 4017

104017

800

1

3

Tm k m

Y sen x t

s ; =vT=v

(SI)

-1

aquelb) La amplitud es independiente de la frecuencia por lo que no varía.c) La velocidad de propagación depende de las características del medio enel que se propaga y al no variar éste tampoco lo hace la velocidad.d) La longitud de onda disminuye por cuanto su relación con la frecuencia es:

v

Como aumenta el denominador (frecuencia) manteniéndose constante elnumerador (velocidad), el cociente (longitud de onda) disminuye.

21 CL-J96 Una varilla sujeta por un extremo vibra con una frecuencia de 400 Hzy una amplitud de 1 mm. La vibración se propaga por el aire a 340 m/s.Hallar: a) La ecuación de ese movimiento ondulatorio armónico.b)La elongación que tendrá un punto que diste del origen 85 cm al cabo de2 segundos de comenzar la vibración.Resolución:Como veremos una y otra vez, cuando a partir de determinados datos sepide la ecuación de la onda se opera SIEMPRE comparando con la ecuacióngeneral de un onda que suele adoptar una de estas formas:

(A) ( )

( ) ( )

Y

Y con

k=2

(C)

=2T

(D)

Y senkx t

B Y sen t kxvT (E)

fase

fase

0

0

2

Con los significados ya sabidos:k= cte de propagación o nº de ondas (representa el nº de longitudes de ondaque caben en 2B, de ahí su nombre).T=pulsación8= longitud de onda o período espacial (distancia entre puntos consecutivosque se encuentran oscilando del mismo modo)T=Período (temporal): tiempo que tarda la onda en recorrer una distanciaigual a la longitud de onda (también tiempo que tarda un punto alcanzado porla perturbación en completar una oscilación)v= velocidad de propagación de la onda (cte).

La diferencia entre (A) y (B) es que la segunda presenta un desfase de 180ºrespecto de la primera (fases opuestas). Cuando la primera alcanza valoresmáximos, la segunda los mínimos (gráficamente la 2ª es simétrica de la 1ªrespecto al eje x). Se ha empleado como función armónica el seno. Se pudohaber tomado, igualmente, el coseno. Decir, finalmente que el signo + indicapropagación a dcha, con lo que el - indicará avance a izda.a) Aplicando las relaciones anteriores, resulta:

Ejercicios ondas/17

Se ha supuesto avance a dcha de la ondab) Se trata de reemplazar en la ecuación de la onda x por 0,85 m y t por 2 s:

3 3(x 0,85m;t 2s)

0

3 3

40πY 10 sen 0,85 800π2 = 10 sen 2π 800π2

17

10 sen 1158π 10 sen 1158π 0

22 CL-J09 Un foco sonoro emite una onda armónica de amplitud 7 Pa yfrecuencia 220 Hz. La onda se propaga en la dirección negativa del eje X auna velocidad de 340 m/s. Si en el instante t = 0 s, la presión en el foco esnula, determine:a) La ecuación de la onda sonora .b) La presión en el instante t =3 s en un punto situado a 1,5 m del foco .Resolución:a) En este caso, la magnitud que varía es una presión, como corresponde auna onda sonora. Teniendo en cuenta que se propaga en el sentido negativo(decreciente) del eje X, la forma general que adopta la ecuación de la onda es:

0 0P(x,t) P sen kx t (1) De los datos del ejercicio, se obtiene:

0

1

P 7 Pa

2 440 rad / s2 2 440 rad / s 22

k mvT v 340m / s 17

Por otra parte, como para t=0 s la presión, P, en el foco (x=0 m), es nula, la fase inicial, 20 , según (1), sólo puede ser 0 o B rad. Como nada seespecifica al respecto, tomaremos, por simplicidad, el primero de los dosvalores. Teniendo en cuenta todo lo anterior, la ecuación de la onda sonoraviene dada por:

22P x,t 7sen x 440 t (SI)

17

b) Dando en la ecuación anterior, a x y t los valores del enunciado, seobtiene:

660x2

22 33P x m,t 3s 7sen 440 .3 =2 17 2

22 3=7sen 1,29 Pa

17 2

El resultado, presión negativa, puede resultar sorprendente pero tiene lainterpretación que sigue:

Ejercicios ondas/18

Cuando se dice que la amplitud es de 7 Pa quiere decir que 7 Pa el máximode presión de lo onda sobre la presión ordinaria que existe en el medio enausencia de onda. Si se propaga en el aire (lo que sugiere la velocidad de 340m/s), quiere decir que la presión máxima de la onda sonora es la Patm+7Pay la mínima, Patm -7Pa. El resultado obtenido indica, en consecuencia, quela presión en ese punto para ese valor del tiempo es 1,29 Pa menos que lapresión atmosférica.

23 CL-J98 Una onda armónica en un hilo tiene una amplitud de 0,015 m, unalongitud de 2,4 m y una velocidad de 3,5 m/s. Determina:a) El periodo, la frecuencia y el número de onda. b) La función de onda, tomando como sentido positivo del eje X el sentido depropagación de la onda.Resolución:a) La amplitud, longitud de onda y velocidad de propagación son datos.Aplicando las relaciones ya sabidas, resulta:

Tv

s T Hz m

2 435

2435

3524 2 4

56

1 1,,

;,

k=2 2

b) Para obtener la función de onda nos falta evaluar la pulsación T:

2 224

35

3512

1

Trads

luego...

Y Y sen k x t Y sen x t

m m s a dcha

0

15105

635

123

31 1

151056

3512

( ) ( )..

(SI)

24 CL-S97 Se genera una onda en una cuerda horizontal ,comunicándole a suextremo 5 sacudidas verticales por segundo ,de amplitud 0,04m.Se observaque un punto ,situado a 2m del extremo, comienza a oscilar a los 4 s despuésdel inicio de las sacudidas. Determine:a) La longitud de onda y el período de las oscilaciones.b) La elongación de un punto, distante 0,5 m del extremo, cuando éste seencuentre en la posición de equilibrio. Resolución:a) Hay que observar que el dato de "5 sacudidas verticales” corresponde auna frecuencia de 5 hercios, con lo que:

vTv 12

501

15

0 2, , m ; T=1

s

b) Este apartado es un poco más complicado. Apliquemos la ecuación de laonda al foco (x=0):

Y Y sen k x t Y Y sen t sen t

m

Trads

Foco (x

0

0 04

220

210

0

1

1

1

0 0,

[ ]

( )

( ); ( ) m

=0)

Es decir; ¿qué elongación tiene un punto de x=0,5 m cuando el foco tieneelongación nula, o sea; cuando senTt=0? . Veámoslo, mediante desarrollo

Ejercicios ondas/19

matemático:

Y Y senk t Y sen k t k sen tx

m

( , ) ( , ) ( , cos cos , )

0 5 0 0

20

0

0

0 5 0 5 0 5 0

1

Al mismo resultado se pudo llegar razonando como sigue: El foco tiene en uninstante dado elongación nula. Como el punto cuya elongación me piden distade él 0,5 m que son 5 longitudes de onda, dicho punto estará repitiendo elmovimiento del foco..luego también será nula su elongación.

25 CLS03 Se zarandea uno de los extremos de una cuerda de 8 m de longitud,generándose una perturbación ondulatoria que tarda 3 s en llegar al otroextremo. La longitud de onda mide 65 cm. Determine:a) la frecuencia del movimiento ondulatorio.b) la diferencia de fase (en grados sexagesimales) entre los dos extremoslibres de la cuerda.Resolución.a) A partir de la longitud de la cuerda y el tiempo que tarda la onda enrecorrerla, se calcula la velocidad de propagación o de fase:

1l 8m 8v ms

t 3s 3

...y conociendo la velocidad de fase y la longitud de onda, es de cálculoinmediato la frecuencia ( o su inversa, el período):

1

1

8msv v 3vT 4,1s

0.65m

b) Se puede calcular teniendo en cuenta que en 8 m caben 8/0,65 longitudesde onda y que a cada una de ellas le corresponde una diferencia de fase de360º, con lo que el desfasaje pedido resulta:

8

360º 4430.77º0,65

26 CL-J06 a) Escriba la ecuación de una onda que se propaga en una cuerda (ensentido negativo del eje X) y que tiene las siguientes características: 0,5 mde amplitud, 250 Hz de frecuencia, 200 m/s de velocidad de propagación yla elongación inicial en el origen es nula. b) Determine la máxima velocidadtransversal de un punto de la cuerdaResolución:a) Ecuación general de una onda que se propaga a izquierda (sentido negativodel eje X):

0y(x,t) Asen kx t , siendo 20 la fase inicial, es decir; el valor de la fase correspondiente a laoscilación del foco (x=0) en el instante inicial (t=0).Hay que calcular A,(dato), k, T y 20. A partir de los datos, se obtiene:

Ejercicios ondas/20

1

22 2 250Hz 500 rad/s

T2 2 2 500 rad/s 5

k= mvT v 200 m/s 2

A 0,5m

, con lo que, al sustituir en la ecuación general de la onda, resulta:

0

5y(x,t) 0,5sen x 500 t

2

Hay que determinar 20. Para ello sabemos que el foco (x=0) en el instanteinicial (t=0) tiene una elongación nula (y=0). Al sustituir estas condicionesen la ecuación anterior, se obtiene:

0 0

00 0,5sen

En consecuencia, la ecuación de la onda es adopta la forma:

05y(x,t) 0,5sen x 500 t

2

No se puede precisar más por cuanto el problema no especifica si en elinstante inicial el foco se está oscilado en sentido ascendente (v>0) odescendente (v<0). Volveremos sobre esta cuestión en el apartado b)b) La velocidad de oscilación de una partícula del medio se obtiene derivandocon respecto al tiempo, la elongación:

oscilacion

absoluto máximo 1

0dy d 5v = = 0,5 sen 500 =

dt dt 2

05=250 cos 500 =

2

05=250 cos 500 250 m/s + , -

2

oscMAX

valor

Cte

x t

x t v

x t

Observa, en la expresión subrayada, cómo el foco (x=0), en el instante inicial(t=0) tiene una velocidad positiva si 20=0 y negativa si su valor es B.Evidentemente, el ejercicio se pudo realizar partiendo de una onda armónicapero descrita por una función coseno en vez del seno que se ha empleado.

Ejercicios ondas/21

27 CL-S06 A una playa llegan 15 olas por minuto y se observa que tardan 5minutos en llegar desde un barco anclado en el mar a 600 m de la playa.a) Tomando como origen de coordenadas un punto de la playa, escriba laecuación de la onda, en el sistema internacional de unidades, si la amplitudde las olas es de 50 cm. Considere la fase inicial nula.b) Si sobre el agua a una distancia de 300 m de la playa existe una boya, quesube y baja según pasan las olas, calcule su velocidad en cualquier instantede tiempo. ¿Cuál es su velocidad máxima?Resolución:a) La frecuencia de las olas es: <= 15/60 Hz=1/4 Hz. La frecuencia angularo pulsación T=2B/T=2B<=B/2 rad/s. Como tarda 5 min, es decir 300 s enrecorrer 600 m, se propaga con una velocidad de fase de 600/300 = 2 m/s.

Para hallar el nº de ondas , K, hay que obtener la longitud de onda de fácilcálculo por cuanto se sabe tanto la velocidad de propagación como lafrecuencia:

112 s2 2 2 4k

v v

12ms

1m4

Al ser la amplitud 0,5 m y la fase inicial nula, resulta:

xy(x,t) 0,5sen x t 0,5sen t (SI)

4 2 2 2

El doble signo ± corresponde a las dos posibilidades de avance de las olasrespecto al observador situado en la playa; a izquierda o a derecha.b) La velocidad de oscilación de una partícula del medio es, por definición:

osc

osc x 300m

d 0,5sen x t4 2dy x

v 0,5 cos t (SI)dt dt 2 2 2

tv 0,5 cos 75 (SI)

2 2

, donde el signo mas corresponde a oscilación en sentido ascendente y elmenos a cuando se mueve en sentido descendente. El valor máximo de dichavelocidad corresponde al valor máximo de la función coseno, (en valorabsoluto, 1), con lo que se obtiene:

oscMAXv 0,5 m/s (SI) 2

Ejercicios ondas/22

28 CL-J07 En las figuras se representa la variación de la posición, y, de un puntode una cuerda vibrante enfunción del tiempo y de sudistancia, x, al origen,respectivamente.a) Deduzca la ecuación de onda.

b) Determine la velocidad depropagación de la onda y la velocidad de vibración de un punto de la cuerdaResolución:a) La ecuación general de una onda que se propaga a la derecha [como es elcaso, por los datos del gráfico y=f(x)], se sabe que es:

0y(x,t) Asen kx t

pudiendo, en este caso, adoptar la forma siguiente

y(x,t) Asen kx t

En cualquiera de los dos gráficos puede observarse que la amplitud de laoscilación es 0,2 cm. En el de la izquierda, además, que el período temporal,T, es 8 s (período del MAS que describe la partícula y que corresponde altiempo mínimo necesario para que la partícula pase dos veces consecutivaspor el mismo punto con el mismo sentido del movimiento).En el gráfico de la derecha se observa cómo el período espacial o longitud deonda es 8= 4m pues esta representa la mínima distancia entre dos puntosque se encuentran oscilado exactamente igual (misma elongación y sentidodel movimiento).Ya podemos calcular los parámetros necesarios para expresar la ecuación dela onda:

3

1 3

A 2.10 m2 2 t

k m y 2.10 sen x (SI)4m 2 2 2

2 2rad / s

T 8s 4

b) 3

osc

4m 1vT v m / s

T 8s 2t

d 2.10 sen x2 2dy

v 2dt dt

3.102

tcos x (SI)

2 2

Ejercicios ondas/23

2 rad es el defasaje de dos puntos separados 8 m ( ) 8 2 /3 rad (120º) sera el desfasaje de 2 puntos.. x m 3

Six m

29 CL-J99 Cierta onda está descrita por la ecuaciónR(x,t) = 0,02 sen(t - x/4) (SI)

Determine:a) La frecuencia de la onda y su velocidad de propagación.b) La distancia existente entre dos puntos consecutivos que vibran con unadiferencia de fase de 120º.Resolución:a) Si se compara la ecuación dada con la general de una onda se obtienen losresultados siguientes:

-1 -1

0 1

-1

2 1=1 rads 2 s

( , ) 0,02 sen(1t-x/4) 2( , ) sen( t-kx) 1 2

8 m4

84 ms

2

x t Tx t

k m

vT

b) Este apartado se puede resolver de dos modos. El primero y más sencilloacudiendo al concepto de longitud de onda y planteando una proporción oregla de tres:

Otro modo es a partir del concepto de fase o parte angular de la onda. Setrata de, para un tiempo dado, mismo valor de t, observar la separación entredos puntos desfasados 120º:

1 1

2 21 2 2 1 2 1

2 314

83

t kx

t kxk x x x

km(x )

30 CL-S02 Una onda transversal se propaga según la ecuación:

en unidades S.I. y 4 sen 2 t/4 x /1,8 Determine:a) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración máximade un punto alcanzado por la onda.b) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos puntos separados 1men la dirección de avance de la onda.Resolución: a) Si se compara la ecuación dada con la ecuación general de una onda quese propaga ( a izda), resulta:

1

2 2k 1,8 my 4 sen 2 t/4 x /1,8 1,8m1,8 v 0,45ms

T 4s2 2y A sen t kx T 4 sT 4

Ejercicios ondas/24

La velocidad de vibración o de oscilación de una partícula viene dada por:

vib

d 4 sen 2 t/4 x /1,8dy 2v 4 cos 2 t/4 x /1,8

dt dt 4

y dicha velocidad será máxima cuando lo sea el coseno, es decir; cuando suvalor (absoluto) sea 1, con lo que:

vMAX=±2B m/s

(no es difícil ver que el + representa velocidad máxima de oscilación ensentido ascendente y el - en descendente)

b) Este apartado se puede resolver de dos modos. El primero y más sencilloacudiendo al concepto de longitud de onda y planteando una proporción oregla de tres:

Si 2 rad es el desfase de dos puntos separados 1, 8 m ( ) 2 10x rad rad

x rad será el desfase de 2 puntos separados 1 m 1,8 9

Otro modo es a partir del concepto de fase o parte angular de la onda. Setrata de, para un tiempo dado, mismo valor de t, de calcular la diferenciaangular entre dos puntos separados 1 m

1 11 2 2 1

2 2

t kx 2 10k(x x ) 1m rad

t kx 1,8m 9

31 CL-S09 Por una cuerda tensa situada sobre el eje x se transmite una onda conuna velocidad de 8 m/s. La ecuación de dicha onda viene dada pory(x,t)=0,2sen(4Bt+kx)a) Determine el valor de k y el sentido del movimiento de la onda. Calcule elperíodo y la longitud de onda y reescriba la ecuación de la onda en función deestos parámetros.b) Determine la posición, velocidad y aceleración de un punto de la cuerdacorrespondiente a x=40 cm en el instante t=2s.Resolución:a) Como el signo entre el sumando espacial y el temporal de la fase es +, laonda se propaga a izquierda.Los cálculos para obtener el período y la longitud de onda son inmediatos. Lasegunda forma de expresar la ecuación de la onda se hace atendiendo alenunciado, que pide “en función de esos parámetros”

k 2 /2 /T

1

1

11

2 14 T s

T 2 y 2.10 sen 4 t x21

vT 8ms s 4m 2

2 t 2 x2 2 y 2.10 senk m 1/ 2 44m 2

Ejercicios ondas/25

b) A partir de la ecuación de la posición se pueden obtener las de lavelocidad y aceleración. Seguidamente se particularizará con los valores quese dan:

(x 0,4m,t 2s)y 0,2sen 4 t x y 0,2sen 82 5

0,2sen 0,117m5

osc

osc x 0,4m,t 2s

d 0,2sen 4 t x2dy

v 0,2.4 cos 4 t x (SI)dt dt 2

v 0,2.4 cos 4 .2 0,4 0,8 cos 82 5

0,8 cos 2,03m / s5

2osc

2 2 2

(x 0,4m,t 2s)x 0,4m,t 2s

2

d 0,2.4 cos 4 t x2dv

a 0,2 4 sen 4 t xdt dt 2

4 y a 4 y 4 0,117

18,56m / s

32 Una onda de 500 Hz tiene una velocidad de fase de 300 m/s y una amplitudde 5 cm. Se propaga en el sentido positivo del eje X. Calcula: a) Ecuación depropagación de la onda. b) ¿Cuál es la separación entre dos puntos que en elmismo instante tienen una diferencia de fase de 60º?. c) ¿Cuál es ladiferencia de fase ente dos elongaciones del mismo punto separadas por unintervalo de tiempo de 0,001 s?.Resolución:a) Los datos son la frecuencia, velocidad de fase (o de propagación) yamplitud. Como la onda avanza a dcha, habrá que tomar el signo - en laseparación entre la parte espacial y temporal de la fase. Veamos los primeroscálculos y resultados:

Ejercicios ondas/26

1

2 1

1

-1

10510 3 1000

20

300 3 2 2 10500 5 3 5 3

22 1000 rads

10( ) 510 1000 (SI)

3

mm rads

vvT m k m

T

Y Y sen k x t sen x t

b) y c) Se puede operar de dos modos, como en el apdo b) del ejercicioanterior. El primero recurriendo al período y a la longitud de onda; el segundo,basándonos en el concepto de fase:

Six m

Six

2 rad es el desfase de dos puntos separados 3 / 5 m ( )

/ 3 rad (60º ) sera el desfase de 2 puntos.. x m1

2 rad es el desfase de dos posiciones del mismo punto separados 0,002 s (T)

x rad sera el desfase de dos posiciones del mismo punto separados 0,001 s rad

10

Veamos cómo se llega al mismo resultado a partir de fases:

1 1

2 21 2 1 2 1 2

1 1

2 21 2 1 2

0 001

310 3

01

1000 0 001

kx t

kx tk x x x

k

kx t

kx tt

(x )/

,

(t ) ,,

m

rad s

Observa en este 2º procedimiento, cómo en el primer caso NO VARÍA t, puesse observan dos puntos EN EL MISMO INSTANTE, mientras que en elsegundo, NO VARÍA la x al observarse dos posiciones de oscilación DELMISMO PUNTO con un intervalo de 0,001 s

33 La ecuación de una onda viene dada por: y = 5 sen (10Bt - Bx/2), donde xe y se expresan en metros y t en segundos. Calcula: a) La amplitud, lafrecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación. b) La elongación yla velocidad de un punto situado a 8 m del foco en el instante t = 2s. c) Ladistancia mínima entre dos puntos en oposición de fase.Resolución:a) Esos datos se obtienen comparando la ecuación que se da con la formageneral:

0

-1

0 1

1

5

5 sen (10 t- x/2) (SI) 10 rads 2 5 Hzv sen ( t-kx) =vT=2 4 m2

20

y myy y

k m

v ms

b) No hay más que sustituir esos valores en la ecuación de la onda y de la

Ejercicios ondas/27

velocidad de oscilación de un punto alcanzado por la misma, respectivamente:

0

( 8 , t=2s)

oscilacion

1

(x=8m, t=2s)

5 sen (10 2- 8/2)=5 sen 16 =0

dy dv = = 5 sen (10 - /2) =50 cos (10 - /2)

dt dt

=50 cos (10 2- 8/2)=50 m/s

x m

osc

y

t x t x

v

El hecho de que la amplitud sea nula en ese punto e instante indica que sehaya en el origen de la oscilación que es en el que la velocidad es máxima,como sabemos por el estudio del MAS, por lo que el resultado de la velocidadde oscilación era de esperar: se trata de la máxima velocidad de oscilación.Como ha dado positiva, la partícula está oscilando con máxima velocidad ENSENTIDO ASCENDENTE.

c) Para poder realizar este apartado hay que recordar que estar en fase indicauna diferencia de fase de un nº par de veces B, mientras que “en oposiciónde fase” indica un desfase igual a un nº impar de veces B. Como pide ladistancia MÍNIMA entre dos puntos en oposición de fase, el desfase entreellos será el nº impar MÍNIMO de veces B, es decir; 1vez B.Ya se puede seguir a partir de la longitud de onda o de la idea de fase:

Si 2 rad es el desfase de dos puntos separados 4 m ( )x 2m

rad sera el desfase de 2 puntos separados x m

1 1

2 21 2 1 2 1 2 2

2

kx t

kx tk x x x

k(x )

/ m

Nota que la descripción del desfase entre los dos puntos se hacesimultáneamente (mismo t)

34 Una onda armónica de frecuencia 100 Hz y amplitud 0,5 m se propaga avelocidad de 10 m/s en el sentido positivo del eje X . En el instante inicial laelongación en el origen es de 0,5 m. Hallar: a) La ecuación de la onda. b) Ladiferencia de fase entre dos puntos separados 0,2 m.Resolución:a) Este apartado es interesante porque, como vamos a ver, existe una faseinicial NO NULA (usualmente, salvo que, como en este caso, no se digaexplícitamente, se supone fase inicial nula): ¿Motivo?. El enunciado dice queen el instante inicial la elongación del foco es 0,5 m, es decir; para t=0 yx=0, y=0,5. La ecuación general de la onda, adopta la forma:

y y senkx t

faseINICIAL

fase

0 0( )

Ejercicios ondas/28

A partir de los datos vamos a obtener el nº de onda o constante depropagación y la pulsación, necesarios para formular la ecuación de la onda:

1 1

0

-1

-1

-1

0,5m 20 m 200 rads ??

0 0

y 0,5 m

v 10 1 2 2vT m k 20 m

1100 10v 10 ms 10100 Hz 2

2 200 radsT

y y sen( k x t )

A continuación determinaremos la fase inicial sabiendo que para x=0 y t=0la elongación, y vale 0,5 m:

oscilacion

la velocidad de oscilacion en ese puntosera maxi

oscilacion(x=10 cm,t)

x dy d xy = sen 2 100t - v = sen 2 100t -

20 dt dt 20

x 10200 cos2 100t - v 200 cos2 100t -

20 20

ma cuando el coseno valga 1

oscilacionMAX

;

10 10v cos2 100t - 1 2 100t - n n N

20 20

0,005 s para n=0 n 1

t s 0,01 s para n=1200

....

0 (x 0, t=0) 0 0

0

y 5sen(20x 200 t );y 5 5 5sen sen 1

arc sen 1= rad y 5sen 20x 200 t2 2

b) Ya hemos visto en ocasiones anteriores los dos modos de oprar condiferencias de fase:

Si 2π rad es el desfase de dos puntos separados 0,1 m (λ)Þ x=4π rad

x rad sera el desfase de 2 puntos separados 0,2 m

1 1

2 21 2

20

1 2

0 21

4

kx t

kx tk xm

(x ), m

rad

Ejercicios ondas/29

35 Dado un movimiento ondulatorio de ecuación: y = sen 2B(100t - x/20), dondex e y se expresan en cm y t en s, calcula: a) Amplitud, período, frecuencia,longitud de onda y velocidad de propagación. b) Distancia entre dos puntosque estén en fase y en oposición de fase. c) ¿En qué instante alcanza suvelocidad máxima un punto que dista del foco 10 cm?.Resolución:a) La comparación entre la ecuación dada de la onda y la general nos permitecalcular los parámetros que se piden. Hay que observar que se da la ecuaciónsacando factor común 2B en la fase, mientras que en la forma general, talcomo se ha expresado, no se ha hecho esto :

2

A 1 cmx 2y = sen 2 100t - (SCGS) 200 T 10 s 100 Hz20 T

y= A sen ( t-kx) 2 2k 20 cm

2020

v 2000 cm/sT 0,01

b) No hay más que recordar la definición de longitud de onda : dos puntosdesfasados 2B radianes están separados, por definición, la longitud de onda,es decir; 20 cm. Si se encuentran en oposición de fase, o lo que es lo mismo,desfasados B radianes la separación será la mitad de la anterior:10 cm.:

c) Debemos de tener cuidado con este apartado. Al ser un movimientoondulatorio periódico existirán infinidad de instantes en los que ese puntoalcance velocidad máxima . Además, debemos entender, creo, velocidadmáxima tanto el mayor valor positivo (sentido ascendente) como negativo(descendente). En cualquier caso lo primero a obtener es la velocidad deoscilación de una partícula alcanzada por la perturbación:

El primer tiempo obtenido,0,005 s es el que tarda la onda en desplazarsedesde el foco a ese punto pues la separación entre ambos puntos es de 10 cmy la onda se propaga a 2000 cm/s por lo que el primer tiempo válido, con elpunto oscilando con máxima velocidad es 0,01s.

36 Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte horizontal, en elsentido negativo del eje X, siendo 20 cm la distancia entre dos puntos queestán en fase. El foco emisor vibra con una frecuencia de 25 Hz y amplitudde 3 cm. Halla: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La ecuación dela onda, sabiendo que la elongación en el origen de coordenadas es nula en elinstante inicial. c) La velocidad y aceleración máximas de cualquier partículadel resorte.Resolución:a) y b) Al desplazase a izda el signo entre la parte espacial y temporal de lafase es +. Son datos, además, la longitud de onda o distancia MÍNIMA entredos puntos en fase (20 cm), frecuencia (25Hz) y amplitud (3 cm). La faseinicial o valor angular para t y x nulos, puede parecer que es nula (8) por elenunciado del problema, pero podría ser igualmente B(9):

Ejercicios ondas/30

A m

k

y sen x t

vTv

v m s

se ha supu

310

2 502 2

0 210

310 10 50

0 2 25 5

3

1 3

rads

esto fase inicialnula pera tb puede tomarse

,

( )

, /

c) Calcularemos las expresiones de la velocidad y de la aceleración deoscilación y obtendremos su valores máximos haciendo ±1 el seno y/o cosde la parte angular:

3

1, para valor maximo dela velocidad de oscilacionA

3 3oscilacion

A

3oscilacionMAX

oscilacion

y 310 sen 10 x 50 t

dy dv 310 sen 10 x 50 t 310 50 cos 10 x 50 t

dt dt

v 310 50 0,15 m/s

a

2

2

1, para valor maximo dela aceleracio de oscilacionA

23 3osc

A

2 3 2 2oscilacionMAX

dv d310 50 cos 10 x 50 t 50 310 sen 10 x 50 t

dt dt

a 50 310 7,5 ms

37 La ecuación de una onda armónica en una cuerda es: y(z,t) = 0,001 sen(314t + 62,8z), escrita en el SI. Calcula: a) En qué sentido se mueve la onday con qué velocidad. b) 8, < y T. c) Ecuación de la velocidad y de laaceleración de una partícula de la cuerda que se encuentre en z = -3 cm.Resolución:a) y b) La onda se propaga en el sentido negativo(+en la ecuación) del eje Z.Por comparación entre la ecuación general de una onda y la dada:

y(z,t) = 10 sen(314t+62,8z)y(z,t)=Asen( t+kz)

-3

3142 2

3140 02

150

6282 2

62801

010 02

5

TT s

THz

k m

vT

m s

,

,,

,

,,

/

c) Apartado semejante al del ejercicio anterior:

Ejercicios ondas/31

3

3 3oscilacion

3oscilacion(z 0,03)

3oscoscilacion

y(z,t) 10 sen 62,8z 314t

dy dv 10 sen 62,8z 314t 10 314cos 62,8z 314t

dt dtv 10 314cos 62,8 ( 0,03) 314t 0,314cos 1,884 314t

dv da 10 314cos 62,8z 314

dt dt

98,596

2 3

oscilacion(z 0,03)

t 314 10 sen 62,8z 314t

a 98,596sen 62,8 ( 0,03) 314t 98,596sen 1,884z 314t

38 Un foco puntual realiza un movimiento periódico, generando una onda deecuación: y = 5 cos 2B(t/8 + x/8) (SCGS). Si la longitud de onda es 250 cm,calcula: a) velocidad de la onda. b) Diferencia de fase para dos posiciones dela misma partícula cuando el intervalo de tiempo transcurrido es 1s. c) Ladiferencia de fase en un instante dado de dos partículas separadas 200 cm.d) Si la elongación de una determinada partícula en un instante determinadoes de 4 cm, ¿cuál será su desplazamiento 2 s más tarde?.Resolución:a) De la comparación entre la ecuación dada y la general de la onda...

2 2t x T 8sy 5cos2 T 88 250250

v 31,25 cm/ sy Acos( t kx)T 8

b) Como siempre, dos modos de efectuar el cálculo: a partir del concepto deperíodo o de el de fase:

11

12

Si 2π rad es el desfase de un punto que oscila observado con un intervalo de 8s(T) x rad sera el desfase de un punto que oscila observado con un intervalo de 1 s

πx= rad

4

2πt 2πx= +

8 2,52π t

=

1 12 1

2π t + 1 2πt π= - = - = rad

+1 8 8 42πx+

8 2,5

c) Igual que en el caso anterior pero operando con el aspecto espacial:

Ejercicios ondas/32

11

1 12 1

12

Si 2π rad es el desfase de dos puntos separados 250 cm( ) x rad sera el desfase de dos puntos separados 2m

8πx= rad

5

2 x2 t2 x 28 2,5 2 x 8

rad2 x 2 2,5 2,5 52 t

8 2,5

d) Se trata, únicamente, de un ejercicio de matemáticas, como se va a ver:

??

0

t x t xy = 5cos2 + = 5 cos +

8 250 4 125

t x 44=5 cos + 5cos cos

4 125 5

t+2 x t x 2y=5 cos + 5 + 5cos

4 125 4 125 4 2

5 cos cos sen sen2 2

1

22

5sen

45 1 cos 5 1 3 cm

5

No debe sorprender la doble respuesta. El anunciado, aunque no lo parezca,es ambiguo. Para un determinado tiempo tiene una elongación de 4 cm ,pero... ¿se encuentra ascendiendo o descendiendo?. La respuesta lo es a lasdos posibilidades.

39 Una cuerda tiene uno de sus extremos S unido a un vibrador animado de unmovimiento vertical sinusoidal de amplitud 1 cm y frecuencia 100 Hz. El otroextremo está unido a un dispositivo que impide la reflexión de las ondas. Sien el instante t=0 el extremo S está en su posición de equilibrio yconsideramos que su desplazamiento de subida se toma como positivo, da laexpresión de la elongación yS de S en función del tiempo. Si las vibracionesse propagan con una velocidad de 30 m/s. Determina: a) longitud de onda. b)La expresión de la elongación de un punto M situado a 45 cm del punto S.Resolución:a) El cálculo de la longitud de onda es inmediato puesto que se conoce lavelocidad de propagación de la onda y su frecuencia:

vTv 30

1000 3, m

Ejercicios ondas/33

-1

Para el apartado b ︶ del ejercicio

-1

2π 2π v v 2k = = = 10π m λ = vT = ν = = = 10 Hzλ 0,2 ν λ 0,2

2πω = = 2πν = 20π sT

b) Deduciremos simultáneamente la ecuación que da la elongación tanto delfoco como del punto M a partir de la expresión general de la longitud de onda.Tal como dice el enunciado lo onda se desplaza en el sentido positivo del ejez:

aplicaremos la ecuacion tanto al foco2 S (z=0) como al punto M (z=0,45m)

1 2

2S

2M

A 10 m2 20 20 z

k m y 10 sen 200 t3 3

2 200 rad/s

y 10 sen200 t

y 10 sen 200 t 3

40 CL-J00 Se genera en una cuerda una onda transversal cuya velocidad depropagación es de 2 m/s, cuya amplitud es de 8.10-3 m y cuya longitud deonda es de 0,2 m. Determine:a) El nº de ondas y la frecuenciab) La velocidad máxima que pueden tener los puntos de la cuerdaResolución:a) A partir de las relaciones conocidas, resulta:

b) Se trata aquí de calcular la máxima velocidad con la que oscila una partículadel medio alcanzada por la perturbación. Estas partículas realizan un MAS ysu velocidad es variable (mientras que la de propagación de la onda esconstante y depende de las características del medio). Veamos el modo decalcular esa velocidad de oscilación:

y y senkx tdydt

y senkx t y kx t 0 0 0( ); ( ) cos( ) v = =ddt

=- osc

Y, para obtener el máximo de esa velocidad de oscilación habría que igualara cero su derivada...pero no es necesario. Como y0 y T son ctes, la funciónalcanzara su valor máximo cuando lo alcance el cos (kx-Tt)...pero el máximovalor de una función coseno (o seno) es 1 ( o -1 , si consideramos valoresabsolutos). Como se trata de obtener el valor numérico máximo de esavelocidad de oscilación, prescindiendo del hecho de que sea + (8) o negativa(9), resulta finalmente:

v =- vosc

mo 1

osc MAXy kx t y msvalor maxi

0 03 1810 20

425

cos( )

Ejercicios ondas/34

41 CL-J04 Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación:y=0,2 cos (2t-0,1x) (S.I.)

Calcule:a) La longitud de la onda y la velocidad de propagación.b) El estado de vibración, velocidad y aceleración de una partícula situada enx=0,2 m en el instante t=0,5 s.Resolución:a) De la comparación entre la ecuación dada y la general de una ondaarmónica, resulta:

b)

, luego para ese valor del tiempo y esa posición, la partícula se encuentraoscilando del modo siguiente:0,111 m por encima del equilibrio, con una velocidad 9 de 0,332 m/s y unaaceleración de -0,445 m/s2, lo que quiere decir que se encuentra en ese punto con una velocidad cada vezmenor. Como dicha velocidad es negativa, será mayor en valor absoluto.

42 Un foco puntual emite ondas a través de un medio material. La ecuación delmovimiento ondulatorio es y = 4 sen 2 B(t/6 + x/240) (cm). Se pide.determinar:a) La velocidad de propagación de la onda (módulo, dirección y sentido).b) La diferencia de fase para dos posiciones de una misma partícula cuandoel intervalo de tiempo transcurrido es de 1 segundo.c) Si el desplazamiento, y, de una partícula en un instante determinado es de3 cm., ¿cuál será su desplazamiento 2 segundos más tarde?Resolución:a) Comparando la ecuación dada con la general de una onda monodimensionalque se propaga a izquierda, se obtiene:

2 22 T s

T 2y(x,t) = 0,2cos(2t-0,1x 2 2

k 0,1 20 my(x,t)=Acos( t-kx) 0,1

20v 20m/ s

T

1

1 1(x 0,2m,t 0,5s)

1 1oscilacion

1oscilacion(x 0,2m,t 0,5s)

y(x,t) 2.10 cos 2t 0,1x

y 2.10 cos 2.0,5 0,1.0,2 2.10 .0,557 0,111m

dy dv 2.10 cos 2t 0,1x 4.10 sen 2t 0,1x

dt dtv 2.10 .2sen 2.0,5 0,1.0,2 0,3

1 1oscoscilacion

1 2oscilacion(x 0,2m,t 0,5s)

32m/ s

dv da 4.10 sen 2t 0,1x 8.10 cos 2t 0,1x

dt dta 8.10 cos 2.0,5 0,1.0,2 0,445m/ s

Ejercicios ondas/35

2t x T 6sy 4sen2 3 T6 2402

k 240cmy Asen t kx120

240cm =vT v= 40cm

T 6s

Nota: Aunque la velocidad de propagación o de fase se puede obtener másrápidamente, (haciendo nula la variación de la fase con el tiempo;

, este método permite obtener otros valores útiles para resolver d0 dt

otros apartados.b) Dos posibles modos de resolver este apartado:

1º) Si 2B es la diferencia de fase entre dos posiciones del mismo puntoobservado con un intervalo de 6s (T), x será la diferencia cuando se observacon un intervalo de 1s 6 x= B3 rad2º) A partir del concepto de fase:

11

1 12 1

12

2πt 2πx= +

2π t + 1 2πt π6 240 = - = - = rad2π t + 1 6 6 32πx

= +6 240

La x no varía por referirse al mismo punto.

Ejercicios ondas/36

C) Intensidad del movimiento ondulatorio. Absorción.

43 Una onda esférica que se transmite en un medio homogéneo e isótropo estáemitida por una fuente de 5 W. Calcula la intensidad de la onda a 3 m del focoemisor.Resolución:Sólo hay que aplicar la definición de intensidad:

I

PS

Pr

Wm

ondaesferica

45

4 35

362 22

44 El Sol posee una potencia aproximada de emisión de 2,7 x 1020 MW. ¿Quéintensidad luminosa se recibe en la Tierra?. ¿Y en Marte, que dista del Sol un50% más que la Tierra?.Resolución:La intensidad de una onda esférica es, por definición:

IPr

4 2

(1)

Siendo P la potencia que emite el foco y r la distancia del foco al punto en elque se quiere calcular la intensidad. En nuestro caso se trata de la Tierra que,sabido es, dista del sol, r=1,51011 m. Aplicando la relación anterior seobtiene:

IPrTierra

4

27 104 1510

954 92

26

11 2 ,

( , ),

W W

m2

Como el dato de Marte está ligado al de la Tierra, el mismo enunciado sugiereque efectuemos cálculos para ese planeta basados en los que sabemos del

nuestro. Del enunciado: . Si aplicamos r r rM T T 1532

,

la relación (1) tanto a Marte como a la Tierra, resulta:

II

Pr

Pr

rr

I Irr

M

T

M

T

T

MM T

T

M

4

4954 9

23

424412

2

2 2 2

, , Wm-2

45 Un movimiento ondulatorio que se propaga a través de un medio absorbentereduce su intensidad inicial a la mitad tras atravesar una capa de 6,93 cm.¿Qué grosor se debería poner para conseguir reducir la intensidad hasta un10% de la intensidad inicial?.Resolución:Los primeros datos se dan para poder hallar el coeficiente de absorción delmedio ($) a partir de la ley general de absorción: , donde I0 laI I eo

x

intensidad incidente (cuando comienza a atravesar el medio) , I la intensidadtras atravesar un espesor x de medio y $ una cte específica de cada medio(para una frecuencia dada) y, una vez obtenida, estaremos en condiciones deresponder a la pregunta .Nota que al ser el exponente adimensional, launidades de $ será la inversa de la de la longitud (x)

I I e e e L LL

I

ox

0 6 932

6 93 6 93

2 2 26 93 2

26 93

/

, ,,

,,

cm

I

I1 1

cm00

-1

Ejercicios ondas/37

y seguimos...I I e e L x

LL x

LL

cmI

o

xL

xLo0 1 2

6 932

6 93 012

6 9310

6 93 102

23 02,

, , ,,

,,

0,1= cm

46 Un haz de ultrasonidos posee una intensidad de 10-2 W/m2 al penetrar en unmedio absorbente de 1 m de espesor. Si a la salida la amplitud se ha reducidoa la cuarta parte, determina el coeficiente de absorción del medio.Resolución:El ejercicio se resuelve aplicando la ley de absorción, teniendo en cuenta queel dato es el de disminución de amplitud. Como la intensidad es directamenteproporcional al CUADRADO de la amplitud, si ésta se ha reducido a la cuartaparte, aquello lo habrá hecho a la dieciseisava parte, con lo que resulta:

I I eI

I e e L L LI

x

0

1

16

00

01

161

1616 16 4 2 277

m

m,

47 CL-S99 Una onda plana viaja a través de un medio absorbente,observándose que tras avanzar una distancia de 2 m suamplitud decrece de 10 cm a 4 cm. Calcule:a) El coeficiente de absorción del mediob) La amplitud de la onda tras atravesar otros 6 mResolución:Sabemos que en un medio absorbente la intensidad de una ondadisminuye al atravesar el medio según la ley: , siendo I0 la intensidadI I eo

x (1)

incidente (cuando comienza a atravesar el medio) , I la intensidad trasatravesar un espesor x de medio y $ una cte específica de cada medio (parauna frecuencia dada). Además también conocemos la relación entre laintensidad de una onda de la onda y su amplitud:

. Si combinamos (1) y (2) obtenemos una relación de aplicaciónI CA 2 (2)inmediata al ejercicio presente:

A A e x202 (3)

En (3) como la exponencial es adimensional, las unidades de A y A0 deben deser las mismas (pero no, obligatoriamente del SI)a) Sustituyendo en (3), resulta:

4 10 225

252

2 2 22

2

e e L L 4

10 (m )=0,916m-1 -1

Observa cómo las unidades de $ deben de ser m -1 pues hemos expresado enm el espesor del medio y el exponente debe de ser adimensional.b) “...tras atravesar OTROS 6 m, es lo mismo que tras atravesar 8 metrosdesde el principio (cuando la amplitud de la onda era de 10 cm). Se obtiene:

Ejercicios ondas/38

2 45 58L 8L2 2 2 2

4 4

A A 5 A 2 2A 10 e e 2L 8L L 4L L

10 10 2 10 5 5

A 2 2A 10 cm 0,256 cm

10 5 5

Nota.- Se ha tomado como inicial la intensidad cuando la amplitud era de 10cm y por eso se han considerado 8 m de medio. Si se hubiese tomado comoamplitud 4 cm, el espesor a considerar hubiese sido de 6 m ( y,evidentemente, el resultado, el mismo que el que se ha obtenido)

48 CL-S01a) Defina el concepto de intensidad de una onda.b) Demuestre que, si no existe absorción, la intensidad de una onda esféricaes inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco emisor.Respuesta:a) “Se define intensidad, I, de un movimiento ondulatorio en un punto, comola energía que atraviesa en la unidad de tiempo la unidad de superficiecolocada perpendicularmente a la dirección de propagación en ese punto. Enel SI se mide en Js-1.m-2 = W.m-2"b) Teniendo en cuenta la definición anterior y que un frente de onda esféricopresenta una superficie de valor 4Br2, se tiene, en este caso:

2 2

E P CtetIS 4 r r

Al ser P la potencia emisiva (que emite el foco )

49 Una horquilla coloca verticalmente está animada de un movimiento armónicode frecuencia 200 Hz y amplitud 1 mm, perpendicular a la superficie depropagación. Las perturbaciones producidas en dos puntos O1 y O2 sepropagan en la superficie del líquido a velocidad de 120 cm/s. Calcula: Elestado vibratorio de un punto P situado a 18 mm de O1 y 9 mm de O2

Resolución:Las ondas producidas en ambos focos son idénticas por lo que la combinaciónde ambas en el punto P, aplicando el principio de superposición, se puedeexpresar así:

1 2 1 2

R

y y y Asen kx t Asen kx t

A sen kx t

Siendo x1 y x2 las distancias respectivas de los focos O1 y O2 al punto POperaremos de modo análogo a los ejercicios anteriores para hallar la amplitudde la onda resultante:

Ejercicios ondas/39

1 1 2 2

1 2 R

senkx cos t coskx sen t senkx cos t coskx sen t senkxcos t coskxsen t

igualando cos t1 2 R

igualando sen t

A sen kx t A sen kx t A sen kx t

Asenkx+Asenkx =A senkx (1)

Acoskx

1 2 R+Acoskx =A coskx (2)

Elevando al cuadrado y sumando (1) y (2), resulta:

2 21 2 1 2

2 21 2 1 2

sen kx sen kx 2senkx senkx

22 2 21 2 R

22 2 21 2 R

cos kx cos kx 2coskx coskx

2 21 2 1 2 R

A senkx+senkx =A sen kx

A coskx+coskx =A cos kx

A 2 2senkx senkx 2coskx coskx A

...continuando las operaciones....

1 2

2 21 2 1 2 R

cosk x x

2 21 2 R R 1 2

2A 1 senkx senkx coskx coskx A

2A 1 cosk x x A A A 2 1 cosk x x (3)

Como A es constante, según (3), AR tomará un valor mínimo (nulo en estecaso) cuando:

cosk(x1-x2)=-1 6 k(x1-x2)=(2n+1)BY se habla de interferencia destructiva mientras que dicho valor es máximocuando:

cosk(x1-x2)=1 6 k(x1-x2)=2nB

Y se habla, en este caso de interferencia constructiva

¿Qué sucede en nuestro caso concreto?Como, tras calcular el número de onda, k, y x1-x2 se obtiene:

3

1 -31 2 1 2

10k m ; x -x =9.10 m k x -x 3

3

Al ser un nº impar de veces B, la interferencia es destructiva siendo nula laamplitud de oscilación de P, es decir; P no oscila.

50 Calcula la ecuación del movimiento resultante de dos funciones de la mismadirección dadas por: y1 = 3 sen 2t e y2 = sen (2t+B/2)Resolución:Se trata, en realidad, de un ejercicio de trigonometría. Hay que sumar dosfunciones correspondientes a dos MAS de la mima frecuencia y diferente

Ejercicios ondas/40

amplitud. Se puede entender como la interferencia de dos ondas en un punto.Al fijarse el punto sólo hay que estudiar la oscilación del mismo. Podemosplantear:

0 0

1 2 0

sen2tcos cos2tsencos2t

igualando sen2t0

igualandocos2t0

y y y 3sen2t sen 2t A sen 2t2

3 = Acos

1= Asen

Con lo que se obtiene un sistema cuya resolución da las dos incógnitas quese necesitan: la amplitud resultante y la fase resultante. Resolvamos elsistema:

elevando al cuadrado 0 ambas igualdades y sumando 2

0

3 = Acos10 A A 10

1= Asen

Observa que no se ha puesto unidades a A por cuanto no sabemos la de lasoscilaciones individuales (3 y 1).

Para hallar la incógnita que falta, la fase, procedemos así:

Dividiendo miembroamiembro 0 la ecuación inferior entre la superior

00

0

3 = Acos 1tg

1= Asen 3

1arctg 0,32rad

3

Con lo que el movimiento armónico resultante de la partícula situada en elpunto sobre el que inciden ambas ondas, viene dado por:

0y Asen 2t 10sen 2t 0,32

51 Dos ondas que se mueven por una cuerda en la misma dirección y sentido,tienen una misma frecuencia de 100 Hz, una longitud de onda de 2 cm y unaamplitud de 0,02 m. ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante, si las dosondas difieren en fase en B/6?Resolución:Es también, un ejercicio trigonométrico semejante al anterior. Resolveremosel ejercicio de forma general y se particularizará con los datos. Recuerda que,cuando se tenga que sustituir al final, en nuestro caso los datos son:

Ejercicios ondas/41

10

A 0,02m; 2 200 rad / s2 2

k 100 m ; rad0,02m 6

Si perder generalidad, se puede suponer que la fase inicial de una de las dosondas es nula y N0, la fase inicial de la otra onda, con lo que las ecuacionesde las dos ondas y de la resultante se pueden expresar, aplicando el principiode superposición, del siguiente modo:

1 2 0

R 0

y y y Asen kx t Asen kx t

A sen kx t

Siendo * la fase inicial de la onda resultanteVeamos el modo de proceder para obtener AR, que es lo que se pide:

Para simplificar los desarrollos llamaremos " a kx-Tt , con lo que se tiene:

0 R 0Asen Asen A sen

Si se desarrolla el seno de una suma que aparece en ambos miembros de laigualdad anterior, y se opera un poco, se obtiene:

0 0 0

R 0 0

igualando sen0 R 0

igualando cos0 R 0

Asen A sen cos cos sen

A sen cos cos sen

A+Acos A cos(1)

Asen A cos

Como sólo se pide AR, basta con elevar al cuadrado y sumar las dosigualdades anteriores, llegándose a:

2 2 2 sumandoambas igualdades 2 20 R 0

R 02 2 20 R 0

R 0

A+Acos A cosA 2A 1 cos

A sen A cos

A A 2 1 cos

Como puede verse, la amplitud resultante depende de la amplitud de las ondasy de la diferencia de fase entre ellas. Por esta razón, si la diferencia de faseno se mantiene constante (focos coherentes) , tampoco es constante la

Ejercicios ondas/42

amplitud de la onda resultante. Si se sustituyen los datos, resulta finalmente:

2 2RA 2 10 2 1 cos m 2 10 2 3m

6

Nota que si en en sistema (1) se hubiera dividido miembro a miembro, sehubiese obtenido la fase inicial de la onda resultante

Ejercicios ondas/43

52 Dos ondas se mueven en la misma dirección y cuyas ecuaciones escritas enel sistema CGS son: y1 = 5 sen(1000t-100x) e y2 = 5 sen(1000t+100x).Al interferir producen ondas estacionarias. Determina: a) La ecuación de laonda resultante b) Amplitud de los vientres c) Distancia entre nodosconsecutivos.Resolución:Aunque se dice expresamente, es evidente que la interferencia de las dosondas dadas produce una onda estacionaria ya que, ver ecuaciones, son dosondas iguales que se propagan en en sentidos opuestos.a) Obtengamos la ecuación de la onda estacionaria aplicando el principio desuperposición:

R

1 2

sen1000tcos100x cos1000tsen100x sen1000tcos100x cos1000tsen100x

A

y y y 5 sen 1000t 100x 5 sen 1000t 100x

2 5cos100xsen1000t

b) Los vientres son aquellos puntos que oscilan con amplitud máxima. Comola amplitud viene dada por:

RA 2 5cos100x Su valor máximo corresponde al valor 1 de cos100x y toma el valor:

, pues se opera en el SCGSR(max)A 2 5 10cm

c) Los nodos son aquellos puntos que no oscilan, o de otro modo; que oscilancon amplitud de oscilación nula. Se tiene en consecuencia, para esos puntos:

RA 0 cos100x 0 100x 2n 1 (n N)2

x= 2n 1 (ecuación de los nodos)200

¿Distancia entre nodos CONSECUTIVOS?. No hay mas que, en la ecuación delos nodos dar a n valores consecutivos, por ejemplo N y N+1:

N

N 1

2

N 1 N

x = 2N 1200

x 2 N 1 1200

x x 2 N 1 1 2N 1 cm200 100

Observa que, como se demuestra en teoría y se puede comprobar facilmente,la distancia obtenida es la mitad de la longitud de onda.

Ejercicios ondas/44

53 La ecuación de una onda estacionaria viene dada por: y = cos Bx/3 sen 2Bt(SI). Los límites del medio se hallan en x=0 y x=12 m. Se pide: a) Amplitudmáxima de vibración y amplitud de las ondas componentes. b) Longitud deonda y frecuencia c) La velocidad de propagación de la onda y de vibración deuna partícula situada en x=6 m en cualquier instante. d) Indicar si en cadaextremo hay un nodo o un vientre e) ¿Qué valor debe de tener x a partir delorigen para que exista un nodo?.Resolución:a) y b) Para extraer información, compararemos la ecuación dada de la ondaestacionaria con la general:

R

R R(max)

A

1

xA cos A 1mx 3y cos sen2 t

3 2A 1m A 0,5my 2Acoskxsen t

2 26m

kk m ; =2 rad/s 3

32

1Hz2 2

c) La velocidad de propagación de la onda estacionaria es nula por cuanto unaonda estacionaria, como su nombre indica, NO es una onda viajera. Si tienenvelocidad de propagación, las ondas que al interferir dan lugar a laestacionaria.La velocidad de vibración u oscilación de la partícula situada en x=6m encualquier instante (en función del tiempo) se obtiene del modo sabido:

osc

osc(x 6m)

1

xd cos sen2 t

dy x3v cos 2 sen2 tdt dt 3

6v cos 2 sen2 t 2 sen2 t

3

d) La amplitud de la oscilación de la onda estacionaria viene dada por:

Los vientres son aquellos puntos en los que la amplitud es máxima(cosBx/3=±1), luego los extremos (x=0 y x=12) son vientres por cuantoesos valores hacen que valga 1 el coseno .

R

xA cos

3

Ejercicios ondas/45

e) Los nodos tenían amplitud nula luego :

R

x x 3A cos 0 2n 1 x 2n 1

3 3 2 2

Dando valores a n (0,1,2, 3..) obtenemos la posición de los distintos nodos.Los valores respectivos que se obtienen son :3/2 m, 9/2 m, 15/2 m , 21/2 m( y no más pues el medio acaba para x=12 m). El primer nodo está situadopues en x=3/2m.