Determina¸ c˜ ao de Correntes em Circuitos El´ etricos Usando Decomposi¸c˜ ao de Cholesky e Pseudo-invers˜ ao Jos´ e V. da C. Sousa Ana C. M. R. Boso Cl´ovisA.Niiyama * Cristiane Bender * Pedro F. S. Othechar * Vanessa A. B. Pirani Faculdade de Ciˆ encias e Tecnologia, FCT, UNESP, 19060-900 Presidente Prudente, SP E-mail: [email protected], claudia - [email protected], [email protected], cris - [email protected], [email protected], [email protected]. RESUMO O presente trabalho exp˜ oe a resolu¸ c˜ ao dos sistemas lineares resultantes das leis de Kirchhoff, para determina¸ c˜ ao das correntes el´ etricas em la¸ cos do circuito. Analisamos particularmente o problema quando a matriz associada ao sistema ´ e sim´ etrica, usando a decomposi¸ c˜ ao de Cholesky caso essa matriz seja definida positiva e a pseudo-invers˜ ao quando o determinante da matriz ´ e zero. Existe o seguinte problema na an´ alise de circuitos el´ etricos: “dadas a resistˆ encia e a volta- gem aplicada em cada elemento do circuito, encontrar a corrente el´ etrica em cada um desses elementos”[2]. Qualquer problema de rede pode ser resolvido de uma forma sistem´ atica por meio de duas regras conhecidas como leis de Kirchhoff, que servem para ditar o comportamento das grandezas em uma rede composta por diferentes la¸ cos e n´ os. Estas s˜ ao as leis de Kirchhoff: 1. A soma alg´ ebrica das correntes (i j ) que fluem para um n´ o´ e nula, isto ´ e, i j = 0, (1) 2. A soma alg´ ebrica da diferen¸ ca de voltagem (V j ) em torno de qualquer malha da rede ´ e nula, isto ´ e, V j = 0, (2) Aplicando as leis acima obtemos um sistema linear que pode ser resolvido utilizando a Decomposi¸ c˜ ao de Cholesky e/ou o M´ etodo da Pseudo-invers˜ ao. A estrat´ egia do M´ etodo de Cholesky baseia-se no seguinte teorema. Teorema 1: Se A ´ e sim´ etrica, positiva definida, ent˜ ao A pode ser decomposta unicamente no produto GG t , onde G ´ e uma matriz triangular inferior com elementos diagonais positivos. Podemos aplicar a decomposi¸ c˜ ao GG t para obtermos a solu¸ c˜ ao de sistemas lineares. Por´ em, h´ a casos onde tal m´ etodo n˜ ao pode ser empregado, como quando a matriz associada ao sistema possui determinante nulo. Nesse caso podemos utilizar o m´ etodo da pseudo-invers˜ ao. De acordo com [4], se A ´ e uma matriz m×n com colunas linearmente independentes, designa- se por matriz pseudo-inversa de A a matriz n × m: A + = ( A t A ) -1 A t . A matriz pseudo-inversa de qualquer matriz A, mesmo n˜ ao sendo A t A invert´ ıvel, pode ser calculada a partir da decomposi¸ c˜ ao em valores singulares, A + = V Σ + U t , onde Σ + ´ e a matriz Σ + = D -1 0 0 0 * bolsista de Mestrado da CAPES 387 ISSN 1984-8218