212 phys. · زومر مادختسا يلاتلابو تاهجتمك نيتيمكلا نيتاه رابتعا انيلع بجي انه و تاهجتملا ناف ، ةينمز ةرتف

Phys 211Mechanics 1

211فيز 1الميكانيكا

المحاضرة الثالثة

Lecture 3

Motion i n TwoAnd Three Dimentions

المراجع لهذه المحاضرة

Book: Fundamentals of physics

By Jearl walker

P 58-72

+ P 75

But 4-8 and proof of Eq 4-34 not with us

: المرجع باللغة العربيةيناميكا الميكانيكا والد)كتاب الفيزياء للعلميين والمهندسين

(الحراريةجيويت. ، روبرت ج بكتر، جون وسيراويريموند أ : تأليف

(الحركة في بعدين)الفصل الرابع

االزاحة& الموضع

احدى الطرق العامة لوصف موضع جسيم بواسطة متجه موضعه ، والمرسوم من نقطة أصل لمجموعة احداثيات ما

.الى موقع الجسيمr

:ويعرف متجه االزاحة كاآلتي r

حيث ، ،و المركبات المتجهة ل والمعامالت ،

.، و مركباته القياسية

x iˆz kˆ y jˆrx

yz

𝑟𝑥

𝑟𝑦

𝑟𝑧 𝑟

االزاحة& الموضع

المعامالت ، ،و تمثل موضع الجسم في نظام احداثيات بالنسبة

لنقطة األصل، وهذا يعني أن الجسيم له االحداثيات المستطيلة

.

xz y

( x , y , z)

والذي ( 4.1شكل ) مثال على ذلك :يمثل جسيم مع متجه االزاحة

r = ( -3m ) iˆ + ( 2m) jˆ + ( 5m) kˆ

فاذا كان متجه . عندما يتحرك الجسيم، يتغير متجه موضعهاالزحة يتغير من الى خالل فترة زمنية معينة، فان

:متجة االزاحة خالل هذه الفترة الزمنية r1r2Δr

وباستخدام متجهات الوحدة، يمكن اعادة كتابة هذه االزاحة :كالتالي

االحداثيات تتوافق مع متجه اإلزاحة حيث. واالحداثيات تتوافق مع متجه اإلزاحة

( x1, y1 , z1)( x2 , y2 ,z2)

r1

r2

Δx = x2 ,وباستبدال – x1,Δy = y2 – y1Δz = z2 – z1

Δr = Δx iˆ + Δy jˆ + Δz kˆ

السرعة اللحظية& السرعة المتوسطة

Average Velocity and Instantaneous Velocity

اذا تحرك جسيم من نقطة ألخرى، فإننا قد نحتاج إلى معرفة ويمكننا ذلك من خالل تعريف . السرعة التي تحرك بها.ةالسرعة اللحظيوالسرعة المتوسطة الكميتين الفيزيائيتين

و هنا يجب علينا اعتبار هاتين الكميتين كمتجهات وبالتالي استخدام رموز .المتجهات

اذا قطع جسيم ما إزاحة نتيجة حركته خالل فترة زمنية ، فان :متوسط سرعته

Δ rΔtvavg

االزاحةالزمنية الفترة

= السرعة المتوسطة

وبالتالي فان اتجاه السرعة المتوسطة يجب أن يكون مطابقا :وبالتالي يمكننا كتابة . إلتجاه االزاحة

vavg

Δ r

اذا تحرك جسيم من موضعه االبتدائي الى موضع آخر : فمثلا :فان سرعته المتوسطة خلل هذه الحركة. خلل 2.0 s

12 i 3k

ةلها المركب( كمية متجهة)وبالتالي فان السرعة المتوسطة . في اتجاه المحور والمركبة في اتجاه محور

6.0 m/s

1.5 m/s xz

عندما نتحدث عن سرعة جسيم ما، فإننا نعني عادة السرعة .اللحظية للجسيم خالل زمن ما v

باستخدام التفاضل والتكامل، يمكن كتابة بأنها تفاضل :متجه الموضع بالنسبة للزمن

v

عندما . الشكل يعين موضع جسيم يتحرك في المستوى يتحرك الجسيم في اتجاه اليمين على طول المنحنى، فان

خالل فترة زمنية ، متجه . متجه ازاحته يمتد الى اليمينزاحة الجسيم ااالزاحة يتغير من الى وتكون

.

x y

r1r2Δ r

Δt

إليجاد سرعة الجسيم اللحظية، لنفرض t1اللحظة .

حيث تمثل انكماش للزمن من

.الى الصفر Δt

t1

..عندما تكون نهاية ، فان ومن المهم هنا ان اتجاه هو اتجاه الخط المماسي الذي

. ، وهو أيضا اتجاه (ظل الزاوية) هو

Δt → 0 vavg → vvavg

v

اتجاه السرعة االتجاهية اللحظية لجسيم ما دائما هي .المماس لمسار الجسيم بالنسبة لموضعه

v

يمكننا الحصول على نتيجة مماثلة في حال وجود ثالث أبعاد، حيث .دائما هي المماس لمسار الجسيم

v

, لكتابة بصيغة متجهات الوحدة v

:ويمكننا تبسيط المعادلة التالية بكتابتها بالشكل

:حيث المركبات القياسية لمتجه السرعة هي v

ويمكننا إيجاد . هي المركبة القياسية ل على طول محور . المركبات القياسية ل بمفاضلة المركبات القياسية للمتجه

𝑑𝑥

𝑑𝑡v

xr

v

.شكل يوضح متجة السرعة ومركباته القياسية و vxy

.الحظي أن هو المماس لمسار الجسيم بالنسبة لموضعه v

Average Acceleration and Instantaneous Acceleration

عندما تتغير سرعة الجسيم من الى خالل مدة زمنية ،فان متوسط التسارع خالل الفترة هو

v1v2

ΔtaavgΔt

= لعجلة المتوسطة االلحظية السرعة متجه في التغير

التغير هذا فيه يحدث الذي الزمن

وعندما تتغير العجلة المتوسطة لجسيم أثناء فترات زمنية التسارع ) مختلفة، من المفيد أن تعرف عجلتها اللحظية

:كاالتي( اللحظي a

:ملحظة

يجب أن يكون ألي جسيم تسارع ، اذا تغير (. كلهما) مقدار سرعته او اتجاهها أو v

يمكننا كتابة متجة التسارع بواسطة متجهات الوحدة :كاآلتي

a

aحيث المركبات القياسية للمتجه هي

إليجاد المركبات القياسية ل ، نفاضل المركبات القياسية ل .

av

الشكل التالي يوضح متجه التسارع و مركباته القياسية .لجسيم يتحرك في بعدين

a

متجه التسارع ال يمتد من نقطة ألخرى، ولكنه يظهر اتجاه .التسارع لجسيم يقع في ذيله، ويمكن رسم طوله بأي مقياس

حركة المقذوفاتProjectile Motion

:سنعتبر حالة خاصة من الحركة في بعدينجسيم يتحرك في مستوى بشكل عمودي وله السرعة

االبتدائية ، وتسارعه دائما هو تسارع السقوط الحر .واتجاهه الى أسفل

vog

مثل هذا الجسيم يسمى مقذوف وحركته تسمى حركة .المقذوفات

وهذا . الحركتان األفقية والعمودية مستقلتان تماما عن بعضهمايعني أن الحركة في اتجاه معين ال تؤثر على الحركة في اتجاه

.آخر

.وهنا سوف نفترض ذلك، أنه ال يوجد تأثير على حركة المقذوفات

االتجاه الموجب لمحور االحداثيات يكون أفقيا وفي اليمين، واالتجاه الموجب لمحور االحداثيات يكون

.عموديا ولألعلى

x

y

:يمكن كتابة سرعة المقذوف االبتدائية على النحو التالي v0

المركبات و يمكن إيجادها اذا علمنا قيمة الزاوية بين :واالتجاه الموجب لمحور االحداثيات x

v0xv0yθ0

v0

متجه الموضع للمقذوف و متجه خالل الحركة في بعدين، ولكن متجه التسارع يكون ، السرعة يتغيران باستمرار

.دائما ثابت ويتجه عموديا ألسفل في حالة الحركة العمودية.ليس للمقذوف تسارع أفقي

a

rv

:مالحظةكضعف للحركة في بعد واحد ) حركة المقذوفات، تظهر الحركة في بعدين

(.بشكل منفصل ومبسط

للحركة )واآلخر تسارعه مساويا للصفر ويكون ( البعد األفقي) أحدهما .تسارعه ثابتا ولألسفلويكون ( العمودية

بسبب عدم وجود تسارع في االتجاه األفقي، فان المركبة األفقية لسرعة المقذوفات ال تغير قيمتها االبتدائية

.خالل الحركة

vxv0x

خالل أي زمن ، االزاحة األفقية للمقذوف من الموضع االبتدائي والذي له ، تعطى بالصورة

x - x0

a = 0 x0

t

القانون الثاني للحركة

v0xوألن ، يمكن كتابة = v0 cos θ0

(1)

. الحركة العمودية هي الحركة لجسيم يسقط سقوطا حرا .ومن المهم أن يكون تسارعه ثابت

(2)

القانون الثاني للحركة

وحيث أن مركبة السرعة العمودية االبتدائية يمكن استبدالها ب ، يمكننا الحصول على

v0y

v0 sin θ0

القانون األول للحركة

القانون الثالث للحركة

The Equation of the Path

.يمكننا ايجاد معادلة مسار المقذوفات (trajectory)

(1)

y - y0 = (v0 sin θ0 )t – ½ gt2 (2)

بالنسبة ل ثم التعويض عن( 1)بحل المعادلة ، ووضع للتبسيط وبإعادة (2)في المعادلة

: ترتيب المعادالت نحصل على

t txo = 0 , yo= 0

(3)

:تذكري

تأخذ الشكل ( 3)ألن ثوابت، فان المعادلة . وهي معادلة القطع المكافئ

vo, θo, gy = ax + bx2

The Horizontal Range

المدى األفقي للمقذوف هو المسافة األفقية التي يقطعها .المقذوف في ضعف الزمن الذي يأخذه لكي يصل الى القمة

R

إليجاد قيمة المدى ، دعنا نضع و لنحصل على

x – xo = Ry– yo = 0 R

بالتخلص من بين هاتين :المعادلتين نحصل على

t

:باستخدام القانون التالي ، نحصل على Sin 2θo = 2 sin θo cos θo

هذه المعادلة ال تعطي المسافة األفقية المقطوعة بواسطة -1المقذوف عندما يكون االرتفاع النهائي غير مساوي لالرتفاع

اذ البد ان يهبط ( مثل كرة السلة، ) االبتدائي المقذوف عند نفس االرتفاع الذي بدأ منه

يكون المدى األفقي أكبر ما يمكن عندما تكون الزاوية -2. تساوي ( زاوية انطالق المقذوف )االبتدائية

R

45˚

Basket ball

𝑦 = 𝑦𝑜

يتحرك الجسم في مسار دائري منتظم اذا تحرك حول دائرة أو .ثابتة( منتظمة) مسار دائري بسرعة

بالرغم من ثبات قيمة السرعة ، اال أن الجسم يتسارع بسبب تغير اتجاه . السرعة

الشكل يوضح العالقة بين متجهات السرعة والتسارع لمراحل مختلفة

كال . خالل الحركة الدائرية المنتظمةالمتجهين لهما مقدار ثابت، ولكن

. اتجاهاتهم تتغير وبشكل منتظمتكون السرعة دائما هي مماس الدائرة

.بالنسبة التجاه الحركة

ويكون التسارع دائما باتجاه مركز (.للداخل) الدائرة

:المقدار لهذا التسارع a

.حيث هي نصف قطر الدائرة ، و هي سرعة الجسيم rv

باإلضافة لذلك، خالل هذا التسارع و السرعة الثابتة، فان :خالل زمن ( مسافة ) الجسيم يقطع محيط الدائرة 2Πr

. تسمى زمن الدوران، أو للتبسيط زمن الحركةحيثوبشكل عام، هي الزمن اللزم للجسيم ليقطع مسار

.مغلق تماماا مرة واحدة

T

المحاضرة الثالثة

يركض رجل في مواقف سيارات مرسومة فيها احداثيات المحاور، بحيث ان :على الصورة ( ثواني)كدالة في الزمن ( بالمتر)احداثيات موضع هذا الرجل

t=15 secعند

.بداللة ومقداره واتجاهه𝑟 متجه الموضع للرجل ماهو-أ .𝑣 اوجدي سرعة الرجل االتجاهية-ب

.𝑎اوجدي تسارع حركة الرجل-ج

(a)

المحاضرة الثالثة(b)

متطلبات تمارين حركة المقذوفات بزاوية كما هي موضحة بالشكل

All Groups

قذف حجر الى اعلى جدار ارتفاعه 42m/sبسرعة مقدارها h-أ

𝜃𝑜وبزاوية = فوق المستوى االفقي كما في الشكل، فوصل 60:من القذف، اوجديsec 5.5بعد زمن قدره Aالحجر الى النقطة

.hارتفاع الجدار -1.Aسرعة اصطدام الحجر بالجدار عند النقطة -2

.اقصى ارتفاع يصل اليه الحجر فوق سطح األرض-3