210 平均 値 の a - Ryukoku Universitykawakami/lecture/Calu...② 五、2.12 (Candy の平均値 の定理) f.fi Ea 、 b]上連続かっLab) 上微分可能 㱺 ヨSeca b) st.fi/g1b)-gk)/=f4S)H1

第 7 回 の五、210 (平均値 の 定理 )f [a

.b] 上 連続 かつ lab) 上 微分可能

⇒ が Elab) st . f (b) = fat 桁) (b -a)

prf 拗斗 (a )と おきた =

b.o.FM= f (b) - fpc) - 友 (ba) に

ロルの定理

を 考える.F ( b) = Flak 0) な ので Th .29 より

F'

(D = 0 と なる Stab) が 存在する

形か -.-拗 t た な ので F'

13 ) = - HS ) t た = 0

fib) -ha )i. f '( 5) = b.at k

Gr、2

.

11-

f : [a . b] 上 連続 が lab) 上 微分可能i) fkpohctca.is ) ⇒ fは Iab] 上 狭義単調増加

はいく 0 ) (減少)

が fk, o Head)⇒ fは たい 上 単調増加

(fInfo ) (減少)

i) 折に 0 kt lab) ⇒ fは定数関数

②五、 2.12 ( Candy の 平均値 の 定理 )

f.fi Ea 、b] 上 連続かっ Lab) 上 微分 可能

⇒ヨ Seca . b) st.fi/g1b)-gk)/=f4S)H1の 一桁

特に fた) も 0 かつ flb) 一%) キ 085ば

数がで一 = 鍵prd.FI?c):=fgM-gaIffcb).fa1-fglb)-ga1ffm-falて おく と

、 F (b) = Fla) に 0) なので 17.29 H

F行) = 0 と なる S Elab) が 存在する。

FM = f'の例) - feat -栃 伽は行 なので

F行) = 垳 ) {ftp.fal-figfflb)が 1 = 0 /

不定形 の極限-2→ No の とき.fm → 0 かつ gk ) → 0 と する

。

(o) (み)このとき

、

指。 な物

を 8 形 の 不定形 の 極限という、

は)fm → 0

, GM → o (っい た) の とき。

喬。

物 ga) は 0 - o 形 の 不定形 の 極限という

L'[email protected](ロピタル の 定理)

ii) f.fi た の近傍 で定義 されている 。

ただし fr . 81%) は 定義 されて い なくとも よい.

N -)で の 2き た) → 0 、 GK) -1 0

"

(っい た。 +0 ) (N ) Co) 上,

\と

al) かつ に加

右 極限になる fg は No 以外 で 微分 可能で 物 も0

まで は ⇒ 様 河拗

=1 が 存在すれば 摂 揃 = l

が1 0 -) まで の\,

n- 0 ⇒ が一・ lfe ) には 北 でも よい )

なので、

Il は o で も よい )

(ii) fg : 十 分 大きな 死 について 定義 されている。

つい o の とき fm → 0, 8 M → 0

かつ (o ) は)

f. g は 微分 可能 で 十分 大きな 人 に対して リキ 0

⇒ 岩河揃

=1 が 存在すれば 様 鼎t.pt#いい のみ 示す か ) も ほぼ同様)必要があれば た。) = 81%に02 定めればf. g は 区間 [がつけ 又は [で初 において Th . 2 12 の 仮定をみたす ので

、

ヨTE は、か st、 彭 拓廻

)= ft

.

1 %化 の 場合)

つい た のとき 明らかに I -) が なので

様 撚 t.fr = 蕊鋏.ee

④§

.

24 微分 の応用・ fbc ) は I こ [a. b] における 凸 関選 (convex func )断

Kd E 10. 1 )、

㽗、12 EI with かくた

f (のい 」 (は )が) E の 扱い ) t (1-の%に) と

特に凶 で等号 なしの とき、

狭義 の 凸 関数とよばれる。また、

は、 の扮 +11の拓)・ 杉 は I における 1凹 関数 bj .I婚I において 一物が 凸関数 eines

せい き て2

Pyi24 のいいかな

f : I において 凸 関数(狭義)

HD- に).

Ya、ったのは には⇒ 格か!ーー"ETがたくたK)

が出た一つに とおく と の E 10 . 1 ) で(ニ)) メ =

の 一ついってつ( 2 = dが t (トの% と なる。

仮定より fは 凸 なので

fbh) = f (い +1トメ )かつ 塁 の fbl) t (は ) fpb)

が器物 + 器物)

⑤(E) T.ME I with かくか z な E (al ) に対 に

つい dた t (1-d)12 E にい た)

な ので 、仮定より たま の がきーfarfa ) 扱い -杉かつ4- E-

これより

物 e がや_fa ) t 𥐮'

_た)

= の f仏 ) + 1 1- d ) f名) 4

Th . 2 15-

f : I = [a . D 上 連続 .la b) 上 2回微分可能(i) f が I において 凸 関数⑦ f "が 不 0 た Elab)

が 招い 70 た Elab)⇒ f は I において 狭義 凸 関数(⇐ ) は成立 しない

.et)が) =が 、 拓 二0 なので

.

PI (か について 示す )や) Prop. 2 -

14 よりfarfa)

、 T.am Elab)-幽幻 E

た一人~

with かくかくな

⑥両辺 において つくっ た と する と

f名) -松 )fk.IEがかつて

同様 に なっ た と する と、

_

挧一枷← f伽)

.の一つ4

よ、て f仏 ) と 扱い で あり、

杉 は lab) 上 単調増加なので、

Gr 211 より f "の 7 0.

⇐) G .2 1 1 より fk ) は lab) 上単調増加

、

りくいた か E I with が くたくた に対して、

Th、2:10 より

HD - 松 ) = (たか ) がつい +0.1なか)

fM) -81た) = わーた) f'

(つに+021かな)となる A

,0 2 E 10 . 1 ) が 存在する ことで

a く が +0,1たか く た +02 (かた) < b小 木

にいた ) の 点 (たか ) の 点

なので 拗 の 単調性 より挧一枷型で対一四

= f 'は 、 +0,1たか) Ef 方に+021たが 二

T.tnProp . 24 より 扣 は 凸 関数 y

⑦関数 の 極限-は % において 極大 } あわせて 極値 という

。

1極小)媽なっos.t.fm E た。) fr た E (対、

対 )

に)

五、 2.16f : Ia . b ) 上 微分 可能 、

つい た に おいて た)が極値をとる ⇒ 抜。) = 0

"等。 で 物 が 極大値を とる と する

、

この とき

寺 > o st.com?eefO(akf). 7,0 (-8くん く0)

したがって ht 0 および MO と して

(h」 +0 ) (h 」 -0)

f仏) = f Do) < 0 .f '1%に北伽) 30 人 振に0 ,

Th . 2 17-

f E Cyan) かつ f知 =0 1% Glam)

も し f知っ o ⇒ 物 は ついにおいて_

鵂の 極小K) f (極大)ehl www. 等号 なし の饠 廰でない

。

⑧𦥯fk。) = 0 .毮) 7 0 とする 振) は つに% で連続 なので

なっ o s t.fm) 7 0 for txt No- 8 ,Hot f)

.

よ、て fk) は 1つは、 が8) で 狭義単調増加 である.

fk 。) = 0 よりx E (が f.to) ⇒ f分 < 0

.

NE ( No ,Not f) ⇒ fk) 7 0

な ので'

RE a - 8、加 ) で fm は 狭義単調減少

、

NEと 、%+8 ) で 扣 は狭義単調 増加

である よって、

RE (が 8,Hot 8) かっ て き た で

fm > f 1%)と なり た ) は 九 二 % で狭義 の 極小 と なる

。 (が 、物 ) が変曲点

defness

⇐) が% を 境にし てた) が、

凹 から 凸 又は その逆 になる(下 に 凸 ) 正に凸 )

物が% の近傍 で C級が 1%物 )が変曲点 ⇒ 核に 0.