2.1. Estad´ıstica Descriptiva Bivariada

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de MatematicaCampus Santiago

a

a

a

a

a

a

a

Recopilacion de Ayudantıas

de Estadıstica

MAT031

Primer Semestre de 2010

a

a

a

a

a

Profesor : Enzo HernandezAyudante : Hugo Salazar Riquero

Indice

1. Ayudantıa 1 41.1. Estadıstica Descriptiva Univariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Estadıstica Descriptiva Bivariada (Ajuste de Rectas) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Ayudantıa 2 122.1. Estadıstica Descriptiva Bivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Teorıa de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Probabilidad Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Aplicacion Probabilidad Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Ayudantıa 3 203.1. Probabilidad Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2. Extras (Cadenas de Markov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Ayudantıa 4 284.1. Ejercicios Certamen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5. Ayudantıa 5 345.1. Variables Aleatorias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2. Extras (Convergencia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3. Anexos (Variables Aleatorias Discretas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6. Ayudantıa 6 436.1. Variables Aleatorias Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2. Anexos (Variables Aleatorias Continuas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7. Ayudantıa 7 597.1. Distribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2. Cambio de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.3. Funcion Generadora de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.4. Extras (Demostracion VAD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8. Ayudantıa 8 668.1. Ejercicios Certamen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9. Ayudantıa 9 729.1. Vectores aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729.2. Extras (Vectores Aleatorios) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.Ayudantıa 10 8010.1. Vectores aleatorios Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8010.2. Cambio de Variables en Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

11.Ayudantıa 11 8611.1. Estimacion Puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.1.1. Metodo de los Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.1.2. Maxima Verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

12.Ayudantıa 12 9112.1. Maxima Verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

13.Ayudantia 13 10113.1. Intervalos de Confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10113.2. Test de Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

14.Ayudantıa 14 10914.1. Ejercicios Certamen 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

14.1.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10914.1.2. Maxima Verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


a

1. Ayudantıa 1

1.1. Estadıstica Descriptiva Univariada

1. En una empresa se considera la siguiente muestra correspondiente a la resistencia de 50 lotesde algodon, medidas en libras necesarias hasta romper una madeja.

74 87 99 88 90 101 91 83 97 94105 110 99 94 104 97 90 88 89 9079 105 96 93 93 90 91 102 94 106101 96 97 103 108 90 102 91 76 109110 94 101 97 106 86 88 97 107 107

a) Construya una tabla de frecuencia.

b) Calcular X y s usando el metodo codificado.

Desarrollo:

a) k = numero de clases

k = 1 + 3, 3 log(n) = 1 + 3, 3 log(50) = 6, 6 =⇒ k ' 7

Rango (R) = Dato mayor − Dato menor = 110− 74 = 36Rango de la muestra (Rm) = R+1 = 36 + 1 = 37Ancho del intervalo:

I ' Rm

k=

37

7=⇒ I ' 6

Exceso:A = I · k −Rm = 6 · 7− 37 =⇒ A = 5

Lımites del intervalo: li: Lımite inferior, Li: Lımite superior

i) si A es impar =⇒ li = dato menor − A

2

ii) si A es par =⇒ li = dato menor − A

2− 1

2

Lımite superior ⇒ Li = li + I

=⇒ l1 = 74− 52

= 71, 5=⇒ Li = 71, 5 + 6 = 77, 5

MAT031 HSR 4


Con esta informacion ya podemos construir la tabla de fecuencia:

Clase MCi Limites ni Ni fi Fi di nidi nid2i

C1 74,5 71,5 - 77,5 2 2 0,04 0,04 -3 -6 18C2 80,5 77,5 - 83,5 2 4 0,04 0,08 -2 -4 8C3 86,5 83,5 - 89,5 6 10 0,12 0,20 -1 -6 6C4 92,5 89,5 - 95,5 14 24 0,28 0,48 0 0 0C5 98,5 95,5 - 101,5 12 36 0,24 0,72 1 12 12C6 104,5 101,5 - 107,5 10 46 0,2 0,92 2 20 20C7 110,5 107,5 - 113,5 4 50 0,08 1 3 12 36

Aparte:

i) Frecuencia Absoluta:k∑i=1

ni = n

ii) Frecuencia Absoluta Acumulada:Ni

iii) Frecuencia Relativa:

fi =nin

iv) Frecuencia Relativa Acumulada:

Fi =Ni

n

v) Formulas para la media:

X =1

n

n∑j=1

xj

X =1

n

k∑i=1

niMCi

X = MC0 +1

nI

k∑i=1

nidi

MAT031 HSR 5


vi) Formulas para la Varianza:

s2 =1

n

n∑j=1

X2j −X

2

s2 =1

n

k∑i=1

ni(MCi −X)2

s2 = I2

1

n

k∑i=1

nid2i −

(1

n

k∑i=1

nidi

)2

b) Dado que se pide calcular X y σ2 usando el metodo codificado, las formulas a usar son:

i) Media (X):

X = MC0 +1

nI

k∑i=1

nidi

= 92, 5 +1

506

7∑i=1

nidi

= 92, 5 +1

50· 6 · 28

∴ X = 95, 86

ii) Desviacion estandar (s):

s2 = I2

1

n

k∑i=1

nid2i −

(1

n

k∑i=1

nidi

)2

= 62 ·

1

50

7∑i=1

nid2i −

(1

50

7∑i=1

nidi

)2

= 36 ·

[1

50· 120−

(1

50· 28

)2]

s2 = 75, 11

∴ s = 8, 66

2. El departamento de personal de una cierta firma realizo un estudio sobre los salarios enunidades monetarias (u.m.) de 120 funcionarios del setor administrativo, con los siguientesresultados:

MAT031 HSR 6


Salario / Salario Mınimo Frecuencia Relativa0 - 2 0,252 - 4 0,404 - 6 0,206 - 10 0,15

a) Calcule la media, mediana, varianza y desviacion estandar.

b) ¿Que ocurre con la media si se aumentan los salarios en 100 %?, ¿y con la varianza?.Justifique.

c) ¿Que ocurre con la varianza si se aumentan los salarios en 0,8 u.m? Justifique.

Desarrollo:

a) Primero es necesario completar la tabla:

Salario / Salario Mınimo MCi ni Ni fi Fi0 - 2 1 30 30 0,25 0,252 - 4 3 48 78 0,40 0,654 - 6 5 24 102 0,20 0,856 - 10 8 18 120 0,15 1

i) Media:

X =1

n

k∑i=1

niMCi

=1

120

4∑i=1

niMCi

=1

120· 428

∴ X = 3, 65

ii) Mediana:

Me = lMe +n2−N−Me

nMe

I

= 2 +1202− 30

48· 2

∴ Me = 3, 25

MAT031 HSR 7


iii) Varianza:

s2 =1

n

k∑i=1

ni(MCi −X)2

=1

120

4∑i=1

ni(MCi − 3, 65)2

∴ s2 = 5, 12

iv) Desviacion:

s =√s2

s = 2, 26

b) i) Media:

Sea MC∗i = 2MCi, por lo que tenemos que la media es:

X∗

=1

n

k∑i=1

niMC∗i

X∗

=1

n

k∑i=1

ni2MCi

X∗

= 21

n

k∑i=1

niMCi

X∗

= 2X

Por lo tanto el promedio aumenta al doble (X∗

= 7, 3)

MAT031 HSR 8


ii) Varianza:

s2∗ =1

n

k∑i=1

ni(MC∗i −X∗)2

=1

n

k∑i=1

ni(2MCi − 2X)2

=1

n

k∑i=1

ni(2(MCi −X))2

=1

n

k∑i=1

ni4(MCi −X)2

= 41

n

k∑i=1

ni(MCi −X)2

∴ s2∗ = 4s2

Por lo tanto la varianza aumenta cuatro veces su valor (s2 = 20, 48).Finalmente podemos decir que si aumentamos el sueldo en un 100 % en promedio au-menta al doble y la varianza se cuadruplica.

c) En el punto anterior vimos que si aumentamos el sueldo en a entonces la varianzaaumentara en a2, por lo que al aumentar los sueldos en 0, 8 u.m. la varianza aumentaraen (0, 8)2.

1.2. Estadıstica Descriptiva Bivariada (Ajuste de Rectas)

1. La tabla muestra las edades y la presion sanguınea de 12 mujeres adultas

Edad X 56 42 72 36 63 47 55 49 38 42 68 60141 125 167 118 149 128 155 140 113 140 158

Presion Sanguınea Y 147 128 160 119 155 132 145 150 117 143 146 150153 122 153 117 143 124 150 115 137 152 160

a) Encontrar los coeficientes del modelo de regresion lineal.

b) Calcule el coeficiente de correlacion. ¿Existe realmente una tendencia lineal?

c) Estime la presion sanguınea de una mujer de 45 anos de edad.

Desarrollo:

MAT031 HSR 9


a) Primero debemos organizar las datos como datos pareados:

X 56 42 72 36 63 47 55 49 38 42 68 60

Y 147 125 160 118 149 128 150 145 115 140 152 155

Y = aX + b

X =1

n

12∑i=1

xi = 140, 33

Y t =1

n

12∑i=1

Y i = 52, 33

a =cov(X, Y )

s2x

=

1

n

12∑i=1

xiY i − (X Y t)

1

n

12∑i=1

x2i −X

2

=147, 73

132, 71⇒ a = 1, 11

b = Y − aX = 52, 33− 1, 11 · 140, 33 = 82, 10

Por lo tanto los parametros del modelo son: a = 1, 11 y b = 82, 10.

b) Coeficiente de correlacion:

ρ =cov(x, y)

sxsy

=147, 53

11, 52 · sy

Aparte:

sy =

√√√√ 1

n

12∑i=1

(Y i)2 − (Y t)2

=√

19901, 8− (140, 33)2

=√

209, 32

= 14, 47

Por lo tanto:

ρ =147, 53

11, 52 · 14, 47= 0, 886

Como ρ ∈ [−1;−0.7] ∪ [0.7; 1] entonces es posible decir que existe una relacion linealentre las variables.

MAT031 HSR 10


c) Para hacer la estimacion, basta reemplazar la edad en la formula obtenida:

Y = aX + b

con:

X = Edad de la mujer.Y = Presion sanguınea.

Y = aX + b

= 1, 11X + 82, 10

= 1, 11 · (45) + 82, 10

∴ Y = 132, 18

Por lo tanto la presion sanguinea de una mujer de 45 anos sera aproximadamente de132.

MAT031 HSR 11


2. Ayudantıa 2

2.1. Estadıstica Descriptiva Bivariada

1. En el prestigioso hospital de La Florida, a 50 pacientes se les administra una sustancia quese identifica con la letra C en miligramos, considerando como segunda variable la edad Emedida en anos, tal como se muestra en la siguiente tabla de contingencia:

MCE \MCC 15 20 25 30 35 ni·

20 4 2 2 830 2 6 3 1 1240 2 5 4 3 1450 2 3 6 1160 2 2 1 5

n·j 6 12 15 13 4 50

a) Calcular el promedio de cada variable.

b) Calcular s2C y s2

E.

c) Calcule el coeficiente de correlacion muestral.

d) Calcule las medias condicionales para C y E.

e) Calcule las varianzas condicionales para C y E.

f ) Analice independencia entre C y E.

Desarrollo:

Primero debemos ampliar la tabla a:

dj -2 -1 0 1 2di MCE \MCC 15 20 25 30 35 ni·

-2 20 4 2 2 8-1 30 2 6 3 1 120 40 2 5 4 3 141 50 2 3 6 112 60 2 2 1 5

n·j 6 12 15 13 4 50

MAT031 HSR 12


a)

C = MC0 +1

nIC

k∑j=1

djn·j = 25 +1

50· 5 ·

5∑j=1

djn·j = 24, 94

E = MC0 +1

nIE

k∑i=1

dini· = 40 +1

50· 10 ·

5∑i=1

dini· = 38, 6

b)

s2C = I2

1

n

k∑j=1

njd2j −

(1

n

k∑j=1

njdj

)2

= 52

1

50

5∑j=1

njd2j −

(1

50

5∑j=1

njdj

)2

= 52

[65

50−(−3

50

)2]

∴ s2C = 32, 41

s2E = I2

1

n

k∑i=1

nid2i −

(1

n

k∑i=1

nidi

)2

= 102

1

50

5∑i=1

nid2i −

(1

50

5∑i=1

nidi

)2

= 102

[75

50−(−7

50

)2]

∴ s2E = 148, 04

c) Coeficiente de correlacion muestral

ρ =cov(E,C)

sEsC

cov(E,C) =1

n

(r∑i=1

s∑j=1

nijMCiMCj

)− (E · C)

=1

50

(5∑i=1

5∑j=1

nijMCiMCj

)− (24, 94 · 38, 6)

=1

50· 49700− 962, 684

= 31, 316

MAT031 HSR 13


=⇒ ρ =31, 316

5, 69 · 12, 17= 0, 45

d)

XEj =1

n·j

k∑i=1

MCEinij

XE1 =1

6· (20 · 4 + 30 · 2) = 23, 3

XE2 =1

12· (20 · 2 + 30 · 6 + 40 · 2 + 50 · 2) = 33, 3

XE3 = 40

XE4 = 46, 92

XE5 = 45

XCi =1

ni·

k∑j=1

MCCjnij

XC1 =1

8· (15 · 4 + 20 · 2 + 25 · 2) = 18, 75

XC2 =1

12· (15 · 2 + 20 · 6 + 25 · 3 + 30 · 1) = 21, 25

XC3 = 27, 85

XC4 = 26, 81

XC5 = 29

e)

s2Ej

=1

n·j

k∑i=1

nij(MCEi −XEj)2

s2E1

=1

6· (4 · (20− 23, 3)2 + 2 · (30− 23, 3)2) = 22, 2

s2E2

=1

12· (2 · (20− 33, 3)2 + 6 · (30− 33, 3)2 + 2 · (40− 33, 3)2 + 2 · (50− 33, 3)2) = 88, 8

s2E3

= 146, 6

s2E4

= 67, 45

s2E5

= 75

MAT031 HSR 14


s2Ci

=1

ni·

k∑j=1

nij(MCEj −XEi)2

s2C1

=1

8· (4 · (15− 18, 75)2 + 2 · (20− 18, 75)2 + 2 · (25− 18, 75)2) = 17, 18

s2C2

=1

12· (2 · (15− 21, 25)2 + 6 · (20− 21, 25)2 + 3 · (25− 21, 25)2 + 1 · (30− 21, 25)2) = 17, 18

s2C3

= 23, 98

s2C4

= 14, 87

s2C5

= 22

f ) Sea:

fi· =ni·n

f·j =n·jn

fij =nijn

Las variables son independientes si y solo si se cumple que:

fij = fi· · f·j

Para esto es necesario escoger un i y un j cualquiera y verificar si se cumple dichacondicion, por ejemplo tomemos i = 4 y j = 3

fij = f43 =3

50

fi· = f4· =11

50

f·j = f·3 =15

50

¿3

50=

11

50· 15

50? =⇒ 0, 06 6= 0, 66

Por lo tanto las variables E y C no son independientes.

MAT031 HSR 15


2.2. Teorıa de Probabilidades

1. Se escogen 3 lamparas, de un total de 15, de las cuales 5 son defectuosas.

a) Determinar la probabilidad de que ninguna sea defectuosa.

b) Determinar la probabilidad de que exactamente una sea defectuosa.

c) Encuentre la probabilidad de que al menos una sea defectuosa.

d) Determine la probabilidad de que la tercera sea la primera defectuosa.

e) Determine la probabilidad de que la tercera sea la segunda lampara defectuosa.

Desarrollo:

a) Sea P(A)= Probabilidad de que ninguna lampara sea defectuosa

P (A) =

(103

)(50

)(

153

) = 0, 264

b) Sea P(A)= Probabilidad de que una lampara sea defectuosa

P (A) =

(102

)(51

)(

153

) = 0, 495

c) Sea P(A)= Probabilidad de que al menos una lampara sea defectuosa

P (A) =

3∑i=1

(10

3− i

)(5i

)(

153

)

P (A) =

(102

)(51

)(

153

) +

(101

)(52

)(

153

) +

(100

)(53

)(

153

) = 0, 736

MAT031 HSR 16


d) Sea P(A)= Probabilidad de que la tercera lampara extraıda sea la primera defectuosa

P (A) =

(102

)(50

)(

152

) · 1

5= 0, 086

e) Sea P(A)= Probabilidad de que la tercera sea la segunda lampara defectuosa

P (A) =

(101

)(51

)(

152

) · 1

4= 0, 095

2. Segun estudios estadısticos se ha determinado que el 60 % de los pasajeros en vuelo matinalpide desayuno caliente, mientras que los restantes lo piden frıo. Para cada uno de estos vuelos,el avion dispone a bordo de 72 desayunos calientes y 48 desayunos frıos. En una manana110 pasajeros toman el avion. Determinar la probabilidad de que cada uno de los pasajerosreciba el desayuno adecuado.

Desarrollo:

Sea P(A)= Probabilidad de que cada pasajero reciba el desayuno adecuado

P(A) =

(7266

)(4844

)(

120110

) = 0, 262

2.3. Probabilidad Condicional

1. Un inversionista estima que la probabilidad de que un proyecto sea rentable es de 0,65. Paraasegurarse contrata los servicios de dos analistas externos que evaluan el proyecto de formaindependiente. El historial del analista I permite suponer que evaluara el proyecto comorentable, cuando en realidad lo es, con probabilidad 0,9, mientras que la probabilidad de quelo evalue como rentable, cuando en realidad no lo es, es de 0,05. El historial del analista IIgarantiza que evalua como rentables proyectos que si lo sean un 85 % de las veces y evaluacomo rentables aquellos que no lo son en un 10 % de las veces.

a) Determinar la probabilidad de que ambos analistas evaluen el proyecto como rentable.

MAT031 HSR 17


b) Si el proyecto evaluo rentable por ambos analistas, determinar la probabilidad de quesea rentable.

Desarrollo:

a) La probabilidad pedida es: P(ERAnalista 1

)· P(ERAnalista 2

)Donde:

i) ERAnalista 1 : (A) = analista 1 evaluo el proyecto como rentable

ii) ERAnalista 2 : (B) = analista 2 evaluo el proyecto como rentable

Pi(·) = Probabilidades asociadas al analista i, con i = 1, 2

P(A) ∩ P (B) =[P1 (ER|R) · P1

(ER|R

)]·[P2 (ER|R) · P2

(ER|R

)]= [0, 9 · 0, 65 + 0, 05 · 0, 35] · [0, 85 · 0, 65 + 0, 1 · 0, 35]

= 0, 3539

∴ P (A) ∩ P (B) = 35, 39 %

b) La probabilidad pedida es: P(R|ERAnalista 1

)· P(R|ERAnalista 2

)= P(R|ER)

Donde:

i) R |ERAnalista 1 = Probabilidad de que el proyecto sea rentable dado que elanalista 1 evaluo el proyecto como rentable

ii) R|ERAnalista 2 = Probabilidad de que el proyecto sea rentable dado que elanalista 2 evaluo el proyecto como rentable

Pi(·) = Probabilidades asociadas al analista i, con i = 1, 2

P(R|ER) =

(P1(ER|R) · P1(R)

P1(ER)

)·(P2(ER|R) · P2(R)

P2(ER)

)=

(P1(ER|R) · P1(R) · P2(ER|R) · P2(R)

P1(ER) · P2(ER)

)=

0, 9 · 0, 65 · 0, 85 · 0, 65

0, 3539

∴ P(R|ER) = 0, 9131

MAT031 HSR 18


2.4. Aplicacion Probabilidad Condicional

1. Sea Ω un espacio muestral y P(·) una medida de probabilidad definida en 2Ω (conjuntopotencia de Ω). Sean A, B, C ⊆ Ω. Determine si la proposicion es verdadera o falsa.

Si P(A)

= α y P(B)

= β =⇒ P(A ∩B) ≥ 1− α− β

Si la proposicion es verdadera, demuestrela. Si es falsa, provea un contraejemplo. Los con-traejemplos deben incluir: el espacio muestral Ω, los eventos A, B y C, y la medida deprobabilidad P(·)

Desarrollo:

La proposicion es verdadera, en efecto:

Sea P(A) = 1− P(A)

y P(B) = 1− P(B)

Se sabe que:

P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B) ∀ A ∩B 6= ∅P(A ∩B) = P(A) + P(B)− P(A ∪B)

P(A ∩B) = 1− P(A)

+ 1− P(B)− P(A ∪B)

P(A ∩B) = 1− α + 1− β − P(A ∪B)

P(A ∩B) = 2− α− β − P(A ∪B)

Ademas:

0 ≤ P(A ∪B) ≤ 1

Por lo que finalmente tenemos:

P(A ∩B) ≥ 1− α− β

MAT031 HSR 19


3. Ayudantıa 3

3.1. Probabilidad Condicional

1. Un canal de comunicaciones transfiere datos binarios. Debido a un ruido en la transmisionalgunas veces al transmitir un 0 es recibido como 1 y viceversa. La probabilidad de que un 0transmitido sea recibido como 0 es del 94 %. La probabilidad de recibir un 1 al enviarse un1 es del 91 %. La probabilidad de enviar un 0 es del 45 %.

a) Determine la probabilidad de recibir un 1.

b) Determine la probabilidad de que se haya transmitido un 1, dado que se recibio un 1.

c) Determine la probabilidad de errar en la tranmision.

Desarrollo:

a) La probabilidad pedida es P(1R) que esta dada por:

= P (1R | 1T ) · P (1T ) + P (1R | 0T ) · P (0T )

= 0, 91 · 0, 55 + 0, 06 · 0, 45

∴ P (1R) = 0, 5275

b) el problema se reduce a calcular:

P (1T ∩ 1R)

P (1R)=

P (1R | 1T ) · P (1T )

P (1R)

=0, 91 · 0, 55

0, 5275

∴P (1T ∩ 1R)

P (1R)= 0, 9488

c) Sea el evento A: error en la transmicion

P (A) = P (1R | 0T ) · P (0T ) + P (0R | 1T ) · P (1T )

= 0, 06 · 0, 45 + 0, 09 · 0, 55

∴ P (A) = 0, 076

MAT031 HSR 20


2. Cuatro maquinas automaticas envasan el mismo producto en frascos de vidrio que son de-positados en un transportador comun. El rendimiento de la primera maquina es dos vecesmayor que el de la segunda y tres veces que el de la tercera. La segunda maquina produceel doble de la cuarta. Se sabe que los porcentajes de envases hechos correctamente por laprimera, segunda, tercera y cuarta maquina son 62 %, 75 %, 98 % y 70 % respectivamente. Setoma al azar del transportador un frasco de vidrio el cual resulto no estar correcto. Determinela probabilidad de que este envase haya sido hecho por la maquina 1.

Desarrollo:

Sea:Xi: Rendimiento de la maquina i, con i = 1, 2, 3, 4Mi: Cantidad de produccion por maquina, con i = 1, 2, 3, 4

X1 = 2X2 X1 = 3X3 X2 = 2X4

M1 = 2M2

M2 = 2M4

M3 = M1

3

M4 = M4

M1 = 4M4 ·3M2 = 2M4 ·3M3 = 4

3M4 ·3

M4 = M4 ·3

M1 = 12XM2 = 6XM3 = 4XM4 = 3XT = 25X

Luego las probabilidades asociadas a cada maquina son:

P (M1) = 0, 48 P (M2) = 0, 24 P (M3) = 0, 16 P (M4) = 0, 12

P (F ∩M1)

P (F )=

P (F |M1)P (M1)

P (F |M1)P (M1) + P (F |M2)P (M2) + P (F |M3)P (M3) + P (F |M4)P (M4)

=0, 38 · 0, 48

0, 38 · 0, 48 + 0, 25 · 0, 24 + 0, 02 · 0, 16 + 0, 3 · 0, 12

∴P (F ∩M1)

P (F )= 0, 6477

3. El aeropuerto al que llegan los aviones, tiene 2 areas, A y B, que pueden ser usadas. Sesabe que al area A llega el 78 %. Sabiendo que un avion, que al usar el area A, ha de venircon problemas, es tres veces mas frecuente que los que usan el area B, han de venir conproblemas. Determine la probabilidad de que un avion que viene con problemas, use el areaA.

MAT031 HSR 21


Desarrollo:

Sean:

i) P (A): Probabilidad de usar el area A.ii) P (B): Probabilidad de usar el area B.iii) P (D | A): Probabilidad de usar el area A dado que viene defectuoso.iv) P (D | B): Probabilidad de usar el area B dado que viene defectuoso.y se sabe que: P (D | A) = 3P (D | B)

P (A ∩D)

P (D)=

P (D | A) · P (A)

P (D | A) · P (A) + P (D | B) · P (B)

=3P (D | B) · P (A)

3P (D | B) · P (A) + P (D | A) · P (B)

=P (D | B) · [3P (A)]

P (D | B) · [3P (A) + P (B)]

=3 · 0, 78

3 · 0, 78 + 0, 22

∴P (A ∩D)

P (D)= 0, 914

4. La probabilidad de que haya un accidente en una fabrica que dispone de alarma es 0.1. Laprobabilidad de que suene esta, sı se ha producido algun incidente, es de 0.97; y la proba-bilidad de que suene, si no ha sucedido ningun incidente, es 0.2. En el supuesto de que hayafuncionado la alarma, ¿Cual es la probabilidad de que no haya habido ningun incidente?

Desarrollo:

Sean los eventos:i) I: Existencia de incidente.ii) A: Activacion de la alarma.

P (I ∩ A)

P (A)=

P (A | I) · P (I)

P (A | I) · P (I) + P(A | I

)· P(I)

=0, 2 · 0, 9

0, 2 · 0, 9 + 0, 97 · 0, 1

∴P (I ∩ A)

P (A)= 0, 6498

MAT031 HSR 22


5. Una persona tiene que efectuar una mantencion diaria en el proceso, teniendo 24 horas delabor continuada; debido a la perdida por no uso del sistema. Si se sabe que el 5 % de lasveces el proceso falla en el primer periodo y si esta se produce hay un 25 % de probabilidadde que falle en el segundo periodo, en caso contrario hay un 35 % de probabilidad de falla.

a) Determinar la probabilidad de que en 3 periodos consecutivos falle 2 veces.

b) Si el sistema no falla en el tercer periodo, determinar la probabilidad de que no hayafallado en ninguno de los dos periodos anteriores.

Desarrollo:

P (A): Probabilidad de que falle dos veces en tres periodos consecutivos.

a)

= P(F1 ∩ F2 ∩ F

3

)+ P

(F1 ∩ F

2 ∩ F3

)+ P

(F

1 ∩ F2 ∩ F3

)= P

(F

3 | F2 ∩ F1

)· P (F2 | F1) · P (F1) + P

(F3 | F

2 ∩ F1

)· P(F

2 | F1

)· P (F1)

= +P(F3 | F2 ∩ F

1

)· P(F2 | F

1

)· P(F

1

)= 0, 75 · 0, 25 · 0, 05 + 0, 35 · 0, 75 · 0, 05 + 0, 25 · 0, 35 · 0, 95

∴ P (A) = 0, 1056

b) La probabilidad pedida es:

P(F

1 ∩ F 2 | F

3

)

=P(F

3 | F 2 ∩ F

1

)· P(F

2 | F 1

)· P(F

1

)P(F

3

)Aparte:

P(F

3

)= P

(F | F2 ∩ F1

)· P (F2 | F1) · P (F1)

= +P(F | F

2 ∩ F1

)· P(F

2 | F1

)· P (F1)

= +P(F | F2 ∩ F

1

)· P(F2 | F

1

)· P(F

1

)= +P

(F | F

2 ∩ F 1

)· P(F

2 | F 1

)· P(F

1

)= 0, 75 · 0, 25 · 0, 05 + 0, 65 · 0, 75 · 0, 05 + 0, 75 · 0, 35 · 0, 95 + 0, 65 · 0, 65 · 0, 95

∴ P(F

3

)= 0, 6845

MAT031 HSR 23


Luego:

P(F

1 ∩ F 2 | F

3

)=

P(F

3 | F 2 ∩ F

1

)· P(F

2 | F 1

)· P(F

1

)P(F

3

)=

0, 65 · 0, 65 · 0, 95

0, 6845

∴ P(F

1 ∩ F 2 | F

3

)= 0, 5862

3.2. Extras (Cadenas de Markov)

1. Considere una tienda que mantiene un inventario de un producto dado para satisfacer unademanda (aleatoria). La demanda diaria D, tiene la siguiente distribucion:

P(D = 0) = 1/4 P(D = 1) = 1/2P(D = 2) = 1/4 P(D ≥ 3) = 0

Sea Xn el nivel del inventario al comienzo del dıa n y suponga que la tienda tiene una polıticade mantencion de inventario (s, S) que consiste en si al final del dıa se posee menos de s, sehace una orden de pedido que al inicio del dıa siguiente eleva las existencias al nivel S y encaso contrario no se pide nada. Asuma que la demanda no satisfecha es demanda perdida yque al inicio del horizonte de planificacion hay S unidades en inventario con s = 1 y S = 2

a) Halle la forma de conocer el inventario al comienzo de cualquier dıa a partir de n + 1(ayuda: matriz de probabilidades de transicion).

b) Calcule la probabilidad de tener un nivel de inventario s y S al comienzo del dıa n+ 3,considerando que segun estudios P(s) = 0, 45 y P(S) = 0, 55 para un dıa n.

c) Determinar en que proporcion tendremos un nivel de inventario s e inventario nivel Sen el largo plazo.

Desarrollo:

Definamos:

i) Xn: El nivel de inventario al inicio del dıa nii) Estado 1: Una unidad de inventario.iii) Estado 2: Dos unidades en inventario.

Sea:

MAT031 HSR 24


a) P11: Probabilidad de que existiendo una unidad en el inventario al inicio del dıa, existala misma unidad en inventario al dıa siguiente. En este caso, solo exıste la posibilidadque no me demanden nada. Por lo tanto P11 = 1/4.

b) P12: Probabilidad de que existiendo una unidad en inventario al inicio del dıa, existandos unidades en inventario al dıa siguiente. En este caso hay dos opciones:

1) Que exista demanda por 2 unidades, es decir, se vende solo una, la otra es demandainsatisfecha, se baja el inventario s a cero y al periodo siguiente habran S = 2.

2) Que exista demanda por 1 unidad, se baja el inventario s a cero y al periodo sigu-iente habran S = 2.

Por lo tanto:P12 = P (D = 1) + P (D = 2) = 1/4 + 1/2 = 3/4

c) P21: Probabilidad de que existiendo dos unidades en inventario al inicio del dıa, existauna unidad en inventario al dıa siguiente. Para que esto exısta solo deberan demandaruna unidad. Por lo tanto P21 = 1/2.

d) P22: Probabilidad de que existiendo dos unidades en inventario al inicio del dıa, existandos unidades en inventario al dıa siguiente. Es claro que para que esto suceda, no sedemanda ninguna unidad o se demandan al menos dos unidades. Es decir:

P22 = P (D = 0) + P (D ≥ 2) = 1/4 + 1/4 = 1/2

Con esta informacion ya podemos comenzar a responder a lo que se nos pregunta.

a) Matriz de probabilidades de transicion en una etapa:

P =

(1/4 3/41/2 1/2

)

b) Para calcular las probabilidades de cada nivel de inventario debemos utilizr la siguienteformula:

f (n) =(P T)(n)

f (0)

Donde:i)(P T)(n)

: matriz traspuesta elevada a n.

ii) f (0): matriz de distribucion inicial.

cuyas matrices son:

P T =

(1/4 1/23/4 1/2

)f (0) =

(0, 450, 55

)

MAT031 HSR 25


Ahora necesitamos calcular(P T)(3)

:

(P T)(3)

=

(1/4 1/23/4 1/2

)·(

1/4 1/23/4 1/2

)·(

1/4 1/23/4 1/2

)=

(0, 39065 0, 406250, 609375 0, 59375

)

Por lo tanto la probabilidad para cada nivel de inventario al comienzo del dıa n + 3viene dada por:

(0, 39065 0, 406250, 609375 0, 59375

)·(

0, 450, 55

)=

(0, 3990, 601

)

Es decir, que para el dıa n+3 la probabilidad de tener un inventario s y S son de 39,9 %y 60,1 % respectivamente.

c) En el caso de calcular en el largo plazo, debemos utilizar la siguiente formula:

π =(P T)π =

(π0

π1

)=

(1/4 1/23/4 1/2

)·(π0

π1

)π0 + π1 = 1

de aquı se tienen las siguientes ecuaciones:

π0 =1

4π0 +

1

2π1 (1)

π1 =3

4π0 +

1

2π1 (2)

π0 + π1 = 1 (3)

reemplazando 1− π0, obtenida de (3), en (1) tenemos:

π0 =1

4π0 +

1

2(1− π0)

π0 +1

2π0 −

1

4π0 =

1

2

π0 =2

5

Luego, reemplazando el valor obtenido para π0 en cualquiera de las ecuaciones anteriores,tenemos que:

π1 =3

5Es decir, en el largo plazo las probabilidades asociadas a los niveles de inventario s y Sson 40 % y 60 % respectivamente.

MAT031 HSR 26


MAT031 HSR 27


4. Ayudantıa 4

4.1. Ejercicios Certamen 1

1. Un banco debe elegir una directiva compuesta por 5 cargos: director, subdirector, interventor,cajero y cobrador, entre 8 candidatos. Los candidatos son:

3 hombres : Felipe, Gonzalo y Joaquın.

5 mujeres : Alicia, Barbara, Evelyn, Claudia y Natalia.

Suponga que si una persona pertenece a esta directiva, esta persona puede ocupar solo uncargo y suponga que todas las posibles directivas que pueden formarse tienen la mismaprobabilidad de ocurrir.

a) Determine el numero de directivas diferentes que es posible formar.

Desarrollo:

Usando principio multiplicativo, el numero de directivas diferentes que se pueden formares: 8 · 7 · 6 · 5 · 4

b) Calcule la probabilidad que Felipe y Gonzalo NO esten simultaneamente en la directiva.

Desarrollo:

Sea A: ”Gonzalo y Felipe no estan simultaneamente en la directiva”. Notar que P(A) =

1− P(A). hay

(52

)· 2! = 20 formas de que Felipe y Gonzalo ocupen un cargo en la

directiva (pues, cargos son diferentes).

Una vez asignados los cargos de Felipe y Gonzalo, hay 6 ·5 ·4 formas de llenar los cargosrestantes. Luego, A tiene 20 · 6 · 5 · 4 elementos (Principio multiplicativo). Por lo tanto,dada la equiprobabilidad entre todas las directivas posibles, la probabilidad pedida es:

P(A) = 1− P(A)

= 1− 20 · 6 · 5 · 48 · 7 · 6 · 5 · 4

= 1− 0, 36

∴ P(A) = 0, 64

c) Calcule la probabilidad que la directiva este compuesta por al menos 3 mujeres.

Desarrollo:

Para cada j ∈ 3, 4, 5, definimos el evento Mj: ”En la directiva hay exactamente jmujeres”. Para cacular el numero de elementos que tiene M3 considere lo siguiente:

i) Hay

(53

)formas de elegir los cargos que ocuparan mujeres (pues los cargos son

MAT031 HSR 28


diferentes).ii) Una vez hecho lo anterior, estos cargos pueden ser llenados de 5 · 4 · 3 formas.iii) Una vez hecho i) y ii), hay 3 ·2 formas de llenar los cargos compuestos por hombres.

Luego, M3 tiene

(53

)· 5 · 4 · 3 · 3 · 2 = 3600 elemento (Principio Multiplicativo).

Usando argumentos similares, se tiene que:

M4 tiene

(54

)· 5 · 4 · 3 · 3 · 2 = 1800

M5 tiene 5 · 4 · 3 · 3 · 2 = 120Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P(M3) + P(M4) + P(M5) =3600 + 1800 + 120

8 · 7 · 6 · 5 · 4= 0, 82

2. Se ha nominado a tres miembros de un club privado para ocupar la presidencia del mismo.Laprobabilidad de que se elija al senor A es de 0,3; la que se haga lo propio con el senor B, de0,5, y la de que gane la senora C, de 0,2. En caso que se elija al senor A, la probabilidad de quela cuota de ingreso incremente en 0,8, si se elije al senor B o la senora C, las correspondientesprobabilidades de que haya un incremento en la cuota son de 0,1 y 0,4 respectivamente.

a) ¿Cual es la probabilidad de que haya un incremento en la cuota de membresıa?

Desarrollo:

Definamos los eventos:

A: ”el senor A es elegido como presidente”.B: ”el senor B es elegido como presidente”.C: ”el senor C es elegido como presidente”.E: ”el candidato electo incrementa la cuota”.

Para esto ultizamos probabilidades totales (equivalentemente, podemos definir un di-agrama de arbol) ya que necesitamos P(E). Del enunciado tenemos que: P(A) = 0, 3,P(B) = 0, 5, P(C) = 0, 2, P(E | A) = 0, 8, P(E | B) = 0, 1, P(E | C) = 0, 4Por lo tanto,

P(E) = P(E | A) · P(A) + P(E | B) · P(B) + P(E | C) · P(C)

= 0, 3 · 0, 8 + 0, 5 · 0, 1 + 0, 2 · 0, 4= 0, 37

b) Dado que la cuota se ha incrementado, ¿cual es el candidato con mayor probabilidadde haber sido electo presidente?¿Tenıa este candidato la mayor probabilidad de ser electo inicialmente? Comente.

Desarrollo:

MAT031 HSR 29


Necesitamos utilizar el teorema de Bayes para calcular las probabilidades luego de au-menta la cuota. Ası,

P(A | E) =P(E | A) · P(A)

P(E)

=0, 8 · 0, 3

0, 37= 0, 65

P(B | E) =P(E | B) · P(B)

P(E)

=0, 1 · 0, 5

0, 37= 0, 14

P(C | E) =P(E | C) · P(C)

P(E)

=0, 4 · 0, 2

0, 37= 0, 21

Dado que la cuota se incrementa, el candidato con mayor probabilidad de ser electo esel senor A, aun cuando a priori sabıamos que el senor B tenıa mayor probabilidad deser electo, el aumento de la cuota resulta ser un beneficio para la candidatura del senorA.

3. Un medico examina la radiografıa de un paciente y esta indeciso respecto a su diagnosticoentre cancer al pulmon y tuberculosis. Sobre la base de informacion hıstorica, se estima quela probabilidad de que el cancer produzca una radiografıa de este tipo es 0,6, la cual aumentaa 0,8 para la tuberculosis. En su experiencia, el medico estima que el 70 % de los pacientesque consultan por sıntomas similades tiene cancer y el 30 % de ellos tiene tuberculosis.

a) Dado que la radiografıa es del tipo observado. ¿cual es la probabilidad que el pacientetenga cancer?

Desarrollo:

Sea:

C: El paciente padece de cancer al pulmon.R: La radiografıa es del tipo observado.

Luego se tienen las siguientes probabilidades: P(C) = 0, 7, P(R | C) = 0, 6,P(R | C

)= 0, 8.

MAT031 HSR 30


La probabilidad pedida es:

P(C | R) =P(R | C) · P(C)

P(R | C) · P(C) + P(R | C

)· P(C)

=0, 6 · 0, 7

0, 6 · 0, 7 + 0, 8 · 0, 3= 0, 6364

b) Dado que la radiografıa es del tipo observado, ¿cual es la probabilidad de que el pacientetenga tuberculosis?

Desarrollo:

P(C | R

)= 1− P(C | R)

= 1− 0, 6364

= 0, 3636

c) Si la radiografıa no hubiera sido del tipo que se observo, se presentarıa nuevamenteel problema de decidir entre cancer y tuberculosis. Indique y calcule cuales son lasprobabilidades relevantes.

Desarrollo:

Se pide calcular las siguientes probabilidades:

P(C | R

)=P(R | C

)· P(C)

P(R) y P

(C | R

)= 1− P

(C | R

)Luego las probabilidades pedidas son:

P(C | R

)=

0, 4 · 0, 70, 34

= 0, 8235

P(C | R

)= 1− 0, 4 · 0, 7

0, 34= 1− 0, 8235

= 0, 1765

4. Un estudiante lanza 10 monedas y contabiliza el numero de caras en cada experiencia. Susresultados fueron:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

30 45 79 100 120 126 120 100 79 45 30

MAT031 HSR 31


El estudiante asevera que las monedas que uso tenıan una medida de 1/2 salir cara. Deacuerdo con sus resultados y la informacion que dio el estudiante, ¿es posible asegurar queel hizo la experiencia y no invento los datos? Explique y argumente su afirmacion.

Desarrollo:

Para desarrollar este ejercicios se deben comparar las frecuencias relativas con la medidateorica. Por lo que tenemos:Numero de experiencias: 874

P(Y = k) =

(10k

)210

Probabilidad Teorica

f(k) =fk

874Medida Experimental

P(Y = 0) =

(100

)210

= 0, 00097656

f(0) =30

874= 0, 03432

P(Y = 5) =

(105

)210

= 0, 246

f(5) =126

874= 0, 14

Con esto se observa que exıste una diferencia notoria entre los valores experimentales yteoricos, por lo que el estudiante invento los datos.

5. La siguiente tabla se refiere al numero Y de bacterias por unidad de volumen presentes luegode X horas.

X (hrs) 0 1 2 3 4 5 6Y (bact/V ) 32 47 65 92 132 190 275

a) ¿Cual es el modelo a ajustar?

Desarrollo:

Ustedes que saben usar calculadora, ingresen los datos en ella y calculen para los tresmodelos existentes, y conocidos por ustedes, los respectivos valores para a, b y R. Pos-teriormente deben comparar los valores obtenidos para R en cada una de las curvasestudiadas y elegir la que se acerque mas a 1 o −1. Esa es la respuesta correcta.

MAT031 HSR 32


b) Verificar si el ajuste de la curva es aceptable

Desarrollo:

Reemplazar valores en el modelo a ajustar (obtenido en el punto anterior) y verificarque el valor generado es similar al valor que se encuentra en la tabla.

c) ¿Cuantas bacterias habra por unidad de volumen en X = 3, 5 hrs?

Desarrollo:

Idem que (b).

MAT031 HSR 33


5. Ayudantıa 5

5.1. Variables Aleatorias Discretas

1. Suponga que X es una variable aleatoria discreta con funcion de cuantıa:

x −2 −1 0 1 2 4f(x) 0, 1C 0, 2C 0, 6C 0, 5C 0, 4C 0, 2C

a) Determine C para que f(x) sea una distribucion de probabilidad.

b) Obtenga: P (x < 1), P (−2 < x < 2) y P (x ≥ 2/x > 0)

Desarrollo:

a) Para que sea una distribucion de probabilidad se debe cumplir que:∑x∈Rec(x)

f(x) = 1 y f(x) ≥ 0 ∀x ∈ Rec(x)

Por lo que debemos calcular:

0, 1C + 0, 2C + 0, 6C + 0, 5C + 0, 4C + 0, 2C = 1 =⇒ ∴ C = 12

b) P (x < 1) = P (x = −2) + P (x = −1) + P (x = 0) = 0, 05 + 0, 1 + 0, 3 = 0, 45P (−2 < x < 2) = P (x = −1) + P (x = 0) + P (x = 1) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 25 = 0, 65

P (x ≥ 2 | x > 0) =P (x = 2) + P (x = 4)

P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 4)=

0, 2 + 0, 1

0, 25 + 0, 2 + 0, 1

=0, 3

0, 55= 0, 545

MAT031 HSR 34


2. En un paıs hay 4 partidos polıticos, que se dividen la opinion publica. El 35 % de la poblacionadhiere al partido I; el 31 %, al partido II; el 28 % al partido III y el 6 % al partido IV. Se sabeademas que entre los adherentes del partido I, un 36 % corresponde a personas con ingresosinferiores a dos sueldos mınimos. Entre los del partido II, el 52 % tiene ingresos inferiores ados sueldos mınimos; entre los del partido III hay un 42 % y en el partido IV hay un 11 %.

a) Encontrar la probabilidad de que al sacar una persona al azar, siendo esta con una rentainferior a dos sueldos mınimos, pertenezca al partido IV.

b) Se sacan 10 personas al azar, ¿Cual es la probabilidad que al menos dos tengan rentasinferiores a dos sueldos mınimos?

Desarrollo:

a) Sean los eventos:

i: adherencia al partido i, con i = I, II, III, IV .S: recibir una renta menor a dos sueldos mınimos.

P (I) = 0, 35 ; P (II) = 0, 31 ; P (III) = 0, 28 ; P (IV ) = 0, 06

P (S | I) = 0, 36 ; P (S | II) = 0, 52 ; P (S | III) = 0, 42 ; P (S | IV ) = 0, 11

Se pide calcular:

P (IV | S) =P (S | IV )P(IV )

P (S | I)P(I) + P (S | II)P(II) + P (S | III)P(III) + P (S | IV )P(IV )

=0, 11 · 0, 06

0, 36 · 0, 35 + 0, 52 · 0, 31 + 0, 42 · 0, 28 + 0, 11 · 0, 06

=0, 0066

0, 4114

∴ P (IV | S) = 0, 016

b) Sea X: personas con renta inferior a dos sueldos mınimos.X ∼ Bin (n, p), con n = 10 y p = 0, 4114

fx(x) =

(nx

)px (1− p)n−x

Luego la probabilidad pedida es:

P (x ≥ 2) =10∑x=2

(10x

)(0, 4114)x (1− 0, 4114)10−x = 96 %

3. El 70 % de los aviones ligeros que desaparecen en vuelo en cierto paıs son descubiertosposteriormente. De las naves descubiertas, el 60 % tiene localizador de emergencia, en tantoque el 90 % de las naves no descubiertas no tiene ese localizador.

MAT031 HSR 35


a) Calcule la probabilidad que un avion ligero tenga localizador de emergencia.

b) Considere 10 aviones ligeros desaparecidos. ¿Cual es la probabilidad que exactamente2 de ellos tengan localizador de emergencia?

c) Ud. Observa independientemente aviones ligeros hasta obtener el primer avion con lo-calizador de emergencia. ¿Cual es la probabilidad que el proceso finalice en a lo mas 10observaciones?

d) Ud. Observa independientemente aviones ligeros hasta obtener el tercer avion con lo-calizador de emergencia. ¿Cual es la probabilidad que el proceso finalice al menos en 4observaciones?

Desarrollo:

a) Sean los eventos:

D: ”Avion ligero descubierto”L: ”Avion ligero tiene localizador de emergencia”

Conocemos que P (L | D) = 6/10, P(L | D

)= 9/10 y P (D) = 7/10.

La probabilidad pedida es:

P (L) = P (L | D) · P(D) + P(L | D

)· P(D)

=6

10· 7

10+

1

10· 3

10

=45

100∴ P (L) = 45 %

b) Sea X: ”Numero de aviones con localizador de emergencia, de entre los 10 avionesdisponibles”. ClaramenteRec (X) = 0, 1, 2, . . . , 10 y ademasX ∼ Bin (n = 10; p = 0, 45).Por lo que la probabilidad pedida es:

P (X = 2) =

(102

)(0, 45)2(1− 0, 45)10−2

= 0, 076

c) Sea Y : ”Numero de aviones que es necesario observar hasta obtener el primer avioncon localizador de emergencia”. Claramente, Rec (X) = 1, 2, 3, . . . y ademas Y ∼Geom (p = 0, 45). Por lo que la probabilidad pedida es:

P (Y ≤ 10) =10∑y=1

(0, 45)(1− 0, 45)y−1

= 0, 997

MAT031 HSR 36


d) Sea Z: ”Numero de aviones que es necesario observar hasta obtener el tercer avioncon localizador de emergencia”. Claramente, Rec (Z) = 3, 4, 5, . . . y ademas Z ∼BinNeg (r = 3; p = 0, 45). Por lo tanto la probabilidad pedida es:

P(Z ≥ 4) = 1− P(Z = 3)

= 1−(

3− 13− 1

)(0, 45)3(1− 0, 45)3−3

= 0, 909

4. El 90 % de los arboles plantados en una campana de reforestacion sobrevive. ¿Cual es laprobabilidad de que sobrevivan 8 o mas arboles de 10 arboles que acaban de ser plantados?

Desarrollo:

Sea X: ”Arboles plantados que sobreviven”, y ademas X ∼ Bin(n = 10, p = 0, 9). Por lotanto la probabilidad pedida es:

P (X ≥ 8) =10∑x=8

(10x

)0, 9x(1− 0, 9)10−x

= 92 %

5. Se tendieron 1000 trampas para langostas, en las que se atraparon 1200 langostas. Con-siderando que el numero de langostas por trampa es una V.A.D. se pide determinar laprobabilidad que una trampa contenga dos o mas langostas.

Desarrollo:

Sea X: ”Numero de langostas por trampa ”. Y ∼ P (λ) con λ = 12001000

= 1, 2

P (X ≥ 2) = 1− P (X ≤ 1)

= 1− [P (X = 0) + P (X = 1)]

= 1−1∑

x=0

λxe−λ

x!

= 1−1∑

x=0

(1, 2)xe−1,2

x!

= 1− 0, 6626

∴ P (X ≥ 2) = 0, 337

MAT031 HSR 37


5.2. Extras (Convergencia)

1. Sea Xn una variable aleatoria con distribucion Bin (n, p). Haciendo p = λn, demuestre que la

distribucion del lımite cuando n −→∞ es P (λ), es decir:

lımn→∞

Xn = P (λ)

Desarrollo:

Xn ∼ Bin(n, p), haciendo p = λn

se tiene: Xn ∼(nk

)(λn

) (1− λ

n

)n−k. Luego:

= lımn→∞

(nk

)(λ

n

)k (1− λ

n

)n−k= lım

n→∞

(nk

)(λ

n

)k (1− λ

n

)n(1− λ

n

)−k

= lımn→∞

(nk

)(λ

n

)k (1− λ

n

)n· lımn→∞

1−0λ

n

−k

︸︷︷︸1

= lımn→∞

n!

(n− k)! · k!· λ

k

nk

(1− λ

n

)n= lım

n→∞

n!

(n− k)! · nk· λ

k

k!

(1− λ

n

)n=

(λk

k!

)· lımn→∞

n(n− 1)(n− 2) . . . (n− (k + 1))(n− k)!

nk(n− k)!·(

1− λ

n

)n=

(λk

k!

)· lımn→∞

n(n− 1)(n− 2) . . . (n− (k + 1))

nk· (n− k)!

(n− k)!︸︷︷︸1

(1− λ

n

)n

=

(λk

k!

)· lımn→∞

n

n· n− 1

n· n− 2

n· · · n− (k + 1)

n

(1− λ

n

)n

=

(λk

k!

)· lımn→∞

1−0

1

n

︸︷︷︸

1

·

1−0

2

n

︸︷︷︸

1

· · ·

1−0k

n−0

1

n

︸︷︷︸

1

·(

1− λ

n

)n

=

(λk

k!

)· lımn→∞

(1 +

(−λ)

n

)n=

λk

k!e−λ

∴ lımn→∞

Xn = P (λ)

MAT031 HSR 38


Por lo tanto se demuestra que Xn ∼ Bin(n, p) cuando n −→ ∞ y haciendo p = λn

tienefuncion densidad de Poisson de parametro λ (Xn ∼ P (λ))

MAT031 HSR 39


5.3. Anexos (Variables Aleatorias Discretas)

Definicion: Sea X una V.A.D. se le asigna una funcion fx, f : Rec (x)→ R la cual llamaremos”funcion de cuantıa de X” si y solo si satisface:

i)fx (x) ≥ 0 ∀x ∈ Rec(x)

ii) ∑x∈Rec(x)

fx (x) = 1

Algunas funciones de cuantıa importantes son:

B Bernoulli:

Se define la V.A. X : Ω→ R por:

X (ω) =

1 ; ω ∈ A0 ; ω /∈ A

fx (x) = px (1− p)1−x x ∈ 0, 1

B Binomial:

Sean X1, X2, . . . , Xn V.A. del tipo Bernoulli es decir:

Xi (ω) =

1 ; ω ∈ A0 ; ω /∈ A ∀ i

Se asume que X1, X2, . . . , Xn generan eventos independientes entre ellos, luego la V.A.:Y = X1 +X2 + . . .+Xn genera la funcion de cuantıa Binomial definida por:

fy (y) =

(ny

)py (1− p)n−y ; y ∈ 0, 1, 2, . . . , n

Demostracion de funcion de cuantıa:

i) notar que fy(y) ≥ 0 ∀y ∈ 0, 1, 2, . . . , nii) P.D. que: ∑

y∈Rec(y)

fy(y) = 1

MAT031 HSR 40


=⇒n∑y=0

(ny

)py (1− p)n−y =

n∑y=0

(ny

)py

(1− p)y(1− p)n

= (1− p)nn∑y=0

(ny

)(p

(1− p)

)y= (1− p)n

(p

1− p+ 1

)n= (1− p)n

(p+ (1− p)

1− p

)n= (1− p)n

(1

1− p

)n= 1

∴ la funcion fy(y) es funcion de cuantıa.

B Poisson:

fx(x) =λxe−λ

x!; x ∈ 0, 1, 2, . . . , n y λ : representa un promedio

Demostracion de funcion de cuantıa:

i) notar que fx(x) ≥ 0 ∀x ∈ 0, 1, 2, . . . , nii) P.D. que: ∑

x∈Rec(x)

fx(x) = 1

=⇒n∑x=0

λxe−λ

x!= e−λ

n∑x=0

λx

x!︸︷︷︸Serie de eλ

= e−λeλ

= e(−λ+λ)

= 1

B Geometrica:

Con X= Numero de intentos fracasados hasta que ocurre el primer exitoSuposiciones:

1. Cada intento es o bien un exito o un fracaso.

2. La probabilidad de exito es p para cada intento.

3. Todos los intentos son independientes.

MAT031 HSR 41


4. La secuencia de intentos se termina despues del primer exito.

fx (x) = p (1− p)x−1 con x ∈ 1, 2, . . . , n

B BinomialNegativa:

Con X=Numero de fracasos hasta el r−esimo exitoSuposiciones:

1. Cada intento es un exito o un fracaso.

2. La probabilidad de exito es p para cada intento.

3. Todos los intentos son independientes.

4. La secuencia de intentos se termina despues del r−esimo exito.

fx(x) =

(x− 1r − 1

)pr (1− p)x−r con x ∈ r, r + 1, . . . , n

B Hipergeometrica:

Con X=Numero de exitos en una muestra de tamano nSuposiciones:

1. La muestra se toma sin reemplazo de un conjunto finito de tamano N que contieneM exitos y N −M fracasos.

fx(x) =

(Mx

)(N −Mn− x

)(Nn

) con x ∈ 0, 1, 2, . . . ,mın (n,M)

MAT031 HSR 42


6. Ayudantıa 6

6.1. Variables Aleatorias Continuas

1. Sea la funcion:

fX (x) = ke−

x2

√xI[0,∞[ (x)

Calcule la constante k para que sea funcion densidad.

Hint:1√2π

∫ t

0

e−x2

2 dx = Φ (t)− 1

2

Donde Φ es la funcion distribucion normal (0, 1)

Desarrollo:

Para encontrar k debemos calcular:∫ ∞−∞ke−

x2

√xI[0,∞[ (x) dx = 1

interceptando el recorrido de x con los lımites de la integral se tiene que:∫ ∞0

ke−

x2

√xdx = 1

Luego:

k

∫ ∞0

e−x2

√xdx = 1

∴ k =1∫ ∞

0

e−x2

√xdx

MAT031 HSR 43


Aparte: ∫ ∞0

e−x2

√xdx = 2

√xe−

x2

∣∣x=∞x=0

+

∫ ∞0

√xe−

x2 dx

lo anterior se obtiene haciendo integracion por partes y definiendo:

u = e−x2 → du = −1

2e−

x2 dx ; dv =

1√xdx→ v = 2

√x

notar que cuando x = 0 no hay problemas en ver que el termino 2√xe−

x2 = 0, pero

cuando x =∞ tenemos algo de la forma ∞∞ , por lo que es necesario calcular lımx→∞

2√xe−

x2 .

lımx→∞

2√xe−

x2 = lım

x→∞

2√x

ex2

aplicando L’H se tiene:

= lımx→∞

1√x

12ex2

= 2 lımx→∞

01√xe

x2

= 0

por lo que tenemos:∫ ∞0

√xe−

x2 dx =

∫ ∞0

ze−z2

2 2z dz ; Haciendo z =√x→ dz = dx

2√x⇒ dx = 2zdz

= 2

∫ ∞0

z2e−z2

2 dz︸︷︷︸aparte

Aparte: ∫ ∞0

z2e−z2

2 dz = −ze−z2

2

∣∣∣z=∞z=0

+

∫ ∞0

e−z2

2 dz

lo anterior se obtiene haciendo integracion por parte y definiendo:

u = z → du = dz ; dv = ze−z2

2 dz → v = −e−z2

2

notar que cuando z = 0 no hay problemas en ver que el termino−ze− z2

2 = 0, pero cuando

z =∞ tenemos algo de la forma ∞∞ , por lo que es necesario calcular lımz→∞−ze− z

2

2 .

lımz→∞−ze−

z2

2 = − lımz→∞

z

ez2

2

aplicando L’H se tiene:

= − lımz→∞

1

zez2

2

= (−1) lımz→∞

01

zez2

2

= 0

MAT031 HSR 44


por lo que tenemos: ∫ ∞0

e−z2

2 dz =√

2π

(1√2π

∫ ∞0

e−z2

2 dz

)︸︷︷︸

Aplicar Hint.

=√

2π

(Φ (∞)− 1

2

)=√

2π

(1− 1

2

)=

√2π

2

luego:

=⇒∫ ∞

0

√xe−

x2 dx = 2

(√2π

2

)=√

2π

Por lo que finalmente tenemos que:

k =1√2π

y la funcion queda:

fX (x) =e−

x2

√2πx

I[0,∞[ (x)

MAT031 HSR 45


2. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto marcapasos sigue una distribucionexponencial con media 16 anos.

a) Determine la probabilidad de que a una persona, a la que se le ha implantado estemarcapasos, se le deba reimplantar otro antes de los 20 anos.

b) Si el marcapasos lleva funcionando correctamente mas de 5 anos, ¿cual es la prob-abilidad de que haya que cambiarlo antes de los 25 anos?

Desarrollo:

a) Sea:

X: Vida del marcapasos.X ∼ exp (λ) con λ = 1

E(x)⇒ λ = 1

16

P (X < 20) =

∫ 20

0

1

16e−

116x dx

= −e−116x∣∣∣x=20

x=0

= −

(e−

2016 −

*1e−

016

)= 1− 1

e54

= 0, 7135

∴ P (X < 20) = 0, 7135

b) Sea:

X: Vida del marcapasos.X ∼ exp (λ) con λ = 1

E ⇒ λ = 116

P (X < 25 | X > 5) =

∫ 25

5

1

16e−

116x dx∫ ∞

5

1

16e−

116x dx

=−e− 1

16x∣∣∣x=25

x=5

−e− 116x∣∣∣x=∞

x=5

=e−

516 − e− 25

16

e−516

= 0, 7135

∴ P (X < 25 | X > 5) = 0, 7135

MAT031 HSR 46


3. Los procesos de falla de cada una de 10 componentes se comportan de manera prob-abilısticamente independientes y siguiendo un mismo modelo probabilıstico. Sea Xi eltiempo de falla de la i−esima componente, expresado en miles de horas. Suponga quesu densidad de probabilidad es:

fXi (x) =

0, 8e−x + 0, 4e−2x , x ≥ 0

0 , e.o.c.

para cualquier i = 1, 2, . . . , 10

a) La funcion distribucion acumulada de X3.

b) Calcule la probabilidad de que a lo mas 3 componentes fallen en 1,5 horas.

Desarrollo:

a) La funcion distribucion de la variable X3 viene dada por:

FX3 (x) =

∫ X3

0

(0, 8e−x + 0, 4e−2x

)dx , x ≥ 0

0 , e.o.c.

=

∫ X3

0

0, 8e−x dx+

∫ X3

0

0, 4e−2x dx , x ≥ 0

0 , e.o.c.

=

0, 8

∫ X3

0

e−x dx+ 0, 4

∫ X3

0

e−2x dx , x ≥ 0

0 , e.o.c.

=

0, 8 (−e−x)|x=X3

x=0 + 0, 4(−e−2x

2

)∣∣∣x=X3

x=0, x ≥ 0

0 , e.o.c.

=

0, 8

(1− e−X3

)+ 0, 4

(1−e−2X3

2

), x ≥ 0

0 , e.o.c.

=

0, 8− 0, 8e−X3 + 0, 2− 0, 2e−2X3 , x ≥ 0

0 , e.o.c.

=

1− 0, 8e−X3 − 0, 2e−2X3 , x ≥ 0

0 , e.o.c.

∴ FX3 (x) =

1− 0, 8e−X3 − 0, 2e−2X3 , x ≥ 0

0 , e.o.c.

b) La probabilidad de que una componente cualquiera falle antes de 1.5 horas, vienedada por:

P (Xi < 1, 5) = FXi (1, 5) = 1− 0, 8e−1,5 − 0, 2e−2·1,5 = 0, 8115

Sea ahora:

MAT031 HSR 47


Y : Numero de componentes que fallan antes de 1, 5 horas.Y ∼ Bin (10; 0, 8115).

y lo que se pide es:

P (Y ≤ 3) =3∑y=0

(10y

)0, 8115y (1− 0, 8115)10−y

= 0, 000591241

∴ la probabilidad pedida es 0, 059 %

∴ P (Y ≤ 3) = 0, 059 %

4. Sea x una V.A.C. con funcion densidad:

fX (x) = 2xe−x2

I[0,∞[ (x)

a) Determinar la funcion densidad de Y = X2, donde X tiene funcion densidad fX (x).

b) Demostrar que fY (y) (encontrada en a), es funcion densidad.

c) Determinar E (y) y V (y).

Desarrollo:

a) Sea FY (y) = P (Y ≤ y), relacion entre la funcion distribucion y probabilidad, porlo que se tiene:

FY (y) = P (Y ≤ y) = P(X2 ≤ y

)= P (|X| ≤ √y)

= P (X ≤ ±√y)

= P (−√y ≤ X ≤ √y)

= P (X ≤ √y)−

:

X ∈ R+0

P (X ≤ −√y)

= FX (√y)

∴ FY (y) = FX(√

y), por lo que al derivar encontraremos la funcion densidad de y.

dFY (y)

dy= F

′

X

1

2√y

=fX(√

y)

2√y

= 2√ye−(√y)

2

2√y

I[0,∞[ (y)

= e−yI[0,∞[ (y)

∴ fY (y) = e−yI[0,∞[ (y)

MAT031 HSR 48


b) Por demostrar que:

• fY (y) ≥ 0∀x ∈ R+0 , lo cual es obvio.

•∫ ∞−∞fX (x) dx = 1:

∫ ∞−∞e−yIR+

0(y) dy =

∫ ∞0

e−y dy = −e−y∣∣y=∞y=0

= −

(*

0e−∞ −>

1e−0

)= 1

∴ se demuestra que fY (y) es funcion densidad.

c) • E (y): se define la esperanza como sigue:

E (y) =

∫ ∞−∞yfY (y) dy

por lo que debemos calcular:∫ ∞−∞ye−yIR+

0dy =

∫ ∞0

ye−y dy

= −ye−y∣∣y=∞y=0

+

∫ ∞0

e−y dy︸︷︷︸1

(La integracion por partes realizada es: u = y → du = dy y dv = e−ydy → v =−e−y)

Es claro que cuando y = 0 se tiene que −ye−y = 0, pero cuando y =∞ entoncestenemos algo de la forma ∞∞ , por lo que es necesario calcular lım

y→∞−ye−y

lımy→∞−ye−y = − lım

y→∞

y

eyaplicando L’H se tiene:

= − lımy→∞

0

1

ey

= 0

∴ E (y) = 1

• V (y), se define la varianza como: V (y) = E (y2)− (E (y))2. Por lo que debemoscalcular E (y2).

E(y2)

=

∫ ∞0

y2e−y dy

haciendo:

u = y2 → du = 2ydy y dv = e−ydy → v = −e−y

MAT031 HSR 49


se tiene:

= −y2e−y∣∣y=∞y=0

+ 2

∫ ∞0

ye−y dy︸︷︷︸1

notar que cuando y = 0 no hay problemas en ver que −y2e−y = 0, pero cuandoy =∞ tenemos algo de la forma ∞∞ , por lo que es necesario calcular lım

y→∞−y2e−y.

lımy→∞−y2e−y = − lım

y→∞

y2


= − lımy→∞

2y


= −2 lımy→∞

0

1

ey

= 0

∴ E (y2) = 2 y se tiene que V (y) = 2− (1)2

∴ V (y) = 1

5. El numero de barcos que llegan al Puerto de Valparaıso sigue un proceso de Poissoncon tasa de llegada cinco por dıa.

a) ¿Cual es la probabilidad de que transcurran mas de seis horas sin que arribeninguno?

b) Si el costo de operacion ”C” es una funcion del tiempo ocioso X (entre llegadas),donde C = 1 − e−5x, encuentre el costo medio, donde C se mide en millones depesos.

Desarrollo:

a) Sea N1: cantidad de barcos que llegan al puerto de Valparaıso en un dıa.N1 ∼ P (λ · 1)⇒ λ = 5Sea X: tiempo (dıas) entre llegadas consecutivas. X ∼ exp (λ) con λ = 5

fX (x) = 5e−5xI[0,∞[ (x)

Se pide calcular P (X > 0, 25) (un dıa tiene 24 horas, por lo que si queremos calcular

MAT031 HSR 50


la probabilidad que no lleguen barcos en mas de seis horas debemos hacer 624

= 0, 25)

P (X > 0, 25) =

∫ ∞0,25

5e−5x dx

= −e−5x |x=∞x=0,25

= −(

:0e−5·∞ − e−5·0,25

)= 0, 2865

∴ P (X > 0, 25) = 28, 65 %

b) Se pide el costo medio de ”C”, es decir E (C), por lo que se tiene:

E (C) = E(1− e−5x

)=

∫ ∞0

(1− e−5x

)5e−5x dx

=

∫ ∞0

5e−5x dx︸︷︷︸1

−1

2

∫ ∞0

10e−10x dx︸︷︷︸1

= 1− 1

2

=1

2

Es decir, el costo medio es de 500000 pesos

6. Demuestre que Z = X−µσ

tiene distribucion N (0, 1) si X ∼ N (µ, σ2)

Desarrollo:

Primer metodo, cambio de variable:

Sea FZ (z) = P (Z ≤ z)

P (Z ≤ z) = P(X − µσ

≤ z

)= P (X ≤ σz + µ)

= FX (σz + µ)

∴ FZ (z) = FX (σz + µ), derivando tenemos:

dFZ (z)

dz= F

′

Xσ

= fX (σz + µ)σ

=1√2πσ

e−12( (σz+µ)−µ

σ )2

σIR (z)

fZ (z) =1√2πe−

z2

2 IR (z)

MAT031 HSR 51


∴ Z ∼ N (0, 1)

Segundo metodo, Funcion generadora de momentos:

definicion de f.g.m.

ϕX (t) = E(ext)

=

∫ ∞−∞extfX (x) dx

Funcion generadora de momentos para la funcion densidad normal (µ, σ2):

ϕX (t) = eµt+t2σ2

2

Ocuparemos esta definicion para desmotrar lo pedido.

E(eZt)

= E(e(

X−µσ )t

)= E

(eXtσ−µtσ

)= E

(eXtσ

)· E(e−

µtσ

)= E

(eX( tσ )

)· E(e−

µtσ

)=

(eµ

tσ

+ t2

σ2σ2

2

)·(e−

µtσ

)= e

µtσ

+ t2

2−µtσ

= et2

2

∴ Z ∼ N (0, 1)

7. Sea x una V.A.C con funcion distribucion FX . Demostrar que Y = F X tiene funciondensidad U [0, 1]

Desarrollo:

Sea:

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P (F X ≤ y)

= P (FX (X) ≤ y)

= P(F−1X (FX (X)) ≤ F−1

X (y))

= P(X ≤ F−1

X (y))

= FX(F−1X (y)

)∴ FY (y) = y

Derivando se tiene:

dFY (y)

dy= 1 =⇒ fY (y) = 1

MAT031 HSR 52


∴ Y ∼ U [0, 1]

Nota: F debe ser creciente en [0, 1] para que exista FX(F−1X (X)

)= X

MAT031 HSR 53


6.2. Anexos (Variables Aleatorias Continuas)

Variables Aleatorias Continuas

Para que X sea un V.A.C. debe cumplir que:

• Su recorrido debe ser infinito no numerable.

• a) fX (x) ≥ 0 ∀x ∈ Rec (x)

b)

∫ ∞−∞fX (x) dx = 1

Algunas funciones de densidad importantes son:

• Uniforme: X ∼ U [a, b]

fX (x) =1

b− aI[a,b] (x)

Por Demostar:

B fX (x) ≥ 0 ∀x ∈ Rec (x). Es claro que fX (x) es mayor a cero ∀x ∈ Rec(x).

B∫ ∞−∞fX (x) dx = 1. Es decir:

∫ ∞−∞fX (x) dx =

∫ ∞−∞

1

b− aI[a,b] (x) dx

=

∫ b

a

1

b− adx

=x

b− a

∣∣∣∣x=b

x=a

=

1b− ab− a

= 1

Con los dos puntos anteriores se demuestra que fX(x) es funcion densidad.

MAT031 HSR 54


• Exponencial: X ∼ exp (λ)

fX (x) = λe−λxI[0,∞[ (x)

Por Demostar:


B∫ ∞−∞fX (x) dx = 1. Es decir:∫ ∞

−∞fX (x) dx =

∫ ∞−∞λe−λxI[0,∞[ (x) dx

=

∫ ∞0

λe−λx dx

= −e−λx∣∣x=∞x=0

= −

(

:0e−λ·∞ −

*1e−λ·0

)= − (−1)

= 1

Con los dos puntos anteriores se demuestra que fX(x) es funcion densidad.

• Normal: X ∼ N (µ, σ2)

fX (x) =1√2πσ

e−12(

x−µσ )

2

IR (x)

Por Demostrar:


B∫ ∞−∞fX (x) dx = 1. Es decir:∫ ∞−∞fX (x) dx =

∫ ∞−∞

1√2πσ

e−12(x−µσ )

2

IR (x) dx

=

∫ ∞−∞

1√2πσ

e−12(x−µσ )

2

dx Haciendo z = x−µσ→ dz = 1

σdx

=

∫ ∞−∞

1√2πe−

z2

2 dz

=1√2π

∫ ∞−∞

e−z2

2 dz︸︷︷︸Aparte

MAT031 HSR 55


Aparte, sea: ∫ ∞−∞

e−z2

2 dz = I =⇒(∫ ∞−∞

e−z2

2 dz

)2

= I2

Resolvamos I2:(∫ ∞−∞

e−z2

2 dz

)2

=

(∫ ∞−∞

e−z2

2 dz

)·(∫ ∞−∞

e−z2

2 dz

)=

(∫ ∞−∞

e−z2

2 dz

)·(∫ ∞−∞

e−y2

2 dy

)=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−z2

2 e−y2

2 dz dy

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−z2

2− y

2

2 dz dy

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−12(z2+y2) dz dy

Recordatorio cambio de variables:∫∫A

af (x, y) dA =

∫∫A′af (x (u, v) , y (u, v)) J

(x, y

u, v

)dA′

Donde:

J

(x, y

u, v

)=

∣∣∣∣ ∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣ =∂x

∂u· ∂y∂v− ∂x

∂v· ∂y∂u

Haciendo el siguiente cambio de variables:

z = r cos θ y = r sin θ con 0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ r ≤ ∞

y calculando:

J

(z, y

r, θ

)=

∣∣∣∣ ∂z∂r

∂z∂θ

∂y∂r

∂y∂θ

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ cos θ −r sin θsin θ r cos θ

∣∣∣∣= r cos2 θ −

(−r sin2 θ

)= r

(sin2 θ + cos2 θ

)= r

MAT031 HSR 56


por lo que:∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−12(z2+y2) dz dy =

∫ 2π

0

∫ ∞0

e−12 [(r cos θ)2+(r sin θ)2]r dr dθ

=

∫ 2π

0

∫ ∞0

e−12 [r2(cos2 θ+sin2 θ)]r dr dθ

=

∫ 2π

0

∫ ∞0

e−r2

2 r dr dθ

=

∫ 2π

0

−e−r2

2

∣∣∣∣r=∞r=0

dθ

= −∫ 2π

0

*0e−∞2

2 −>

1

e−02

2

dθ

= −∫ 2π

0

(−1) dθ

=

∫ 2π

0

dθ

= θ|2π0= 2π

∴ I2 = 2π =⇒ I =√

2π, es decir:∫ ∞−∞

1√2πσ

e−12(x−µσ )

2

IR (x) dx =1√2π

√2π

= 1

∴ se demuestra que fX(x) es funcion densidad.

MAT031 HSR 57


• Gamma:X ∼ Gamma (α, λ) conX = Tiempo que transcurre hasta la α− esima ocurrencia.

fX (x) =λα

Γ (α)xα−1e−λx si x > 0 y λ, α > 0

con

Γ (α) =

∫ ∞

0

xα−1e−x dx si α ∈ R

(α− 1) · Γ (α− 1) = (α− 1)! si α ∈ N

• Beta: X ∼ Beta (α, β)

fX (x) =Γ (α + β)

Γ (α) Γ (β)xα−1 (1− x)β−1 si x ∈ [0, 1] y α, β > 0

con

Γ (α + β) =

∫ ∞

0

x(α+β)−1e−x dx si α, β ∈ R

((α + β)− 1) · Γ ((α + β)− 1) = ((α + β)− 1)! si α, β ∈ N

Γ (α) =

∫ ∞

0

xα−1e−x dx si α ∈ R

(α− 1) · Γ (α− 1) = (α− 1)! si α ∈ N

Γ (β) =

∫ ∞

0

xβ−1e−x dx si β ∈ R

(β − 1) · Γ (β − 1) = (β − 1)! si β ∈ N

MAT031 HSR 58


7. Ayudantıa 7

7.1. Distribucion Normal

1. El peso de ninos espanoles al momento de nacer se distribuye normal, si sabemos queel peso medio en el momento de nacer es de 3,25 kg y la desviacion tıpica es de 0,82 kg¿Cual es la probabilidad de que el peso de un nino, al nacer, sea superior a 4 kg?

Desarrollo:

Sea X: Peso de los ninos espanoles al momento de nacer. X ∼ N(3, 25; 0, 822). Se pidecalcular:

P (X ≥ 4) (Probabilidad de que el peso de un nino al nacer, sea superior a 4 kg.)

Para utilizar la tabla debemos “normalizar” , es decir:

P (X ≥ 4) = P

X − µσ︸︷︷︸Z

≥ 4− µσ

= P

(Z ≥ 4− 3, 25

0, 82

)= P (Z ≥ 0, 9146)

= Φ (0, 9146)

buscando en la tabla se tiene:

∴ Φ (0, 9146) = P (Z ≥ 0, 9146) = 0, 18 (Aprox)

2. El diametro de cierto eje se distribuye N(2, 79; 0, 012) medidos en centımetros. Si lasmedidas del diametro se encuentran dentro del rango 2, 77± 0, 03 cm. entonces se diceque estan en buen estado.

a) Si se producen 1000 ejes, ¿Cuantos se esperan defectuosos?

b) ¿Que probabilidad hay de que a lo mas 2 mediciones de ejes se desvien en mas de0,02 cm. con respecto a la media en una muestra de tamano 10?

Desarrollo:

a) X: Diametro del eje. X ∼ N(2, 79; 0, 012). Notar que si:

2, 77− 0, 03 < X < 2, 77 + 0, 03

MAT031 HSR 59


el eje estara correcto. Por lo que la probabilidad de defecto viene dada por:

P (X ≤ 2, 74) + P (X ≥ 2, 80) = P(X − 2, 79

0, 01≤ 2, 74− 2, 79

0, 01

)= +P

(X − 2, 79

0, 01≥ 2, 80− 2, 79

0, 01

)=

:0

P (Z ≤ −5) + P (Z ≥ 1)

= P (Z ≥ 1)

= Φ (1)

= 0, 1587

luego, 1000 · 0, 1587 = 158, 7.

∴ 159 ejes defectuosos

b) X: diametro de los ejes. X ∼ N(2, 79; 0, 012). Nueva especificacion:

2, 79− 0, 02 < X < 2, 79 + 0, 02

por lo que debemos calcular:

P(A) = P (X ≤ 2, 77) + P (X ≥ 2, 81) = P(X − 2, 79

0, 01≤ 2, 77− 2, 79

0, 01

)= +P

(X − 2, 79

0, 01≥ 2, 81− 2, 79

0, 01

)= P (Z ≤ −2) + P (Z ≥ 2)

= 2P (Z ≤ 2)

= 2Φ(2)

= 0, 456

∴ P(A) = 4, 56 %

Sea Y : Cantidad de ejes desviados. Y ∼ Bin(n, p) con n = 10 y p = 0, 0456

P(Y ≤ 3) =2∑y=0

(10y

)0, 0456y (1− 0, 0456)10−y

= 0, 991

∴ P(Y ≤ 2) = 99, 1 %

3. Se sabe que una fabrica produce cierto tipo de ampolletas cuya vida util se distribuyenormal. Se sabe que el 6,68 % de las veces duran mas de 9200 horas y un 97,72 % de lasveces duran mas de 6400 horas.

a) Encuentre los parametros de la distribucion.

MAT031 HSR 60


b) Determinar la probabilidad de que la vida util de la ampolleta sea mayor a 9600horas.

Desarrollo:

a) Se sabe que:

P(X > 9200) = 0, 0668P(X > 6400) = 0, 9772

por lo que tenemos.

=P(X > 9200) = 0,0668P(X > 6400) = 0,9772

=P(Z >

9200− µσ

)= 0,0668

P(Z >

6400− µσ

)= 0,9772

=Φ

(9200− µ

σ

)= 0,0668

Φ

(6400− µ

σ

)= 0,9772

=

(9200− µ

σ

)= Φ−1(0, 0668)(

6400− µσ

)= Φ−1(0, 9772)

=

= Notar que Φ−1(0, 0668) = 1, 5 y Φ−1(0, 9772) = −2

=

=

(9200− µ

σ

)= 1,5(

6400− µσ

)= -2

Resolviendo el sistema se tiene que:

µ = 8000 y σ = 800

∴ X ∼ N(8000, 8002)

b) Sea: Y : vida util de la ampolleta. Y ∼ N(8000, 8002)

P(Y > 9600) = P(Z >

9600− 8000

800

)= P(Z > 2)

= Φ(2)

= 0, 0228

MAT031 HSR 61


∴ P(X > 9600) = 2, 28 %

7.2. Cambio de Variables

1. Sea la funcion:hX(x) = ke−|x| con x ∈ R

a) Calcular la constante k para que sea funcion densidad.

b) Si X tiene funcion densidad hX(x) e Y = 25X2, encontrar hY (y) y verificar que esfuncion densidad.

Desarrollo:

a) ∫ ∞−∞ke−|x| dx = 1∫ 0

−∞kex dx+

∫ ∞0

ke−x dx = 1

2

∫ ∞0

ke−x dx = 1

2k

∫ ∞0

e−x dx︸︷︷︸1

= 1

∴ k =1

2

b) Sea:

HY (y) = P (Y ≤ y)

= P(25X2 ≤ y

)= P (| 5X |≤ √y)

= P(| X |≤

√y

5

)= P

(−√y

5≤ X ≤

√y

5

)

= P(X ≤

√y

5

)−

:

X ∈ R+0

P(X ≤ −

√y

5

)= P

(X ≤

√y

5

)= HX

(√y

5

)MAT031 HSR 62


derivando se tiene que:

dHY (y)

dy= H ′X

(√y

5

)= hY

(√y

5

)1

5

1

2√y

=1

2e|√y

5| 1

10√yI]0,∞[(y)

∴ hY (y) =1

20√ye√y

5 I]0,∞[(y)

7.3. Funcion Generadora de Momentos

1. Sea X una V.A. con funcion generadora de momentos ϕX(t), entonces si Y = aX + b,demostrar que ϕY (t) = ebtϕX(at)

Desarrollo:

Sea:

ϕY (t) = E(eY t)

= E(e(aX+b)t)

= E(eaXt · ebt)= E(ebt)E(eaXt)

= ebtE(eXat)

∴ ϕY (t) = ebtϕX(at)

2. Si X1, X2, . . . , Xn son variables aleatorias independientes y distribuidas N(µ, σ2), de-mostrar que

Y =n∑i=1

Xi

n

tiene distribucion N(µ, σ

2

n

).

Desarrollo:

MAT031 HSR 63


ϕY (t) = E(eY t)

= E(e(∑ni=1

Xin )t)

= E

(n∏i=1

eXitn

)

=n∏i=1

E(eXi

tn

)(por independencia de las variables)

=n∏i=1

(eµ

tn

+σ2

2 ( tn)2)

=

(e

(µt+ t2

2σ2

n

) 1

n)n

= e

(µt+ t2

2σ2

n

)

∴ Y ∼ N

(µ,σ2

n

)

MAT031 HSR 64


7.4. Extras (Demostracion VAD)

1. Demuestre que si X es una variable aleatoria con distribucion geometrica, entonces secumple que

P (X > n+ k | X > n) = P (X > k)

Interprete esta propiedad.

Desarrollo:

P (X > n+ k | X > n) =P (X > n+ k,X > n)

P (X > n)

=P (X > n+ k)

P (X > n)

=

∞∑x=n+k+1

p (1− p)x−1

∞∑x=n+1

p (1− p)x−1

Aparte:

∞∑x=k

ax = ak + ak+1 + ak+2 + . . . (-1)

a∞∑x=k

ax = ak+1 + ak+2 + ak+3 . . . (0)

Restando (1) y (2) tenemos:

∞∑x=k

ax(1− a) = ak , o bien

∞∑x=k

ax =ak

1− a

volviendo a lo nuestro tenemos:

=(1− p)n+k+1

(1− p)n+1

= (1− p)k

= P (X > k)

∴ P (X > n+ k | X > n) = P (X > k)

Lo que se interpreta como que el numero de ensayos Bernoulli que ya se han realizadobuscando el primer exito no influyen en que se realicen k ensayos mas.

MAT031 HSR 65


8. Ayudantıa 8


1. Sea X ∼ N(µ, σ2), si µ = 0 y σ2 = 1, demuestre que Y = X2 se distribuye Γ (α, λ).Ademas identifique los parametros α y λ

Desarrollo:

sea:

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P(X2 ≤ y

)= P (| X |≤ √y)

= P (−√y ≤ X ≤ √y)

= P (X ≤ √y)− P (X ≤ −√y)

= FX (√y)− FX (−√y)

derivando tenemos

dFY (y)

dy= F ′X (

√y)− F ′X (−√y)

= fX (√y)

1

2√y− fX (−√y)

(− 1

2√y

)= fX (

√y)

1

2√y

+ fX (−√y)1

2√y

=1√2πe−

12(√y)

2 1

2√y

+1√2πe−

12(−√y)

2 1

2√y

=1

2√

2πye−

y2 +

1

2√

2πye−

y2

=1√

2π√ye−

y2 IR+(y)

∴ fY (y) =1√

2π√ye−

y2 IR+(y)

funcion Gamma es de la forma:

fX (x) =λα

Γ (α)xα−1e−λx si x > 0 y λ, α > 0

por lo que escribiremos la funcion densidad de Y de dicha forma.

fY (y) =

(12

) 12

√πy

12−1e−

12yIR+(y)

MAT031 HSR 66


∴ fY (y) =

(12

) 12

√πy

12−1e−

12yIR+(y)

con: α =1

2, λ =

1

2y Γ(α) =

√π

NOTA:

Γ (α) =

∫ ∞0

tα−1e−t dt α =1

2

=

∫ ∞0

t12−1e−t dt

=

∫ ∞0

t−12 e−t dt

= haciendo: u2 = t −→ 2u du = dt

= 2

∫ ∞0

e−u2

du︸︷︷︸Aparte

Aparte, sea: ∫ ∞0

e−u2

du = I =⇒(∫ ∞

0

e−u2

du

)2

= I2

Resolvamos I2: (∫ ∞0

e−u2

du

)2

=

(∫ ∞0

e−u2

du

)·(∫ ∞

0

e−u2

du

)=

(∫ ∞0

e−u2

du

)·(∫ ∞

0

e−z2

dz

)=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−u2

e−z2

du dz

=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−u2−z2 du dz

=

∫ ∞0

∫ ∞0

e−(u2+z2) du dz

Haciendo el siguiente cambio de variables:

u = r cos θ z = r sin θ con 0 ≤ θ ≤ π

2y 0 ≤ r <∞

MAT031 HSR 67


y calculando:

J

(z, y

r, θ

)=

∣∣∣∣ ∂z∂r

∂z∂θ

∂y∂r

∂y∂θ

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ cos θ −r sin θsin θ r cos θ

∣∣∣∣= r cos2 θ −

(−r sin2 θ

)= r

(sin2 θ + cos2 θ

)= r

por lo que: ∫ ∞0

∫ ∞0

e−(u2+z2) du dz =

∫ π2

0

∫ ∞0

e−[(r cos θ)2+(r sin θ)2]r dr dθ

=

∫ π2

0

∫ ∞0

e−[r2(cos2 θ+sin2 θ)]r dr dθ

=

∫ π2

0

∫ ∞0

e−r2

r dr dθ

=

∫ π2

0

−e−r2

2

∣∣∣∣∣r=∞

r=0

dθ

= −1

2

∫ π2

0

(

*0e−∞

2 −*1

e−02

)dθ

= −1

2

∫ π2

0

(−1) dθ

=1

2

∫ π2

0

dθ

=1

2θ

∣∣∣∣π20

=π

4

∴ I2 =π

4=⇒ I =

√π

2, es decir:∫ ∞

0

e−u2

du =

√π

2=⇒ Γ

(1

2

)= 2

(√π

2

)

∴ Γ

(1

2

)=√π

2. Sea X ∼ N(µ, σ2), si Y = aX+ b, donde a, b ∈ R, demuestre que Y ∼ N (aµ+ b, a2σ2)

Desarrollo:

MAT031 HSR 68


Sea FY (y) = P (Y ≤ y), sabiendo esto desarrollamos:

P (Y ≤ y) = P (aX + b ≤ y)

= P(X ≤ y − b

a

)= FX

(y − ba

)derivando se tiene:

dFY (y)

dy= F ′X

(y − ba

)= fX

(y − ba

)1

a

Reemplazando en la funcion densidad de X tenemos:

=1√2πσ

e−12( (y−b)−aµ

aσ )2 1

aIR(y)

=1√

2πaσe−

12( y−(aµ+b)

aσ )2

IR(x)

∴ Y ∼ N(aµ+ b, a2σ2)

3. Considere una variable aleatoria Z con funcion densidad dada por:

fZ(z) =

cαβ

zβ+1, z ≥ α , β > 1 , α > 0

0 , en otro caso

a) Calcule el valor de c.

b) Calcule E(Z).

c) Sea X = ln(Z), calcule fX(x)

Desarrollo:

a) De acuerdo a la definicion de funcion densidad, tenemos:∫ ∞−∞fZ(z) dz = 1

=⇒∫ ∞α

cαβ

zβ+1= 1

=⇒ cαβ(− 1

βzβ

)∣∣∣∣∞α

= 1

=⇒ cαβ

βαβ= 1

MAT031 HSR 69


∴ c = β

b) Por definicion:

E(Z) =

∫ ∞−∞zfZ(z) dz

=

∫ β

α

zβαβ

zβ+1dz

=

∫ ∞α

βαβ

zβdz

= αββ

(− 1

(β − 1) zβ−1

)∣∣∣∣∞α

= 0− αββ(− 1

(β − 1)αβ−1

)=

αβ

β − 1

∴ E(Z) =αβ

β − 1

c) Ocuparemos la definicion de cambio de variable:

FX(x) = P (X ≤ x)

= P (lnZ ≤ x)

= P (Z ≤ ex)

= FZ(ex)

derivando tenemos que:

d

dxFX(x) = F ′Z(ex)

= fZ(ex)ex

=βαβ

ex(β+1)ex

= βαβe−βx

∴ fX(x) = βαβe−βx I[ln(α),∞[(x)

4. Sea X una variable aleatoria con funcion densidad:

f(x) =3x2

θe−

x3

θ I[0,∞[(x) ; θ > 0

Se define Y =X2

θ, encontrar la funcion densidad de Y .

Desarrollo:

MAT031 HSR 70


FY (y) = P (Y ≤ y)

= P(X2

θ≤ y

)= P

(X2 ≤ θy

)= P

(| X |≤

√θy)

= P(−√θy ≤ X ≤

√θy)

= P(X ≤

√θy)−

:

X ∈ [0,∞[

P(X ≤ −

√θy)

= FX

(√θy)

derivando tenemos:

d

dyFY (y) = F ′X

(√θy)

= fX(√θy)

θ

2√θy

= 3

(√θy)2

θe−

(√θy)3

θθ

2√θy

=3

2

√θye−

√θy3/2

∴ fY (y) =3

2

√θye−

√θy3/2 I[0,∞[(y)

MAT031 HSR 71


9. Ayudantıa 9

9.1. Vectores aleatorios

1. Un autobus llega a una parada con distribucion uniforme sobre el intervalo de cero a unahora (X). Un pasajero tambien llega a la parada en instantes distribuidos uniformementesobre el intervalo de cero a una hora (Y ). Supongase que los tiempos de llegada de unautobus y del pasajero son independientes entre sı y que el pasajero esta dispuesto aesperar el autobus hasta por un cuarto de hora.

a) Determine la funcion densidad conjunta.

b) ¿Cual es la probabilidad de que tal pasajero pueda abordar el autobus?

c) Obtenga P(Y < 1

4| X < 1

2

). Interprete.

Desarrollo:

a) De acuerdo al enunciado tenemos: fX(x) = 1I[0,1](x) y fY (y) = 1I[0,1](y). Al servariables aleatorias independientes su funcion densidad conjunto viene dada por:

fXY (x, y) = fX(x)fY (y)

∴ fXY (x, y) = 1 con 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1

b) Se pide calcular: P(X ≤ 0, 25, Y ≤ 0, 25)

=

∫ 0,25

0

∫ 0,25

0

dx dy

=

∫ 0,25

0

x

∣∣∣∣0,25

0

dy

= 0, 25y|0,250

∴ P(X ≤ 0, 25, Y ≤ 0, 25) =1

16

c)

P(Y <

1

4| X <

1

2

)=

∫ 0,5

0

∫ 0,25

0

dy dx∫ 1

0

∫ 0,25

0

dx dy

=1812

=1

4

MAT031 HSR 72


∴ P(Y <

1

4| X <

1

2

)=

1

4

Es decir, la probabildad de que el pasajero tome el bus en a lo mas 15 minutos,dado que el bus pasa en 30 minutos es de 25 %

2. Suponga que las variables aleatorias X e Y tienen distribucion conjunta

fXY (x, y) =

k(x2 + y2) 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1

0 en otro caso

a) Determine k, para que fXY (x, y) sea funcion densidad.

b) Encuentre las densidades marginales de X y Y .

c) ¿Son X e Y variables independientes? ¡Justifique!.

d) Encuentre las densidades condicionales de X e Y .

e) Calcular P(Y < 12| X = 1

2) y P(X < 1

2| Y ≤ 1

2).

f ) Encuentre E(X), V(X), E(Y ) y V(Y ).

g) Encuentre E(X | Y = y)

Desarrollo:

a) Para que sea funcion densidad, debe cumplir que:

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞fXY (x, y) dx dy = 1

∫ 1

0

∫ 1

0

k(x2 + y2) dx dy = 1

k

∫ 1

0

∫ 1

0

(x2 + y2) dx dy = 1

k

[∫ 1

0

(x3

3+ xy2

)∣∣∣∣x=1

x=0

dy

]= 1

k

[∫ 1

0

(1

3+ y2

)dy

]= 1

k

[(y

3+y3

3

)∣∣∣∣y=1

y=0

]= 1

k

[2

3

]= 1

∴ k =3

2

MAT031 HSR 73


b) La funcion densidad de X viene dada por:

fX(x) =

∫ 1

0

3

2(x2 + y2) dy

=3

2

(+yx2y

3

3

)∣∣∣∣y=1

y=0

=3

2x2 +

1

2

∴ fX(x) =3

2x2 +

1

20 ≤ x ≤ 1

La funcion densidad de Y viene dada por:

fY (y) =

∫ 1

0

3

2(x2 + y2) dx

=3

2

(x3

3+ xy2

)∣∣∣∣x=1

x=0

=3

2y2 +

1

2

∴ fY (y) =3

2y2 +

1

20 ≤ y ≤ 1

c) Las variables no son independientes, pues:

3

2(x2 + y2) 6=

(3

2x2 +

1

2

)(3

2y2 +

1

2

)

d)

fY |X(x, y) =fXY (x, y)

fX(x)

=32(x2 + y2)32x2 + 1

2

∴ fY |X(x, y) =3(x2 + y2)

3x2 + 1

fX|Y (x, y) =fXY (x, y)

fY (y)

=32(x2 + y2)32y2 + 1

2

∴ fX|Y (x, y) =3(x2 + y2)

3y2 + 1

MAT031 HSR 74


e)

P(Y <1

2| X =

1

2) =

∫ 1/2

0

3((1/2)2 + y2)

3(1/2)2 + 1dy

= 0, 2857

∴ P(Y <1

2| X =

1

2) = 28, 57 %

P(X <1

2| Y ≤ 1

2) =

P(X < 12, Y ≤ 1

2)

P (Y ≤ 12)

=

∫ 1/2

0

∫ 1/2

0

3

2(x2 + y2) dx dy∫ 1/2

0

3

2y2 +

1

2dy

=132516

∴ P(X <1

2| Y ≤ 1

2) =

1

10

f )

E(X) =

∫ 1

0

x

(3

2x2 +

1

2

)dx

=

∫ 1

0

3

2x3 +

x

2dx

=

(3

8x4 +

x2

4

)∣∣∣∣10

=3

8+

1

4

∴ E(X) =5

8

Notar que E(Y ) =5

8, por simetrıa.

MAT031 HSR 75


E(X2) =

∫ 1

0

x2

(3

2x2 +

1

2

)dx

=

∫ 1

0

3

2x4 +

x2

2dx

=

(3

10x5 +

x3

6

)∣∣∣∣10

=3

10+

1

6

∴ E(X2) =7

15

Notar que E(Y 2) =7

15, por simetrıa.

Finalmente la varianza de X es:

V(X) = E(X2)− [E(X)]2

=7

15−(

5

8

)2

=7

15− 25

64

∴ V(X) = 0, 076

y la varianza de Y es V(Y ) = 0, 076 , por simetrıa.

g)

E(X | Y = y) =

∫ 1

0

x(fX|Y=y(x, y)

)dx

=

∫ 1

0

x

(3(x2 + y2)

3y2 + 1

)dx

=3

3y2 + 1

∫ 1

0

x3 + xy2 dx

=3

3y2 + 1

(x4

4+x2

2y2

)∣∣∣∣10

=3

3y2 + 1

(1

4+y2

2

)

∴ E(X | Y = y) =3

4

(1 + 2y2

1 + 3y2

)

MAT031 HSR 76


9.2. Extras (Vectores Aleatorios)

Un vector aleatorio se define como

X : Ω −→ R2

ω −→ (X(ω), Y (ω))

los sucesos seran de la forma (X, Y ) ∈ A con A ⊂ R2.

• Distribucion conjunta

a) Caso Discreto: X e Y dos variables aleatorias discretas, se define la funcion deprobabilidad conjunta de X e Y como

F (X, Y ) : R2 −→ [0, 1](X, Y ) −→ F (X, Y )

debe cumplir que:

i) F (X, Y ) ≥ 0 ∀ (x ∈ Rec(x))× (y ∈ Rec(y))

ii)∑

x∈Rec(x)

∑y∈Rec(y)

F (X, Y ) = 1

b) Caso Continuo: X e Y variables aleatorias continuas, si existe una funcion fXY nonegativa e integrable tal que:

P ((X, Y ) ∈ A) =

∫∫A

fXY (x, y) dA

∀A ⊂ R2.

Dicha funcion se llama funcion densidad conjunta de X e Y , y cumple que.

i) fXY ≥ 0 ∀ (x ∈ Rec(x))× (y ∈ Rec(y))

ii)

∫ ∫︸︷︷︸

(x,y)∈Rec(x,y)

fXY (x, y) dA = 1

para este caso se tiene que:

fXY (x, y) =∂2FXY∂x∂y

MAT031 HSR 77


c) Distribuciones marginales:

i) de X:∑

y∈Rec(y)

F (X, Y ) o

∫︸︷︷︸

y∈Rec(y)

fXY (x, y) dy

ii) de Y :∑

x∈Rec(x)

F (X, Y ) o

∫︸︷︷︸

x∈Rec(x)

fXY (x, y) dx

Diremos que X e Y son independientes ssi:

fXY (x, y) = fX(x)fY (y)

d) Funciones condicionales:

i) de X dado Y

fX|Y =fXY (x, y)

fY (y)

fX|Y=a =fXY (x, a)

fY (a)

ii) de Y dado X

fY |X =fXY (x, y)

fX(x)

fY |X=a =fXY (a, y)

fX(a)

e) Esperanza condicional:

i) E (X/Y = a) =

∫ ∞−∞xfXY (x, a)

fY (a)dx

ii) E (Y/X = a) =

∫ ∞−∞yfXY (a, y)

fX(a)dy

f ) Varianza condicional:

i) V (X/Y = a) = E (X2/Y = a)− (E (X/Y = a))2

E(X2/Y = a

)=

∫ ∞−∞x2fXY (x, a)

fY (a)dx

ii) V (Y/X = a) = E (Y 2/X = a)− (E (Y/X = a))2

E(Y 2/X = a

)=

∫ ∞−∞y2fXY (a, y)

fX(a)dy

MAT031 HSR 78


g) Algunas propiedades:

i) E(X, Y ) = (E(X),E(Y ))

ii) E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y )

iii) V(aX + bY ) = a2V(X) + b2V(Y ) ; ssi X e Y son independientes.

iv) V(aX + bY ) = a2V(X) + b2V(Y )− 2ab cov(X, Y ) ; ssi X e Y son dependientes.y

cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y )

v) E(X) =

∫ ∞−∞xf−→

X(x) dx

vi) E(Y ) =

∫ ∞−∞yf−→

X(y) dy

vii) E(XY ) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞xyf−→

X(x, y) dx dy

MAT031 HSR 79


10. Ayudantıa 10

10.1. Vectores aleatorios Discretos

1. En un experimento se necesitan dos Scanners. De los cinco disponibles, dos tienendesperfectos electronicos, otro tiene un defecto de memoria y dos se hallan en buenascondiciones de operacion. Si se seleccionan dos unidades al azar, determinar:

a) La funcion de cuantıa conjunta de las variables aleatorias X e Y , en donde:

• X: Numero de unidades con defectos electronicos.

• Y : Numero de unidades con defecto de memoria.

b) Determine la probabilidad de que entre las dos unidades seleccionadas, se produzcan0 o 1 defectos en total.

c) Determine la esperanza y la varianza condicional de X dado Y = 0.

d) ¿Son X e Y variables aleatorias independientes? ¡Justifique!.

Desarrollo:

a) Sea:

• X: Numero de unidades con defectos electronicos; x = 0, 1, 2.

• Y : Numero de unidades con un defecto en la memoria; y = 0, 1.

Se pide calcular:

∴ fXY (x, y) =

(2x

)(1y

)(2

2− x− y

)(

52

) ; x+ y ≤ 2

Y 0 1X

01

10

2

10

3

10

14

10

2

10

3

5

21

100

1

5

3

5

2

51

MAT031 HSR 80


b) Se pide calcular: fXY (0, 0) + fXY (1, 0) + fXY (0, 1) =1

10+

4

10+

2

10=

7

10

∴ P(0, 1 o 2 defectos) =7

10

c)

E (X | Y = 0) =2∑

x=0

xfX|Y=0(x, y)

=2∑

x=0

xfXY (x,0)

fY (0)

= 0 ·11035

+ 1 ·41035

+ 2 ·11035

= 0 +2

3+

1

3

∴ E (X | Y = 0) = 1

E(X2 | Y = 0

)=

2∑x=0

x2fX|Y=0(x, y)

=2∑

x=0

x2fXY (x,0)

fY (0)

= 02 ·11035

+ 12 ·41035

+ 22 ·11035

= 0 +2

3+

2

3

=4

3

finalmente la varianza sera:

V(X | Y = 0) = E(X2 | Y = 0

)− [E (X | Y = 0)]2

=4

3− (1)2

∴ V (X | Y = 0) =1

3

d) Las variables no son independientes, pues:

fXY (0, 0) 6= fX(0)fY (0)

1

106= 3

10· 3

5

MAT031 HSR 81


10.2. Cambio de Variables en Vectores

1. Sean X e Y variables aleatorias con densidad conjunta dada por:

fXY (x, y) =1

x2y2, x ≥ 1 , y ≥ 1

Se definen las variables aleatorias U = XY , V = X/Y

a) Encuentre la funcion de densidad conjunta para las variables U y V . Es decir ladensidad del vector (U, V ).

b) Encuentre las densidades marginales para U y V .

c) Demuestre que las funciones encontradas en (b), son funciones densidad.

Desarrollo:

a) Notar que se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

U = XYV = X/Y

de la segunda ecuacion se obtiene que X = V Y , por lo que al reemplazar en laprimera se obtiene que: Y =

√U/V y X =

√UV , es decir x(u, v) =

√uv y

y(u, v) =√

uv. Ademas se requiere que x(u, v) ≥ 1 y y(u, v) ≥ 1, lo que nos entrega

que uv ≥ 1 y uv≥ 1, por lo tanto consideremos el siguiente conjunto:

D =

(u, v) : 1 ≤ u ,

1

u≤ v ≤ u

y la transformacion:

T : [1,∞[×[1,∞[ −→ D

(x, y) −→ T (x, y) =

(xyx/y

)La cual es una transformacion biyectiva, en efecto:

• T es inyectiva:Supongamos que T (x, y) = T (w, z). Entonces:

(1)xy = wz (2)x

y=w

z

Como x, y, w, z > 0, depejando x de (1) y reemplazandolo en (2) se obtieney = z, lo que implica en (1) que x = w. Luego se tiene que (x, y) = (w, z).

• T sobreyectiva:Sea (a, b) ∈ D. Entonces, considerando x =

√ab ≥ 1 y y =

√ab≥ 1, se

tiene que T (x, y) = (a, b). Lo cual es cierto por la forma en que fue definida latransformacion.

MAT031 HSR 82


La transformacion inversa de T es:

T−1 : D −→ [1,∞[×[1,∞[

(u, v) −→ T−1(u, v) =

( √uv√u/v

)Ahora calcularemos la matriz Jacobiana y su determinante:

JT−1(u, v) =

∣∣∣∣∣∣∣∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣√v

2√u

√u

2√v

1

2√uv

−√u

2√v3

∣∣∣∣∣∣∣∣Luego:

|det(JT−1(u, v))| =∣∣∣∣ √v2√u· −√u

2√v3−√u

2√v· 1

2√uv

∣∣∣∣ =1

2v

por lo que reemplazaremos de acuerdo a la definicion de cambio de variable:

fXY(T−1

1 (u, v), T−12 (u, v)

)|det(JT−1(u, v))|

con T−11 (u, v) =

√xy y T−1

2 (u, v) =√u/v Reemplazando tenemos:

fXY(T−1

1 (u, v), T−12 (u, v)

)|det(JT−1(u, v))| = 1

(√uv)

2(√

u/v)2

1

2v=

1

2u2v

finalmente la densidad conjunta para el vector aleatorio (U, V ) esta dada por:

fUV (u, v) =

1

2u2v, u ≥ 1 y

1

u≤ v ≤ u

0 , en otro caso

b) Consideremos u ≥ 1. La densidad marginal de U esta dada por:

fU(u) =

∫ ∞−∞fUV (u, v) dv

=

∫ u

1u

1

2u2vdv

=1

2u2ln v

∣∣∣∣v=u

v= 1u

=1

2u2(lnu− ln(1/u))

=1

2u2(lnu− (ln 1− lnu))

=lnu

u2

MAT031 HSR 83


∴ fU(u) =lnu

u2I[1,∞[(u)

Consideremos v > 0. La densidad marginal de V esta dada por:

fV (v) =

∫ ∞−∞fUV (u, v) du

=

∫ ∞max1/v,v

1

2u2vdu

=1

2v

(−1

u

)∣∣∣∣∞max1/v,v

=1

2v

7

0−1

∞− −1

max 1/v, v

=

1

2vmax 1/v, v

∴ fV (v) =1

max 2, 2v2I]0,∞[(v)

c) • Demostracion para fU(u).

Es claro que fU(u) ≥ 0 ∀u ≥ 1∫ ∞−∞fU(u) du =

∫ ∞1

lnu

u2du

= haciendo z = lnu→ dz =1

udu y dv =

1

u2du→ v = −1

u

=− lnu

u

∣∣∣∣∞1

+

∫ ∞1

1

u2dx

=>

0− lnu

u

∣∣∣∣∞1

+

∫ ∞1

1

u2dx

= ya que− ln 1

1= 0 y lım

u→∞

− lnu

u= 0

=

∫ ∞1

1

u2du

=

(−1

u

)∣∣∣∣∞1

= −

0

1

∞− 1

1

= 1

MAT031 HSR 84


∴∫ ∞

1

lnu

u2du = 1

Con lo anterior se demuestra que fU(u) es funcion densidad.

• Demostracion para fV (v).

Para este caso debemos dividir el recorrido de v en v ∈]0, 1[ y v ∈ [1,∞[. Dichoesto es claro que fV (v) ≥ 0∀ v ∈]0,∞[.∫ ∞−∞fV (v) dv =

∫ ∞0

1

max 2, 2v2dv

= notar que max 2, 2v2 = 2 en ]0, 1[ y max 2, 2v2 = 2v2 en [1,∞[,

= por lo que debemos calcular:

=

∫ 1

0

1

2dv +

∫ ∞1

1

2v2dv

=(v

2

)∣∣∣10

+

(− 1

2v

)∣∣∣∣∞1

=

1

2−0

0

2

+

−

01

2 · ∞− −1

2

=

1

2+

1

2= 1

∴∫ ∞

0

1

max 2, 2v2dv = 1

Con lo anterior se demuestra que fV (v) es funcion densidad.

MAT031 HSR 85


11. Ayudantıa 11

11.1. Estimacion Puntual

11.1.1. Metodo de los Momentos

1. Sea Xini=1 una muestra aleatoria de una poblacion con funcion densidad

fX (x, α) =

α2α

xα+1x ≥ 2

0 x < 2

calcule el estimador para α.

Desarrollo:

Para calcular el estimador de α debemos igualar el primer momento poblacional y elprimer momento muestral, es decir:

E (X) =n∑i=1

xin

se tiene que:

E (X) =

∫ ∞2

xα2α

xα+1dx

= α2α∫ ∞

2

1

xαdx

= α2α(x−α+1

−α + 1

)∣∣∣∣x=∞

x=2

(Solo converge si −α + 1 < 0 =⇒ α > 1)

=α2α

−α + 1

(

:0∞−α+1 − 2−α+1

)=

2α

α− 1

Sean∑i=1

xin

= Xn. Igualando, tenemos:

2α

α− 1= Xn

2α = Xn (α− 1)

2α = αXn −Xn

2α− αXn = −Xn

α(2−Xn

)= −Xn

α =Xn

Xn − 2

MAT031 HSR 86


Por lo que el estimador, por el metodo de los momentos, de α esta dado por:

α =

n∑i=1

xin

n∑i=1

xin− 2

2. El tiempo T (en segundos) que un ordenador tarda en ejecutar una tarea sigue unavariable aleatoria continua de funcion densidad

fT (t, α) =

α

tα+1t ≥ 1, α > 1

0 t < 1

a) Utilizando el metodo de los momentos, proponga un estimador para el parametroα.

b) Se ejecuta 5 veces la tarea, y se cronometra el tiempo que ha tardado cada vez.Estos tiempos son (en segundos):

6, 5, 3, 7, 2

Basandose en esta muestra, y el estimador de α anterior, estimar la probabilidadde que se tarde mas de 5 segundos en realizar la tarea.

Desarrollo:

a) Primero calculamos E (X)

E (T ) =

∫ ∞1

tα

tα+1dt

= α

∫ ∞1

1

tαdt

= α

(t−α+1

−α + 1

)∣∣∣∣t=∞t=1

=α

α− 1

Sean∑i=1

xin

= Xn. Igualando, tenemos:

α

α− 1= Xn

α = Xn (α− 1)

α = αXn −Xn

α− αXn = −Xn

α(1−Xn

)= −Xn

α =Xn

Xn − 1

MAT031 HSR 87


Por lo tanto el estimador propuesto es:

α =

n∑i=1

xin

n∑i=1

xin− 1

b) Primero debemos calcular el valor estimado de α, con los datos que se conocen.

5∑i=1

xi5

=x1 + x2 + x3 + x4 + x5

5

=6 + 5 + 3 + 7 + 2

5

=23

5

Por lo que el valor estimado de α esta dado por:

α =235

235− 2

α =23

13

∴ α = 1, 769

Por lo que la funcion densidad queda de la forma:

fT (t) =

1, 769

t2,769t ≥ 1, α > 1

0 t < 1

Se pide P (T > 5)

P (T > 5) =

∫ ∞5

1, 769

t2,769dt

= 1, 769

∫ ∞5

1

t2,796dt

= 1, 796

(t−2,796+1

−2, 796 + 1

)∣∣∣∣t=∞t=5

=>−1

1, 796

−1, 796

(

:0∞−1,796 − 5−1,796

)= − (−0, 05799)

∴ P (T > 5) = 5, 79 %

MAT031 HSR 88


11.1.2. Maxima Verosimilitud

1. En un experimento binomial se observan X = x exitos en n ensayos. Obtener el esti-mador de maxima verosimilitud del parametro binomial p.

Desarrollo:

La funcion binomial de X = x es

n!

(n− x)!x!px (1− p)n−x 0 ≤ p ≤ 1

Primero, definimos la funcion de verosimilitud:

F (xi, p) =n∏i=1

n!

(n− xi)!xi!pxi (1− p)n−xi

Ahora definimos la funcion log-verosımil:

ln (F (xi, p)) = ln

[n∏i=1

n!


]

=n∑i=1

ln

[n!


]=

n∑i=1

[ln (n!)− ln ((n− xi)!)− ln (xi!) + xi ln (p) + (n− xi) ln (1− p)]

= n ln (n!)−n∑i=1

ln ((n− xi)!)−n∑i=1

ln (xi!) + ln (p)n∑i=1

xi + ln (1− p)n∑i=1

(n− xi)

Luego, derivamos con respecto al parametro p e igualamos a cero:

∂ ln (F (xi, p))

∂p=

n∑i=1

xi

p−

n∑i=1

(n− xi)

1− p= 0

MAT031 HSR 89


Luego:n∑i=1

xi

p−

n∑i=1

(n− xi)

1− p= 0

n∑i=1

xi

p=

n∑i=1

(n− xi)

1− pn∑i=1

xi −n∑

i=1

xip = n2p−n∑

i=1

xip

p =

n∑i=1

xi

n2

p =1

n

n∑i=1

xin

p =1

n

n∑i=1

xin

luego encontramos la segunda derivada con respecto a p y evaluamos el punto obtenidoanteriormente:

∂2 ln (F (xi, p))

∂p2= −

n∑i=1

xi

p2−

n∑i=1

(n− xi)

(1− p)2

= −nXn

p2− n2 − nXn

(1− p)2

= Evaluando en p = nXn

= − p

p2− n2 − p

(1− p)2

= −(p

p2+

n2 − p(1− p)2

)notar que 0 ≤ p ≤ 1 y n2 > 0

∴∂2 ln (F (xi, p))

∂p2

∣∣∣∣p

< 0 ∀ p

con lo anterior se demuestra que

p =1

n

n∑i=1

xin

es el estimador de maxima verosimilitud para p

MAT031 HSR 90


12. Ayudantıa 12

12.1. Maxima Verosimilitud

1. La distancia X entre un arbol cualquiera y el arbol mas proximo a el en un bosquesigue una distribucion de Rayleigh con funcion densidad:

fX (x, φ) = 2φxe−φx2

x ≥ 0 φ > 0

basado en una muestra de tamano n:

a) Obtener el estimador de maxima verosimilitud de φ.

b) ¿Es insesgado el estimador encontrado en (a)?

c) ¿Es consistente dicho estimador?

d) Determine la cota de Cramer-Rao para φ.

Desarrollo:

a) Se deben seguir los siguientes pasos:

i) Definir la funcion de verosimilitud:

fXi (x1, x2, x3, . . . , xn, φ) = fX1 (x1, φ) · fX2 (x2, φ) · fX3 (x3, φ) · . . . · fXn (xn, φ)

=n∏i=1

fXi (xi, φ)

=n∏i=1

[2φxie

−φx2i IR+

0(xi)

]

∴ fXi (x1, x2, x3, . . . , xn, φ) =n∏i=1

[2φxie

−φx2i IR+

0(xi)

]ii) Definir la funcion Log-Verosımil:

ln [fXi (x1, x2, x3, . . . , xn, φ)] = ln

[n∏i=1

[2φxie

−φx2i IR+

0(xi)

]]

Luego aplicamos propiedades del ln para dejar expresada dicha funcion de la

MAT031 HSR 91


forma mas simple de derivar:

= ln

[n∏i=1

[2φxie

−φx2i IR+

0(xi)

]]

=n∑i=1

[ln[2φxie

−φx2i IR+

0(xi)

]]=

n∑i=1

[ln (2) + ln (φ) + ln (xi) + ln

(e−φx

2i

)+ ln

(IR+

0(xi)

)]=

n∑i=1

ln(2) +n∑i=1

ln(φ) +n∑i=1

ln(xi) +n∑i=1

ln(e−φx2i ) +

n∑i=1

ln(IR+

0(xi)

)= n ln (2) + n ln (φ) +

n∑i=1

ln(xi)− φn∑i=1

x2i +

n∑i=1

ln(IR+

0(xi)

)

∴ ln [fXi (x1, x2, . . . , xn, φ)] = n ln (2) + n ln (φ) +n∑i=1

ln(xi)− φn∑i=1

x2i +

n∑i=1

ln(IR+

0(xi)

)iii) Derivamos con respecto al parametro φ e igualamos a cero:

∂L

∂φ=n

φ−

n∑i=1

x2i (Donde L es la funcion Log-Verosımil)

n

φ−

n∑i=1

x2i = 0 =⇒ φ =

nn∑i=1

x2i

iv) Finalmente calculamos la segunda derivada y evaluamos:

∂2L

∂φ2

∣∣∣∣φ=φ

= − n

φ2

∣∣∣∣φ=φ

=⇒ − n

φ2< 0 ∀n, φ

Con esto tenemos que el estimador de Maxima Verosimilitud para φ es:

φ = n

(n∑i=1

x2i

)−1

MAT031 HSR 92


b) Para determinar si es insesgado, debemos demostrar que E(φ)

= φ

E(φ)

= E

n[ n∑i=1

x2i

]−1

= nE

[ n∑i=1

x2i

]−1

=n

n∑i=1

E(x2i

)Por lo que calcularemos E (x2):

E(x2)

=

∫ ∞0

x22φxe−φx2

dx

= −x2e−φx2∣∣∣∞0

+

∫ ∞0

2xe−φx2

dx

= notar que lımx→∞−x2e−φx

2

= 0 (l’Hopital)

=

∫ ∞0

2xeφx2

dx

=1

φ

∫ ∞0

2φxeφx2

dx︸︷︷︸1

=1

φ

Luego, reemplazamos:

nn∑i=1

E(x2i

) =nn∑i=1

1

φ

=nn

φ= φ

∴ E(φ)

= φ

El estimador es insesgado.

MAT031 HSR 93


c) Para analizar consistencia debemos calcular lımn→∞

V(φ)

= 0, ya que el estimador es

insesgado.

lımn→∞

V(φ)

= lımn→∞

V(

n∑ni=1 x

2i

)= lım

n→∞n2 1

n∑i=1

V(x2i

)= lım

n→∞n2 1

n∑i=1

(E(x4i

)−[E(x2i

)]2)

notar que E (x2) = 1φ, ahora calculamos:

E(x4)

=

∫ ∞0

x42φxe−φx2

dx

= −x4e−φx2∣∣∣∞0

+

∫ ∞0

4x3e−φx2

dx

=2

φ

∫ ∞0

x22φxe−φx2

dx︸︷︷︸E(x2)

=2

φ· 1

φ

=2

φ2

reemplazando:

lımn→∞

n2 1n∑i=1

(E(x4i

)−[E(x2i

)]2) = lımn→∞

n2 1n∑i=1

(2

φ2− 1

φ2

)= lım

n→∞n2 1

n∑i=1

1

φ2

= lımn→∞

n21

nφ2

= lımn→∞

nφ2

finalmente se tiene quelımn→∞

nφ2 =∞ 6= 0

Es decir, el estimador NO es consistente.

MAT031 HSR 94


d) La cota de Cramer-Rao se calcula como:

V (φ) ≥ 1

−E(∂2L

∂φ2

)Aparte,

E(∂2L

∂φ2

)= E

(− n

φ2

)= −nE

(1

φ2

)= − n

φ2

Reemplazando,

∴ V (φ) ≥ φ2

n

2. Considere una muestra aleatoria X1, X2, . . . , Xn con funcion densidad dada por:

fX (x, α, θ) =

α

θxα−1 exp

−x

α

θ

, x > 0, θ > 0, α > 0

0 , en otro caso

a) Demuestre que la funcion densidad de Y = Xα es exponencial de parametro 1/θ.

b) Calcule el EMV de θ.

c) Muestre que es insesgado y calcule su varianza.

d) Calcule la cota de Cramer-Rao de θ y determine si el estimador es eficiente.

Desarrollo

a)

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P (Xα ≤ y)

= P (X ≤ α√y)

∴ FY (y) = FX ( α√y)

Derivando obtenemos la funcion densidad de Y

dFY (y)

dy= F ′X ( α

√y)

= fX ( α√y)(α−1y

1α−1)

MAT031 HSR 95


Reemplazando queda:

α

θxα−1 exp

−x

α

θ

(α−1y

1α−1)∣∣∣∣

x= α√y

=α

θ( α√y)α−1 exp

−(α√y)α

θ

(α−1y

1α−1)

=α

θ( α√y)α−1 exp

−(α√y)α

θ

(α−1y

1α−1)

=1

θexp

−yθ

y1− 1

αy1α−1

=1

θexp

−yθ

∴ fY (y) =

1

θe−

yθ IR+

0(y)

luego la funcion densidad de y es exponencial de parametro 1θ

b) El estimador de maxima verosimilitud, viene dado por:

fXi (xi, θ) =n∏i=1

α

θxα−1i exp

−x

αi

θ

IR+ (xi) Funcion de Verosimilitud

Luego aplicamos logaritmo natural:

ln fXi (xi, θ) = lnn∏i=1

α

θxα−1i exp

−x

αi

θ

IR+ (xi)

=n∑i=1

lnα

θxα−1i exp

−x

αi

θ

IR+ (xi)

=n∑i=1

[lnα− ln θ + (α− 1) lnxi −

xαiθ

+ ln IR+ (xi)

]=

n∑i=1

lnα−n∑i=1

ln θ + α

n∑i=1

lnxi −n∑i=1

lnxi −1

θ

n∑i=1

xαi +n∑i=1

ln IR+ (xi)

= n lnα− n ln θ + αn∑i=1

lnxi −n∑i=1

lnxi −1

θ

n∑i=1

xαi +n∑i=1

ln IR+ (xi)

Ahora, calculamos su derivada con respecto al parametro θ e igualamos a cero:

∂L

∂θ= −n

θ+

1

θ2

n∑i=1

xαi = 0 =⇒ θ =1

n

n∑i=1

xαi

MAT031 HSR 96


finalmente,

∂2L

∂θ2

∣∣∣∣θ=θ

=

(n

θ2− 2

θ3

n∑i=1

xαi

)∣∣∣∣∣θ=θ

=n

θ2− 2

θ3

n∑i=1

xαi

=n

θ2− 2n

θ3

n∑y=1

xαin︸︷︷︸

θ

=n

θ2− 2n

θ3θ

= − nθ2

∴∂2L

∂θ2

∣∣∣∣θ=θ

= − nθ2< 0 ∀n, θ

∴ θ =1

n

n∑i=1

xαi

Es el estimador de MV para θ.

MAT031 HSR 97


c) Por demostrar que E(θ)

= θ

E(θ)

= E

(n∑i=1

xαin

)

=1

n

n∑i=1

E (xαi )

= Pero, Y = Xα =⇒ Yi = Xαi

=1

n

n∑i=1

E (yi)

=1

n

n∑i=1

∫ ∞0

yi1

θe−

yiθ dyi

=1

n

n∑i=1

[−yie−

yiθ

∣∣∣∞0

+

∫ ∞0

e−1θ dyi

]= Notar que lım

yi→∞−yie−

yiθ = 0 (l’Hopital)

=1

n

n∑i=1

θ ∫ ∞0

1

θe−

1θ dyi︸︷︷︸

1

=

1

n

n∑i=1

θ

=1

nnθ

= θ

∴ E(θ)

= θ

y se demuestra que el estimador es insesgado.

MAT031 HSR 98


Ahora calcularemos su varianza:

V(θ)

= V

(n∑i=1

xαin

)

=1

n2

n∑i=1

V (xαi )

= Pero, Y = Xα =⇒ Yi = Xαi

=1

n2

n∑i=1

V (yi)

=1

n2

n∑i=1

[E(y2i

)− (E (yi))

2]=

1

n2

n∑i=1

[E(y2i

)− θ2

]=

1

n2

n∑i=1

[∫ ∞0

y2i

1

θe−

yiθ dyi − θ2

]Aparte: ∫ ∞

0

y2i

1

θe−

yiθ dyi = −y2

i e− yiθ

∣∣∣∞0

+ 2

∫ ∞0

yie− yiθ dyi

= Notar que lımyi→∞

−y2i e− yiθ = 0 (l’Hopital)

= 2

∫ ∞0

yie− yiθ dyi

= 2θ

∫ ∞0

yi1

θe−

yiθ dyi︸︷︷︸

E(yi)

= 2θ · θ= 2θ2

Reemplazando:

1

n2

n∑i=1

[∫ ∞0

y2i

1

θe−

yiθ dyi − θ2

]=

1

n2

n∑i=1

[2θ2 − θ2

]=

1

n2

n∑i=1

θ2

=1

n2nθ

2

=θ2

n

∴ V(θ)

=θ2

n

MAT031 HSR 99


Ademas se verifica que el estimador es Consistente en Error Cuadratico Medio, yaque

lımn→∞

θ2

n= 0

d) Debemos calcular

V (θ) ≥ 1

−E(∂2L

∂θ2

)sabemos que

∂2L

∂θ2=

n

θ2− 2

θ3

n∑i=1

xαi

por lo que la esperanza esta dada por:

E(∂2L

∂θ2

)= E

(n

θ2− 2

θ3

n∑i=1

xαi

)

=n

θ2− 2

θ3

n∑i=1

E (xαi )

=n

θ2− 2

θ3

n∑i=1

E (yi)

=n

θ2− 2

θ3

n∑i=1

θ

=n

θ2− 2

θ3nθ

=n

θ2− 2n

θ2

= − nθ2

Luego la cota es:

V (θ) ≥ 1

−(− nθ2

)V (θ) ≥ θ2

n

∴ V (θ) ≥ θ2

n

Es la cota de Cramer-Rao para θ y como la varianza del estimador es igual a lacota, el estimador es eficiente.

MAT031 HSR 100


13. Ayudantia 13

13.1. Intervalos de Confianza

1. El consumo de gasolina de cierto tipo de vehıculos se distribuye aproximadamente nor-mal. Si una muestra aleatoria de 64 vehıculos tiene un consumo promedio de 16 [millas/galon]con una desviacion estandar de 6 [millas/galon].

a) Encuentre un intervalo de confianza del 92 % para el consumo medio de gasolina detodos los vehıculos de este tipo.

b) Con un 95 % de confianza. ¿Cual es el error si el consumo medio es tomado en16 [millas/galon]?

c) Determine un intervalo de confianza del 94 % para la varianza.

d) ¿De que tamano debe ser la muestra si queremos tener un 95 % de seguridad quela media no difiera en mas de 0, 5 [millas/galon] de la media verdadera?

Desarrollo:

a) Sea X : Consumo de gasolina por vehıculo ∼ N (µ, σ2), con Xn = 16 y Sn = 6.

Intervalo de confianza para µ con σ2 desconocido.

ICµ =

[Xn ± tn−1;1−α

2

S√n

]t : distribucion t− student

Calculo de 1− α

2:

(1− α) % = 92 % =⇒ α = 1−0, 92 =⇒ α = 0, 08 =⇒ α

2= 0, 04 =⇒ 1− α

2= 0, 96

Ademas S =Sn√n√

n− 1, reemplazando tenemos:

ICµ =

[Xn ± t64−1;0,96

Sn√n

√n√n− 1

]=

[16± t63;0,96

6√63

]=

[16± 1, 77

6√63

]

∴ ICµ =[14, 66; 17, 33

]

b) El error viene dado por tn−1;1−α2

S√n

.

1− α = 0, 95 =⇒ α = 0, 05 =⇒ 1− α

2= 0, 975

MAT031 HSR 101


.

tn−1;1−α2

S√n

= t63;0,975Sn√n− 1

= 1, 9986√63

∴ Error = 1, 51

c) Intervalo de confianza del 94 % para σ2 con µ desconocido.

1− α = 0, 94 =⇒ α = 0, 06 =⇒ 1− α

2= 0, 97

ICσ2 =

[(n− 1)S2

χ2n−1;1−α

2

;(n− 1)S2

χ2n−1;α

2

]χ2: distribucion Ji-cuadrado

=

(n− 1)

S2nn

(n− 1)

χ2n−1;1−α

2

;

(n− 1)S2nn

(n− 1)

χ2n−1;α

2

=

[S2n · n

χ2n−1;1−α

2

;S2n · n

χ2n−1;α

2

]

=

[36 · 64

χ263;0,97

;36 · 64

χ263;0,03

]=

[2304

85, 74;

2304

43, 64

]

∴ ICσ2 =[26, 87; 52, 79

]

MAT031 HSR 102


d) Error= tn−1;1−α2

S√n

= t63;1−0,975Sn√n− 1

, como este debe ser a lo mas 0, 5, tenemos:

0, 5 ≥ t63;1−0,975Sn√n− 1

0, 5 ≥ 1, 998 · 6√n− 1

0, 5 ≥ 11, 988 · 1√n− 1

√n− 1 ≥ 11, 998

0, 5√n− 1 ≥ 23, 976

n− 1 ≥ (23, 976)2

n ≥ (23, 976)2 + 1

n ≥ 575, 8

∴ n ≥ 576

2. De experiencias pasadas se sabe que la desviacion estandar de las estaturas de ninos de5to basico es de 5[cm].

a) Se seleccionan 36 ninos, observandose una media de 130[cm], construya un intervalode confianza del 95 % para la estatura media de la poblacion.

b) ¿Cual es el tamano de la muestra para que el intervalo de confianza

[130− 0, 95; 130 + 0, 95]

tenga un 95 % de confianza?

Desarrollo:

a) Sea X : estatura de ninos de 5to basico, Xn = 130 y σ = 5

Intervalo de confianza para µ con σ2 conocido.

(1− α) % = 95 % =⇒ α = 0, 05 =⇒ 1− α

2= 0, 975

ICµ =

[Xn ± Z1−α

2

σ√n

]=

[130± Z0,975

5√36

]=

[130± 1, 96 · 5

6

]

∴ ICµ = [128, 36; 131, 63]

MAT031 HSR 103


b) Error= Z1−α

2

σ√n

0, 95 = Z1−α2

σ√n

0, 95 = 1, 96 · 5√n

√n = 5 · 1, 96

0, 95

n =

(5 · 1, 96

0, 95

)2

∴ n = 107

3. Una encuesta de 100 votantes para conocer las opiniones respecto a dos candidatos,muestra que 55 apoyan a A y 45 a B. Calcular un intervalo de confianza para la pro-porcion de votos de cada candidato, considerando un nivel de confianza del 95 %.

Desarrollo:

Sea Xi : votantes que apoyan al candidato i, con i = A,B. Ademas

XA ∼ Bin (100; 0, 55) XB ∼ Bin (100; 0, 45)

Intervalo de confianza para una proporcion:

ICp =

[p± Z1−α

2

√p (1− p)√

n

]Intervalo para A,

ICpA =

[pA ± Z0,975

√pA (1− pA)√

n

]

=

[0, 55± 1, 96 ·

√0, 55 · 0, 45√

100

]=

[0, 55± 1, 96 · 0, 497

10

]∴ ICpA = [0, 452; 0, 647]

Intervalo para B,

ICpB =

[pB ± Z0,975

√pB (1− pB)√

n

]

=

[0, 45± 1, 96 ·

√0, 45 · 0, 55√

100

]=

[0, 45± 1, 96 · 0, 497

10

]MAT031 HSR 104


∴ ICpA = [0, 352; 0, 547]

4. Sea X1, X2, . . . , Xn una m.a. de una distribucion con funcion densidad probabilısticadada por

fX (x, ψ) =x

ψe−

x2

2ψ IR+ (x)

determine un intervalo de confianza del 95 % para ψ y evalue dicho intervalo si se sabe

que100∑i=1

x2i = 2586, 51. Considere el estimador de ψ igual a

ψ =n∑i=1

x2i

2n

y considere∂2L

∂ψ2= − n

ψ2

Desarrollo:

Intervalo de confianza para un estimador Maximo Verosımil:

ICψMV=

[ψMV ± Z1−α

2

1√nI1 (ψ)

]con

I1 (ψ) = −E(∂2L

∂ψ2

)= −

(− n

ψ2

)=⇒ I1 (ψ) =

n

ψ2

y 1− α

2= 0, 975, luego

ICψMV=

[ψMV ± Z1−α

2

1√nI1 (ψ)

]

=

ψMV ± Z0,9751√n nψ2

=

[ψMV ± 1, 96 ·

√ψ2

n2

]

=

[ψMV ± 1, 96 · ψ

n

]por lo tanto el intervalo de confianza esta dado por:

ICψMV=

[ψMV ± 1, 96 · ψMV

n

]

MAT031 HSR 105


Ahora, debemos evaluar,

ICψMV=

[ψMV ± 1, 96 · ψMV

n

]

=

[n∑i=1

x2i

2n± 1, 96 · 1

n

n∑i=1

x2i

2n

]

=

[1

2n

n∑i=1

x2i ± 1, 96 · 1

2n2

n∑i=1

x2i

]

=

[1

200· 2586, 51± 1, 96 · 1

20000· 2586, 51

]= [12, 933± 0, 253]

∴ ICψMV= [12, 68; 13, 19]

13.2. Test de Hipotesis

1. Se extraen los siguientes datos, distribuidos N(µ, 2) : 1, 82; 3, 21; 4, 32; 1, 31; 2, 35; 1, 92.¿Se puede decir que la media es 2,33 con la muestra que tenemos, con α = 0, 05?

Desarrollo:

i) Primero calculamos la media:

X =6∑i=1

xin

=1, 82 + 3, 21 + 4, 32 + 1, 31 + 2, 35 + 1, 92

6= 2, 49

ii) Como se pide realizar test de hipotesis para la media, debemos identificar si ladesviacion que no entrega el enunciado es porblacional a muestral. Para este casose tiene que es la poblacional, por ende el estadıstico de prueba a utilizar es el “paraµ con σ2 conocido”, lo cual se obtiene por formulario y es:

Z0 =X − µ0

σ√n

y su valor es:

Z0 =2, 49− 2, 33

2√6

=⇒ Z0 = 0, 277

iii) Planteamiento de nuestra hipotesis nula y alternativa:

H0 : µ = µ0

HA : µ 6= µ0

en donde se cumple que:

MAT031 HSR 106


Hipotesis Nula Hipotesis Alternativa Rechace H0 sı

H0 : µ = µ0 HA : µ 6= µ0 Z0 ≥ Z1−α2

o Z0 ≤ −Z1−α2

iv) Ahora debemos calcular Z1−α2,

Z1−α2

= Z0,975 = 1, 96

v) Luego,Z0 ≥ Z1−α

2o Z0 ≤ −Z1−α

2

0, 277 1, 96 o 0, 277 −1, 96

vi) Finalmente, como no se cumple la condicion de rechazo para H0, decimos que nohay evidencia suficiente para rechazar esta.

2. Un operador de la bolsa aconseja a un cliente respecto a una inversion de compra ydestaca la poca variabilidad de dicha cotizacion de acuerdo a los estipulado en el, estaaccion representarıa una variacion en la cotizacion diaria de σ2 = 0, 2. Se selecciona unamuestra de 15 dıas donde se registra la cotizacion diaria. El calculo de la varianza enla muestra es S2 = 0, 4. ¿Con α = 0, 05 se puede decidir si la varianza es menor que lahistorica?

Desarrollo:

Dado que no se conoce la media poblacional, ocupamos el pivote y las regiones derechace para σ2 con µ desconocido.

Q0 =(n− 1)S2

σ20

Antes de continuar, debemos hacer el cambio:

S2 =S2n · nn− 1

Por lo que el estadıstico de prueba queda:

Q0 =n · S2

n

σ20

Las hipotesis a contrastar son:

H0 : σ2 < σ20

HA : σ2 ≥ σ20

Por lo que debemos considerar las regiones de rechazo para:

MAT031 HSR 107


Hipotesis Nula Hipotesis Alternativa Rechace H0 sı

H0 : σ2 = σ20 HA : σ2 6= σ2

0 Q0 ≥ χ2n−1;1−α

2o Q0 ≤ χ2

n−1;α2

H0 : σ2 = σ20 HA : σ2 < σ2

0 Q0 ≤ χ2n−1;α

Ahora calculamos los valores de Q0, χ2n−1;1−α

2, χ2

n−1;α2

y χ2n−1;α.

Q0 =n · S2

n

σ20

= 30

χ2n−1;1−α

2= χ2

14;0,975 = 5,63

χ2n−1;α

2= χ2

14;0,025 = 26,1

χ2n−1;α = χ2

14;0,05 = 23,7

Luego,Q0 ≥ χ2

n−1;1−α2

o Q0 ≤ χ2n−1;α

2

30 ≥ 5, 63 o 30 26, 1

Por lo que se rechaza H0 : σ2 = σ20. Ahora,

Q0 ≤ χ2n−1;α

30 23, 7

Por lo tanto se rechaza H0 : σ2 = σ20.

Con lo anterior se tiene evidencia sufiente para decir que no se rechaza la hipotesis deque la varianza es menor a la varianza historica.

MAT031 HSR 108


14. Ayudantıa 14


14.1.1. Vectores

1. Sea:fXY (x, y) = k (20− x− y) Iψ (x, y)

donde,ψ =

(x, y) ∈ R2 : 0 < 2x < y , y < 4x < 8

a) Encontrar k para que sea funcion densidad conjunta.

b) Determinar la funcion marginal de X e Y .

c) Calcular fY |X=1 (y).

d) Calcular E (Y | X = 1).

e) Calcular V (Y | X = 1).

f ) Calcular P (2 ≤ Y ≤ 3 | X = 1).

g) Calcular P (2 ≤ Y ≤ 3 | X ≤ 1).

Desarrollo:

a) Para que sea funcion densidad conjunta se debe cumplir que:

fXY (x, y) ≥ 0 ∀ (x, y) ∈ ψ

y ademas que ∫∫ψ

k (20− x− y) dψ = 1

Es claro que se cumple la primera condicion, por lo que debemos calcular:

MAT031 HSR 109


∫ 2

0

∫ 4x

2x

k (20− x− y) dy dx = 1

k

∫ 2

0

[20y − xy − y2

2

]∣∣∣∣y=4x

y=2x

dx = 1

k

∫ 2

0

(20 (4x− 2x)− x (4x− 2x)− 1

2

(16x2 − 4x2

))dx = 1

k

∫ 2

0

(40x− 2x2 − 6x2

)dx = 1

k

∫ 2

0

(40x− 8x2

)dx = 1

k

[20x2 − 8

3x3

]∣∣∣∣x=2

x=0

= 1

k

[80− 64

3

]= 1

k

[240− 64

3

]= 1

∴ k =3

176

b) Funcion marginal de X:

fX (x) =

∫ 4x

2x

k (20− x− y) dy

= k

[20y − xy − y2

2

]∣∣∣∣y=4x

y=2x

= k

(20 (4x− 2x)− x (4x− 2x)− 1

2

(16x2 − 4x2

))= k

(40x− 8x2

)∴ fX (x) =

3

176

(40x− 8x2

)I]0,2[ (x)

Funcion marginal de Y :

fY (y) =

[∫ y2

y4

k (20− x− y) dx

]I]0,4] (y) +

[∫ 2

y4

k (20− x− y) dx

]I]4,8[ (y)

MAT031 HSR 110


Por lo que calcularemos cada integral por separado,∫ y2

y4

k (20− x− y) dx = k

[20x− x2

2− xy

]∣∣∣∣x= y2

x= y4

= k

[20(y

2− y

4

)− 1

2

(y2

4− y2

16

)− y

(y2− y

4

)]= k

[5y − 3

32y2 − y2

4

]= k

[5y − 11

32y2

]con k =

3

176

Ahora calculamos:∫ 2

y4

k (20− x− y) dx = k

[20x− x2

2− xy

]∣∣∣∣x=2

x= y4

= k

[20(

2− y

4

)− 1

2

(4− y2

16

)− y

(2− y

4

)]= k

[40− 5y − 2 +

y2

32− 2y +

y2

4

]= k

[38− 7y +

9

32y2

]con k =

3

176

Finalmente se tiene que:

∴ fY (y) =3

176

(5y − 11

32y2

)I]0,4] (y) +

3

176

(38− 7y +

9

32y2

)I]4,8[ (y)

c) fY |X=1 (y), esta dado por:

fY |X=1 (y) =fXY (x = 1, y)

fX (x = 1)

=k (20− x− y) I]2x,4x[ (y)

k (40x− 8x2)

∣∣∣∣x=1

=20− 1− y

40− 8I]2,4[ (y)

∴ fY |X=1 (y) =1

32(19− y) I]2,4[ (y)

MAT031 HSR 111


d)

E (Y | X = 1) =

∫ 4

2

y1

32(19− y) dy

=1

32

[19y2

2− y3

3

]∣∣∣∣42

=1

32

[19

2(16− 4)− 1

3(64− 8)

]=

1

32

[114− 56

3

]∴ E (Y | X = 1) = 2, 98

e) La varianza esta dada por V (Y | X = 1) = E (Y 2 | X = 1)− [E (Y | X = 1)]2, porlo que necesitamos calcular:

E(Y 2 | X = 1

)=

∫ 4

2

y2 1

32(19− y) dy

=1

32

[19y3

3− y4

4

]∣∣∣∣42

=1

32

[19

3(64− 8)− 1

4(256− 16)

]=

1

32

[1064

3− 60

]= 9, 21

luego la varianza es: V (Y | X = 1) = 9, 21− 2, 982

∴ V (Y | X = 1) = 0, 33

f )

P (2 ≤ Y ≤ 3 | X = 1) =

∫ 3

2

1

32(19− y) dy

=1

32

[19y − y2

2

]∣∣∣∣32

=1

32

[19 (3− 2)− 1

2(9− 4)

]=

1

32

[19− 5

2

]=

1

32

[38− 5

2

]MAT031 HSR 112


∴ P (2 ≤ Y ≤ 3 | X = 1) = 51, 56 %

g)

P (2 ≤ Y ≤ 3 | X ≤ 1) =

∫ 34

12

∫ 4x

2

k (20− x− y) dy dx+

∫ 1

34

∫ 3

2

k (20− x− y) dy dx∫ 1

0

∫ 4x

2x

k (20− x− y) dy dx

Aparte:∫ 34

12

∫ 4x

2

k (20− x− y) dy dx =

∫ 34

12

k

(20y − xy − y2

2

)∣∣∣∣y=4x

y=2

dx

= k

∫ 34

12

(20 (4x− 2)− x (4x− 2)− 1

2

(16x2 − 4

))dx

= k

∫ 34

12

(80x− 40− 4x2 + 2x− 8x2 + 2

)dx

= k

∫ 34

12

(−38 + 82x− 12x2

)dx

= k[−38x+ 41x2 − 4x3

]∣∣x= 34

x= 12

= k

[−38

(3

4− 1

2

)+ 41

(9

16− 1

4

)− 4

(27

64− 1

8

)]= 2, 125k

ahora,∫ 1

34

∫ 3

2

k (20− x− y) dy dx = k

∫ 1

34

[20y − xy − y2

2

]∣∣∣∣32

dx

= k

∫ 1

34

[20 (3− 2)− x (3− 2)− 1

2(9− 4)

]dx

= k

∫ 1

34

(20− x− 5

2

)dx

= k

∫ 1

34

(35

2− x)dx

= k

[35

2x− x2

2

]∣∣∣∣x=1

x= 34

= k

[35

2

(1− 3

4

)− 1

2

(1− 9

16

)]= 3, 901k

MAT031 HSR 113


finalmente,∫ 1

0

∫ 4x

2x

k (20− x− y) dy dx = k

∫ 1

0

[20y − xy − y2

2

]∣∣∣∣y=4x

y=2x

dx

= k

∫ 1

0

(20 (4x− 2x)− x (4x− 2x)− 1

2

(16x2 − 4x2

))dx

= k

∫ 1

0

(40x− 8x2

)dx

= k

[20x2 − 8

3x3

]∣∣∣∣x=1

x=0

= 17, 333k

Reemplazando:

P (2 ≤ Y ≤ 3 | X ≤ 1) =2, 125k + 3, 901k

17, 333k

=6, 026

17, 333= 0, 3476

∴ P (2 ≤ Y ≤ 3 | X ≤ 1) = 34, 76 %

14.1.2. Maxima Verosimilitud

1. Sea Xini=1 una m.a. (n) proveniente de una familia con densidad:

fX (x, θ) =1

2 + θe−

x2+θ IR+ (x) θ > −2

a) Determine un estimador de Maxima Verosimilitud para θ.

b) ¿Es insesgado el estimador encontrado en (a)?

c) Par n = 100 se obtuvo un promedio de 5, 5. Determine el valor del estimadorencontrado en (a).

Desarrollo:

a) Notar que X ∼ exp

(1

2 + θ

), por lo que E (x) = (2 + θ) y V (x) = (2 + θ)2. Ahora

calculamos el EMV para θ:

fXi (xi, θ) =n∏i=1

1

2 + θe−

xi2+θ IR+ (xi) Funcion de Verosimilitud

MAT031 HSR 114


Luego de finimos la funcion Log-Verosımil,

ln fXi (xi, θ) = lnn∏i=1

1

2 + θe−

xi2+θ IR+ (xi)

=n∑i=1

[ln

(1

2 + θ

)− xi

2 + θ+ ln IR+ (xi)

]=

n∑i=1

ln1

2 + θ− 1

2 + θ

n∑i=1

xi +n∑i=1

ln IR+ (xi)

= −n ln (2 + θ)− 1

2 + θ

n∑i=1

xi +n∑i=1

ln IR+ (xi)

Luego derivamos e igualamos a cero, para obtener un punto crıtico,

∂L

∂θ= − n

2 + θ+

1

(2 + θ)2

n∑i=1

xi = 0 =⇒ θ =n∑i=1

xin− 2

Luego calculamos su segunda derivada y evaluamos,

∂2L

∂θ2=

(n

(2 + θ)2 −2

(2 + θ)3

n∑i=1

xi

)∣∣∣∣∣θ=θ

=n(

2 + θ)2 −

2n(2 + θ

)3

n∑i=1

xin

=n(

2 + θ)2 −

2n(2 + θ

)3

(

2 + θ)

=n(

2 + θ)2 −

2n(2 + θ

)2

= − n(2 + θ

)2

∂2L

∂θ2

∣∣∣∣θ=θ

= − n(2 + θ

)2 < 0 ∀n ∈ N , θ ∈ R

Por lo tanto se tiene que

θ =n∑i=1

xin− 2

Es el estimador de Maxima Verosimilitud para θ.

MAT031 HSR 115


b) Para que sea insesgado, debe cumple que E(θ)

= θ.

E(θ)

= E

(n∑i=1

xin− 2

)

= E

(n∑i=1

xin

)− E (2)

=1

n

n∑i=1

E (xi)− 2

=1

n

n∑i=1

(2 + θ)− 2

=1

nn (2 + θ)− 2

= (2 + θ)− 2

∴ E(θ)

= θ

es decir, el estimador es insesgado.

c) Se tiene que el estimador es

θ =n∑i=1

xin− 2

por lo que para n = 100, tiene que X100 =100∑i=1

xi100

= 5, 5, reemplazando tenemos:

θ =100∑i=1

xi100− 2 = 5, 5− 2

∴ θ = 3, 5

para n = 100.

MAT031 HSR 116

2.1. Estad´ıstica Descriptiva Bivariada

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