20210428 MacroDin Clase10 CCM - img1.wsimg.com

2/5/21

1

Macroeconomía DinámicaEC3024.1 (CCM)

CLASE 10

1

RECESO

Hoy habrá dos recesos de 10 minutos:

4:50pm y 5:50pm

2

2

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2

Nuestra agenda de hoy

Revisión dedatos yeventosmacro

Optimización de un modelo

determinístico de tres

periodos

Tarea

3

3

Nuestra agenda de hoy

Revisión dedatos yeventosmacro

Optimización de un modelo

determinístico de tres

periodos

Tarea

4

4

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3

5

Se va a publicar el PIB de México de 1T21

Fuente: Encuesta sobre las expectativas de los especialistas en economía del sector privado: marzo 2021. Liga: https://www.banxico.org.mx/publicaciones-y-prensa/encuestas-sobre-las-expectativas-de-los-especialis/%7BA9302B4A-04AD-4551-9877-028346F57E96%7D.pdf

5

Nuestra agenda de hoy

Revisión dedatos yeventosmacro

Optimización de un modelo

determinístico de tres

periodosTarea

6

6

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4

7

Número de periodos de tiempo

Determinístico / Estocástico

Método de solución

(1) Tres Determinístico Lagrange

(2) Tres Determinístico Función de política1

(3) Tres Determinístico Programación Dinámica

(4) Infinito Determinístico Programación Dinámica

(5) Tres Estocástico Programación Dinámica

(6) Infinito Estocástico Programación Dinámica

¿Cómo vamos a aprender DP?

1. Realmente no es un método, sino una forma alternativa de expresar las soluciones óptimas, que ayuda a ilustrar la idea conceptual sobre la que descansa la programación dinámica.

7

Problema de optimización con función de utilidad logarítmica

8

max!! !"#

$ "! !"%&

$#$%

&

𝛽#'% ln 𝐶#

sujeto a:

𝐴#(% = 1 + 𝑟# 𝐴# + 𝑤# − 𝐶# , para toda 𝑡𝐴) ≥ 0

ℒ = ∑#$%& 𝛽#'% ln 𝐶# + ∑#$%& 𝜆# 1 + 𝑟# 𝐴# + 𝑤# − 𝐶# − 𝐴#(%

8

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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

9

10

ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

0

10

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11

ERROR

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

11

12

ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

1

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13

ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

1 𝛽

13

14

ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0

1 𝛽

14

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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0,ℒ,!%

= 0

1 𝛽

15

16

ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0,ℒ,!%

= 0,ℒ,!$

= 0

1 𝛽

16

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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0,ℒ,!%

= 0,ℒ,!$

= 0

,ℒ,"%

= 0

1 𝛽

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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0,ℒ,!%

= 0,ℒ,!$

= 0

,ℒ,"%

= 0,ℒ,"$

= 0

1 𝛽

18

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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0,ℒ,!%

= 0,ℒ,!$

= 0

,ℒ,"%

= 0,ℒ,"$

= 0,ℒ,"&

? Restricción con desigualdad

1 𝛽

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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0,ℒ,!%

= 0,ℒ,!$

= 0

,ℒ,"%

= 0,ℒ,"$

= 0,ℒ,"&

?

1 𝛽

,ℒ,.#

= 0; ,ℒ,.%

= 0; ,ℒ,.$

= 0

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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0,ℒ,!$

= 0

,ℒ,"%

= 0,ℒ,"$

= 0,ℒ,"&

?

1 𝛽

,ℒ,.#

= 0; ,ℒ,.%

= 0; ,ℒ,.$

= 0

21

22

ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0

,ℒ,"%

= 0,ℒ,"$

= 0,ℒ,"&

?

1 𝛽

,ℒ,.#

= 0; ,ℒ,.%

= 0; ,ℒ,.$

= 0

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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0……….…..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0,ℒ,"$

= 0,ℒ,"&

?

1 𝛽

,ℒ,.#

= 0; ,ℒ,.%

= 0; ,ℒ,.$

= 0

23

24

ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0……….…..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0,ℒ,"&

?

1 𝛽

,ℒ,.#

= 0; ,ℒ,.%

= 0; ,ℒ,.$

= 0

24

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13

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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5),ℒ,"&

?

1 𝛽

,ℒ,.#

= 0; ,ℒ,.%

= 0; ,ℒ,.$

= 0

25

26

ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5),ℒ,"&

≤ 0 ⟺ −𝜆&≤ 0

1 𝛽

,ℒ,.#

= 0; ,ℒ,.%

= 0; ,ℒ,.$

= 0

26

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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5),ℒ,"&

≤ 0 ⟺ −𝜆&≤ 0; 𝐴) ≥ 0

1 𝛽

,ℒ,.#

= 0; ,ℒ,.%

= 0; ,ℒ,.$

= 0

27

28

ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0……….…..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5),ℒ,"&

≤ 0 ⟺ −𝜆&≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴),ℒ,"&

= 0

1 𝛽

,ℒ,.#

= 0; ,ℒ,.%

= 0; ,ℒ,.$

= 0

28

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ℒ = 𝛽* ln 𝐶% + 𝛽% ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5),ℒ,"&

≤ 0 ⟺ −𝜆&≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴),ℒ,"&

= 0

Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

1 𝛽

,ℒ,.#

= 0; ,ℒ,.%

= 0; ,ℒ,.$

= 0

29

30

ℒ = ln 𝐶% + 𝛽 ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions)

Modelo determinístico de tres periodos –Método de Lagrange

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5),ℒ,"&

≤ 0 ⟺ −𝜆&≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴),ℒ,"&

= 0

Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker,ℒ,.#

= 0; ,ℒ,.%

= 0; ,ℒ,.$

= 0

30

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16

Albert W. Tucker(1905-1995)

Harold W. Kuhn(1925-2014)

William Karush(1917-1997)

31

Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

Fuente: William Karush (https://www.math.uni-bielefeld.de); Harold W. Kuhn (https://optienterazavala.wordpress.com/); Albert W. Tucker (Wikipedia)

31

Solución interior

32

𝑓 𝑥

𝑥∗ ≠ 0 𝑥

A

Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

32

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17

33

𝑓 𝑥

𝑥∗ ≠ 0 𝑥

Solución interior

A 𝑓( 𝑥 = 0

Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

33

34

𝑓 𝑥

𝑥∗ ≠ 0 𝑥

Solución interior

A 𝑓( 𝑥 = 0

𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0

Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

34

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18

35

𝑓 𝑥

𝑥∗ ≠ 0 𝑥

𝑓 𝑥

Solución interior Solución de frontera

A B

𝑥∗ = 0 𝑥

𝑓( 𝑥 = 0

𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0

Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

35

36

𝑓 𝑥

𝑥∗ ≠ 0 𝑥

𝑓 𝑥

Solución interior Solución de frontera

A B

𝑥∗ = 0 𝑥

𝑓( 𝑥 = 0 𝑓( 𝑥 = 0

𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0

Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

36

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37

𝑓 𝑥

𝑥∗ ≠ 0 𝑥

𝑓 𝑥

Solución interior Solución de frontera

A B

𝑥∗ = 0 𝑥

𝑓( 𝑥 = 0 𝑓( 𝑥 = 0

𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 = 0

Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

37

38

𝑓 𝑥

𝑥∗ ≠ 0 𝑥

𝑓 𝑥 𝑓 𝑥

Solución interior Solución de frontera Máximo local1

1. Puede ser también mínimo.

A CB

𝑥∗ = 0 𝑥 𝑥∗ = 0 𝑥

𝑓( 𝑥 = 0 𝑓( 𝑥 = 0

𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 = 0

Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

38

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39

𝑓 𝑥

𝑥∗ ≠ 0 𝑥

𝑓 𝑥 𝑓 𝑥

Solución interior Solución de frontera Máximo local1

1. Puede ser también mínimo.

A CB

𝑥∗ = 0 𝑥 𝑥∗ = 0 𝑥

𝑓( 𝑥 = 0 𝑓( 𝑥 = 0

𝑓( 𝑥 < 0

𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 = 0

Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

39

40

𝑓 𝑥

𝑥∗ ≠ 0 𝑥

𝑓 𝑥 𝑓 𝑥

Solución interior Solución de frontera Máximo local1

1. Puede ser también mínimo.

A CB

𝑥∗ = 0 𝑥 𝑥∗ = 0 𝑥

𝑓( 𝑥 = 0 𝑓( 𝑥 = 0

𝑓( 𝑥 < 0

𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 < 0

Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

40

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41

𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 < 0

𝑓( 𝑥 ≤ 0 ; 𝑥 ≥ 0 ; y 𝑥𝑓( 𝑥 = 0

Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

41

42

𝑥∗ ≠ 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 = 0 𝑥∗ = 0 y 𝑓( 𝑥 < 0

𝑓( 𝑥 ≤ 0 ; 𝑥 ≥ 0 ; y 𝑥𝑓( 𝑥 = 0

La variable 𝑥∗ o 𝑓( 𝑥pueden o no ser cero

Pero al menos una de las dos tiene que ser

cero

Digresión: Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker

42

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43

Para un problema de optimización no lineal con 𝑛 variables y 𝑚 restricciones, las Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son:Problema de maximización𝜕ℒ𝜕𝑥0

≤ 0; 𝑥0 ≥ 0; 𝑥0𝜕ℒ𝜕𝑥0

= 0 para 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛

𝜕ℒ𝜕𝜆1

≥ 0; 𝜆1 ≥ 0; 𝜆1𝜕ℒ𝜕𝜆1

= 0 para 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚

Fuente: Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics. 3a edición. Nueva York; NY: McGraw-Hill, pp. 722-30.

43

44

Para un problema de optimización no lineal con 𝑛 variables y 𝑚 restricciones, las Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son:Problema de maximización𝜕ℒ𝜕𝑥0

≤ 0; 𝑥0 ≥ 0; 𝑥0𝜕ℒ𝜕𝑥0

= 0 para 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛

𝜕ℒ𝜕𝜆1

≥ 0; 𝜆1 ≥ 0; 𝜆1𝜕ℒ𝜕𝜆1

= 0 para 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚

Problema de minimización𝜕ℒ𝜕𝑥0

≥ 0; 𝑥0 ≥ 0; 𝑥0𝜕ℒ𝜕𝑥0

= 0 para 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛

𝜕ℒ𝜕𝜆1

≤ 0; 𝜆1 ≥ 0; 𝜆1𝜕ℒ𝜕𝜆1

= 0 para 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚

Fuente: Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics. 3a edición. Nueva York; NY: McGraw-Hill, pp. 722-30.

44

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45

Restricción: 𝐴) ≥ 0Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker:𝜕ℒ𝜕𝐴)

≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴)𝜕ℒ𝜕𝐴)

= 0

𝜕ℒ𝜕𝜆&

≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆&𝜕ℒ𝜕𝜆&

= 0

Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker en la tercera restricción (expresión 6)ℒ = ln 𝐶% + 𝛽 ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +

𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 0

1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0;𝜆& ≥ 0;𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0

45

46

−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0

46

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47

−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0

𝜆& ≥ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& ≥ 𝐴); 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0

47

48

−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0

𝜆& ≥ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& ≥ 𝐴); 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0

Si al final de su vida, el agente representativo deja activos sin consumir, i.e. 𝐴) > 0, entonces 𝜆& = 0 para que se cumpla la condición 𝐴) −𝜆& = 0

48

2/5/21

25

49

−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0

𝜆& ≥ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& ≥ 𝐴); 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0

Si al final de su vida, el agente representativo deja activos sin consumir, i.e. 𝐴) > 0, entonces 𝜆& = 0 para que se cumpla la condición 𝐴) −𝜆& = 0.Lambda (𝜆&) se interpreta como cuánto puede incrementarse la utilidad del agente representativo (ln𝐶&) si aumenta la restricción (i.e. 𝐴))

49

50

−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0

𝜆& ≥ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& ≥ 𝐴); 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0

Si al final de su vida, el agente representativo deja activos sin consumir, i.e. 𝐴) > 0, entonces 𝜆& = 0 para que se cumpla la condición 𝐴) −𝜆& = 0.Lambda (𝜆&) se interpreta como cuánto puede incrementarse la utilidad del agente representativo (ln𝐶&) si aumenta la restricción (i.e. 𝐴)), por lo que si 𝜆& = 0 , eso quiere decir que la utilidad del agente representativo no aumenta al dejar activos sin consumir al final de su vida

50

2/5/21

26

51

−𝜆& ≤ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) ≥ 0; 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0

𝜆& ≥ 0; 𝐴) ≥ 0; 𝐴) −𝜆& = 01 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& ≥ 𝐴); 𝜆& ≥ 0; 𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴) = 0

Si al final de su vida, el agente representativo deja activos sin consumir, i.e. 𝐴) > 0, entonces 𝜆& = 0 para que se cumpla la condición 𝐴) −𝜆& = 0.Lambda (𝜆&) se interpreta como cuánto puede incrementarse la utilidad del agente representativo (ln𝐶&) si aumenta la restricción (i.e. 𝐴)), por lo que si 𝜆& = 0 , eso quiere decir que la utilidad del agente representativo no aumenta al dejar activos sin consumir al final de su vida. Desde esta perspectiva, es óptimo consumir todos los activos en vida, i.e. 𝐴) = 0

51

52

ℒ = ln 𝐶% + 𝛽 ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions),ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)

𝐴) = 0……………………………………………..(6)

,ℒ,.#

= 0; ,ℒ,.%

= 0; ,ℒ,.$

= 0

52

2/5/21

27

53

ℒ = ln 𝐶% + 𝛽 ln 𝐶+ + 𝛽+ ln 𝐶& + 𝜆% 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ +𝜆+ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& +𝜆& 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& − 𝐴)

FOC (First-Order Conditions),ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)

𝐴) = 0……………………………………………..(6)

,ℒ,.#

= 0 ⟺ 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% − 𝐶% − 𝐴+ = 0..……………………………..…………....(7),ℒ,.%

= 0 ⟺ 1 + 𝑟+ 𝐴+ + 𝑤+ − 𝐶+ − 𝐴& = 0..…………………………..………….......(8),ℒ,.$

= 0 ⟺ 1 + 𝑟& 𝐴& + 𝑤& − 𝐶& = 0..…………………………………..……..….…....(9)

53

54

El objetivo aquí es que encontremos 𝐶%∗,𝐶+∗,𝐶&∗,𝐴+∗ y 𝐴&∗ (𝐴% es un parámetro y𝐴)∗ = 0) en términos de los parámetros (i.e. 𝑟%, 𝑟+, 𝑟&,𝑤%, 𝑤+ , 𝑤& yclaramente 𝛽)

54

2/5/21

28

55

El objetivo aquí es que encontremos 𝐶%∗,𝐶+∗,𝐶&∗,𝐴+∗ y 𝐴&∗ (𝐴% es un parámetro y𝐴)∗ = 0) en términos de los parámetros (i.e. 𝑟%, 𝑟+, 𝑟&,𝑤%, 𝑤+ , 𝑤& yclaramente 𝛽)

Para para lograrlo, vamos a hacerlo en dos pasos:

55

56

El objetivo aquí es que encontremos 𝐶%∗,𝐶+∗,𝐶&∗,𝐴+∗ y 𝐴&∗ (𝐴% es un parámetro y𝐴)∗ = 0) en términos de los parámetros (i.e. 𝑟%, 𝑟+, 𝑟&,𝑤%, 𝑤+ , 𝑤& yclaramente 𝛽)

Para para lograrlo, vamos a hacerlo en dos pasos:

(1) Eliminar las lambdas utilizando las primeras seis condiciones de primer orden (1-6); y en lugar de utilizar las condiciones de primer orden asociadas a las restricciones (7, 8 y 9), vamos a…

56

2/5/21

29

57

El objetivo aquí es que encontremos 𝐶%∗,𝐶+∗,𝐶&∗,𝐴+∗ y 𝐴&∗ (𝐴% es un parámetro y𝐴)∗ = 0) en términos de los parámetros (i.e. 𝑟%, 𝑟+, 𝑟&,𝑤%, 𝑤+ , 𝑤& yclaramente 𝛽)

Para para lograrlo, vamos a hacerlo en dos pasos:

(1) Eliminar las lambdas utilizando las primeras seis condiciones de primer orden (1-6); y en lugar de utilizar las condiciones de primer orden asociadas a las restricciones (7, 8 y 9), vamos a…

(2) Utilizar la restricción presupuestaria consolidada de ‘toda la vida’ del agente representativo (paso ‘nuevo’)

57

58

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)

𝐴) = 0……………………………………………..(6)

Paso 1: Eliminar las lambdas

58

2/5/21

30

59

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)

𝐴) = 0……………………………………………..(6)

Paso 1: Eliminar las lambdas

Despejamos 𝜆%, 𝜆+, 𝜆& de (1), (2) y (3)

59

60

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)

𝐴) = 0……………………………………………..(6)

Paso 1: Eliminar las lambdas

Despejamos 𝜆%, 𝜆+, 𝜆& de (1), (2) y (3)%!#−𝜆%= 0⟺ 𝜆% =

%!#

………..………(1b)

60

2/5/21

31

61

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)

𝐴) = 0……………………………………………..(6)

Paso 1: Eliminar las lambdas

Despejamos 𝜆%, 𝜆+, 𝜆& de (1), (2) y (3)%!#−𝜆%= 0⟺ 𝜆% =

%!#

………..………(1b)/!%−𝜆+= 0⟺ 𝜆+ =

/!%

………..………(2b)

61

62

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)

𝐴) = 0……………………………………………..(6)

Paso 1: Eliminar las lambdas

Despejamos 𝜆%, 𝜆+, 𝜆& de (1), (2) y (3)%!#−𝜆%= 0⟺ 𝜆% =

%!#

………..………(1b)/!%−𝜆+= 0⟺ 𝜆+ =

/!%

………..………(2b)/%

!$−𝜆&= 0⟺ 𝜆& =

/%

!$………..…..…(3b)

62

2/5/21

32

63

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)

𝐴) = 0……………………………………………..(6)

Paso 1: Eliminar las lambdas

Despejamos 𝜆%, 𝜆+, 𝜆& de (1), (2) y (3)%!#−𝜆%= 0⟺ 𝜆% =

%!#

………..………(1b)/!%−𝜆+= 0⟺ 𝜆+ =

/!%

………..………(2b)/%

!$−𝜆&= 0⟺ 𝜆& =

/%

!$………..…..…(3b)

Substituimos (1b) y (2b) en (4):/!%

1 + 𝑟+ = %!#

………..………………(10)

63

64

,ℒ,!#

= 0 ⟺ %!#−𝜆%= 0……………(1)

,ℒ,!%

= 0 ⟺ /!%−𝜆+= 0…….……..(2)

,ℒ,!$

= 0 ⟺ /%

!$−𝜆&= 0…………..(3)

,ℒ,"%

= 0 ⟺ −𝜆% + 𝜆+ 1 + 𝑟+ = 0….…(4),ℒ,"$

= 0 ⟺ −𝜆+ + 𝜆& 1 + 𝑟& = 0…….(5)

𝐴) = 0……………………………………………..(6)

Paso 1: Eliminar las lambdas

Despejamos 𝜆%, 𝜆+, 𝜆& de (1), (2) y (3)%!#−𝜆%= 0⟺ 𝜆% =

%!#

………..………(1b)/!%−𝜆+= 0⟺ 𝜆+ =

/!%

………..………(2b)/%

!$−𝜆&= 0⟺ 𝜆& =

/%

!$………..…..…(3b)

Substituimos (1b) y (2b) en (4):/!%

1 + 𝑟+ = %!#

………..………………(10)Substituimos (2b) y (3b) en (5):/%

!$1 + 𝑟& = /

!%.………..………………(11)

64

2/5/21

33

Re arreglamos algunos términos en (10) y (11):

/!%

1 + 𝑟+ = %!#

⟺ 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% = 𝐶+

65

Paso 1: Eliminar las lambdas

65

Re arreglamos algunos términos en (10) y (11):

/!%

1 + 𝑟+ = %!#

⟺ 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% = 𝐶+ ⟺ 𝐶+ = 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% ..……(10b)

66

Paso 1: Eliminar las lambdas

66

2/5/21

34

Re arreglamos algunos términos en (10) y (11):

/!%

1 + 𝑟+ = %!#

⟺ 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% = 𝐶+ ⟺ 𝐶+ = 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% ..……(10b)

/%

!$1 + 𝑟& = /

!%⟺ 𝛽+ 1 + 𝑟& 𝐶+= 𝛽𝐶&

67

Paso 1: Eliminar las lambdas

67

Re arreglamos algunos términos en (10) y (11):

/!%

1 + 𝑟+ = %!#

⟺ 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% = 𝐶+ ⟺ 𝐶+ = 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% ..……(10b)

/%

!$1 + 𝑟& = /

!%⟺ 𝛽+ 1 + 𝑟& 𝐶+= 𝛽𝐶&

68

Paso 1: Eliminar las lambdas

68

2/5/21

35

Re arreglamos algunos términos en (10) y (11):

/!%

1 + 𝑟+ = %!#

⟺ 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% = 𝐶+ ⟺ 𝐶+ = 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% ..……(10b)

/%

!$1 + 𝑟& = /

!%⟺ 𝛽+ 1 + 𝑟& 𝐶+= 𝛽𝐶& ⟺ 𝐶& = 𝛽 1 + 𝑟& 𝐶+ ………(11b)

69

Paso 1: Eliminar las lambdas

69

70

Paso 2: Substituir (10b) y (11b) en la restricción presupuestaria consolidada de ‘toda la vida’ del agente representativo

1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3

+ "4!#$3 !#$4

= 𝐶! +%3!#$3

+ %4!#$3 !#$4

70

2/5/21

36

71

Paso 2: Substituir (10b) y (11b) en la restricción presupuestaria consolidada de ‘toda la vida’ del agente representativo

1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3

+ "4!#$3 !#$4

= 𝐶! +%3!#$3

+ %4!#$3 !#$4

Activos iniciales

71

72

Paso 2: Substituir (10b) y (11b) en la restricción presupuestaria consolidada de ‘toda la vida’ del agente representativo

1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3

+ "4!#$3 !#$4

= 𝐶! +%3!#$3

+ %4!#$3 !#$4

Activos iniciales

Valor presente de los sueldos que va a recibir el

agente representativo

72

2/5/21

37

73

Paso 2: Substituir (10b) y (11b) en la restricción presupuestaria consolidada de ‘toda la vida’ del agente representativo

1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3

+ "4!#$3 !#$4

= 𝐶! +%3!#$3

+ %4!#$3 !#$4

Activos iniciales

Valor presente de los sueldos que se van a recibir

el agente representativo

Valor presente del consumo del agente

representativo

73

74

Paso 2: Substituir (10b) y (11b) en la restricción presupuestaria consolidada de ‘toda la vida’ del agente representativo

𝐶+ = 𝛽 1 + 𝑟+ 𝐶% ..……(10b) 𝐶& = 𝛽 1 + 𝑟& 𝐶+.……….(11b)

en…

1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3

+ "4!#$3 !#$4

= 𝐶! +%3!#$3

+ %4!#$3 !#$4

74

2/5/21

38

75

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

= 𝐶) +- )+,! .#

)+,!+ - )+," .!

)+,! )+,"

Substituir (10b) (i.e. 𝐶/ = 𝛽 1 + 𝑟/ 𝐶) ) en la última parte de la restricción…

75

76

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

= 𝐶) +- )+,! .#

)+,!+ - )+," .!

)+,! )+,"

Substituir (10b) (i.e. 𝐶/ = 𝛽 1 + 𝑟/ 𝐶) ) en la última parte de la restricción…

1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% +5!%(6!

+ 5"%(6! %(6"

= 𝐶% +/ %(6! !#

%(6!+ / %(6" / %(6! !#

%(6! %(6"

76

2/5/21

39

77

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’Despejar 𝐶):1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% +

5!%(6!

+ 5"%(6! %(6"

= 𝐶% +/ %(6! !#

%(6!+ /! %(6" %(6! !#

%(6! %(6"

𝐶) +- )+,! .#

)+,!+ -! )+," )+,! .#

)+,! )+,"= 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +

*!)+,!

+ *")+,! )+,"

𝐶) +- )+,! .#

)+,!+ -! )+," )+,! .#

)+,! )+,"= 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +

*!)+,!

+ *")+,! )+,"

77

78

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’Despejar 𝐶):

𝐶) + 𝛽𝐶) + 𝛽/𝐶) = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +𝑤/

1 + 𝑟/+

𝑤01 + 𝑟/ 1 + 𝑟0

78

2/5/21

40

79

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’Despejar 𝐶):

𝐶) + 𝛽𝐶) + 𝛽/𝐶) = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +𝑤/

1 + 𝑟/+

𝑤01 + 𝑟/ 1 + 𝑟0

1 + 𝛽 + 𝛽/ 𝐶) = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +𝑤/

1 + 𝑟/+

𝑤01 + 𝑟/ 1 + 𝑟0

79

80

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’Despejar 𝐶):

𝐶) + 𝛽𝐶) + 𝛽/𝐶) = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +𝑤/

1 + 𝑟/+

𝑤01 + 𝑟/ 1 + 𝑟0

1 + 𝛽 + 𝛽/ 𝐶) = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +𝑤/

1 + 𝑟/+

𝑤01 + 𝑟/ 1 + 𝑟0

𝐶)∗ =1

1 + 𝛽 + 𝛽/ 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +𝑤/

1 + 𝑟/+

𝑤01 + 𝑟/ 1 + 𝑟0

80

2/5/21

41

81

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

𝐶I∗ =I

IKLKL21 + 𝑟I 𝐴I + 𝑤I +

M2IKN2

+ M3IKN2 IKN3

…..……(12)

Ahora solo nos faltan 𝐶/∗,𝐶0∗, 𝐴/∗ y 𝐴0∗ …

81

82

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

𝐶I∗ =I

IKLKL21 + 𝑟I 𝐴I + 𝑤I +

M2IKN2

+ M3IKN2 IKN3

…..……(12)

Ahora solo nos faltan 𝐶/∗,𝐶0∗, 𝐴/∗ y 𝐴0∗ …

Podemos substituir 𝐶)∗ (12) en (10b)

𝐶/ = 𝛽 1 + 𝑟/ 𝐶) ………………………………………………….……………….……(10b)

82

2/5/21

42

83

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

𝐶/∗ =- )+,!)+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

……….……….…...…(13)

83

84

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

𝐶/∗ =- )+,!)+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

……….……….…...…(13)

Podemos substituir 𝐶/∗ (13) en (11b)

𝐶0 = 𝛽 1 + 𝑟0 𝐶/.………………….……………………………….……………….……(11b)

84

2/5/21

43

85

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

𝐶0∗ =-! )+,! )+,"

)+-+-!1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +

*!)+,!

+ *")+,! )+,"

……….……(14)

85

86

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

𝐶0∗ =-! )+,! )+,"

)+-+-!1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +

*!)+,!

+ *")+,! )+,"

……….……(14)

Ahora ¿Cómo vamos a obtener 𝐴/∗ y 𝐴0∗?

86

2/5/21

44

87

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

𝐶0∗ =-! )+,! )+,"

)+-+-!1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +

*!)+,!

+ *")+,! )+,"

……….……(14)

Ahora ¿Cómo vamos a obtener 𝐴/∗ y 𝐴0∗?

à Utilizando 𝐶)∗, 𝐶/∗ y las condiciones de primer orden (7) y (8) …1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶) − 𝐴/ = 0..……………………………..…………………….(7)1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/ − 𝐴0 = 0..…………………………..…………..................(8)

87

88

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

Despejamos 𝐴/ de (7)…1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶) − 𝐴/ = 0..……………………………..………….………….(7)𝐴/ = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶)..…………………………………..…………………….(7b)

88

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45

89

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

Despejamos 𝐴/ de (7)…1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶) − 𝐴/ = 0..……………………………..………….………….(7)𝐴/ = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶)..…………………………………..…………………….(7b)

…y substituimos 𝐶)∗ de (12) en (7b):𝐶)∗ =

))+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

………………………(12)

89

90

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

Despejamos 𝐴/ de (7)…1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶) − 𝐴/ = 0..……………………………..………….………….(7)𝐴/ = 1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − 𝐶)..…………………………………..…………………….(7b)

…y substituimos 𝐶)∗ de (12) en (7b):𝐶)∗ =

))+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

………………………(12)

𝐴+∗ = 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% −%

%(/(/!1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% +

5!%(6!

+ 5"%(6! %(6"

90

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46

91

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

Despejamos 𝐴0 de (8)…1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/ − 𝐴0 = 0..…………………………..…………....................(8)𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/…….…………………………..…………....................(8b)

91

92

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

Despejamos 𝐴0 de (8)…1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/ − 𝐴0 = 0..…………………………..…………....................(8)𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/…….…………………………..…………....................(8b)…y substituimos 𝐴/∗ y 𝐶/∗ de (13) en (8b):𝐶/∗ =

- )+,!)+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

……….…………...…(13)

92

2/5/21

47

93

Paso 2: Utilizar la restricción presupuestaria de ‘toda la vida’

Despejamos 𝐴0 de (8)…1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/ − 𝐴0 = 0..…………………………..…………....................(8)𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/…….…………………………..…………....................(8b)…y substituimos 𝐴/∗ y 𝐶/∗ de (13) en (8b):𝐶/∗ =

- )+,!)+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

……….…………...…(13)

𝐴0∗ = 1 + 𝑟/ -

.

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − /

0

))+-+-!

1

2

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+*"

)+,! )+,"+𝑤/ −

- )+,!)+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

93

94

Equilibrio del agente representativo:

𝐶)∗ =)

)+-+-!1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +

*!)+,!

+ *")+,! )+,"

………………….……(12)

𝐶/∗ =- )+,!)+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

……….………...….…(13)

𝐶0∗ =-! )+,! )+,"

)+-+-!1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +

*!)+,!

+ *")+,! )+,"

………………(14)

𝐴+∗ = 1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% −%

%(/(/!1 + 𝑟% 𝐴% + 𝑤% +

5!%(6!

+ 5"%(6! %(6"

𝐴0∗ = 1 + 𝑟/ -

.

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − /

0

))+-+-!

1

2

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+*"

)+,! )+,"+𝑤/ −

- )+,!)+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

94

2/5/21

48

95

Ejercicio numérico con parámetros:

Parámetro Descripción Número

𝜌 Coeficiente de impaciencia 1.0938𝛽 Factor de descuento 0.4776𝑤) Salario en 𝑡 = 1 0.7𝑤* Salario en 𝑡 = 2 0.7𝑤+ Salario en 𝑡 = 3 0.7𝑟) Tasa de interés en 𝑡 = 1 1.6658𝑟* Tasa de interés en 𝑡 = 2 1.6658𝑟+ Tasa de interés en 𝑡 = 3 1.6658𝐴) Nivel de activos en 𝑡 = 1 0

95

96

Ejercicio numérico con parámetros:

Parámetro Descripción Número

𝜌 Coeficiente de impaciencia 1.0938𝛽 Factor de descuento 0.4776𝑤) Salario en 𝑡 = 1 0.7𝑤* Salario en 𝑡 = 2 0.7𝑤+ Salario en 𝑡 = 3 0.7𝑟) Tasa de interés en 𝑡 = 1 1.6658𝑟* Tasa de interés en 𝑡 = 2 1.6658𝑟+ Tasa de interés en 𝑡 = 3 1.6658𝐴) Nivel de activos en 𝑡 = 1 0

𝛽 =1

1− 𝜌

96

2/5/21

49

Place your screenshot here

97

…Hagamos el ejercicio en Excel

97

98

Número de periodos de tiempo

Determinístico / Estocástico

Método de solución

(1) Tres Determinístico Lagrange

(2) Tres Determinístico Función de política1

(3) Tres Determinístico Programación Dinámica

(4) Infinito Determinístico Programación Dinámica

(5) Tres Estocástico Programación Dinámica

(6) Infinito Estocástico Programación Dinámica

¿Cómo vamos a aprender DP?

1. Realmente no es un método, sino una forma alternativa de expresar las soluciones óptimas, que ayuda a ilustrar la idea conceptual sobre la que descansa la programación dinámica.

98

2/5/21

50

99

‘Función de política’ (Policy Function)§ Una vez más, vamos a utilizar el problema de optimización de la decisión

consumo-ahorro (o de consumo inter-temporal) de un agente representativo que vive tres periodos

99

100

‘Función de política’ (Policy Function)§ Una vez más, vamos a utilizar el problema de optimización de la decisión

consumo-ahorro (o de consumo inter-temporal) de un agente representativo que vive tres periodos

§ Sin embargo, en lugar de resolver las trayectorias óptimas de consumo y nivel de activos para todo el periodo en cuestión desde la perspectiva inicial, i.e. 𝑡 = 1...

100

2/5/21

51

101

‘Función de política’ (Policy Function)§ Una vez más, vamos a utilizar el problema de optimización de la decisión

consumo-ahorro (o de consumo inter-temporal) de un agente representativo que vive tres periodos

§ Sin embargo, en lugar de resolver las trayectorias óptimas de consumo y nivel de activos para todo el periodo en cuestión desde la perspectiva inicial, i.e. 𝑡 = 1,...

§ …vamos a posicionarnos en algún momento intermedio en la vida del agente representativo (i.e. , 𝑡 = 2 o 𝑡 = 3, porque en 𝑡 = 4 ya terminó) y resolver el problema de optimización…

101

102

‘Función de política’ (Policy Function)§ Una vez más, vamos a utilizar el problema de optimización de la decisión

consumo-ahorro (o de consumo inter-temporal) de un agente representativo que vive tres periodos

§ Sin embargo, en lugar de resolver las trayectorias óptimas de consumo y nivel de activos para todo el periodo en cuestión desde la perspectiva inicial, i.e. 𝑡 = 1...

§ …vamos a posicionarnos en algún momento intermedio en la vida del agente representativo (i.e. , 𝑡 = 2 o 𝑡 = 3, porque en 𝑡 = 4 ya terminó) y resolver el problema de optimización…

§ Las soluciones que vamos a obtener se conocen también como ‘funciones de política (económica)’, que son una ‘manera alternativa’ de expresar las soluciones óptimas en cada periodo de tiempo

102

2/5/21

52

103

‘Funciones de política’𝑡 = 1 𝑡 = 2 𝑡 = 3

𝐴) 𝐴* 𝐴,𝐴+ 𝑡𝐶) 𝐶* 𝐶+

Solución para toda la vida del agente

representativoen 𝑡 = 1

103

104

‘Funciones de política’𝑡 = 1 𝑡 = 2 𝑡 = 3

𝐴) 𝐴* 𝐴,𝐴+ 𝑡𝐶) 𝐶* 𝐶+

Solución óptima del agente

representativo cuando ya vivió

𝑡 = 1

Solución óptima del agente

representativo cuando ya vivió

𝑡 = 2

Funciones de política

Solución para toda la vida del agente

representativoen 𝑡 = 1

104

2/5/21

53

105

Soluciones ‘condicionalmente óptimas’

§ Entonces vamos a resolver el problema de optimización del agente representativo para 𝑡 = 2 y para 𝑡 = 3

105

106

Soluciones ‘condicionalmente óptimas’

§ Entonces vamos a resolver el problema de optimización del agente representativo para 𝑡 = 2 y para 𝑡 = 3

§ A diferencia de las soluciones óptimas que obtenemos cuando resolvemos el problema para todo el periodo de tiempo, las ‘funciones de política’ son soluciones condicionalmente óptimas

106

2/5/21

54

107

Soluciones ‘condicionalmente óptimas’

§ Entonces vamos a resolver el problema de optimización del agente representativo para 𝑡 = 2 y para 𝑡 = 3

§ A diferencia de las soluciones óptimas que obtenemos cuando resolvemos el problema para todo el periodo de tiempo, las ‘funciones de política’ son soluciones condicionalmente óptimas

§ ¿Por qué ‘condicionalmente óptimas’? Porque son decisiones óptimas, pero están condicionadas a los activos que se desea acumular en el periodo siguiente

107

108

Soluciones ‘condicionalmente óptimas’

§ Entonces vamos a resolver el problema de optimización del agente representativo para 𝑡 = 2 y para 𝑡 = 3

§ A diferencia de las soluciones óptimas que obtenemos cuando resolvemos el problema para todo el periodo de tiempo, las ‘funciones de política’ son soluciones condicionalmente óptimas

§ ¿Por qué ‘condicionalmente óptimas’? Porque son decisiones óptimas, pero están condicionadas a los activos que se desea acumular en el periodo siguiente

§ Vamos a denotarlas con un acento circunflejo o ‘gorrito’ (e.g. P𝐶+ )

108

2/5/21

55

109

Soluciones ‘condicionalmente óptimas’

§ Entonces vamos a resolver el problema de optimización del agente representativo para 𝑡 = 2 y para 𝑡 = 3

§ A diferencia de las soluciones óptimas que obtenemos cuando resolvemos el problema para todo el periodo de tiempo, las ‘funciones de política’ son soluciones condicionalmente óptimas

§ ¿Por qué ‘condicionalmente óptimas’? Porque son decisiones óptimas, pero están condicionadas a los activos que se desea acumular en el periodo siguiente

§ Vamos a denotarlas con un acento circunflejo o ‘gorrito’ (e.g. P𝐶+ )§ Vamos a ver este método como ‘paso intermedio’ para poder entender

mejor el concepto de Programación Dinámica

109

110

Como vamos a optimizar la decisión del agente representativo en 𝑡 = 2, entonces solo se maximiza la función de utilidad aditiva para los periodos 2 y 3 (en el cuarto periodo el agente representativo ya no puede obtener utilidad):

max7% ,7$

ln 𝐶+ + 𝛽 ln 𝐶&¿Sujeto a?

1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3

+ "4!#$3 !#$4

= 𝐶! +%3!#$3

+ %4!#$3 !#$4

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

110

2/5/21

56

111

Como vamos a optimizar la decisión del agente representativo en 𝑡 = 2, entonces solo se maximiza la función de utilidad aditiva para los periodos 2 y 3 (en el cuarto periodo el agente representativo ya no puede obtener utilidad):

max7% ,7$

ln 𝐶+ + 𝛽 ln 𝐶&¿Sujeto a?

1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3

+ "4!#$3 !#$4

= 𝐶! +%3!#$3

+ %4!#$3 !#$4

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

111

112

Como vamos a optimizar la decisión del agente representativo en 𝑡 = 2, entonces solo se maximiza la función de utilidad aditiva para los periodos 2 y 3 (en el cuarto periodo el agente representativo ya no puede obtener utilidad):

max7% ,7$

ln 𝐶+ + 𝛽 ln 𝐶&¿Sujeto a?

1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3

+ "4!#$3 !#$4

= 𝐶! +%3!#$3

+ %4!#$3 !#$4

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

𝑟+

112

2/5/21

57

113

Como vamos a optimizar la decisión del agente representativo en 𝑡 = 2, entonces solo se maximiza la función de utilidad aditiva para los periodos 2 y 3 (en el cuarto periodo el agente representativo ya no puede obtener utilidad):

max7% ,7$

ln 𝐶+ + 𝛽 ln 𝐶&¿Sujeto a?

1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3

+ "4!#$3 !#$4

= 𝐶! +%3!#$3

+ %4!#$3 !#$4

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

𝑎𝑟+

113

114

Como vamos a optimizar la decisión del agente representativo en 𝑡 = 2, entonces solo se maximiza la función de utilidad aditiva para los periodos 2 y 3 (en el cuarto periodo el agente representativo ya no puede obtener utilidad):

max7% ,7$

ln 𝐶+ + 𝛽 ln 𝐶&¿Sujeto a?

1 + 𝑟! 𝐴! + 𝑤! +"3!#$3

+ "4!#$3 !#$4

= 𝐶! +%3!#$3

+ %4!#$3 !#$4

1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&= 𝐶+ +

𝐶&1 + 𝑟&

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

𝑎𝑟+

114

2/5/21

58

115

max7% ,7$

ln 𝐶+ + 𝛽 ln 𝐶&

sujeto a:

1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&= 𝐶+ +

𝐶&1 + 𝑟&

Podríamos resolverlo con un lagrangiano. Sin embargo, en este caso es más sencillo despejar 𝐶& de la restricción e incorporar la expresión en la función objetivo. Así lo podemos resolverlo como un problema de optimización no restringido

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

115

116

1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&= 𝐶+ +

𝐶&1 + 𝑟&

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

116

2/5/21

59

117

1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&= 𝐶+ +

𝐶&1 + 𝑟&

𝐶+ +𝐶&

1 + 𝑟&= 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +

𝑤&1 + 𝑟&

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

117

118

1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&= 𝐶+ +

𝐶&1 + 𝑟&

𝐶+ +𝐶&

1 + 𝑟&= 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +

𝑤&1 + 𝑟&

𝐶&1 + 𝑟&

= 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&− 𝐶+

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

118

2/5/21

60

119

1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&= 𝐶+ +

𝐶&1 + 𝑟&

𝐶+ +𝐶&

1 + 𝑟&= 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +

𝑤&1 + 𝑟&

𝐶&1 + 𝑟&

= 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&− 𝐶+

𝐶& = 1 + 𝑟& 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&− 𝐶+

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

119

120

max7%

ln 𝐶+ + 𝛽 ln 1 + 𝑟& 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&− 𝐶+

FOC – Condición de primer orden:

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

120

2/5/21

61

121

max7%

ln 𝐶+ + 𝛽 ln 1 + 𝑟& 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&− 𝐶+

FOC – Condición de primer orden:

& '&%3

= 0⟺ !%3− ( !#$4

!#$4 !#$3 )#"3#94:;<4

*%3= 0

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

121

122

max7%

ln 𝐶+ + 𝛽 ln 1 + 𝑟& 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&− 𝐶+

FOC – Condición de primer orden:

& '&%3

= 0⟺ !%3− ( !#$4

!#$4 !#$3 )#"3#94:;<4

*%3= 0

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

122

2/5/21

62

123

max7%

ln 𝐶+ + 𝛽 ln 1 + 𝑟& 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤&

1 + 𝑟&− 𝐶+

FOC – Condición de primer orden:

& '&%3

= 0⟺ !%3− ( !#$4

!#$4 !#$3 )#"3#94:;<4

*%3= 0

1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,

1 + 𝑟,− 𝐶+ = 𝛽𝐶+

’Funciones de política’ para 𝑡 = 2

123

124

1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,

1 + 𝑟,− 𝐶+ = 𝛽𝐶+

’Función de política’ de 𝐶 para 𝑡 = 2

124

2/5/21

63

125

1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,

1 + 𝑟,− 𝐶+ = 𝛽𝐶+

𝛽𝐶+ + 𝐶+ = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,

1 + 𝑟,

’Función de política’ de 𝐶 para 𝑡 = 2

125

126

1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,

1 + 𝑟,− 𝐶+ = 𝛽𝐶+

𝛽𝐶+ + 𝐶+ = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,

1 + 𝑟,𝐶+ 1 + 𝛽 = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +

𝑤,1 + 𝑟,

’Función de política’ de 𝐶 para 𝑡 = 2

126

2/5/21

64

127

1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,

1 + 𝑟,− 𝐶+ = 𝛽𝐶+

𝛽𝐶+ + 𝐶+ = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,

1 + 𝑟,𝐶+ 1 + 𝛽 = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +

𝑤,1 + 𝑟,

-𝐶+ =1

1 + 𝛽1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +

𝑤,1 + 𝑟,

’Función de política’ de 𝐶 para 𝑡 = 2

127

128

1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,

1 + 𝑟,− 𝐶+ = 𝛽𝐶+

𝛽𝐶+ + 𝐶+ = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +𝑤,

1 + 𝑟,𝐶+ 1 + 𝛽 = 1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +

𝑤,1 + 𝑟,

-𝐶+ =1

1 + 𝛽1 + 𝑟+ 𝑎 + 𝑤+ +

𝑤,1 + 𝑟,

’Función de política’ de 𝐶 para 𝑡 = 2

128

2/5/21

65

129

§ Ya tenemos 3𝐶/’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2

129

130

§ Ya tenemos 3𝐶/§ Ahora ¿Qué función de política nos falta para tener el equilibrio

completo en 𝑡 = 2?

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2

130

2/5/21

66

131

§ Ya tenemos 3𝐶/§ Ahora ¿Qué función de política nos falta para tener el equilibrio

completo en 𝑡 = 2? § Podríamos pensar que 3𝐴/ por ser ‘el par en el tiempo’ de 3𝐶/

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2

131

132

§ Ya tenemos 3𝐶/§ Ahora ¿Qué función de política nos falta para tener el equilibrio

completo en 𝑡 = 2? § Podríamos pensar que 3𝐴/ por ser ‘el par en el tiempo’ de 3𝐶/§ Sin embargo, debido a que 𝐴) es un parámetro, 𝐴/∗ se tuvo que haber

obtenido en 𝑡 = 1, por lo que en 𝑡 = 2 tenemos que obtener 𝐴0∗

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2

132

2/5/21

67

133

§ Ya tenemos 3𝐶/§ Ahora ¿Qué función de política nos falta para tener el equilibrio

completo en 𝑡 = 2? § Podríamos pensar que 3𝐴/ por ser ‘el par en el tiempo’ de 3𝐶/§ Sin embargo, debido a que 𝐴) es un parámetro, 𝐴/∗ se tuvo que haber

obtenido en 𝑡 = 1, por lo que en 𝑡 = 2 tenemos que obtener 𝐴0∗§ No nos dimos cuenta de esto cuando resolvimos el problema de

optimización para todo el periodo de tiempo, porque resolvimos todo de manera simultánea. Por esto no nos detuvimos a ver en qué momento en el tiempo el agente representativo toma la decisión sobre su nivel de activos para el siguiente periodo

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2

133

134

§ Entonces en 𝑡 = 2 tenemos que obtener la función de política de los activos para 𝑡 = 3, i.e. 3𝐴0

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

134

2/5/21

68

135

§ Entonces en 𝑡 = 2 tenemos que obtener la función de política de los activos para 𝑡 = 3, i.e. 3𝐴0

§ Tomando la restricción o simplemente la expresión (8b):

𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/……………………..…………….....................(8b)

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

135

136

§ Entonces en 𝑡 = 2 tenemos que obtener la función de política de los activos para 𝑡 = 3, i.e. 3𝐴0

§ Tomando la restricción o simplemente la expresión (8b):

𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝐴/ +𝑤/ − 𝐶/……………………..…………….....................(8b)

§ Proponemos la función de política para los activos en 𝑡 = 3:

3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −3𝐶/

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

136

2/5/21

69

137

§ Entonces substituimos 3𝐶/ en 3𝐴0:

3𝐶/ = ))+-

1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +*")+,"

3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −3𝐶/

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

137

138

§ Entonces substituimos 3𝐶/ en 3𝐴0:

3𝐶/ = ))+-

1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +*")+,"

3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −3𝐶/

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

138

2/5/21

70

139

§ Entonces substituimos 3𝐶/ en 3𝐴0:

3𝐶/ = ))+-

1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +*")+,"

3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −3𝐶/

3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)

)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +

*")+,"

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

139

140

3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)

)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +

*")+,"

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

140

2/5/21

71

141

3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)

)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +

*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ − 1 + 𝑟/ 𝑎 − 𝑤/ −*")+,"

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

141

142

3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)

)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +

*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ − 1 + 𝑟/ 𝑎 − 𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 − 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ −𝑤/ −*")+,"

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

142

2/5/21

72

143

3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)

)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +

*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ − 1 + 𝑟/ 𝑎 − 𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 − 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ −𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 − 1 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 − 1 𝑤/ −*")+,"

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

143

144

3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)

)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +

*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ − 1 + 𝑟/ 𝑎 − 𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 − 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ −𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 − 1 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 − 1 𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = ))+-

𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝛽𝑤/ −*")+,"

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

144

2/5/21

73

145

3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)

)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +

*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ − 1 + 𝑟/ 𝑎 − 𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 − 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ −𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 − 1 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 − 1 𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = ))+-

𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝛽𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = -)+-

1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ - ))+-

*")+,"

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

145

146

3𝐴0 = 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ −)

)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +

*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ − 1 + 𝑟/ 𝑎 − 𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 − 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 𝑤/ −𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = ))+-

1 + 𝛽 − 1 1 + 𝑟/ 𝑎 + 1 + 𝛽 − 1 𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = ))+-

𝛽 1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝛽𝑤/ −*")+,"

3𝐴0 = -)+-

1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ - ))+-

*")+,"

’Función de política’ de 𝐴 en 𝑡 = 2 (&𝐴7)

146

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74

147

§ Así, ya obtuvimos las dos funciones de política para el agente representativo en 𝑡 = 2:3𝐶/ = )

)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +

*")+,"

3𝐴0 = -)+-

1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ - ))+-

*")+,"

’Funciones de política’ en 𝑡 = 2

147

148

§ Así, ya obtuvimos las dos funciones de política para el agente representativo en 𝑡 = 2:3𝐶/ = )

)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +

*")+,"

3𝐴0 = -)+-

1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ - ))+-

*")+,"

§ Ambas son funciones condicionalmente óptimas porque están en función de 𝑎…

’Funciones de política’ en 𝑡 = 2

148

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149

§ Así, ya obtuvimos las dos funciones de política para el agente representativo en 𝑡 = 2:3𝐶/ = )

)+-1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ +

*")+,"

3𝐴0 = -)+-

1 + 𝑟/ 𝑎 + 𝑤/ - ))+-

*")+,"

§ Ambas son funciones condicionalmente óptimas porque están en función de 𝑎…

§ …por lo que para que 3𝐶/ y 3𝐴0 sean óptimas, se necesita que 𝑎 = 𝐴/∗

’Funciones de política’ en 𝑡 = 2

149

150

§ Entonces las funciones de política 3𝐶/ y 3𝐴0 cuando 𝑎 = 𝐴/∗ son: 𝐶/∗ =

))+-

1 + 𝑟/ 𝐴/∗ +𝑤/ +*")+,"

𝐴0∗ =-

)+-1 + 𝑟/ 𝐴/∗ +𝑤/ - )

)+-*")+,"

§ ¿En qué se parecen las funciones de política –que son funciones condicionales-, a las soluciones óptimas para todo el periodo?

150

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76

151

§ Entonces las funciones de política 3𝐶/ y 3𝐴0 cuando 𝑎 = 𝐴/∗ son: 𝐶/∗ =

))+-

1 + 𝑟/ 𝐴/∗ +𝑤/ +*")+,"

𝐴0∗ =-

)+-1 + 𝑟/ 𝐴/∗ +𝑤/ - )

)+-*")+,"

§ ¿En qué se parecen las funciones de política –que son funciones condicionales-, a las soluciones óptimas para todo el periodo?𝐶/∗ =

- )+,!)+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

𝐴0∗ = 1 + 𝑟/ -

.

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − /

0

))+-+-!

1

2

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+*"

)+,! )+,"+𝑤/ −

- )+,!)+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

151

152

§ Entonces las funciones de política 3𝐶/ y 3𝐴0 cuando 𝑎 = 𝐴/∗ son: 𝐶/∗ =

))+-

1 + 𝑟/ 𝐴/∗ +𝑤/ +*")+,"

𝐴0∗ =-

)+-1 + 𝑟/ 𝐴/∗ +𝑤/ - )

)+-*")+,"

§ ¿En qué se parecen las funciones de política –que son funciones condicionales-, a las soluciones óptimas para todo el periodo?𝐶/∗ =

- )+,!)+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

𝐴0∗ = 1 + 𝑟/ -

.

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) − /

0

))+-+-!

1

2

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+*"

)+,! )+,"+𝑤/ −

- )+,!)+-+-!

1 + 𝑟) 𝐴) +𝑤) +*!)+,!

+ *")+,! )+,"

152

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153

max?"

ln 𝐶0sujeto a:

1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 = 𝐶0 + 𝐴@𝐴@ ≥ 0

’Funciones de política’ en 𝑡 = 3

153

154

max?"

ln 𝐶0sujeto a:

1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 = 𝐶0 + 𝐴@𝐴@ ≥ 0

§ Aquí ni siquiera hay necesidad de construir un lagrangiano, ni es necesario obtener alguna derivada. Debido a que sabemos que en óptimo el agente representativo se va a terminar sus recursos (i.e. 𝐴@ = 0 ), simplemente con ‘cumplir’ con la restricción obtenemos el máximo restringido: 3𝐶0 = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0

’Funciones de política’ en 𝑡 = 3

154

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78

155

§ 3𝐶0 = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0

§ Ahora, tomando la primera restricción y despejando 𝐴@, la función de política de 𝐴@ sería:

3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 −3𝐶0

’Funciones de política’ en 𝑡 = 3

155

156

§ 3𝐶0 = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0

§ Ahora, tomando la primera restricción y despejando 𝐴@, la función de política de 𝐴@ sería:

3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 −3𝐶0

3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 − 1 + 𝑟0 𝑎 − 𝑤0

’Funciones de política’ en 𝑡 = 3

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157

§ 3𝐶0 = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0

§ Ahora, tomando la primera restricción y despejando 𝐴@, la función de política de 𝐴@ sería:

3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 −3𝐶0

3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 − 1 + 𝑟0 𝑎 − 𝑤0

’Funciones de política’ en 𝑡 = 3

157

158

§ 3𝐶0 = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0

§ Ahora, tomando la primera restricción y despejando 𝐴@, la función de política de 𝐴@ sería:

3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 −3𝐶0

3𝐴@ = 1 + 𝑟0 𝑎 + 𝑤0 − 1 + 𝑟0 𝑎 − 𝑤0

3𝐴@ = 0 = 𝐴@∗

’Funciones de política’ en 𝑡 = 3

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Nuestra agenda de hoy

Revisión dedatos yeventosmacro

Optimización de un modelo

determinístico de tres

periodos

Tarea

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159

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(2) Leer mi columna en El Financiero (martes 27-abr) sobre la aprobación de las modificaciones a las leyes secundarias del Poder Judicial1 página

https://www.elfinanciero.com.mx/opinion/gabriel-casillas/

(1) Estar atentos y revisar los datos y eventos económicos que se van a publicar en la semana2 páginas

https://www.banorte.com/cms/casadebolsabanorteixe/analisisyestrategia/analisiseconomico/otros/20210426_Calendario.pdf

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(3) Escuchar el podcast ‘Norte Económico’ episodio 15 de la Temporada 2 (mié 28-abr) -Entrevista con Alejandro Werner (FMI)45 minutos

https://podcasts.apple.com/mx/podcast/norte-económico/id1515320115

(4) Desarrollar una hoja de cálculo en Excel con el modelo determinístico de optimización dinámica de tres periodos.

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162

Muchasgracias!

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