c3tranhungdaohd.edu.vnc3tranhungdaohd.edu.vn/thd/vn/upload/info/attach/... · 2020. 2. 10. · SỞ GD & ĐT HÀ NỘI Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO HÀ ĐÔNG ĐỀ CƯƠNG

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI

Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO

HÀ ĐÔNG

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ 2

MÔN: TOÁN LỚP 11

A . NỘI DUNG ÔN TẬP LÝ THUYẾT: GỒM 2 PHẦN

• ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11: Gồm các nội dung: cấp số cộng, cấp số nhân, giới hạn

dãy số và giới hạn hàm số.

• HÌNH HỌC 11: gồm các nội dung: đường thẳng và mặt phẳng sog song, hai mặt

phẳng song song, véc tơ trong không gian.

I . ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

CẤP SỐ CỘNG

• TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: công sai)

2. Số hạng tổng quát: 1 ( 1)= + −nu u n d với n 2

3. Tính chất các số hạng: 1 1

2

− ++= k k

k

u uu với k 2

4. Tổng n số hạng đầu tiên: 11 2

( )...

2

+= + + + = n

n n

n u uS u u u =

12 ( 1)

2

+ −n u n d

• BÀI TẬP:

DẠNG 1: Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng.

DẠNG 2: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng.

Phương pháp:

• Dãy số ( )nu là một cấp số cộng 1+ − =n nu u d không phụ thuộc vào n và d là công sai.

• Ba số , ,a b c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng 2 + =a c b .

• Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường

biểu diễn giả thiết của bài toán qua 1u và d .

CẤP SỐ NHÂN

• LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1. Định nghĩa:(un) là cấp số nhân un+1 = un.q với n N* (q: công bội)

2. Số hạng tổng quát: 1

1.−= n

nu u q với n 2

3. Tính chất các số hạng: 2

1 1.− +=k k ku u u với k 2

4. Tổng n số hạng đầu tiên:

1

1

1

(1 )1

1

= =

− = −

n

n

n

S nu vôùi q

u qS vôùi q

q

• BÀI TẬP

DẠNG 1: Xác định cấp số nhân vafcacs yếu tố của cấp số nhân.

DẠNG 2: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân.

Phương pháp:

• Dãy số ( )nu là một cấp số nhân 1+ =n

n

uq

u không phụ thuộc vào n và q là công bội.

• Ba số , ,a b c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân 2 =ac b .

• Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường

biểu diễn giả thiết của bài toán qua 1u và q .

GIỚI HẠN DÃY SỐ


GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC

1.Giới hạn đặc biệt:

1

lim 0n n→+

= ; 1

lim 0 ( )kn

kn

+

→+=

lim 0 ( 1)n

nq q

→+= ; lim

nC C

→+=

2.Định lí :

a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì

• lim (un + vn) = a + b

• lim (un – vn) = a – b

• lim (un.vn) = a.b

• lim n

n

u a

v b= (nếu b 0)

b) Nếu un 0, n và lim un= a

thì a 0 và lim nu a=

c) Nếu n nu v ,n và lim vn = 0

thì lim un = 0

d) Nếu lim un = a thì lim nu a=

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1

1

u

q−( )1q

1. Giới hạn đặc biệt:

lim n = + lim ( )kn k += +

lim ( 1)nq q= +

2. Định lí:

a) Nếu lim nu = + thì 1

lim 0nu=

b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim n

n

u

v=

0

c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0

thì lim n

n

u

v =

. 0

. 0n

n

neáu av

neáu av

+ −

d) Nếu lim un = +, lim vn = a

thì lim(un.vn) = 0

0

neáu a

neáu a

+ −

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng

vô định: 0

0,

, – , 0. thì phải tìm

cách khử dạng vô định bằng cách:

+ nhân chia với biểu thức liên hợp

+ chia cả tử và mẫu cho n có số mũ cao

nhất.

…..

• BÀI TẬP: gồm 2 dạng cơ bản

DẠNG 1: Tính giới hạn dãy số bằng định nghĩa.

DẠNG 2: Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý, các giới hạn cơ bản.

Phương pháp:

• Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

• Khi tìm ( )

lim( )

f n

g n ta thường chia cả tử và mẫu cho kn , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và

mẫu.

• Khi tìm lim ( ) ( ) −

k mf n g n trong đó lim ( ) lim ( )= = +f n g n ta thường tách và sử dụng

phương pháp nhân lượng liên hơn.

+ Dùng các hằng đẳng thức:

( )( ) ( )( )3 32 23 3 3;a b a b a b a b a ab b a b− + = − − + + = −

GIỚI HẠN HÀM SỐ


Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực


0

0limx x

x x→

= ; 0

limx x

c c→

= (c:

hằng số)

2. Định lí:

a) Nếu0

lim ( )x x

f x L→

= và 0

lim ( )x x

g x M→

=

thì: 0

lim ( ) ( )x x

f x g x L M→

+ = +

0

lim ( ) ( )x x

f x g x L M→

− = −

0

lim ( ). ( ) .x x

f x g x L M→

=

0

( )lim

( )x x

f x L

g x M→= (nếu M 0)

b) Nếu f(x) 0 và 0

lim ( )x x

f x L→

=

thì L 0 và 0

lim ( )x x

f x L→

=

c) Nếu 0

lim ( )x x

f x L→

= thì 0

lim ( )x x

f x L→

=

3. Giới hạn một bên:

0

lim ( )x x

f x L→

=

0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x L− +→ →

= =


lim k

xx

→+= + ; lim k

x

neáu k chaünx

neáu k leû→−

+=

−

limx

c c→

= ; lim 0kx

c

x→=

0

1lim

x x−→= − ;

0

1lim

x x+→= +

0 0

1 1lim lim

x xx x− +→ →= = +

2. Định lí:

Nếu 0

lim ( )x x

f x L→

= 0 và 0

lim ( )x x

g x→

= thì:

0

0

0

lim ( )

lim ( ) ( )lim ( )

x x

x xx x

neáu L vaø g x cuøngdaáu

f x g xneáu L vaø g x traùi daáu

→

→→

+

= −

0

0 0

0

0 lim ( )

( )lim lim ( ) 0 . ( ) 0

( )

lim ( ) 0 . ( ) 0

x x

x x x x

x x

neáu g x

f xneáu g x vaøL g x

g x

neáu g x vaøL g x

→

→ →

→

= = + = − =

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô

định: 0

0,

, – , 0. thì phải tìm cách khử

dạng vô định bằng cách:

+ phân tích thành nhân tử và rút gọn.

+ nhân chia với biểu thức liên hợp.

+ chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất.

+…..

• BÀI TẬP: gồm các dạng bài tập cơ bản sau:

DẠNG 1: Tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa hoặc giới hạn tại một điểm xác định.

DẠNG 2: Tính giơis hạn dạng vô định 0

0

DẠNG 3: Tính giơis hạn dạng vô định

DẠNG 4: Tính giơis hạn một bên và dạng vô định khác.

Phương pháp:

1. L = 0

( )lim

( )→x x

P x

Q x với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 (dạng

0

0)

Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn hoặc nhân chia với lượng liên hợp của tử,

của mẫu,…

2 . L = ( )

lim( )→x

P x

Q xtrong đó ( ), ( ) →P x Q x , dạng này ta còn gọi là dạng vô định

.

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.

– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc

nhân lượng liên hợp.

3. Giới hạn một bên :Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương..

4. Dạng – : Giới hạn này thường có chứa căn

Ta thường sử dụng pp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó biến đổi đưa về dạng

.

5. Dạng 0.:

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.

II . HÌNH HỌC 11.

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

• LÝ THUYẾT TÓM TẮT:

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( ) , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:

• d và ( ) cắt nhau tại điểm M , kí hiêu ( )= M d hoặc để đơn giản ta kí hiệu

( )= M d (h1)

• d song song với ( ) , kí hiệu d// ( ) hoặc ( ) //d ( h2)

• d nằm trong ( ) , kí hiệu ( )d (h3)

2. Các định lí và tính chất.

( ) • Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng

và d song song với đường thẳng 'd nằn trong ( )

thì d song song với ( ) .

• Định lý 2:Cho đường thẳng d // ( ) . Nếu mặt

phẳng ( ) đi qua d và cắt ( ) theo giao tuyến

'd thì 'd //d

• BÀI TẬP: gồm 2 dạng cơ bản sau

DẠNG 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

DẠNG 2: Xác định thiết diện song song với đường thẳng.

Phương pháp 1

dùng điều kiện cần và đủ để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) .

Chứng minh d song song với một đường thẳng chứa trong ( )

• Hê quả:Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng

song song với một đường thẳng thì giao tuyến

của chúng ( nếu có) cũng song song với đường

thẳng đó.

d

h1

αM

d

h3

α

d

h2

α

d'

d

h3

α

d'

dβ

α

d'

d

β

α

Phương pháp 2

Cơ sở của phương pháp là dùng định lý phương giao tuyến song song.

- sử dụng định lý 2.

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG


1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) có 3 vị trí tương đối.

( ) / /( ) ( ) cắt ( ) ( ) ( )

2. Định nghĩa hai mp song song: Hai mặt phẳng ( ) và ( ) được gọi là song song với

nhau nếu chúng không có điểm chung.

3. Các định lý:

. Định lí 1: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song

song với mặt phẳng ( ) thì ( ) song song với ( ) .

Hệ quả: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b lần lượt song

song với hai đường thẳng a’, b’ nằm trong mặt phẳng ( ) thì mặt phẳng ( ) song

song với mặt phẳng ( ) .

, ( )

( ) / / ( )/ / ', / / '

', ' ( )

=

a b

a b O

a a b b

a b

Lưu ý: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt

phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.

. Định lí 2 : (Định lí giao tuyến thứ tư) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt

phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với

nhau.

( ) / / ( )

( ) ( ) / /

( ) ( )

= =

a a b

b

. Định lí 3 : (Định lí Ta-lét trong không gian); định nghĩa hình lăng trụ, hình

hộp, hình chóp cụt,….

• BÀI TẬP: gồm 2 dạng cơ bản:

DẠNG 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song.

DẠNG 2: Xác định thiết diện của ( ) với hình chóp khi biêt ( ) song song với một

mặt phẳng ( ) cho trước.

Phương pháp:

Chứng minh 2 mặt phẳng song song

Phương pháp 1

+ phương pháp chứng minh hai mặt phẳng ( ) và ( ) song song nhau là:

- Bước 1: Chứng minh ( ) chứa hai đường thẳng ,a b cắt nhau lần lượt song song với hai

đường thẳng , a b cắt nhau trong mặt phẳng ( ) .

- Bước 2: Kết luận ( ) ( ) theo điều kiện cần và đủ.

Phương pháp 2

- Bước 1: Tìm hai đường thẳng ,a b cắt nhau trong mặt phẳng ( ) .

- Bước 2: Lần lượt chứng minh a// ( ) và b // ( )

- Bước 3: Kết luận ( ) // ( ) Để xác định thiết dienj khi biết ( ) // ( ) Ta thường sử dụng định lý 2 và hệ quả.

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN


1. Định nghĩa véctơ và các phép toán

β

α

O

b'

a'

b

a

• Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn

tương tự như trong mặt phẳng: hệ thức trung điểm, trọng tâm, 2 véc tơ cùng

phương,vv…

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. ABCD, ta có:

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ

• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt

phẳng.

• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , trong đó không cùng

phương. Khi đó: đồng phẳng ! m, n R:

• Cho ba vectơ không đồng phẳng, tuỳ ý.

Khi đó: ! m, n, p R:

3. Tích vô hướng của hai vectơ

• Góc giữa hai vectơ trong không gian:

•Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

+ Cho . Khi đó:

+ Với . Qui ước:

+

• BÀI TẬP :gồm các dạng toán thường gặp sau đây:

DẠNG 1: Chứng minh đẳng thức vec tơ.

DẠNG 2: Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một

vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.

+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:

- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n R: thì

đồng phẳng

+ Để phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n,

p sao cho:

DẠNG 3: Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian, tính độ dài của đoạn

thẳng, véctơ.

+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở

. Vì vậy để tính độ dài của đoạn ta thực hiện theo các bước sau:

- Chọn ba vec tơ không đồng phẳng so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc

giữa chúng có thể tính được.

+ =AB BC AC

AB AD AC+ =

' '+ + =AB AD AA AC

, ,a b c a vaø b

, ,a b c = +c ma nb

, ,a b c x

= + +x ma nb pc

0 0, ( , ) (0 180 )= = = AB u AC v u v BAC BAC

, 0u v . . .cos( , )=u v u v u v

0 0= =u hoaëc v . 0=u v

. 0⊥ =u v u v

c ma nb= +

, ,a b c

x , ,a b c

x ma nb pc= + +

22 2

a a a a= = MN

, ,a b c

- Phân tích

- Khi đó

DẠNG 4: Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không

gian.

Sử dụng các kết quả

• là bốn điểm đồng phẳng

• là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm bất kì ta có

trong đó .

II . BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1 . cấp số cộng – cấp số nhân.

Bài 1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u1 + 2u5 = 0 và S4 = 14.

Bài 2. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u1 + u5 – u3 = 10; u1 + u6

= 17.

Bài 3. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u7 + u15 = 60 và (u4)² +

(u12)² = 117

Bài 4. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u1 + u3 + u5 = –12 và

u1u2u3 = 8

Bài 5. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng tăng, biết tổng của chúng bằng 27 và

tổng các bình phương của chúng là 293.

Bài 6. Tìm x sao cho 3 số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, biết a = 10 – 3x, b

= 3x² + 5, c = 5 – 4x.

Bài 7. Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 = 1 và công sai d = 1. Tìm n sao cho

tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng 3003.

Bài 8. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết u1 – u3 + u5 = 65; u1 + u7 =

325

Bài 9. Tìm công bội của cấp số nhân (un) là dãy số giảm có u2 – u3 = 768 và u2 – u5 =

1008

Bài 10. Tìm công bội của cấp số nhân hữu hạn có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448

và tổng số các số hạng là 889.

MN ma nb pc= + +

( )22

MN MN MN ma nb pc= = = + +

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 cos , 2 cos , 2 cos ,m a n b p c mn a b np b c mp c a= + + + + +

, , ,A B C D DA mDB nDC = +

, , ,A B C D O

OD xOA yOB zOC= + + 1x y z+ + =

Bài 11. Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nó

lớn gấp 3 lần tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công bội của cấp số đó.

Bài 12. Tìm 3 số hạng đầu a, b, c của một cấp số nhân, biết rằng a, b + 2, c tạo thành

một cấp số cộng và a, b + 2, c + 9 lập thành một cấp số nhân.

Bài 13. Tìm các số a, b sao cho a, a + 2b, 2a + b là 3 số liên tiếp của cấp số cộng và (b +

1)², ab + 5, (a + 1)² là ba số liên tiếp của cấp số nhân.

Bài 14. Cho cấp số nhân (un) thoả mãn u4 – u2 = 12 và u5 – u3 = 24. Tính u1; q, tổng S5

2 . Giới hạn dãy số.

BÀI 1:Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử và mẫu cho na với số mũ a cao nhất Hoặc đặt nhân

tử chung)

1,lim(n2 − n + 1). 2, lim(−n2 + n + 1). 3, lim 8n3n2 2 −−

4, lim 3 3nn21 −+ 5, lim(2n + cosn). 6, lim(2

1n2 − 3sin2n + 5).

7, 8, 9, lim

10, 11, 12,

13,lim– n2 + n – 1

2n2 – 1 14, lim

4n – 1

n + 1 15 lim

16, 17, 18,

Bài 2: Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất)

1, 2, 3, ĐS: 0

4, 5, 6,

BÀI 3: Tính các giới hạn sau: (Tử ở dạng vô cùng ±vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô cùng

;bậc của tử và mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất của tử hoặc mẫu)

1, 2, 3,

4, 5, 6,

7, 8, 9,

10, 11, 12,

3 2

2 1lim

4 3

n

n n

+

+ +

2

4

1lim

2 1

n

n n

+

+ +

2

4

1

2 1

n

n n

+

+ +

2

2

2 3lim

3 2 1

n n

n n

− +

+ +

3 2

3

3 2lim

4

n n n

n

+ +

+

4

2lim

( 1)(2 )( 1)

n

n n n+ + +

1n2n

3n2

3 3 +−

−

4 2

3 2

2 3lim

3 2 1

n n

n n

+ −

− +

+ +

−

3 2

2

3 2lim

4

n n n

n

− + +

+

24 2 5lim

3 1

n n

n

1 3lim

4 3

n

n

+

+

14.3 7lim

2.5 7

n n

n n

++

+

1 24 6lim

5 8

n n

n n

+ ++

+12 5

lim1 5

n n

n

++

+

1 2.3 7lim

5 2.7

n n

n n

+ −

+ 1

1 2.3 6lim

2 (3 5)

n n

n n+

− +

−

2

2

4 1 2 1lim

4 1

n n

n n n

+ + −

+ + +

2

2

3 4lim

2

n n

n n

+ − −

+ +

32 6

4 2

1lim

1

n n

n n

+ −

+ +

2

2

4 1 2lim

4 1

n n

n n n

+ +

+ + +

(2 1)( 3)lim

( 1)( 2)

n n n

n n

+ +

+ +

2 2

2

4 4 1lim

3 1

n n n

n n

− − +

+ +

+ +2lim( 3 )n n n − − +2lim( 2 2013)n n n ( )2lim n n n− −

+ − +2lim( 1 5)n n + − +2lim( 2013 5)n n 2lim 2 1n n n

+ − −

13, 14,

15, 16,

17, 18,

Bài 4: Tính các giới hạn sau :

1, lim(n2 − n + 1). 2, n n

n n

3 4 1lim

2.4 2

− + +

3, lim7.4 2 2.5

3 4.5

n n n

n n

− +

−

4) lim(−n2 + n + 1). 5, . 6. .

7, . 8, . 9, .

10, . 11, . 12,

.

13, . 14, . 15, .

16, . 17, .

18, .

19, 2 2 2 2

[2 5 8 ... (3 1)].2nlim

1 2 3 ...

n

n

+ + + + −

+ + + +

3. giới hạn hàm số.

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu khác 0 thì giới hạn bằng f(a).

+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu bằng 0 tử khác 0 thì giới hạn bằng .

1, 3xlim→

(x2 + x). 2,x 1

xlim

x 1→ − 3,

2 2lim 2n n n

+ − +

3 3lim 2 1n n n

− + −

2 4lim 1 3 1n n n + − + +

2 2

2

4 4 1lim

3 1

n n n

n n

− − +

+ −

2 2

1lim

2 4n n+ − +

2

2

4 1 2 1lim

4 1

n n

n n n

+ − −

+ + −

4

2lim

( 1)(2 )( 1)

n

n n n+ + + 3 2

2 1lim

4 3

n

n n

+

+ +

2

2

4 1 2 1lim

4 1

n n

n n n

+ + −

+ + +

2

2

3 4lim

2

n n

n n

+ − −

+ +

32 6

4 2

1lim

1

n n

n n

+ −

+ +

2

2

4 1 2lim

4 1

n n

n n n

+ +

+ + +

2 2

2

4 4 1lim

3 1

n n n

n n

− − +

+ +

2

2

4 1 2 1lim

4 1

n n

n n n

+ − −

+ + −

+ +2lim( 3 )n n n 2 4lim 1 3 1n n n + − + +

2lim 2 1n n n

+ − −

2

2

2coslim

1

n

n +

1 1 1lim ...

1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n

+ + +

− +

1 1 1lim ...

1.3 2.4 ( 2)n n

+ + +

+

2 3

0

1lim

1x

x x x

x→

+ + +

+

4, 5, 6,

7, 8, 9,

10, 11,

Bài 2: Tìm các giới hạn sau: (Khi thay x=a vào f(x) thấy tử =0; mẫu =0 ta rút gọn mất nhân tử rồi thay

tiếp tới khi mẫu khác 0 là xong) còn nếu mẫu =0 tử khác 0 thì kq là

1,

2

x 1

x 1lim

x 1→

−

− 2,

0xlim→

x1

2x

−

3,

2xlim→ 4x

8x2

3

−

−.

4,1x

lim→ 1x

1x4x3 2

−

+− 5,

2x

2x3x2lim

2

2x −

−−

→ 6, ĐS: -8

7, 8, 1x

3x5x3xlim

2

23

1x −

−+−

→ 9,

2 3

1

1lim

1→−

+ + +

+x

x x x

x

10, 9x8x

9x3x5xlim

24

23

3x −−

++−

→ 11, 12,

13, 1x

xx5x4lim

2

56

1x −

+−

→ 14,

21

2 1lim

1 1x x x→

−

− −

15, 31

1 3lim

1 1x x x→

−

− −

16, 2 2x 1

x 2 x 4lim

x 5x 4 3(x 3x 2)→

+ −+

− + − +

Bài 3 Tìm các giới hạn sau: (Một căn bậc 2)

1, 2, 3, x4

35xlim

4x −

−+

→

4, 9x

lim→ 2xx9

3x

−

−

5,

49x

3x2lim

27x −

−−

→ 6,

3x4x

4x7x2lim

231x +−

−++

→

7, 1x

2x3xlim

2

3

1x −

−−

→ 8,

1x

x3x3xlim

32

1x −

−++

→

Bài 4: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn Bậc 2)

1, x

x1x1lim

0x

−−+

→ 2,

23x

1xlim

1x −+

−

→ 3,

31x4

x2xlim

2x −+

−+

→

4, 5,3x2

37x2lim

1x +−

−+

→ 6,

1x

xxlim

2

1x −

−

→

7, x51

x53lim

4x −−

+−

→

ĐS:-1/3 8, 9, 3x3

2x3x2lim

1x +

+−+

−→

10, 1x

1x1xlim

2

1x −

−+−+→

11, 0x

lim→ 9x23

11x

+−

−+ 12,

2xlim→ x31x

x22x

−−−

−+

2

1

3 1lim

1x

x x

x→−

+ −

−2

sin4lim

x

x

x→

−

41

1lim

3x

x

x x→−

−

+ −

2

2

1lim

1x

x x

x→

− +

−

2

1

2 3lim

1x

x x

x→

− +

+ 1

8 3lim

2x

x

x→

+ −

−

3 2

2

3 4 3 2lim

1x

x x

x→

− − −

+

2

0

1lim sin

2xx

→

4

3 22

16lim

2x

x

x x→−

−

+3 2

21

1lim

3 2x

x x x

x x→

− − +

− +5

31

1lim

1x

x

x→−

+

+

5 6

21

5 4lim

(1 )x

x x x

x→

− +

−

22

4 1 3lim

4x

x

x→

+ −

−

2

0

1 1limx

x

x→

+ −

2

2 2lim

7 3x

x

x→

+ −

+ −

1

2 2 3 1lim

1x

x x

x→

+ − +

−

15, 16, 17,

18, ax

lim→ 22 ax

axax

−

−+−, với a> 0. ĐS: a1/ 2 19,

1xlim→ x3x3x

1x

32 −++

−

Bài 5: Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp,Đặt nhân

tử, dấu giá trị tuyệt đối)

1, →−xlim (3x3 −5x2 + 7) 2, )32(lim 3 xx

x−

+→ 3, 3lim(2 3 )

xx x

→−

4, →+xlim − +42x 3x 12 . 5, 2lim 3 4

xx x

→− + 6,

→+xlim

−

+

3

2

x 5

x 1

7,

3

2x

2x xlim

x 2→+

−

+ 8,

x

2x 1lim

x 1→+

+

− 9,

4 5

4x

3x 2xlim

5x x 4→−

−

+ +

10,

2

2x

x 1lim

1 3x 5x→−

+

− − 11,

2

2x

3x(2x 1)lim

(5x 1)(x 2x)→−

−

− + 12,

2x

x x 1lim

x x 1→+

+

+ +

13, 2

x

4x 1lim

3x 1→

+

− 14,

→−

−

−

4

x

x xlim

1 2x 15,

2

x

x x xlim

x 10→−

+ +

+

16, 2 3 2

lim3 1x

x x x

x→−

− +

− 17,

→xlim

2x

2x

2 +

+ 18,

3 3 22lim

2 2x

x x x

x→−

+ +

−

119, 4x4x

x2xlim

2

2

2x ++

+

−→ 20,

→

+ −−

2x 1

2 2x 1lim .

2x 3(x 1) 21,

→ − − +2x 1

5lim

(x 1)(x 3x 2)

22, →x 0

lim

−

2

1 1

x x. 23, 24,

−→x 2lim

−

− − 2

1 1

x 2 x 4

25, 26, 27, ĐS:0

28, 29, 30,

Bài 6: Tính các giơi hạn sau:

1) 1

25lim

1 +

−+

−→ x

x

x

2) →

+ −

− +

3

22

2 2 2lim

2 5 2x

x

x x 3)

4) 2

3

9lim

3x

x

x→

−

− 5)

2

1

3 2lim

1x

x x

x→

− +

− 6)

23

3lim

2 3x

x

x x→−

+

+ −

7) 3

21

1lim

1x

x

x→

−

− 8)

2

21

2 3lim

2 1x

x x

x x→

+ −

− − 9)

2

2lim

7 3x

x

x→

−

+ −

10) 2

3

9lim

1 2x

x

x→

−

+ − 11)

4

2 1 3lim

2x

x

x→

+ −

− 12)

1

2 1lim

5 2x

x

x→−

+ −

+ −

13) 2

2

3 2lim

2x

x x

x−→

− +

− 14)

2

x 2

x x 2 2lim

3 x 1→−

+ + −

+ −. 15)

x

x

x1

3 2lim

1+→−

+

+

2

0 2

1 1lim

16 4x

x

x→

+ −

+ −23

3 2lim

3x

x x

x x→−

+ −

+ 0

9 16 7limx

x x

x→

+ + + −

4

3 21

1lim

2x

x

x x x+→

−

− +

2

2

1lim

2 1x

x

x x→+

+

− +

22 1lim

2x

x x

x→

− +

−

2

3 2

2 1lim

3 2x

x

x x→+

+

− +

2

2

2 3 4 1lim

4 1 2x

x x x

x x→

+ + + +

+ + −

2

2

4 2 1 2lim

9 3 2x

x x x

x x x→

− + + −

− +

2

2

(2 1) 3lim

5x

x x

x x→−

− −

−

1

75lim

2

3 23

1 −

+−−

→ x

xx

x

16) ( )x

x x2lim 5→+

+ − 17) ( )2

xlim 2x 1 x→−

+ +

18)

19)

20) 21)

22) 1

1227lim

2

1 +

+−−

−→ x

xx

x 23)

52

3

2

532lim

xxx

xx

x +−

+−

+→

24) hạn ( )x

x x x ac

bx

32

1

2 7 1 2lim

2 1→

+ + − += +

−(a, b là các số nguyên và

a

btối giản), tính a b c+ + .

25) −→

− +

−2

3 4lim

2x

x

x. 26) 20

3 4 2lim

3x

x

x x→

+ −

+ 27) 2 2lim ( 7 1 3 2)

xx x x x

→−− + − − +

.

28) 33 2 2

30

8 6 9 9 27 27limx

x x x x x a

x b→

+ + + − + +=

( ,a b Z và a

b tối giản). Tính giá trị (a+b).

29). 30). 31.

32. 33. 34.

35.

Bài 7 : Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:

1)

2)

3)

4)

4 . Quan hệ song song trong không gian – véctơ trong không gian.

2xlim→ x31x

x22x

−−−

−+

2

15lim

2x

x

x+→

−

− 2

15lim

2x

x

x−→

−

−

2

3

1 3 2lim

3x

x x

x+→

+ −

−

2

1

3 1lim

1x

x x

x→−

+ −

−2

sin4lim

x

x

x→

−

41

1lim

3x

x

x x→−

−

+ −

2

2

1lim

1x

x x

x→

− +

−

2

1

2 3lim

1x

x x

x→

− +

+ 1

8 3lim

2x

x

x→

+ −

−

3 2

2

3 4 3 2lim

1x

x x

x→

− − −

+

3 11( ) 11

2 1

xkhi xf x taïi xx

mx khi x

− = = − +

2

0

( ) 0100 30

3

x m khi x

f x taïi xx xkhi x

x

+

= = + +

+

2

3 1( ) 1

3 1

x m khi xf x taïi x

x x m khi x

+ −= = −

+ + + −

3

2 2

1 31

( ) 11 1

3 3 1

khi xf x taïi xx x

m x mx khi x

−

= =− − − +

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thanng, đáy lớn AB. Gọi M,N lần lượt là

trọng tâmm của tam giác SAB và SCD.

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau : (AMB) và (SCD) ; (SAB) và (SCD) ; (SMN) và

(ABC).

b) Chứng minh MN//(ABC).

c) Giao tuyến của (AMB) với (SCD) cắt SC, SD tại I, J. Chứng minh IN//(ABC).

d) Tìm thiết diện của hình chớp cắt bởi (INJ).

Bài 2 : cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC ; H, K là trọng tâm tam

giác SAB, SBC. Chứng minh :

a) AC//(SIJ) b)HK // (SAC). c) Tìm giao tuyến (BHK) và (ABC).

Bài 3 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam

giác : ABC, A’B’C’, A’CC’. Chứng minh :

a) (IKG)//(BB’C’C).

b) Xác định thiết diện của lẳng trụ cắt bởi (IKG).

c) Gọi H là trung điểm BB’. Chứng minh (AHI) // (A’KG).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M, N, P là trung điểm AB, CD, SA.

Chứng minh :

a) (SBN) // (DPM).

b) Q là điểm thuộc SP, xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua Q và

song song với (SBN).

c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp đi qua MN và song song với (SAD)

Bài 5 : Cho tứ diện có các cạnh đều bằng . Chứng minh rằng :

a) b) .

c). hay .

Bài 6 : Cho tứ diện và là trọng tâm tam giác . Chứng minh

.

Bài 7. Cho tứ diện . Gọi là các điểm thỏa nãm còn là các

điểm xác định bởi . Chứng minh ba điểm thẳng hàng

III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4;1;6; x− . Khi đó giá trị của x là bao nhiêu.

A. 7x = . B. 10x = . C. 11x = . D. 12x = .

ABCD a

0AD CB BC DA+ + + =2

.2

aAB BC = −

AB CD⊥ . 0AB CD =

ABCD I ABC

1 1 1

3 3 3SI SA SB SC= + +

ABCD ,E F ,EA kEB FD kFC= = , ,P Q R

, ,PA lPD QE lQF RB lRC= = = , ,P Q R

Câu 2: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 7; ; 11;x y− . Khi đó giá trị của x và y là

bao nhiêu.

A. 1; 21x y= = . B. 2; 20x y= = . C. 3; 19x y= = − . D. 4; 18x y= = .

Câu 3: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 5; 9; 13; 17;... . Khi đó nu có thể được tính

theo biểu thức nào sau đây.

A. 5 1nu n= + . B. 5 1nu n= − . C. 4 1nu n= + . D. 4 1nu n= − .

Câu 4: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4; 7; 10; 13;.... Gọi nS là tổng của n số

hạng đầu tiên của cấp số cộng đó ( )1n . Khi đó nS có thể được tính theo công thức nào dưới

đây.

A. 3 1nS n= + . B. 3

.2

n

nS n

=

. C. 3 1

.2

n

nS n

+ =

. D.3 2

.2

n

nS n

+ =

.

Câu 5: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng.

A. 7 3nu n= − . B. 7 3n

nu = − . C. 7

3nu

n= . D. 7.3n

nu = .

Câu 6: Gọi ( )1 2 3 4 5 6 .............. 2 1 2 , 1S n n n= − + − + − + + − − . Khi đó giá trị của S là bao

nhiêu.

A. 0S = . B. 1S = − . C. S n= . D. S n= − .

Câu 7: Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng của 13 số hạng đầu của cấp

số cộng

đó bằng 260. Khi đó, giá trị của 13u là bao nhiêu.

A.13 40u = . B.

13 38u = . C. 13 36u = . D.

13 20u = .

Câu 8: Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng

17; tổng

của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho có giá

trị là bao nhiêu

A. 2d = . B. 3d = . C. 4d = . D. 5d = .

Câu 9: Một cấp số cộng có 7 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng

30, còn

tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ sáu bằng 35. Khi đó, số hạng thứ bảy của cấp số cộng

đó có giá trị là bao nhiêu

A.7 25u = . B.

7 30u = . C. 7 35u = . D.

7 40u = .

Câu 10: Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng

thứ

mười hai bằng 23. Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu

A. 2d = . B. 3d = . C. 4d = . D. 5d = .

Câu 11: Một cấp số cộng có 15 số hạng. Biết rằng tổng của 15 số hạng đó băng 225, và số

hạng thứ

mười lăm bằng 29. Khi đó, số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu

A.1 1u = . B.

1 2u = . C. 1 3u = . D.

1 5u = .

Câu 12: Một cấp số cộng có 10 số hạng. Biết rằng tổng của 10 số hạng đó bằng 175, và công

sai 3d =

Khi đó, số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là

A.1 0u = . B.

1 2u = . C. 1 4u = . D.

1 6u = .

Câu 13: Cho một cấp số cộng có 20 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai.

A.1 20 2 19u u u u+ = + . B.

1 20 5 16u u u u+ = + . C. 1 20 8 13u u u u+ = + . D.

1 20 9 11u u u u+ = + .

Câu 14: Cho một cấp số cộng có n số hạng ( )55n k . Đẳng thức nào sau đây là sai.

A.1 2 1n nu u u u −+ = + . B.

1 5 4n nu u u u −+ = + . C. 1 55 55n nu u u u −+ = + . D.

1 1n k n ku u u u − ++ = + .

Câu 15: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 2;8; ;128x . Khi đó giá trị của x là bao

nhiêu.

A. 14x = . B. 32x = . C. 64x = . D. 68x = .

Câu 16: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; 12; ; 192x y . Khi đó giá trị của x và y là

bao nhiêu.

A. 1; 144x y= = . B. 2; 72x y= = . C. 3; 48x y= = . D. 4; 36x y= = .

Câu 17: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 5; 9; 27; 81;... . Khi đó nu có thể được tính

theo biểu thức nào sau đây.

A. 13n

nu −= . B. 3n

nu = . C. 13n

nu += . D. 3 3n

nu = + .

Câu 18: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;... . Gọi nS là tổng của n số

hạng đầu tiên của cấp số nhân đó ( )1n . Khi đó nS có thể được tính theo công thức nào dưới

đây.

A. 14n

nS −= . B. 11 4

.2

n

nS n+ +

=

. C. 4 1

4 1

n

nS −

= −

. D. 4 1

4.4 1

n

nS −

= −

.

Câu 19: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân.

A. 7 3nu n= − . B. 7 3n

nu = − . C. 7

3nu

n= . D. 7.3n

nu = .

Câu 20: Gọi ( ) ( )1

2 4 8 16 32 64 ... 2 2 , 1,n n

S n n−

= − + − + − + − + − + − . Khi đó giá trị của S là

bao nhiêu.

A. 2S n= . B. 2nS = . C. ( )2 1 2

1 2

n

S− −

=−

. D.

( )( )

1 22

1 2

n

S − − = − − −

.

Câu 21: Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Gọi q là

công bội

của cấp số nhân đó thì giá trị của q là bao nhiêu

A. 3q = . B. 3q = − . C. 2q = . D. 2q = − .

Câu 22: Một cấp số nhân có 4 số hạng, số hạng đầu là 3 và số hạng thứ tư là 192. Gọi S là

tổng các số

hạng của cấp số nhân đó, thì giá trị của S là bao nhiêu

A. 390S = . B. 255S = . C. 256S = . D. 256S = − .

Câu 23: Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai.

A.1 15 2 14. .u u u u= . B.

1 5 11. .nu u u u= . C. 1 6 9. .nu u u u= . D.

1 12 4. .nu u u u= .

Câu 24: Cho một cấp số nhân có n số hạng ( )55n k .Đẳng thức nào sau đây là sai.

A.1 2 1. .n nu u u u −= . B.

1 5 4. .n nu u u u −= . C. 1 55 55. .n nu u u u −= . D.

1 1. .n k n ku u u u − += .

Câu 25: Một tam giác có các góc lập thành một cấp số nhân với công bội là 2q = . Khi đó số

đo các góc của tam giác ấy tương ứng là bao nhiêu.

A.30 ;60 ;90 . B. 2 4

; ;5 5 5

. C.

2 4; ;

6 6 6

. D.

2 4; ;

7 7 7

.

Câu 26. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?

A. 1

n. B.

1

n. C.

1n

n

+. D.

sin n

n.

Câu 27. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

A. 4

3

n

. B. 4

3

n

−

. C. 5

3

n

−

. D. 1

3

n

.


A. ( )0,999n. B. ( )1,01

n. C. ( )1,01

n. D. ( )2,001

n− .

Câu 29. Dãy số nào sau đây không có giới hạn?

A. ( )0,99n. B. ( )1

n− . C. ( )0,99

n− . D. ( )0,89

n− .

Câu 30. ( )1

3

n

n

−

+ có giá trị là bao nhiêu?

A. 1

3− . B. 1− . C. 0 . D.

1

4− .

Câu 31. 3 4

lim5

n

n

−

có giá trị là bao nhiêu?

A. 3

5. B.

3

5− . C.

4

5. D.

4

5− .

Câu 32. 2 3

lim3

n n

n


A. 0 . B. 1. C. 2

3. D.

5

3.

Câu 33. cos 2

lim 4n

n− có giá trị là bao nhiêu?

A. 0 . B. 2 . C. 2 . D. 4 .

Câu 34. 3

4

3 2 1lim

4 2 1

n n

n n

− +

+ + có giá trị là bao nhiêu?

A. 0 . B. + . C. 3

4. D.

2

7.

Câu 35. 4

4

3 2 3lim

4 2 1

n n

n n

− +


A. 0 . B. + . C. 3

4. D.

4

7.

Câu 36. 2 4

4

2 3lim

4 5 1

n n

n n

−


A. 3

4− . B. 0 . C.

1

2. D.

3

4.

Câu 37. 4

4

3 2 4lim

4 2 3

n n

n n

− +


A. 0 . B. + . C. 3

4. D.

4

3.

Câu 38. ( )3 2lim 3 2 5n n− + − có giá trị là bao nhiêu?

A. 3− . B. 6− . C. − . D. + .

Câu 39. ( )4 2lim 2 5n n n+ − có giá trị là bao nhiêu?

A. − . B. 0 . C. 2 . D. + .

Câu 40. 24 5 4

lim2 1

n n

n

+ − +

− có giá trị là bao nhiêu?

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. + .

Câu 41. ( )lim 10n n+ − có giá trị là bao nhiêu?

A. + . B. 10 . C. 10 . D. 0 .

Câu 42. 2

2

3 2 4lim

4 5 3

n n

n n

− +

+ − có giá trị là bao nhiêu?

A. 0 . B. 1. C. 3

4. D.

4

3− .

Câu 43. Nếu lim nu L= thì lim 9nu + có giá trị là bao nhiêu?

A. 9L+ . B. 3L+ . C. 9L + . D. 3L + .

Câu 44. Nếu lim nu L= thì 3

1lim

8nu + có giá trị là bao nhiêu?

A. 1

8L +. B.

1

8L +. C.

3

1

2L +. D.

3

1

8L +.

Câu 45. 4

lim1

n

n

+


A. 1. B. 2 . C. 4 . D. + .

Câu 46. 2

2

1 2 2lim

5 5 3

n n

n n

− +


A. 0 . B. 1

5. C.

2

5. D.

2

5− .

Câu 47.4

4

10lim

10 2

n

n+ có giá trị là bao nhiêu?

A. + . B. 10000. C. 5000 . D. 1.

Câu 48. 2

1 2 3 ...lim

2

n

n

+ + + + có giá trị là bao nhiêu?

A. 0 . B. 1

4. C.

1

2. D. + .

Câu 49. 3 3

lim6 2

n n

n

+


A. 1

6. B.

1

4. C.

3 2

6. D. 0 .

Câu 50. ( )2 2lim 1 3n n n+ − − có giá trị là bao nhiêu?

A. + . B. 4 . C. 2 . D. 1− .

Câu 51. sin 2

lim5

n n

n

+


A. 2

5. B.

1

5. C. 0 . D. 1.

Câu 52. ( )3lim 3 4n n− có giá trị là bao nhiêu?

A. − . B. 4− . C. 3 . D. + .


A. 2

2

2

5n

n nu

n n

−=

+. B.

1 2

5 5n

nu

n

−=

+. C.

21 2

5 5n

nu

n

−=

+. D.

2

1 2

5 5n

nu

n n

−=

+.

Câu 54. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng +?

A. 2 33nu n n= − . B. 2 33nu n n= − . C. 23nu n n= − . D. 2 34nu n n= − + .

Câu 55. Tổng của cấp số nhân vô hạn ( )

111 1

; ;...; ;...2 4 2

n

n

+−


A. 1. B. 1

3. C.

2

3− . D.

1

3− .

Câu 56. Tổng của cấp số nhân vô hạn ( )11 1

; ;...; ;...2 4 2

n

n

−− có giá trị là bao nhiêu?

A. 1

3. B.

1

3− . C.

2

3− . D. 1− .

Câu 57. ( )1

lim 3x→−

có giá trị là bao nhiêu?

A. 2− . B. 1− . C. 0 . D. 3 .

Câu 58. ( )2

1lim 2 3x

x x→−

− + có giá trị là bao nhiêu?

A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 .

Câu 59. ( )2

2lim 3 5x

x x→


A. 15− . B. 7− . C. 3 . D. + .

Câu 60. 4

4

3 2 3lim

5 3 1x

x x

x x→+

− +


A. 0. B. 4

.9

C. 3

.5

D. .+

Câu 61. 4 5

4

3 2lim

5 3 2x

x x

x x→+

−


A. 2

.5

− B. 3

.5

C. .− D. .+

Câu 62.2 5

4

3lim

5x

x x

x x→+

−


A. .+ B. 3. C. 1.− D. .−

Câu 63.4 5

4 61

3 2lim

5 3 1x

x x

x x→

−


A. 1

.9

B. 3

.5

C. 2

.5

− D. 2

.3

−

Câu 64.4 5

4 21

3 2lim

5 3 1x

x x

x x→−

−


A. 1

.3

B. 5

.9

C. 3

.5

D. 5

.3

Câu 65. 4 5

41

3lim

5x

x x

x x→−

−


A. 4

.5

B.3 C. 2

.5

D. 2

.7

Câu 66. 1

2lim

1x

x

x−→

+


A. 1

.2

− B. 1

.2

C. .− D. .+

Câu 67.3

21

10lim

3x

x

x x→−

−


A. 3

.2

B. 11

.4

C. 9

.2

D. 11

.2

Câu 68. ( )lim 3 5x

x x→+

+ − − có giá trị là bao nhiêu?

A. 0. B. 3 5.+ C. .− D. .+

Câu 69.4 3 2

4

2 2 1lim

2x

x x x

x x→+

+ − −


A. 2.− B. 1.− C. 1. D. 2.

Câu 70. ( )2lim 5x

x x x→+


A. 5

.2

B. 5

.2

C. 5. D. .+

Câu 71. ( )2lim 1x

x x x→+


A. .+ B. 0. C. 1

.2

D. 1

.2

Câu 72. 4

1

1lim

1y

y

y→

−


A. .+ B. 4. C. 2. D. .−

Câu 73.4 4

limy a

y a

y a→

−


A. .+ B. 32 .a C. 34 .a D. 24 .a

Câu 74. 4

31

1lim

1y

y

y→

−


A. .+ B. 0. C. 3

.4

D. 4

.3

0. D. 1.

Câu 75: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh

SC . Khẳng định nào sau đây SAI?

A. ( )// mpIO SAB .

B. ( ) // mpIO SAD .

C. ( )mp IBD cắt hình chóp .S ABCD theo thiết diện là một tứ giác.

D. ( ) ( ) =IBD SAC IO .

Câu 76:Cho tứ diện ABCD . Gọi 1G và

2G lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD .

Chọn Câu sai :

A. ( )1 2 //G G ABD . B. ( )1 2 //G G ABC .

C. 1BG ,

2AG và CD đồng qui D. 1 2

2

3=G G AB .

Câu 77: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( ) qua BD và

song song với SA , mặt phẳng ( ) cắt SC tại .K Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. 2 .=SK KC B. 3 .=SK KC C. .=SK KC D.1

.2

=SK KC

Câu 78: Cho tứ diện ABCD với ,M N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD , ACD

Xét các khẳng định sau:

(I) ( )/ / mpMN ABC . (II) ( )//MN mp BCD .

(III) ( )//MN mp ACD . (IV)) ( )//MN mp CDA .

Các mệnh đề nào đúng?

A. I, II. B. II, III. C. III, IV. D. I, IV.

Câu 79:Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang, //AD BC , 2.=AD BC , M là trung

điểm . Mặt phẳng ( )MBC cắt hình chóp theo thiết diện là

A. tam giác. B. hình bình hành. C. hình thang vuông. D. hình chữ nhật.

Câu 80: Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC . Mặt phẳng ( ) qua và M song

song với AB và CD . Thiết diện của tứ diện cắt bởi ( ) là

A. hình bình hành. B. hình chữ nhật. C. hình thang. D. hình thoi.

Câu 81: Cho hình chóp .S ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng ( )

tuỳ ý với hình chóp không thể là:

A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tứ giác. D. Tam giác.

Câu 82:Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Lấy điểm I trên

đoạn SO sao cho 2

3=

SI

SO, BI cắt SD tại M và DI cắt SB tại N . MNBD là hình gì ?

A.Hình thang. B.Hình bình hành.

C.Hình chữ nhật. D.Tứ diện vì MN và BD chéo nhau.

SA

Câu 83:Cho tứ diện ABCD . M là điểm nằm trong tam giác ( ),ABC mp qua M và song song

với AB và CD .Thiết diện của ABCD cắt bởi ( )mp là:

A.Tam giác. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình bình hành.

Câu 84:Cho hình chóp tứ giác .S ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC .

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ( )/ / .MN mp ABCD B. ( )/ / .MN mp SAB

C. ( )/ / .MN mp SCD D. ( )/ / .MN mp SBC

Câu 85: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O . M là trung điểm của

OC , Mặt phẳng ( ) qua M song song với SA và BD . Thiết diện của hình chóp vớimặt phẳng

( ) là:

A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Hình ngũ giác.

Câu 86:Cho tứ diện ABCDcó =AB CD . Mặt phẳng ( ) qua trung điểm của AC và song song

với AB , CD cắt ABCD theo thiết diện là

A.hình tam giác. B.hình vuông. C.hình thoi. D.hình chữ nhật.

.

Câu 87: Một mặt phẳng cắt hai mặt đối diện của hình hộp theo hai giao tuyến là a và b . Hãy

Chọn Câu đúng:

A. a và b song song. B. a và b chéo nhau.

C. a và b trùng nhau. D. a và b cắt nhau.

Câu 88: Giả thiết nào sau đây là điều kiện đủ để kết luận đường thẳng song song với mp

?

A. và . B. và .

C. và . D. .

Câu 89: Cho đường thẳng a nằm trên mp ( ) và đường thẳng b nằm trên mp ( ) . Biết

( ) ( )// .

Tìm câu sai:

A. ( )//a . B. ( )//b .

C. //a b . D. Nếu có một mp ( ) chứa a và b thì

//a b .

Câu 90:Cho hình hộp . ABCD A B C D . Mặt phẳng ( ) AB D song song với mặt phẳng nào trong

các mặt phẳng sau đây?

A. ( )BCA . B. ( )BC D . C. ( ) A C C . D. ( )BDA .

Câu 91: Cho hình hộp . ABCD A B C D . Gọi M là trung điểm của AB . Mặt phẳng ( ) MA C cắt

hình hộp . ABCD A B C D theo thiết diện là hình gì?

A. Hình tam giác. B. Hình ngũ giác. C. Hình lục giác. D. Hình thang.

Câu 92: Cho hình lăng trụ , là trung điểm của . Đặt , ,

. Khẳng định nào sau đây đúng?

a ( )

//a b ( )//b //a b ( )b

( )// mpa ( ) ( )// ( )a =

.ABC A B C M BB CA a= CB b=

AA c =

A. . B. . C. . D.

.

Câu 93: Trong không gian cho điểm và bốn điểm , , , không thẳng hàng. Điều kiện

cần và đủ để , , , tạo thành hình bình hành là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 94: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đặt ; ; ;

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. . C. . D. .

Câu 95:Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Đặt ,

, . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 96: Cho hình hộp có tâm . Gọi là tâm hình bình hành . Đặt

, , , . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 97:Cho hình hộp . Gọi và lần lượt là tâm của hình bình hành

và . Khẳng định nào sau đây sai?

A. .

B. Bốn điểm , , , đồng phẳng.

C. .

D. Ba vectơ ; ; không đồng phẳng.

Câu 98 :Cho tứ diện . Người ta định nghĩa “ là trọng tâm tứ diện khi

”. Khẳng định nào sau đây sai?

A. là trung điểm của đoạn ( , lần lượt là trung điểm và ).

B. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và .

C. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và .

D. Chưa thể xác định được.

Câu 99 : Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác . Đặt ; ; .

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. . B. .

1

2AM b c a= + −

1

2AM a c b= − +

1

2AM a c b= + −

1

2AM b a c= − +

O A B C D

A B C D

0OA OB OC OD+ + + = ODOBOCOA +=+

ODOCOBOA2

1

2

1+=+ ODOBOCOA

2

1

2

1+=+

.S ABCD ABCD SA a= SB b= SC c=

SD d=

a c d b+ = + a b c d+ = + a d b c+ = + 0a b c d+ + + =

ABCD M P AB CD bAB =

AC c= AD d=

( )1

2MP c d b= + − ( )

1

2MP d b c= + −

( )1

2MP c b d= + − ( )

1

2MP c d b= + +

.ABCD A B C D O I ABCD

AC u = 'CA v= BD x = DB y =

( )1

22

OI u v x y= + + + ( )1

22

OI u v x y= − + + +

( )1

24

OI u v x y= + + + ( )1

24

OI u v x y= − + + +

.ABCD A B C D I K ABB A

BCC B

1 1

2 2IK AC A C = =

I K C A

2 2BD IK BC+ =

BD IK B C

ABCD G ABCD

0GA GB GC GD+ + + =

G IJ I J AB CD

G AC BD

G AD BC

ABCD G BCD x AB= y AC= z AD=

( )1

3AG x y z= + + ( )

1

3AG x y z= − + +

C. . D. .

Câu 100: Cho ba vectơ không đồng phẳng. Xét các vectơ

. Chọn khẳng định đúng?

A. Haivectơ cùng phương. B. Haivectơ cùng phương.

C. Haivectơ cùng phương. D. Ba vectơ đồng phẳng.

( )2

3AG x y z= + + ( )

2

3AG x y z= − + +

, ,a b c

2 ; 4 2 ; 3 2x a b y a b z b c= − = − + = − −

;y z ;x y

;x z ; ;x y z

ĐÁP ÁN

Câu 1 Câu2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 7 Câu 9 Câu 10

C B C D A D B B B A

Câu11 Câu

12

Câu

13

Câu

14

Câu

15

Câu

16

Câu

17

Câu

18

Câu 19 Câu 20

B C D C B C B C D D

Câu

21

Câu22 Câu

23

Câu

24

Câu

25

Câu

26

Câu

27

Câu

28

Câu 29 Câu 30

A B C C D C D A B C

Câu31 Câu

32

Câu

33

Câu

34

Câu

35

Câu

36

Câu

37

Câu

38

Câu 39 Câu 40

D B C A C A C C D B

Câu41 Câu

42

Câu

43

Câu

44

Câu

45

Câu

46

Câu

47

Câu

48

Câu 49 Câu 50

D B C B A C C C A C

Câu51 Câu

52

Câu

53

Câu

54

Câu

55

Câu

56

Câu

57

Câu

58

Câu 59 Câu 60

D A D D A D D B C C

Câu61 Câu

62

Câu

63

Câu

64

Câu

65

Câu

66

Câu

67

Câu

68

Câu 69 Câu 70

B D B A B C D A B B

Câu71 Câu

72

Câu

73

Câu

74

Câu

75

Câu

76

Câu

77

Câu

78

Câu 79 Câu 80

D B C D C D C A B A

Câu81 Câu

82

Câu

83

Câu

84

Câu

85

Câu

86

Câu

87

Câu

88

Câu 89 Câu 90

A A D A A C A D C B

Câu91 Câu

92

Câu

93

Câu

94

Câu

95

Câu

96

Câu

97

Câu

98

Câu 99 Câu 100

D D B A A D D D A B

c3tranhungdaohd.edu.vnc3tranhungdaohd.edu.vn/thd/vn/upload/info/attach/... · 2020. 2. 10. · SỞ GD & ĐT HÀ NỘI Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO HÀ ĐÔNG ĐỀ CƯƠNG

Documents