Longitudesichi.fismat.umich.mx/cursos/geometria.pdf · 2018-04-08 · misma forma. En dos ﬁguras semejantes todos los ´angulos son iguales y los lados son proporcionales. Para

Longitudes

Principio. En cualquier rectangulo sus lados opuestos miden lo mismo.

Ejemplo. En la figura todos los angulos son rectos. ¿Cual es elperımetro?

Marıa Luisa Perez Seguı [email protected] Geometrıa 7 de abril de 2018 1 / 1

AreasArea del rectangulo: Si los lados de un rectangulo miden a y b,entonces su area es ab.Area del triangulo ab

2Triangulo rectangulo y triangulo en que la altura cae dentro de la base.

Cuando la altura cae fuera de la base.


Areas

Todos los siguientes triangulos tienen la misma area.


ProblemasEl perımetro de un rectangulo ABCD es 30 cm. Otros 3 rectangulosse ponen de manera que sus centros son los puntos A, B y D comose muestra en la figura. Si la suma de los perımetros de los tresrectangulos es 20 cm, ¿cual es la longitud de la lınea gruesa?

La figura muestra un octagono regular con algunas lıneas que unenvertices del octagono y un cırculo tangente a esas lıneas. Si los ladosdel octagono miden 10, ¿cuanto mide el radio del cırculo?


Problemas

El rectangulo sombreado en la figura tiene area 13 cm2; A y B son lospuntos medios de dos de los lados del trapezoide. ¿Cual es el area deltrapezoide?

En la figura, los dos hexagonos son iguales y regulares. ¿Que fracciondel paralelogramo esta sombreada?


Problemas

Las areas de los triangulos de la figura son 5 y 10, segun se muestra.Las tres lıneas horizontales son paralelas y la distancia entre las doslıneas extremas es de 6. ¿Cual es la longitud de PQ?

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Dentro de un cuadrado de area 36 se han sombreado tres regiones,como se muestra en la figura. El area sombreada total mide 27. ¿Cuales el valor de a + b + c + d?


Problemas

En la figura, los puntos P , Q, R y S dividen cada lado del rectanguloen razon 1 : 2. ¿Cual es el cociente entre el area del paralelogramoPQRS y el area de ABCD?


Angulos

Resultado. La suma de los angulos internos de un triangulo es 180o.

En la figura las rectas horizontales son paralelas y los angulos marcadoscon las mismas letras son iguales. Se tiene que a + b + c = 180o.


Angulos

Un angulo externo en un triangulo (es decir, el que se forma entre unlado y la prolongacion de otro) es igual a la suma de los otros angulosdel triangulo. (En la figura un angulo externo es a + b.)

En un triangulo rectangulo, los angulos no rectos suman 90o.

En un triangulo equilatero, todos los angulos miden 60o

En un triangulo isosceles, los lados iguales estan opuestos a angulosiguales.


Angulos

En un polıgono regular de n lados, la suma de los angulos internos es180o(n− 2). Esto es facil de ver pues desde el centro se puede partirel polıgono en n triangulos iguales. La suma de los angulos de estoses 180on, pero hay que restar la suma de los angulos que estan alcentro la cual es de 360o = 180o · 2.

En un polıgono regular de n lados, cada angulo interno mide180o(n− 2)/n. Por ejemplo, en un pentagono regular cada angulomide 180o(5− 2)/5 = 108o.


ProblemasEn la figura se muestra un cuadrilatero ABCD. Si BC = AD,¿cuanto mide el angulo ADC?

Dos triangulos equilateros iguales con perımetro igual a 18 cm setraslapan de manera que sus lados quedan paralelos como indica lafigura. ¿Cual es el perımetro del hexagono que queda formadoadentro de la figura?


Problemas

En la figura se muestra un triangulo equilatero y un pentagonoregular. ¿Cuanto mide el angulo x?

¿Cual es la suma de todos los angulos marcados en la figura?


Teorema de Pitagoras

Teorema. En un triangulo rectangulo, la suma de los cuadrados de loscatetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.



Demostracion.

El area del cuadrado grande es (a + b)2, pero tambien es igual a lasuma del cuadrado interior y de los 4 triangulos:

(a + b)2 = c2 + 4a · b2 .



¿Cuanto mide la diagonal de un cuadrado de lado 1?, ¿y de uncuadrado de lado a?

¿Cuanto mide la altura de un triangulo equilatero de lado 2?

En la figura se muestran dos cuadrados de lado 1. ¿Cual es el area dela region sombreada?


Problemas

En la figura, ABCD es un cuadrado y los triangulos ABF y DECson equilateros. Si AB=1, ¿cual es la longitud de EF ?

La suma de las longitudes de las 12 aristas de una caja es 140 cm, y lamaxima distancia entre dos vertices es 21 cm. ¿Cuantos centımetroscuadrados mide la superficie de la caja?


Cırculos

Nota. Para nosotros cırculo es lo mismo que circunferencia y se refieresimplemente a la curva. Si queremos hablar de la superficie encerradapor un cırculo, lo haremos explıcito, hablando de region circular


Cırculos

Resultado. La recta tangente a un cırculo en un punto esperpendicular al radio por ese punto.


Cırculos

Resultado. Si P es un punto exterior a un cırculo, y A y B son lospuntos de tangencia de las tangentes por P al cırculo; entonces PA yPB miden lo mismo.


Cırculos

Resultado. Si C y D son cırculos tangentes exteriores, entonces larecta que une sus radios pasa por el punto de tangencia.


Cırculos

Resultado. Un triangulo es rectangulo, si, y solo si, en el cırculo quecontiene sus vertices, uno de sus lados es diametro.


Problemas

En la figura, los dos cırculos tienen el mismo centro, y la cuerda ABdel cırculo mayor es tangente al menor. Si AB mide 16, ¿cual es elarea de la region sombreada?


Problemas

La figura muestra un hexagono regular cuyos lados miden 1. La flor seconstruyo con sectores de cırculo de radio 1 con centro en los verticesdel hexagono. ¿Cual es el area de la flor?


Semejanza y cambio de dimension

Dos figuras geometricas son semejantes cuando tienen exactamente lamisma forma. En dos figuras semejantes todos los angulos son igualesy los lados son proporcionales.

Para que dos triangulos sean semejantes, basta que sus angulos seaniguales, mientras que esto es falso para polıgonos con mas lados; porejemplo, todos los rectangulos tienen sus angulos de 90o peroevidentemente no son semejantes.



Resultado. Si A y B son figuras planas semejantes, y las longitudesque determinan B y A estan en razon r, entonces sus areas estan enrazon r2.



Resultado. Si A y B son figuras semejantes en el espacio, y susmedidas en dimension 1 estan en razon r, entonces sus volumenesestan en razon r3.


Problemas

Mi tıo tiene un jardın rectangular. Ha decidido ampliar susdimensiones en un 10 % a lo largo y un 10 % a lo ancho. ¿En queporcentaje crecera el area del jardın?


Problemas

En el pentagono regular de la figura se construyo la estrella masgrande uniendo los puntos medios de los lados del pentagono con lospuntos medios de las lıneas que van de los vertices del pentagono alcentro del pentagono. La estrella mas pequena se construyo uniendolos puntos medios de los segmentos que van del centro del pentagonoa los vertices de la estrella mas grande. Si el area de la estrellapequena es 1 cm2, ¿cual es el area del pentagono?


Problemas

¿Cual es el maximo numero de cajas de tamano 1× 2× 3 que cabenen una caja de 6× 6× 6?


Problemas

Con piezas de un rompecabezas tridimensional Raul quiere construiruna torre con techo plano. Ya lleva construido lo que se muestra.¿Cual de las piezas debe colocar encima?


Problemas

Una cinta se pego en un cubo plastico transparente como se muestraen la figura. El cubo se coloca de distintas maneras sobre la mesa yun observador lo mira desde el frente. ¿Cual de las opciones no puedever?


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