2017.01.25 rlc parallellkretser - web4 - byau 15-18 v42

17-WEB 42017.01.25

Parallell RLC - ADMITTANSPassive filter: LP, HP, BP og grensefrekvens.

Studieveiledning for WEB-undervisning onsdag 25/01-17

.BYAU 2015-2018, kl.18:00-19:45 på klasserom

Gyda

Emne 04, Elektriske systemerTema: Passive filter, admittans og parallellkobling med R, L og C

Fagstoff fra kapittel 9 i elektroteknikkboka, s. 147-155.

Sven Åge Eriksen, [email protected], tlf 416 99 304, Fagskolen Telemark

Mål !

Mål for læringsutbytte for denne forelesning er å beherske:

Resonans i seriekretser med spole og kondensator (repetisjon)

Impedans i parallellkrets med resistans, spole og kondensator

Få en forståelse for hvordan passive filter (frekvensfilter) fungerer. Kunne regne ut grensefrekvensen til LP- og HP-filter.

Kunne regne ut impedans i RLC parallell-kretser med komplekse tall og med tradisjonell beregning.

Repetisjon !

Induktans kan betraktes som en masse, eksempelvis målt i kg. Massen tilføres energi ved flytting høyere opp i rommet. En høy induktivitet tilsvarer en stor masse.

Det er ikke energiforbruk ved å flytte massen opp og så ned igjen; når massen senkes gis energien tilbake.

Resistans tilsvarer friksjon. Omgivelsene tilføres varme ved friksjon, noe som omsetter energi.

Kapasitans kan assosieres med en spiralfjær. Kondensatoren lades = fjæra trekkes ut (positiv spenning) eller spennes sammen (negativ spenning).

En høy kapasitet tilsvarer en slapp fjær. Når fjæra går tilbake gis energien tilbake; bevegelsen frem og tilbake koster ikke energi.

Resistans tilsvarer friksjon. Omgivelsene tilføres varme ved friksjon, noe som omsetter energi.

Repetisjon .

Svingekretser:

Resonansfrekvensen ved induktans og kapasitans tilsvarer resonansfrekvensen som ses ved at massen henges i fjæra (som på den andre siden er fast til en referanse, eksempelvis et tak eller en bjelke) og så eksitere massen med en dult i retning langs fjæra.

Det er ved svingningene som oppstår at kraft og hastighet skifter periodisk på, ved resonansfrekvensen.

Resonansfrekvensen ved induktans og kapasitans tilsvarer resonansfrekvensen som ses ved at massen henges i fjæra.

Frekvensen øker for mindre masser og stivere fjærer, altså for mindre induktiviteter og mindre kapasiteter

Animasjonen viser virkemåten til en LC krets uten resistans. Elektrisk ladning flyter fram og tilbake mellom kondensatoren og spolen:

Energien beveger seg fram og tilbake mellom kondensatorens elektriske felt (E) og spolens magnet felt (B).

https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_field

https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_field

RLC parallellkretser fungerer på samme måte, bortsett fra at størrelsen på strømmen reduseres med tiden pga resistansen i kretsen.

Energien er:.

Kinetisk energi i spolens magnet felt (B) Potensiell energi i kondensatorens elektriske felt (E).

E = L I 2

E = C V2

https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_field

https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_field

Reaktans !

Repetisjon: .

Induktiv og kapasitiv reaktans

Den elektriske motstanden i spoler og kondensatorer er frekvensavhengig.

Repetisjon: .

Reaktans induktiv :

Den elektriske motstanden i spoler er frekvensavhengig.

XL = 2πfL

Repetisjon: .

Reaktans kapasitiv:

Den elektriske motstanden i kondensatorer er frekvensavhengig.

XC =

Side 150

RLC Serie-krets:

Z = ZR + ZL + ZcZ = R + jωL +

a2 + b2 = c2

REPETISJON SERIEKRETSER:

Vektordiagram:

Impedanstrekant:

Vektordiagram for RLC seriekrets:

Vi har gjennomgått hvordan beregninger gjøres på slike seriekretser:

Reaktans induktivReaktans kapasitivTotal reaktans i kretsenTotal impedans i kretsenStrømstyrken igjennom kretsenReaktive spenningerFaseforskyvningsvinkel Φ Aktiv, reaktiv og tilsynelatende effekt

RLC Parallellkrets

Strømmen I går i serie igjennom kretsen, men spenningen fordeler seg:

Strømmen I deler seg, men spenningen er lik over hver komponent:

Admittans

!

Y = Admittans er den inverse størrelsen til impedans.

Admittans kan kalles vekselstrøms-ledningsevne.Admittans har betegnelsen Y og måles i Siemens [S].

AdmittanceAlthough the impedance Z is a far more common way to characterize the voltage-current relationships in an AC circuit, there are times when the admittance is a valuable construct. For a given circuit element, the admittance is just the reciprocal of the impedance.

The admittance has its most obvious utility in dealing with parallel AC circuits where there are no series elements. The equivalent admittance of parallel elements is the sum of the admittances of the components.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/imped.html#c1

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/parres.html#c1

Når impedanser er koblet i parallell vil bruk av admittans, i stedet for impedans, som oftest føre til enklere matematiske uttrykk, men alt som kan regnes ut ved nytte av admittans kan òg regnes ut ved å nytte impedans.

I ein elektrisk krets er G=1/R er konduktansen, der R er elektrisk motstand og B=1/X er suseptansen, er der X er reaktansen. Når det flyt en elektrisk strøm gjennom ein admittans går noko av energien tapt i konduktansen, ved at han går over til termisk energi.

Suseptansen lagrer energi mellombels; denne energien går ikke tapt og blir ført videre til kretsen.

https://no.wikipedia.org/wiki/Konduktans

https://no.wikipedia.org/wiki/Elektrisk_motstand

https://no.wikipedia.org/w/index.php?title=Elektrisk_reaktans&action=edit&redlink=1

Parallell-kretser

Side 150

Side 150

Side 150

RLC Parallell-krets:

Parallellkretser:

Inverse verdier, ledningsevner. For parallellkopling blir matematikken mye enklere ved bruk av de inverse verdiene av resistansen og reaktansen i formlene. De inverse størrelsene kalles

Suseptans, B = 1/X som den inverse av reaktans X. Måles i Siemens [S] eller Mho.

Admittans, Y =1/Z som den inverse av impedans Z. Måles i Siemens [S] eller Mho.

En positiv suseptans er kapasitiv og en negativ suseptans er induktiv (!).

Admittansen, parallellkoplingen av konduktansen G = 1/R og suseptansen B=1/X blir Y=G+jB

Alle målt i Siemens [S].

Y er admittansen (tilsvarer impedans Z i seriekobling)

B er suseptansen (tilsvarer reaktans X i seriekobling)

G er konduktansen (tilsvarer resistans R i seriekobling)

Side 150Den inverse verdien av impedans Z kalles for admittans og gis symbolet Y. Denne er sammensatt av to størrelser slik:

http://www.wikiwand.com/no/Admittans

Side 150

•Figure 1: RLC series circuit V , the voltage source powering the circuit•I, the current admitted through the circuit•R, the effective resistance of the combined load, source, and components•L, the inductance of the inductor component•C, the capacitance of the capacitor component

Figure 2. RLC parallel circuitV – the voltage source powering the circuitI – the current admitted through the circuitR – the equivalent resistance of the combined source, load, and componentsL – the inductance of the inductor componentC – the capacitance of the capacitor component

https://en.wikipedia.org/wiki/Inductor

https://en.wikipedia.org/wiki/Capacitor

Parallell RLC!

LØSNING AV RLC OPPGAVE !

RLC - PARALLELLKOBLINGVi har en parallellkobling bestående av en kondensator på 150µF, resistans på 70Ω og en spole på 150 mH. Vi kobler til en spenning på 110V / 60Hz. a) Beregn den totale impedansen i kretsen. b) Hvor stor er faseforskyvningsvinkelen, ϕ? c) Hvor stor strøm vil det gå i hver av greinene? d) Hvor stor effekt omsettes det i henholdsvis spolen og kondensatoren? e) Hvor stor strøm trekkes det i tilførselslederne? f) Beregn aktiv, reaktiv og tilsynelatende effekt i kretsen?


RLC - PARALLELLKOBLINGVi har en parallellkobling bestående av en kondensator på 150µF, resistans på 70Ω og en spole på 150 mH. Vi kobler til en spenning på 110V / 60Hz.


L = 150 mH

C = 150µFR = 70Ω

f = 110V / 60Hz


L = 150 mH

C = 150µFR = 70Ω

f = 110V / 60Hz

a) Beregn den totale impedansen i kretsen.

RLC - PARALLELLKOBLINGVi har en parallellkobling bestående av en kondensator på 150µF, resistans på 70Ω og en spole på 150 mH. Vi kobler til en spenning på 110V / 60Hz. a) Beregn den totale impedansen i kretsen.


Først finner vi reaktansene:




XL = 2πf · L Først finner vi reaktansene:


XL = 2πf · L = 2π · 60Hz · 150 mH =



XL = 2πf · L = 2π · 60Hz · 150 mH = 56,55Ω



XL = 2πf · L = 2π · 60Hz · 150 mH = 56,55Ω


XC =


XL = 2πf · L = 2π · 60Hz · 150 mH = 56,55Ω


XC = =


XL = 2πf · L = 2π · 60Hz · 150 mH = 56,55Ω


XC = = =


XL = 2πf · L = 2π · 60Hz · 150 mH = 56,55Ω


XC = = = 17,68Ω


XL = 2πf · L = 2π · 60Hz · 150 mH = 56,55Ω


XC = = = 17,68Ω


XL = 2πf · L = 2π · 60Hz · 150 mH = 56,55Ω


XC = = = 17,68Ω

Nå kan vi finne admittansen Y

Y =

Admittans er den inverse størrelsen til impedans.Admittans kan kalles vekselstrøms-ledningsevne.Admittans har betegnelsen Y og måles i Siemens [S].


XL = 56,55Ω

Slik finner vi admittansen Y:

XC = 17,68Ω

Y = =


XL = 56,55Ω


XC = 17,68Ω

Y = =


XL = 56,55Ω


XC = 17,68Ω

Y = =

Y = =


XL = 56,55Ω


XC = 17,68Ω

Y = =

Y = =


XL = 56,55Ω


XC = 17,68Ω

Y = =

Y = =


XL = 56,55Ω


XC = 17,68Ω

Y = =

Nå kan vi finne impedansen Z !

Y =


Y =


Z = Impedans:Admittans:


XL = 56,55Ω


XC = 17,68Ω

Y = =

Z =


XL = 56,55Ω


XC = 17,68Ω

Y = =

Z = = =


XL = 56,55Ω


XC = 17,68Ω

Y = =

Z = = = IH = = = 4,56A


RLC - PARALLELLKOBLINGVi har en parallellkobling bestående av en kondensator på 150µF, resistans på 70Ω og en spole på 150 mH. Vi kobler til en spenning på 110V / 60Hz..

b) Hvor stor er faseforskyvningsvinkelen, ϕ?

XL = 56,55Ω

Sinus, cosinus og tangens :

Rettvinklet trekant:

Inverse verdier, ledningsevner. For parallellkopling blir matematikken mye enklere ved bruk av de inverse verdiene av resistansen og reaktansen i formlene. De inverse størrelsene kalles

Suseptans, B = 1/X som den inverse av reaktans X. Måles i Siemens [S] eller Mho.

Admittans, Y =1/Z som den inverse av impedans Z. Måles i Siemens [S] eller Mho.

En positiv suseptans er kapasitiv og en negativ suseptans er induktiv (!).

Admittansen, parallellkoplingen av konduktansen G = 1/R og suseptansen B=1/X blir Y=G+jB

Alle målt i Siemens [S].

Y er admittansen (tilsvarer impedans Z i seriekobling)

B er suseptansen (tilsvarer reaktans X i seriekobling)



𝟏𝒁

𝟏𝑹

𝜱


𝟏𝒁

𝟏𝑹

𝜱

Y er admittansen (tilsvarer impedans Z i seriekobling) B er suseptansen

(tilsvarer reaktans X i seriekobling)




Cos ϕ =

XL = 56,55Ω

XC = 17,68Ω



Cos ϕ = = ≈

XL = 56,55Ω

XC = 17,68Ω



Cos ϕ = = ≈ 0,344

XL = 56,55Ω

XC = 17,68Ω



Cos ϕ = = ≈ 0,344 ϕ = 69,9 XL = 56,55Ω

XC = 17,68Ω



c) Hvor stor strøm hvil det gå i hver av greinene?


c) Hvor stor strøm vil det gå i hver av greinene?

XL = 56,55Ω

XC = 17,68Ω

R = 70Ω


c) Hvor stor strøm vil det gå i hver av greinene?

XL = 56,55Ω

XC = 17,68Ω

R = 70Ω

Tips:Nå kan du bruke Ohms lov !

RLC - PARALLELLKOBLINGVi har en parallellkobling bestående av en kondensator på 150µF, resistans på 70Ω og en spole på 150 mH. Vi kobler til en spenning på 110V / 60Hz.c) Hvor stor strøm vil det gå i hver av greinene?

XL = 56,55Ω

XC = 17,68Ω

R = 70Ω

IR = =

Ic = =

IL = =


XL = 56,55Ω

XC = 17,68Ω

R = 70Ω

IR = = =

Ic = = =

IL = = =


XL = 56,55Ω

XC = 17,68Ω

R = 70Ω

IR = = = 1,57A

Ic = = =

IL = = =


XL = 56,55Ω

XC = 17,68Ω

R = 70Ω

IR = = = 1,57A

Ic = = = 6,22A

IL = = =


XL = 56,55Ω

XC = 17,68Ω

R = 70Ω

IR = = = 1,57A

Ic = = = 6,22A

IL = = = 1,95A

RLC - PARALLELLKOBLINGVi har en parallellkobling bestående av en kondensator på 150µF, resistans på 70Ω og en spole på 150 mH. Vi kobler til en spenning på 110V / 60Hz. a) Beregn den totale impedansen i kretsen. b) Hvor stor er faseforskyvningsvinkelen, ϕ? c) Hvor stor strøm hvil det gå i hver av greinene? d) Hvor stor effekt omsettes det i henholdsvis spolen og kondensatoren? e) Hvor stor strøm trekkes det i tilførselslederne? f) Beregn aktiv, reaktiv og tilsynelatende effekt i kretsen?

RLC - PARALLELLKOBLINGVi har en parallellkobling bestående av en kondensator på 150µF, resistans på 70Ω og en spole på 150 mH. Vi kobler til en spenning på 110V / 60Hz.d) Hvor stor effekt omsettes det i henholdsvis spolen og kondensatoren?






RLC - PARALLELLKOBLINGVi har en parallellkobling bestående av en kondensator på 150µF, resistans på 70Ω og en spole på 150 mH. Vi kobler til en spenning på 110V / 60Hz.e) Hvor stor strøm trekkes det i tilførselslederne?

RLC - PARALLELLKOBLINGVi har en parallellkobling bestående av en kondensator på 150µF, resistans på 70Ω og en spole på 150 mH. Vi kobler til en spenning på 110V / 60Hz.e) Hvor stor strøm trekkes det i tilførselslederne?

IH = = = 4,56A


RLC - PARALLELLKOBLINGVi har en parallellkobling bestående av en kondensator på 150µF, resistans på 70Ω og en spole på 150 mH. Vi kobler til en spenning på 110V / 60Hz.f) Beregn aktiv, reaktiv og tilsynelatende effekt i kretsen?




R : Resistans

L : Spole

C : Kondensator

Bipolar:

Reaktans induktiv :Reaktans induktiv XL = 2πfL , I = U/ XL , I = U/ 2πfLSpole motvirker strømendringer, frekvensen beskriver hvor fort strømmen endrer seg.

Høyere frekvens gir større reaktans induktiv og lavere strøm – lavere frekvens gir høyere strøm

Ved samme frekvens gir høyere induktans L lavere strøm – og lavere induktans L gir høyere strøm

Reaktans induktiv XL = 2πfL

Reaktans kapasitiv:Reaktans kapasitiv XC = 1/(2πfC) , I=U/ XL , I = U·2πfC Kondensator motvirker spenningsendringer.

Høyere frekvens gir lavere reaktans kapasitiv og høyere strøm – lavere frekvens gir lavere strøm

Ved samme frekvens gir høyere kapasitans C høyere strøm – og lavere kapasitans C gir lavere strømKondensator sperrer DC

Reaktans kapasitiv XC =

Vekselstrøm .

Når vi går over til vekselstrøm med stadig økende svingehastighet / frekvens, og det som skaper motstanden ikke er en ren motstand, men kanskje en kondensator eller spole, vil motstanden variere med frekvensen.

XL = 2πfL XC =

https://no.wikipedia.org/wiki/Vekselstr%C3%B8m

https://no.wikipedia.org/wiki/Frekvens

https://no.wikipedia.org/wiki/Kondensator_(elektrisk)

https://no.wikipedia.org/wiki/Spole_(induktans)

Vekselstrøm .

Spolen slipper igjennom mye vekselstrøm ved lave frekvenser.Kondensatoren slipper igjennom mye vekselstrøm ved høye frekvenser.

XL = 2πfL XC =


Vekselstrøm .

Impedansen kan vi da sammenligne med motstanden, men vi må vite frekvensen før vi finner hvor mange ohm det er, eller så tar vi vekselstrøm delt på vekselspenning, som blir impedans i Ohm.

XL = 2πfL XC =


https://no.wikipedia.org/wiki/Impedans

Vekselstrøm .

Hvis vi heller vil snakke om ledningsevne for vekselstrømmen kaller vi det admittans, og snur brøken på hodet, til den inverse verdien, på samme måte som ovenfor med vekselstrømmen delt på vekselspenningen og får admittans i antall Siemens.

XL = 2πfL XC =


Spennings-deler !

Resistiv spenningsdeler:

Frekvens-uavhengig.I = Uinn / (R1 + R2)

Uut = Uinn*R2 / (R1 + R2)

Utgangsspenningen tappes over R2.

Resistansen er ikke avhengig av frekvensen.

Resistiv spenningsdeler:

Frekvens-uavhengig.I = Uinn / (R1 + R2)

Uut = Uinn*R2 / (R1 + R2)

Utgangsspenningen tappes over R2.

Resistansen er ikke avhengig av frekvensen.

Frekvens-avhengige spenningsdelere: (Filter)

LP-filter HP-filter

XC =

Frekvens-avhengige spenningsdelere: (Filter)

LP-filter HP-filter

XC =

Kapittel 9

Side 147

Side 148

Side 148

Hvilke 3 belastningstyper har vi gjennomgått ?

Side 148

Side 148

R

L

C

Side 148

Side 148

Side 148

Side 148

Side 148

Side 148

Side 148

Side 148

Side 148

Side 149

Side 149

Side 149

Side 150

Figur 202: Kondensator og resistans i serie

Side 150

Figur 202: Kondensator og resistans i serie

Side 150

Figur 202: Vektordiagram

Filter

LP - HP – BP - BS

LP

Filter:I forsterker- og signaltransmisjonsteknikk er en kombinasjon av elektriske kretselementer (kondensatorer, motstander, induksjonsspoler + evt. forsterkere) koblet sammen slik at kretsen slipper frem signaler med frekvenser i et visst område (passområdet), men sperrer for signaler i andre områder (sperreområdene).

Typer filter:Det skilles mellom lavpassfilter (passområde fra frekvens null og opp til en øvre grensefrekvens), høypassfilter (passområde fra en nedre grensefrekvens og oppover) og båndpass- og båndstoppfilter (med passområde, eventuelt stoppområde, mellom to grensefrekvenser).

Bruk av filter:Filtre har flere anvendelser i radio- og fjernsynsteknikk, f.eks. i stasjonsvelgere i mottagere, i telefon- og måleteknikk. En viktig anvendelse er støyfiltre som brukes til å redusere radiostøy og annen elektrisk støy fra elektriske maskiner, motorer og apparater.

Blokkdiagramsymbol

LP- Filter

Blokkdiagramsymbol

LP-filterLavpassfilter

https://sv.wikipedia.org/wiki/L%C3%A5gpassfilter

Kondensatoren har stor reaktans mot lave frekvenser, derfor ligger mesteparten av denne spenningen over kondensatoren.

Kondensatoren har liten reaktans mot høye frekvenser, derfor ligger mesteparten av denne spenningen over resistansen.

Tilsvarer spenning over kondensator:

XC =



XC =

LC krets som lavpassfilter:

Spolen slipper lave frekvenser igjennom, men sperrer for høye frekvenser:

XL = 2πfL

Side 150

Side 150

Side 150

Side 150

Side 150

Side 151

NB: Det er logaritmisk skala for frekvensen, hver dekade er like lang.

XC =

Side 151


XC =

Side 151


XC =

Side 151


XC =

Side 151


XC =

Grensefrekvens / knekkfrekvens / øvre grensefrekvens for LP-filter:

fø =

ØVINGS-OPPGAVE !

LP- FilterLP- Filter LP- Filter

Finn øvre grensefrekvens for dette lavpassfilteret:


fø =


fø =


fø =


fø = fø =

fø = 2340 Hz

ØVINGS-OPPGAVE !

LP- FilterLP- Filter LP- Filter



fø =


fø =


fø =


fø = fø =


fø = fø =

fø = 2,34 MHz

Blokkdiagramsymbol

HP- Filter

Blokkdiagramsymbol

HP-filterHøypassfilter

https://sv.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6gpassfilter



Tilsvarer spenning over kondensator:



HP-filterHøypassfilter






HögpassfilterEtt högpassfilter är ett (vanligtvis elektroniskt) filter som dämpar låga frekvenser men som släpper igenom höga frekvenser.Ett enkelt passivt filter kan bestå av en kapacitans och ett motstånd som i figuren. Vid höga frekvenser är kapacitansens reaktans liten i förhållande till motståndet, och utgångsspänningens amplitud är nästan lika med ingångsspänningen.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Filter_(signalbehandling)

https://sv.wikipedia.org/wiki/Frekvens

https://sv.wikipedia.org/wiki/Kapacitans

https://sv.wikipedia.org/wiki/Resistans

https://sv.wikipedia.org/wiki/Reaktans

HögpassfilterFiltret har sin brytfrekvens där reaktansens har samma värde som resistansen. Här är fasskillnaden mellan ingångs- och utgångssignal 45° (se figur), och utgångsspänningen är 1/√2 = 3 dB mindre än ingångsspänningen. Under brytpunkten är utgångsspänningen ungefär proportionell mot frekvens, det vill säga att spänningen minskar med 20 dB per dekad eller 6 dB per oktav, typiskt för ett första ordningens filter.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Brytfrekvens

https://sv.wikipedia.org/wiki/Decibel

https://sv.wikipedia.org/wiki/Dekad

https://sv.wikipedia.org/wiki/Oktav

Side 151

Side 151

Side 151NB: Det er logaritmisk skala for frekvensen, hver dekade er like lang.

XC =

Side 151

Nedre grensefrekvens !

fg =

ØVINGS-OPPGAVE !

HP- FilterHP- Filter HP- Filter

Finn nedre grensefrekvens for dette høypassfilteret:


fn =

fn =



fn =


fn =


fn = fn =


fn = fn =

fn = 2340 Hz

BP-filterBåndpassfilter

Blokkdiagramsymbol

XC =

Båndpassfilter sperrer høye og lave frekvenser, men slipper igjennom de i midten.


XC =

XL = 2πfL

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/Band-pass_filter.svg



BS-filterBåndstoppfilter

Blokkdiagramsymbol

Båndstoppfilter sperrer frekvensene i midten, men slipper igjennom de lave og høye frekvensene.

XC =

XL = 2πfL

ØVINGS-OPPGAVE !

Passive filterPassive filter

Hva slags passivt filter er dette ?

XC =



XC =


XC =


Huskeregel, H= høypass:

H

XC =


XL = 2πfL



XL = 2πfL



XC =

XL = 2πfL



XC =

XL = 2πfL


XC =

XL = 2πfL


Båndstoppfilter sperrer frekvensene i midten, men slipper igjennom de lave og høye frekvensene.

XC =

XL = 2πfL

OPPGAVER !

OPPGAVER FRA KAPITTEL 9

KONTROLLOPPGAVER KAPITTEL 9: Sammensatte kretserSide 163












OPPGAVER FRA KAPITTEL 7

KONTROLLOPPGAVER KAPITTEL 7: Grunnbegreper AC


























OPPSUMMERING:

2017.01.25 rlc parallellkretser - web4 - byau 15-18 v42

Education