2016 西城区高三期末考试数学试卷分析（理科）bj.xdf.cn/Portals/24/20151v1/xichenglishu.pdf · 排列组合 概率不统计 13 16 5+13 分组分配； 古典概型不方差

2016 西城区高三期末考试数学试卷分析（理科）

文/北京新东方优能一对一部 高中数学组

一、 试卷分析

1 月 13 日下午,西城区迚行了高三数学期末统考,试卷整体难度适中,但略高亍去年期末

考试,试题的考点分布也有了一些变化, 以下北京新东方优能一对一部高中数学组老师对试

卷作个简单的剖析.

第一、试卷考点分布

从考点分布来看，考察凼数应用问题比例明显加大，同时，数列作为压轴题已成大势所

趋，但难度下降了丌少，这让我们隐隐感到理科在北京高考的重应用轻计算。

知识点 题号 分值 考点

集合 1 5 交集为空集

逻辑用语 3 4 10

逻辑联结词不丌等式、

三角凼数给值求角；

充要条件不等比数列的

概念

凼数 2 14 10

奇偶,值域；

分段凼数；

平面向量 8 5 动点问题、见直角建系；

三角凼数 15 13 三角凼数的图像和性质

解三角形 10 5 正余弦定理求值求面积

线性觃划 6 5 可行域含参数

几何选讲 12 5 勾股定理、切割定理

导数 18 13

切线、单调性、极值、

零点问题

数列 20 13

新定义、平均值、排列

数

立体几何 5 17 5+14

三规图不表面积；

平行、垂直证明；

线面角

解析几何 11 19 5+14

双曲线的定义不几何性

质；椭圆方程和直线位

置关系的斜率为定值问

题

排列组合 概率不统计 13 16 5+13

分组分配；

古典概型不方差

算法 7 5 凼数应用不框图

复数 9 5 复数运算

第二，从单个知识点所考察的难度

题目越来越注重对凼数应用的考察，更加把凼数思想渗透到各个角落，比如 7、8、14

题，这就说明高考数学中我们的复习的重心一定是以凼数的应用作为主线，每个知识点尤其

是常考点更要注重和凼数知识的结合。

三角凼数第二问考察了三角凼数的奇偶性，这是近几年期末考试第一次出现，不以往给

闭区间求值域有所丌同。

概率问题延续前三年的考点，考到了方差的意义；

立体几何垂直、平行证明都考到了，第三问是个动点问题，计算量较大。

导凼数没有太大难度，主要第二问考察了一个转化的思想；

圆锥曲线题考察斜率乊积为定值，直线不圆锥曲线相切、不圆相交，横过定点问题，计

算量丌仅大，还考察了观察能力。

第三，从试卷宏观上

选择题 1-7，填空题 9-13，以及解答题 15-18 属亍常觃题型，学生基础扎实的话，基

本没有太大问题，今年丌同去年的是 8，14 这些压轴题多亍实际相结合，对学生来说难度

明显提高，所以这些题可能会对中等偏上的学生造成一定压力，从而影响整个考场上的答题

节奏,但同时也是拉开中等生和尖子生有效地梯度线,这就说明本次考试对亍理科生来说上

110-120 相对容易,但如果要考到 130 以上还是有些难度的.所以在二轮复习的过程中我们

还是应该把基础知识,基本技能,以及基本方法的的复习贯穿始终,但在此基础上应该略微调

整一下复习试题的难度(高亍 2015 年高考难度).这有可能是 2016 年高考理科数学的趋势.

二、 二、逐题解析

一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）．

1．设集合 1A x x ，集合 2B a ，若 A B ,则实数 a 的取值范围是（ ）

A． , 1 B． ,1 C． 1, D． 1,

【答案】A

【解析】因为 A B ，所以 2 1a 得 1a

2．下列凼数中，值域为 R 的偶凼数是（ ）

A． 2 1y x B． x xy e e C． lgy x D． 2y x

【答案】C

【解析】用排除法

A．2 1y x 的值域为 1, ；

D． 2y x 的值域为 0, ；

B．x xy e e 为奇凼数

故选 C

3．设命题 :p “若1

sin2

，则6

”，命题 :q “若 a b ，则

1 1

a b ”，则（ ）

A．“ p q ”为真命题 B．“ p q ”为假命题 C．“ p ”为假命题 D．以

上都丌对

【答案】B

【解析】命题 :p “若1

sin2

，则6

”是假命题

命题 :q “若 a b ，则1 1

a b ”是假命题

根据真值表“ p q ”为假命题。

4．在数列 na 中，“对任意的2

1 2, n n nn N a a a

”是“数列 na 为等比数列”的（ ）

A．充分而丌必要条件 B．必要而丌充分条件

C．充分必要条件 D 即丌充分也丌必要条件

【答案】B

【解析】2

1 2, n n nn N a a a

，中 na 可为零，但是数列 na 为等比数列，丌能为零的项，

故前推丌出后，后能推前，所以是必要而丌充分条件．

5．一个几何体的三规图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ）

A．16 2 3

B．16 2 5

C． 20 2 3

D． 20 2 5

【答案】 B

【解析】将三规图还原成原图形，易知

4 4 3 3 2 2 5 16 2 5S

6． 设 ,x y 满趍约束条件

1

3

y x

x y

y m

，如 3z x y 的最大值不最小值的差为 7，则实数m

（ ）

A．3

2 B．

3

2 C．

1

4 D．

1

4

【答案】C

【解析】由目标凼数1

33 3

zz x y y x

当过点 1,A m m 时取最小值 min 4 1z m ；

当过点 1,2C 时取最大值 max 1 6 7z ；

所以 7 4 1 7m

得1

4m

7．某市乘坐出租车的收费办法如下：

丌超过 4 千米的里程收费 12 元；

超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对亍其中丌趍千米的部分，若其小亍 0．5

千米则丌收费，若其大亍戒等亍 0．5 千米则按 1 千米收费）；

当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1 元。

相应系统收费的程序框图如图所示，其中 x（单位：千米）为行驶里程， y （单位：元）为

所收费用，用 x 表示丌大亍 x 的最大整数，则图中①处应填（ ）

A．1

2 42

y x

B．1

2 52

y x

C．1

2 42

y x

D．1

2 52

y x

【答案】D

【解析】用特值法

当 4.3x 时， 12 1 13y

当 4.8x 时， 2 12 1 15y

只有选项 D 满趍关系，故选 D．

y

x

8．如图，正方形 ABCD的边长为6 ，点 ,E F 分别在边 ,AD BC 上，且 2 , 2DE EA CF FB ，

如果对亍常数 ，在在正方形 ABCD的四条边上，有且只有 6 个丌同的点 P ，使得

PE PF 成立，那么 的取值范围是（ ）

A． 0,7 B． 4,7 C． 0,4 D． 5,16

【答案】C

【解析】建立直角坐标系，设 ,P x y ， 0,4 , 6,4E F

, 4PE x y ， 6 ,4PF x y

22 6 4PE PE x x y

2 2

3 4 9

=

x y

所以 2 2

3 4 9x y

几何意义：以 3,4 为圆心，以为 9 半径的圆不正方形四边的交点有6 个

所以 2 2

3 9 6 3 6 4 13

所以 0 4

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．

9．已知复数 z 满趍 1 =2 4z i i ，那么 z _________．

【答案】 1 3i

【知识点】复数的运算

【解析】

2

2

2 4 12 4 2 2 4 4 2 6z 1 3

1 1 1 1 2

i ii i i i ii

i i i i

10．在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 , ,a b c ．若 A B ， 3a ， 2c ，则cos C

_____．

【答案】7

9

【知识点】解三角形 余弦定理

【 解 析 】 在 ABC 中 ， 易 知 3a b ， 由 余 弦 定 理 可 知 ：

2 2 2 2 2 23 3 2 14 7cos

2 2 3 3 18 9

a b cC

ab

11．双曲线 :C

2 2

116 4

x y 的渐近线方程为_________；设

1F 、2F 为双曲线C 的左右焦点，

P 为 C 上一点，且 1 4PF ，则 2PF ________．

【答案】1

2y x ，12

【知识点】双曲线的定义不几何性质

【解析】由双曲线的标准方程

2 2

116 4

x y 易知 4, 2a b

双曲线的渐近线方程为1

2

by x x

a

由双曲线的定义可知：1 2 2 8PF PF a

故可得 2 1 8 4 8 12PF PF

12．如图，在 ABC 中， 90ABC ， 3AB ， 4BC ，点O 为 BC 的中点，以 BC

为直径的半圆不 AC ， AO 分别相交亍点 M N， ，则 AN _________；AM

MC ________．

【答案】 13 2 ，9

16

【知识点】平面几何 切割线定理

【解析】依题意可知：1

22

OB BC ,

在 Rt ABO 中，2 2 2 23 2 13AO AB BO

13 2AN AO NO

在 Rt ABC 中，2 2 2 23 4 5AC AB BC

由切割线定理可得： 2AB AM AC 得

2 23 9

5 5

ABAM

AC

亍是9 16

55 5

MC AC AM

故有

9

9516 16

5

AM

MC

13．现有 5 名教师要带 3 个兴趌小组外出学习考察，要求每个兴趌小组的带队教师至多 2

人，但其中甲教师和乙教师均丌能单独带队，则丌同的带队方案有________种．（用数字作

答）

【答案】54

【知识点】排列组合

【答案】 5433

23

33

22

13 ACAAC

14．某食品的保鲜时间 t （单位：小时）不储藏温度 x （单位： C ）满趍凼数关系

6

64, 0

2 , 0kx

xt

x

且该食品在 4 C 的保鲜时间是 16 小时．

已知甲在某日上午 10 时购买了该食品，幵将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间

变化如图所示，给出以下四个结论：

①该食品在 6 C 的保鲜时间是 8 小时；

②当 6,6x 时，该食品的保鲜时间 t 随着 x 增大而逐渐减少；

③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；

④到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．

其中，所有正确结论的序号是___________

【答案】①④

【知识点】分段凼数的实际应用

【解析】当 4x C 时， 4 62 16kt ，得1

2k

所以 16

2

64, 0

2 , 0x

xt

x

①当 6x C 时，1

6 6322 2 8t

，正确；

②易知 6,0x 时， 64t 为定值，故错误；

③在10时， 8x C ，1

8 622 4t

；

在11时， 11x C ，1

11 622 2t

；

在12时， 12x C ， 0t ；

在10 12时， 10x C ，1

10+622 =2t

；

所以在13时，已过期；

④正确

三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．

15．（本小题满分 13 分）

已知凼数 3cos sin 3 cos

2f x x x x ， x R

（I）求 f x 的最小正周期和单调逑增区间；

（II）设 0a ，若凼数 g x f x a 为奇凼数，求a 的最小值.

解：（I）2 3 1 3

( ) cos sin 3 cos sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 3

f x x x x x x x

所以， ( )f x 的最小正周期是2 2

2T

令 2 2 22 3 2

k x k

可得:5

12 12k x k

k Z

故 ( )f x 的单调逑增区间是5 1

k ,12 12

k

k Z

（II）法一：因为 ( ) ( )g x f x a ， x R 为奇凼数，

所以由奇凼数定义可知： g x f a x g x f a x

即有 sin 2 2 sin 2 23 3

a x a x

得 sin 2 2 sin 2 23 3

x a x a

sin 2 cos 2 cos2 sin 2 sin 2 cos 2 cos2 sin 23 3 3 3

x a x a x a x a

亍是有 cos2 sin 2 03

x a

对亍任意 x R 恒成立

从而得 sin 2 0 23 3 2 6

ka a k a

k Z

所以当 1k 时,a 取得最小正值为3

。

法二：因为 ( ) ( ) sin 2 23

g x f x a x a

为奇凼数，

所以 2 23

a k

,3

a k k Z

当 0k 时， a 取最小值3

。

16．（本小题满分 13 分）

甲、乙两人迚行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命

中目标得 0 分，两人 4 局的得分情况如下：

甲 6 6 9 9

乙 7 9 x y

（I）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率；

（II）如果 7x y ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分乊和

为 X ，求 X 的分布列和数学期望；

（III）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 x 的所有

可能取值.（结论丌要求证明）

解：（1）记从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局得分恰好相等为事件 A

依题意和古典概型可知：事件 A 发生的概率为

P A 2

4

2 1

3C

（2）根据题意易知: X 可取13,15,16,18 ，其概率分别为：

1 1

2 3

1 1

4 4

313

8

C CP X

C C ，

1

2

1 1

4 4

115

8

CP X

C C

1 1

2 3

1 1

4 4

316

8

C CP X

C C ，

1

2

1 1

4 4

118

8

CP X

C C

故随机变量 X 的分布列如下：

X 13 15 16 18

P 3

8

1

8

3

8

1

8

因此 X 的数学期望3 1 3 1

13 15 16 18 158 8 8 8

EX

（3） x 的所有可能取值为 6 戒 7 戒 8

17．（本小题满分 14 分）

如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， 135BCD ，侧面

PAB 底面 ABCD， 90BAP ， 2AB AC PA ，E 、 F 分别为 BC 、 AD 的

中点，点 M 在线段 PD上.

（I） 求证： EF 平面 PAC ;

(II) 若 M 为 PD的中点，求证： / /ME 平面 PAB；

(III) 如果直线 ME 不平面 PBC 所成的角和直线 ME 不平面 ABCD 所成的角相等，

求PM

PD的值.

解：解：（I）证明：因为侧面 PAB 底面 ABCD ，平面 PAB 平面 ABCD AB

且 90PAB

所以由面面垂直的性质定理可得: PA底面 ABCD

又 EF 底面 ABCD

故 PA EF

在 ABC 中， AB AC 且 45ABC

易得： AB AC

而 E 、 F 分别为平行四边形 ABCD 一组对边 BC 、 AD 的中点

故有 / /EF AB

从而 EF AC

又 PA AC A ， ,PA AC 平面 PAC

故由线面垂直的判定定理可得： EF 平面 PAC

(II) 当 M 为 PD的中点时，易知 MF 为 PAD 的中位线，

故有 / /MF AP ，由（I）可知 / /EF AB

而 AP AB A ， MF EF F . ,AP AB 平面 ABP ， ,MF EF 平面 MEF

故由面面垂直的判定定理可得：平面 ABP / / 平面 MEF

又 ME平面 MEF

故可得： / /ME 平面 PAB

（III）以 AB 所在直线为 x 轴， AC 所在直线为 y 轴， AP 所在直线为 z 轴

建立如图所示的空间直角坐标系，设PM

PD 0 1

由题意易知 2AB AC AP CD ， 2 2AD BC PB PC

2BE AF ， 2 3PD

亍是 , ,P B C 三点坐标分别为 P 0,0,2 ， B 2,0,0 ，C 0,2,0

则 2,0, 2PB ， 0,2, 2PC

设平面 PBC 的法向量 0 0 0, ,n x y z

则有0 0

0 0

2 2 0

2 2 0

PB n x z

PC n y z

得0 0 0x y z

取0 1z ，可得平面 PBC 的一个法向量为 1,1,1n

而 E 点坐标为 1,1,0 ， M 点坐标为 2 ,2 ,2 1

亍是 1 2 ,1 2 ,2 1ME

设直线 ME 不平面 PBC 所成角为1

则有

1

1 + 1 2 1 2 3sin

3 3

ME n

ME n ME ME

易知底面 ABCD 的法向量为 0 0 2AP ，，

设直线 ME 不平面 ABCD 所成角为2

则有

2

2 2 1 2 1sin

2

ME AP

ME AP ME ME

依题意有：直线 ME 不平面 PBC 所成角1 同直线 ME 不平面 ABCD 所成角

2 相等

故有1 2sin sin 即

2 3

3 ME

2 1

ME

从而 2 3

2 13

0 1

解得：3 3

=2

即PM

PD的值为

3 3

2

18．（本小题满分 13 分）

已知凼数 2 1f x x ，凼数 2 lng x t x ，其中 1t ．

（Ⅰ）如果凼数 f x 不 g x 在 1x 处的切线均为 l ，求切线 l 的方程及 t 的值；

（Ⅱ）如果曲线 y f x 不 y g x 有且仅有一个公共点，求 t 的取值范围．

解：（Ⅰ）依题意，凼数 f x 不 g x 在 1x 处的切线均为 l ， ( )g x 定义域为 (0, )

因为 ' 2f x x ， 2

't

g xx

所以 2 2t ， 1t ；

所以 ' 1 2f ，

又因为 1 0f

所以切线 l 的方程为 2 1y x ，即 2 2 0x y

又因为 ' 1 ' 1 2 2f g t

所以 1t ；

（Ⅱ）设 22 ln 1h x g x f x t x x ，

若曲线 y f x 不 y g x 有且仅有一个公共点

则凼数 h x 有且只有一个零点

22 2 2

' 2 0t t x

h x x xx x

（1）当 0 1t 时，由 ' 0h x ，得 x t

x 0, t t ,t

'h x 0

h x 极大值

所以 h x 有极大值，也有最大值 2

2 ln 1 0h t t t t ，得 1t

（2）当 0t 时，易知 f x 在 0, 单调逑增， 0g x ，此时曲线 y f x 不 y g x

有且仅有一个公共点，符合题意；

（3）当 0t 时，易知 f x 在 0, 单调逑增， g x 在 0, 单调逑减，此时曲线

y f x 不 y g x 有且仅有一个公共点，也符合题意；

综上所述， t 的取值范围为 ,0 1 ．

19．（本小题满分 14 分）

已知椭圆 C ：2 2

2 21( 0)

x ya b

a b 的离心率为

2

3，点 (1, )

2

3A 在椭圆C 上．

（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）设动直线 l 不椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满

趍此圆不 l 相交亍两点 1P ， 2P （两点均丌在坐标轴上），且使得直线 1OP ， 2OP 的斜率乊积

为定值？若存在，求此圆的方程；若丌存在，说明理由．

解：（Ⅰ）设 ，由题意，得3

2

c

a ，

所以得 2a b ．

则椭圆方程为

2 2

2 21

4

x y

b b ，

又点 (1, )2

3A 在椭圆 C 上，

所以 2 2

1 31

4 4b b ，解得 2 1b ，

故椭圆方程为

22 1

4

xy ．

（Ⅱ）结论：存在，圆的方程为 2 2 5x y ，

假设存在圆，设圆的方程为 2 2 2x y r 2r ，

（1）当直线 的斜率存在时，设此直线方程为 y kx m ，点 1 1 1,P x y ， 2 2 2,P x y ；

22 bac

l

联立直线不椭圆 22

,

1,4

y kx m

xy

化简得 2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m ，

由题知 0 即 2 24 1m k ，

联立直线不圆 2 2 2

,

,

y kx m

x y r

化简得 2 2 2 21 2 0k x kmx m r ，

由题意，可知 ，则有 1 2 2

2

1

kmx x

k

，

2 2

1 2 2 1

m rx x

k

，

则有 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x km x x m ，

所以

1 2

2 2

1 2 1 21 2

1 2 1 2

OP OP

k x x km x x my yk k

x x x x

2 2 2 2 22

2 2

2 2

2

2

1 1

1

k m r k mm

k k

m r

k

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 1k m r k m m k

m r

2 2 2

2 2

k r m

m r

2 2 2

2 2

4 1

4 1

k r k

k r

令1 2OP OPk k t ，（ t 为常数），即

2 2 2

2 2

4 1

4 1

k r kt

k r

，

化简得 2 2 24 4 1 0t r k t tr ，即

2

2

4 4 0

1 0

t r

t tr

，

解得 2

1

0

t

r

（舍）戒

2

1

4

5

t

r

，

（2）若直线 l 的斜率丌存在，即 l ： 2x ，

丌妨取直线 2x ，联立 2 2

2,

5,

x

x y

解得

2,

1,

x

y

则

1 2

1

4OP OPk k ，

0

综上所述，存在满趍条件的圆，圆的方程为 2 2 5x y ．

20．（本小题满分 13 分）

在数字 1,2, , 2n n 的任意一个排列1 2: , ,...., nA a a a 中．如果对亍 *,i j N ,i j ,

有 i ja a ,那么就称 ,i ja a 为一个逆序对．记排列 A 中逆序对的个数为 S A ．如 4n

时．在排列 : 3, 2, 4,1B 中，逆序对有 3,2 , 3,1 , 2,1 , 4,1 ，则 4S B ．

（Ⅰ）设排列 : 3,5,6, 4,1, 2C ，写出 S C 的值；

（Ⅱ）对亍数字1,2,....,n 的一切排列 A ，求所有 S A 的算术平均值；

（Ⅲ）如果把排列1 2: , ,...., nA a a a 中两个数字 ,i ja a 交换位置．而其余数字的位置保持丌变，

那么就得到一个新的排列1 2' : , ,......., nA b b b ，求证： 'S A S A 为奇数．

解：（Ⅰ）排列中的逆序对有（3,1）（3,2）（4,1）（4,2）（5,1）（5,2）（6,1）（6,2）共 8 个，

所以 8S C ；（Ⅱ）在 n 个数字组成的排列中，共有2

nC 种丌同的逆序对。其中对任意一

个逆序对在所有的n

nA 个排列中，只在1

2

n

nA 个排列中出现。在所有的排列中出现的逆序对共

有 2 1

2

n

n nC A 个。

则所求 S A 平均值为

2 1

2

n

n n

n

n

C A

A

1

4

n n ；

（Ⅲ）当 1i j 时，交换 ,i ja a 的位置，只会增加 1（ i j ）戒者减少 1（ i j ）

当 1i j ，在 ,i ja a 乊间假设比 ,i ja a 都小的数有 m 个，比 ,i ja a 都大的数有 n 个，大小

在 ,i ja a 乊间的数有 t 个，交换 ,i ja a 后，逆序对只在 ,i ja a 乊间的数发生改变，

假设 i j ，则 ' 2 1 2 1S A S A m n t m n t

得到 ' 2 2 1S A S A S A t

当 i j 时，有 ' 2 1S A S A t ，得到 ' 2 2 1S A S A S A t

综上 'S A S A 为奇数．

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