contents.kocw.netcontents.kocw.net/KOCW/document/2015/hanyang/yueunjong/... · 2016-09-09 · 제7장 응력과 변형률의 해석 Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere

Mechanic

7.4 평면

Moh

1

1 1

x

x y

양변을 제

1x

여기에

1x

좌표는

주의: 회

(그

cs of Materials

면응력에 대

hr 원의 방정식

2

s2

x y

x y

제곱하여 합산2

2x y

2x

aver

21aver x y

1x , 1 1x y ; 중

전각의 방향

그림 (a), (b)

s, 7th ed., Jame

대한 모어 원

식

cos 22

in 2 c

x y

xy

산

2

1 1x y

, y R

2 21y R

중심 ,aver

에 따라 두가

참조) (a)를

es M. Gere &

원

sin 2

cos 2

xy

2

2x y

2

2x y

0 ; 반경 R

가지 좌표축

를 선택함.

Barry J. Goo

2

xy

2

xy 로

R

중에 선택함

dno

정의하면,

함.

제 7 장

장 응력과 변형

Pa

형률의 해석

age 07-25

Mechanic

cs of Materials

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-26

Mechanic

Moh

1. 1x -수

2. 1x

3. 1x

이

4. 1x

이

5. A B

이

6. 중심이

CA

경사

x 축에

D 점

cs of Materials

hr 원의 작도

수평축, 1 1x y

aver , 1 1x y

x , 1 1x y

이 점은

y , 1 1x y

이 점은

B 를 연결하는

이 선은 지름

이 C 이고 점

CB R

진 요소의 응

에서 만큼

점의 좌표

s, 7th ed., Jame

1 -수직축 (아

0 을 원의

xy 를 A점

0o에 해당하

xy 를 B

90o에 해당

는 직선을 작

름이 되며 원의

점 A , B 를 지

2x y

응력

큼 회전된 평

1 1 1( , )x x y

es M. Gere &

아래쪽이 양)

의 중심 C 로

점으로 함

하는 x면임

B 점으로 함

하는 y 면

작도함.

의 중심 C 를

지나는 원을 작

2

2

xy

면 요소의 응

Barry J. Goo

로 함.

임

임

를 통과

작도

응력 그림

dno

에서 A로부

제 7 장

부터 2 회전


Pa

된 위치의 점

형률의 해석

age 07-27

점 D

제 7 장 응력과 변형률의 해석

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-28

확인:

그림에서 1 1 1cos , sin2

x yx x yR R

(7.33a,b)

한편 cos(2 )2

x y

R

, sin(2 ) xy

R

즉

cos 2 cos sin 2 sin ( )2

sin 2 cos cos 2 sin ( )

x y

xy

aR

bR

( ) cos 2 ( ) sin 2a b

1cos cos 2 sin 2

2x y

xyR

( ) sin 2 ( ) cos 2a b

1sin sin 2 cos 2

2x y

xyR

이 값들을 식 (7.33)에 대입하면



1

1 1

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x y x yx xy

x yx y xy

평면 응력의 변환공식

지름 방향으로 D 와 반대인 점 D 서로 180o의 위치 응력요소에서 90o

의 차이

D 점의 좌표 1 1 1( , )y x y

Mechanic

주응

축응

1P 의

1 OC

(이 점에

기준점 A

주평면의

또 다른

22 p 는

즉 2p

2 OC

cs of Materials

력

력이 최대인

x 좌표 1 이

1xC CP

서 전단력 =

A 에서부터의

의 각도

주응력 (최소

12 p 보다 1

1 90op

2C CP

s, 7th ed., Jame

점 1P

이 최대주응력

2x y

aver

R

= 0)

의 각도 12 p

소 축응력)의

80o차이가

2x y

aver

R

es M. Gere &

력의 크기

의 절반이

위치 2P

남

Barry J. Goo

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-30

Mechanic

최대

최대

1P 과

최대전

cs of Materials

전단응력

전단응력/음

2P 로부터

전단응력의

s, 7th ed., Jame

의 최대전단

2 90o 만큼

면은 주평면과

es M. Gere &

응력의 평면

큼 떨어진 곳

과 45o회전

Barry J. Goo

1S , 2S 는 원

곳에 위치

된 면임.

dno

원의 맨 밑/맨

제 7 장

맨 윗부분


Pa

형률의 해석

age 07-31

Mechanic

전

Moh

- 평면

공식을

cs of Materials

전단응력에 대

Mohr 원의 회

Mohr 원의 회

hr 원에 대한

응력의 경우

을 암기할 필

s, 7th ed., Jame

대한 또 다른

회전방향과 응

회전방향과 응

일반적 유의

우만 적용 가능

필요 없음.

es M. Gere &

기준의 부호

응력요소의

응력요소의

의사항

능

Barry J. Goo

호규약

회전방향 일

회전방향 반

dno

치 원의

대 원의

제 7 장

전단축이 아

전단축이 아


Pa

아래방향이 양

아래방향이 음

형률의 해석

age 07-32

양

음

Mechanic

예제

문제

그림 (a)에

30o

cs of Materials

7-4

에 도시한 2

만큼 경사진

s, 7th ed., Jame

축 응력요소

평면에 작용

es M. Gere &

소에 대한 Mo

용하는 응력을

Barry J. Goo

ohr 원을 작도

을 결정하고

dno

도하고, 이를

Mohr 원에

제 7 장

이용하여

표시하기.


Pa

형률의 해석

age 07-33



풀이

90 MPax , 20 MPay , 0 MPaxy

90 20 55 MPa2 2

x yaver

, 원의 중심 ( ,0)averC 를 위치함.

요소의 x면에 작용하는 응력을 나타내는 점 ( 0 )oA 의 좌표는 ( ,0) (90,0)x

요소의 y 면에 작용하는 응력을 나타내는 점 ( 90 )oB 의 좌표는 ( ,0) (20,0)y

2 2

2 290 20 0 35 MPa2 2

x yxyR

30o 인 경사진 평면의 응력은 Mohr 원에서 2 60o 인 점 D 점의 좌표를 구하면

1

1 1

cos 60 55 (35cos 60 ) 72.5 MPa

sin 60 (35)(sin 60 ) 30.3 MPa

o ox aver

o ox y

R

R

Mechanic

같은 방법

120o

1

1 1

x a

x y R

cs of Materials

법으로 o인 경사진

cos 6

sin 60 (3aver

o

R

R

s, 7th ed., Jame

평면의 응력

60 55 (3

35)(sin 60 )

o

o

es M. Gere &

은 Mohr 원에

35cos 60 )

) 30.3 MP

o

Barry J. Goo

에서 2 2

37.5 MPa

Pa

dno

240o인 점 D

제 7 장

D점의 좌표


Pa

표를 구하면

형률의 해석

age 07-35

Mechanic

예제

문제

15,x

(a) 4

을 각각

cs of Materials

7-5

,000 psi ,

40o회전된 요

구하고, 적당

s, 7th ed., Jame

5,000 py

요소 (b) 주

당히 회전시킨

es M. Gere &

psi , 4,xy

응력 (c)

킨 요소의 그

Barry J. Goo

,000 psi

최대전단응력

그림에 결과 표

dno

력

표시하기

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-36



풀이

15,000 5,000 10,000 psi2 2

x yaver


요소의 x면에 작용하는 응력을 나타내는 점 ( 0 )oA 의 좌표는 (15,000, 4,000)

요소의 y 면에 작용하는 응력을 나타내는 점 ( 90 )oB 의 좌표는 (5,000, 4,000)

2 2

2 215,000 5,000 4,000 6,403 psi2 2

x yxyR

(a) 40o 인 경사진 평면의 응력은 Mohr 원에서 2 80o 인 점 D 점을 구하여야함.

14,000tan 0.85,000

ACP 1 38.66oACP

1 180 80 38.66 41.34o o oDCP ACP

1

1 1

cos 41.34 10,000 (6, 403cos 41.34 ) 14,810 psi

sin 41.34 (6, 403)(sin 41.34 ) 4, 230 psi

o ox aver

o ox y

R

R



같은 방법으로

130o 인 경사진 평면의 응력은 Mohr 원에서 2 260o 인 점 D점의 좌표를 구하면

1

1 1

cos 41.34 10,000 (6, 403cos 41.34 ) 5,190 psi

sin 41.34 (6, 403)(sin 41.34 ) 4, 230 psi

o ox aver

o ox y

R

R

참고: Constantx y 를 이용하면 더 쉽게 구할수 있다.

(b) 주응력은 원 위의 점 1P 과 2P 로 나타내어진다.

1 10,000 6, 400 16, 400 psiaver R

1 12 38.66opACP 1 19.3o

p

2 10,000 6, 400 3,600 psiaver R

2 12 2 180 218.66o op p 2 109.3o

p

(c) 최대전단응력은 원 위의 점 1S 과 2S 로 나타내어진다.

max 6, 400 psiR

1 90 38.66 51.34o o oACS 12 51.34os 1 25.7o

s 주응력과 45o차이

이때의 축응력은 1 1 10,000 psix y aver

Mechanic

cs of Materials

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-39

Mechanic

예

문제

5x

(a) 4

을 각각

cs of Materials

예제 7-6

50 MPa , y

45o회전된 요

구하고, 적당

s, 7th ed., Jame

10 MPay

요소 (b) 주

당히 회전시킨

es M. Gere &

, 40 xy

응력 (c)

킨 요소의 그

Barry J. Goo

MPa

최대전단응력

그림에 결과 표

dno

력

표시하기

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-40



풀이

50 10 20 MPa2 2

x yaver


요소의 x면에 작용하는 응력을 나타내는 점 ( 0 )oA 의 좌표는 ( 50, 40)

요소의 y 면에 작용하는 응력을 나타내는 점 ( 90 )oB 의 좌표는 (10, 40)

2 2

2 250 10 40 50 MPa2 2

x yxyR

(a) 45o 인 경사진 평면의 응력은 Mohr 원에서 2 90o 인 점 D 점을 구하여야함.

240 4tan30 3

ACP 2 53.13oACP

2 290 90 53.13 36.87o o oDCP ACP

1

1 1

cos36.87 20 (50)(cos36.87 ) 60 MPa

sin 36.87 (50)(sin 36.87 ) 30 MPa

o ox aver

o ox y

R

R



같은 방법으로

135o 인 경사진 평면의 응력은 Mohr 원에서 2 270o 인 점 D점의 좌표를 구하면

1

1 1

cos36.87 20 (50)(cos36.87 ) 20 MPa

sin 36.87 ( 50)(sin 36.87 ) 30 MPa

o ox aver

o ox y

R

R

참고: Constantx y 를 이용하면 더 쉽게 구할 수 있다.

(b) 주응력은 원 위의 점 1P 과 2P 로 나타내어진다.

1 20 50 30 MPaaver R

1 12 53.13 180 233.13o o opACP 1 116.6o

p

2 20 50 70 MPaaver R

22 53.13op 2 26.6o

p

(c) 최대전단응력은 원 위의 점 1S 과 2S 로 나타내어진다.

max 50 MPaR

1 90 53.13 143.13o o oACS 12 143.13os 1 71.6o

s 주응력과 45o차이

이때의 축응력은 1 1 20 MPax y aver

Mechanic

cs of Materials

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-43

Mechanic

7.5 평면

균질

x 에

y 에

x

같은

cs of Materials

면응력에 대

등방성 재료

에 의한 x 방

에 의한 x 방

x 방향의 합

방법으로

s, 7th ed., Jame

대한 훅의 법

료에 대한 평

방향의 변형률

방향의 변형률

변형률은 x

1 (y yE

es M. Gere &

법칙

평면 응력의 고

률 x 는 /x

률 x 는

1 (x xE

)x z

Barry J. Goo

고찰 (Homog

E

/y E

)y

( xE

dno

geneous Isot

(7

)y

제 7 장

tropic Plane

7-34a)

(7-34b


Pa

Stress)

,c)

형률의 해석

age 07-44



전단응력과 전단변형률과의 관계는,

xy

xy G

(7-35)

이 식들을 종합하면,

2 ( )1x x y

E

2 ( )

1y y xE

(7-36a,b)

xy xyG (7-37)

(7-34) ~ (7-37)를 평면응력에 대한 Hooke 의 법칙이라고 한다.

여기서 2(1 )EG

3.6 절의 식 (7-38)

세가지 재료상수 ( , , )E G 중에서 두 개만 독립적임.

1 10

1 10

0 0

1

1 01 0

0 012

Mechanic

Hoo

2 축 응력

0xy 인

1 (x E

1xE

전단응력

단축 응력

y xy

xx E

cs of Materials

ke 의 법칙의

력

인 경우

( )x y

2 ( x yE

력과 수직응력

력 (uniaxial s

0y 인 경우

y z

s, 7th ed., Jame

의 특별한 경

1 (y E

)y 1y

력은 서로 독

stress)

우

x

E

es M. Gere &

우

)y x

2 (1 y

E

립 앞 식

x xE

Barry J. Goo

(z E

)x

(7-34), (7-3

dno

)x y (7

(7

36)과 동일

제 7 장

7-39a,b,c)

7-40a,b)


Pa

형률의 해석

age 07-46



순수전단

0x y 인 경우

0x y z xy

xy G

- 2 축응력, 1 축응력, 순수전단의 경우 모두 0z

Mechanic

체적

최초체적

최종체적

1

0

0

(

V a

V

V

(2

체적변화

단위체적

0

VeV

Note

cs of Materials

변화량

적 0V abc

적

)(

(1

(1

x

x y

x y

a a b b

차항 이상은

화 1V V

적변화 e (혹

( x y

e: 전단변형률

s, 7th ed., Jame

)(

)

y z

z x y

z

b c c

은 무시함)

0 0 ( xV V

은 팽창률(d

)z

률의 영향은

es M. Gere &

)

y z z x

)y z

ilatation))은

없음.

Barry J. Goo

)x x y z

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-48

Mechanic

Hooke 의

0

VeV

1 축 응력

0

VeV

인장을 받

cs of Materials

의 법칙을 따

1 2 ( xE

력상태인 경우

(1 2x

E

받는 경우 (

s, 7th ed., Jame

르는 평면응

)x y

우는

)

0)x

es M. Gere &

력 상태의 경

0e (

Barry J. Goo

경우는,

1 2 ) 0

dno

0.5

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-49

Mechanic

평면

단위체적

요소의 x

요소의 x

힘이

같은 방법

따라서 수

11 (2

u

전단변형

cs of Materials

응력에서의

적 내에 저장된

x면에 작용

x면이 움직

한 일의 양:

법으로 y 면

수직응력 및

x x y y

형률에 대한 변

s, 7th ed., Jame

변형 에너지

된 변형에너지

용하는 힘:

직인 거리: a

: 1 ( )(2 xbc a

면의 힘 ya

수직 변형률

)

변형에너지밀

es M. Gere &

지 밀도

지, u ;

x bcArea

xa

)xa

ac 의 일은 12

률에 의한 변형

밀도는 2u

Barry J. Goo

1 ( )(2 yac b

형에너지 밀

2xy xy

dno

)y

도는

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-50



평면응력에서의 변형에너지 밀도

1 21 ( )2 x x y y xy xyu u u (7-49)

평면응력에 대한 식 (7-34)(7-35)를 대입하면 응력의 항만으로 된 식이 구해짐 2

2 21 ( 2 )2 2

xyx y x yu

E G

(7-50)

평면응력에 대한 식 (7-36)(7-37)을 대입하면 변형률만의 항으로 된 식이 구해짐 2

2 22 ( 2 )

2(1 ) 2xy

x y x y

GEu

(7-51)

- 단축응력의 경우; 0y xy , y x , 0xy

2 2

2 2x xEuE

식 (2-38a,b)와 일치



- 순수전단의 경우; 0x y , 0x y

2 2

2 2xy xyG

uG

(3-55a,b)와 일치

Mechanic

7.6 3

cs of Materials

축응력

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-53

Mechanic

, ,x y

z 축을

(평면 응

x축

최대 전단

z 축에

max( )z

x축,

max( )x

일반적인

큰원과

3 축

평면응력

cs of Materials

z 를 받는

회전한 요소

력의 변환 공

축, y 축에

단응력

대해 45o회

2x y

y 에 대해

2y z

인 좌표계에서

과 작은원 2

응력에서의

력의 경우와 같

s, 7th ed., Jame

요소 3 축

소의 전단 응

공식은 z 에

대해 회전한

회전된 요소:

45o회전된

, max( ) y

서의 응력

개 사이에 위

Hooke 의 법

같은 방법으로

es M. Gere &

축응력 이

응력 (그림 b)

에 대해 독립적

한 요소도 같

요소:

2z x

위치함.

법칙

로,

Barry J. Goo

이 응력이 주응

평면 응

적이기 때문)

은 방법으로

dno

응력 (전단응

력 변환 공식

)

구함.

제 7 장

응력이 없음)

식으로 구함


Pa

형률의 해석

age 07-54



( )xx y zE E

(7-53a)

( )yy z xE E

(7-53b)

( )zz x yE E

(7-53c)

이 식을 응력에 대하여 풀면,

(1 ) ( )(1 )(1 2 )x x y z

E

(7-54a)

(1 ) ( )(1 )(1 2 )y y z x

E

(7-54b)

(1 ) ( )(1 )(1 2 )z z x y

E

(7-54c)

Note: 이 식에 0z 을 대입하면 앞의 평면응력에 대한 Hooke 의 법칙으로 축소됨.



단위체적 변화

평면응력의 경우와 같은 방법으로,

0

( )x y zVe

V

1 2 ( )x y zeE

변형에너지 밀도 (축 응력만 고려)

평면응력의 경우와 같은 방법으로,

1 ( )2 x x y y z zu

이 식에 3 차원 Hooke 의 법칙을 대입하여 응력 만의 표현 혹은 변형률 만의 표현이 가능함.

2 2 21 ( ) ( )2 x y y x y y z z xu

E E 혹은

2 2 2(1 )( ) 2 ( )2(1 )(1 2 ) x y z x y y z z x

Eu

Mechanic

구응

x y

재료내의

0 을 받

모든

00 E

cs of Materials

력 (spherica

0z 인

의 어떠한 방향

받음

면이 주면,

(1 2 )

s, 7th ed., Jame

al stress)

인 경우 (전단

향에서도 같은

Mohr 원에서

es M. Gere &

단은 없음)

은 크기의 응

서 한 점으로

Barry J. Goo

응력

표시

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-57



체적변화에 대한 식은

00

3 (1 2 )3eE

체적탄성계수 K 를 정의하자; 3(1 2 )EK

(7-61)

따라서 0e

K

, 그리고 0K

e

(1 축응력에서 탄성계수 E 의 정의와 유사함)

(7-61) 식에서

1/ 3 이면 K E

0 이면 / 3K E

0.5 이면 K 체적변화가 없는 강체 (비압축성) max 0.5

균일압축을 받는 경우도 동일한 식 정수압 응력 (Hydrostatic Stress)

Mechanic

7.7 평면

평면응력

평면변형

cs of Materials

면변형률

력: z xz

형률: z xz

s, 7th ed., Jame

0yz 나

0z yz

es M. Gere &

머지는 0 이

나머지는 0

Barry J. Goo

아님.

이 아님.

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-59

Mechanic

cs of Materials

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-60



일반적으로 평면응력과 평면변형률은 동시에 발생하지 않음.

예외-1) 평면응력 상태 중에서 x y 인 경우; z 방향 변형률이 서로 상쇄됨

예외-2) 평면응력 상태 중에서 0 인 경우; 0z 이 됨

변환공식의 적용

- 평면응력의 변환 공식은 z 방향 응력이 발생하여도 계속 사용 가능

평형방정식의 유도 과정이 z 에 영향을 받지 않기 때문

- 평면변형률의 변환 공식도 z 방향 변형률이 발생하여도 계속 사용 가능

평면변형률의 변환공식은 기하학적 고려만을 하여 구해짐

즉 z 혹은 재료의 물성치에 영향을 받지 않음

Mechanic

평면변형

원래 좌표

cs of Materials

형률에서의 변

표에 대해

s, 7th ed., Jame

변환방정식

회전된 좌표

es M. Gere &

표계를 고려함

Barry J. Goo

함

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-62



수직변형률

x방향 수직 변형률 x 에 의한 x방향 길이 변화: x dx 대각선의 변화 cosx dx

y 방향 수직 변형률 y 에 의한 y 방향 길이 변화: y dy 대각선의 변화 siny dy

xy 방향 전단 변형률 xy 에 의한 윗면의 우측 이동량: xy dy 대각선의 변화 cosxy dy

대각선 길이의 전체 증가량은

cos sin cosx y xyd dx dy dy

1 cos sin cosx x y xyd dx dy dy

ds ds ds ds

여기서 cos , sindx dyds ds

이므로

2 2

1 cos sin sin cosx x y xy (7-66)

1y 는 위 식에 90o 를 대입하여 얻어진다.

Mechanic

전단변형

1 1x y

x 에 의

y 에 의

xy 에 의

1

(

x

x

dd

여기서

기하학적

(

(x

x

cs of Materials

형률

한 x방향

한 y 방향

의한 윗면의

1 2 3

sin

)sin

y

x y

dxds

서 cosdxds

적 고찰에 의해

)sin(

)siny

x y

s, 7th ed., Jame

길이 변화:

길이 변화:

우측 이동량

cos

cos sxy

dyds

, sindyds

해 는 윗

90 )cos(

cos c

o

xy

es M. Gere &

x dx 대

y dy 대

량: xy dy 대

2

sin

sin

xydyds

를 이용했

윗 식에

2

90 )

cos

oxy

Barry J. Goo

대각선의 회전

대각선의 회전

대각선의 회전

음.

90o 를 대

2sin ( 90y

dno

전: 1ds

전: 2ds

전: 3ds

대입하여 구함

0 )o

제 7 장

sinx dx

cosy dy

sinxy dy

함. 즉,


Pa

1 xdxds

2 ydyds

3 xydyd

형률의 해석

age 07-64

sin

cosys

sindyds



2 21 1 2( )sin cos (cos sin )x y x y xy

1 1 2 2( )sin cos (cos sin )2 2x y xy

x y



다음의 삼각함수의 관계식을 이용한다.

2 21 1 1cos (1 cos 2 ) sin (1 cos 2 ) sin cos sin 22 2 2

1

1 1

cos 2 sin 22 2 2

sin 2 cos 22 2 2

x y x y xyx

x y x y xy

평면 변형률에 대한 변환공식

Note: x x , y y , xy 2xy

의 관계가 있음

Note: 1 1x y x y ;( 에 무관)(응력의 경우와 유사)

Note: 1y 면에 작용하는 수직 변형률 1y 은 1x 의 식에 90o 을 대입하여 구한다.



주변형률

응력의 경우와 같은 방법으로 해석하여

주각의 위치: tan 2 xyp

x y

주변형률의 크기:

2 2

1,2 2 2 2x y x y xy

최대전단변형률

위치: 주변형률 방향에서 45o 회전된 축

크기

2 2

max

2 2 2x y xy

, 이때의 수직변형률은 1 2 2x y

x x aver

Mechanic

평면변형

x x

y y

xy 2xy

1x x

1 1x y

평면응력

완전히 동

변형률의

스트레인

gage)를

cs of Materials

형률에 대한 M

2xy

1x

1 1

2x y

력의 경우와

동일함

의 측정

인게이지 (

이용하여 측

s, 7th ed., Jame

Mohr 원

(strain

측정

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-68

Mechanic

- 1/8 ~ 1

- 표면에

- 연속된

- 1 10

- 3 방향의

- 특별한

변형률로

스트레인

cs of Materials

1.2 in 의 크기

에 부착하여 변

와이어로 구6정도의 작은

의 변형률을

한 형태로 배열

로부터의 응력

인게이지로 변

s, 7th ed., Jame

기

변형률에 비례

구성된 금속격

은 변형량도

측정하여 임

열된 3 개의

력의 계산

변형률 측정

es M. Gere &

례하여 길이

격자 길이

측정 가능

임의의 방향의

게이지 조합

Hooke 의

Barry J. Goo

변화

이의 변화에

의 변형률을

합 스트레인

법칙에 대입

dno

따라 전기 저

계산할 수 있

인 로제트 (S

입하여 응력을

제 7 장

저항 변화

있슴

Strsin rosset

을 계산함


Pa

t)

형률의 해석

age 07-69

Mechanic

예제

cs of Materials

7-7

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-70



문제

6340 10x ,

6110 10y ,

6180 10xy

(a) 30o 회전된 요소 (b) 주변형률 (c) 최대전단변형률

을 각각 구하고, 적당히 회전시킨 요소의 그림에 결과 표시하기

풀이 (두가지 해법이 있음. 변환공식 이용, Mohr 원 이용)

(a) 30o 회전된 요소는 변환공식을 이용하여 구할 수 있다.

66(340 110) 10 225 10

2 2x y

,

66(340 110) 10 115 10

2 2x y

690 102xy

평면변형률 변환공식에 대입하면,

1

6 6 6 6

cos 2 sin 22 2 2

(225 10 ) (125 10 )(cos 60 ) (90 10 )(sin 60 ) 360 10

x y x y xyx

o o



1 1

6 6 6

sin 2 cos 22 2 2

(125 10 )(sin 60 ) (90 10 )(cos 60 ) 55 10

x y x y xy

o o

61 1 110 10x y

6 61 1 (340 110 360) 10 90 10y x y x

(b) 주변형률도 공식을 이용하여 구할 수 있다.

2 2

1,2

2 26 6 6 6 6

2 2 2

225 10 125 10 90 10 225 10 146 10

x y x y xy

6 61 2370 10 80 10

위치는 180tan 2 0.7826

340 110xy

px y

2 38.0 , 218.0o op 19.0 , 109.0o o

p 대입하여 최대/최소각을 결정함.

Mechanic

(c) 최대전

max

2

s

이

이 때

cs of Materials

전단변형률도

2x y

19.0 45o o

이 각을 대입하

때의 수직변형

s, 7th ed., Jame

도 공식에 의

2

2y xy

64.0o

하여, 음/양

형률은 aver

es M. Gere &

하여 구해짐

2

146 10

최대 전단변

22

x y

Barry J. Goo

.

60 max

형률의 각을

6225 10

dno

6290 10

을 결정함.

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-73

Mechanic

예제

x y 축에

3 개의 변

회전된

변형률 구

풀이

,x a

ab

이 식을

이제

임의

cs of Materials

7-8

에대해 45o간

변형률 측정

된 1 1x y 축에

구하기.

y c 이므

2 2c a

풀면 xy

, x a y

의의 각 회전

s, 7th ed., Jame

간격으로

후,

에서의

므로 45o방향

(cos90 )oc

2 b a

y c , xy

전된 1 1x y

es M. Gere &

향의 변형률은

(sin 902xy

c

2 b a

축에서의 변

Barry J. Goo

은

0 )o

c 를 알고 있

변형률을 구할

dno

있으므로,

할 수 있다.

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-74



탄성상수들 간의 관계식

순수전단 를 받는 응력 요소의 전단 변형률: / G

이 요소를 45 도 회전시키면, 1 2

따라서 변형률은

1 21

2 12

12

(1 )

(1 )

0

E E E

E E E

변형률을 -45 도 회전하면

(1 )2 E 이 값은 원래의 전단 변형률과 같아야 하므로

(1 )2 2E G 2( 1)

EG

contents.kocw.netcontents.kocw.net/KOCW/document/2015/hanyang/yueunjong/... · 2016-09-09 · 제7장 응력과 변형률의 해석 Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere

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