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Engenharia Mecnica 3 Srie
Clculo II
A Atividade Prtica Supervisionada (ATPS) um procedimento
metodolgico de ensino-aprendizagem desenvolvido por meio de etapas,
acompanhadas pelo professor, e que tem por objetivos:
Favorecer a autoaprendizagem do aluno. Estimular a
corresponsabilidade do aluno pelo seu aprendizado. Promover o
estudo, a convivncia e o trabalho em grupo. Auxiliar no
desenvolvimento das competncias requeridas para o exerccio
profissional. Promover a aplicao da teoria na soluo de situaes
que simulam a
realidade. Oferecer diferenciados ambientes de aprendizagem
Para atingir estes objetivos, a ATPS prope um desafio e indica
os passos a serem percorridos ao longo do semestre para a sua
soluo.
Aproveite esta oportunidade de estudar e aprender com desafios
da vida profissional.
AUTORIA: Tnia Mara Amorim
Faculdade Anhanguera de Sorocaba
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Competncias e Habilidades
Ao concluir as etapas propostas neste desafio, voc ter
desenvolvido as competncias e habilidades que constam, nas
Diretrizes Curriculares Nacionais, descritas a seguir.
Aplicar conhecimentos matemticos, cientficos, tecnolgicos e
instrumentais Engenharia.
Identificar, formular e resolver problemas de Engenharia.
Interpretar os resultados obtidos. Comunicar-se eficientemente nas
formas escrita, oral e grfica;
Participao
Esta atividade ser, em parte, desenvolvida individualmente pelo
aluno e, em parte, pelo grupo. Para tanto, os alunos devero:
organizar-se, previamente, em equipes de participantes definidas
pelo professor da disciplina;
entregar seus nomes, RAs e e-mails ao professor da disciplina e
observar, no decorrer das etapas, as indicaes: Individual e
Equipe.
Desafio
A ATPS uma oportunidade nica e importante, em que os desafios
aqui propostos buscam promover em cada aluno o senso de
responsabilidade individual e coletivo. Vivemos num mundo
globalizado, em que o saber trabalhar em equipe valorizado. Onde
cada um deve com responsabilidade cumprir o papel que lhe cabe,
para que toda a equipe consiga vencer os desafios que lhe so
impostos. Esses desafios buscam levar ao(s) aluno(s) a uma viso
crtica dos conceitos e conhecimentos adquiridos ao longo do
semestre de maneira que possam aplicar em situaes-problema, situaes
essas das quais muitas vezes sero vivenciadas por eles, quando
estes se tornarem profissionais da rea, alm da oportunidade de
integrar os contedos de clculos a outras disciplinas dentro e fora
do campo da engenharia. O estmulo pesquisa como um dos caminhos
para um verdadeiro aprendizado deve estar sempre presente, j que
cada um deve caminhar em direo a uma autonomia intelectual. O
mercado de trabalho hoje busca profissionais capazes de superar os
desafios e que so capazes de utilizar os conhecimentos adquiridos
para construir novos.
A produo de um relatrio que ser dividido em duas partes, sendo
que a 1 parte deve ser composto com as solues dos desafios
propostos nas Etapas 1 e 2 desta ATPS e que dever ser entregue ao
professor de sua disciplina, ao final do 1 bimestre. A 2 parte
desse relatrio deve ser composto com as solues dos desafios
propostos das Etapas 3 e 4 desta ATPS e que dever ser entregue ao
professor de sua disciplina, no final do semestre, conforme as
datas por ele estabelecidas e que culminar com uma apresentao por
parte de sua equipe (com utilizao de PowerPoint etc). Essa uma
oportunidade aos
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alunos de mostrarem os conhecimentos adquiridos por meio das
atividades desenvolvidas ao longo do semestre; portanto sejam
criativos!
Objetivo do desafio
Produzir relatrios parciais de cada etapa e entregar ao
professor conforme cronograma estabelecido por ele e produzir um
seminrio para apresentao final deste desafio. Livro-texto da
disciplina
A produo desta ATPS fundamentada no livro-texto da disciplina,
que dever ser utilizado para soluo do desafio: HUGHES-HALLETT,
Deborah. Clculo de uma Varivel. 1 ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros
Tcnicos e Cientficos, 2009.
ETAPA 1 (tempo para realizao: 5 horas )
Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivao. Essa
atividade importante para poder verificar a aplicao da derivada
inserida em
conceitos bsicos da fsica. A noo intuitiva de movimento,
velocidade, acelerao algo intrnseco a todos, j que algo natural. No
entanto, quando visto sob um olhar crtico cientfico, pode se
observar as leis da fsica, em que as operaes matemticas e regras de
derivao bsica esto intimamente ligadas a essas leis.
Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos.
PASSOS
Passo 1 (Aluno) Pesquisar o conceito de velocidade instantnea a
partir do limite, com .
Comparar a frmula aplicada na fsica com a frmula usada em clculo
e explicar o significado da funo v (velocidade instantnea), a
partir da funo s (espao), utilizando o conceito da derivada que voc
aprendeu em clculo, mostrando que a funo velocidade a derivada da
funo espao.
Dar um exemplo, mostrando a funo velocidade como derivada da
funo do espao, utilizando no seu exemplo a acelerao como sendo a
somatria do ltimo algarismo que compe o RA dos alunos integrantes
do grupo.
Bibliografia complementar HALLIDAY, David; RESNICK, Robert.
Fsica I. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
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Site sugerido para pesquisa
Velocidade Instantnea. Disponvel em: . Acesso: em 03 out.
2011
Passo 2 (Aluno) Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com
os clculos e plote num grfico as funes S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s)
para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de funo voc tem e
calcular a variao do espao percorrido e a variao de velocidade para
o intervalo dado.
Calcular a rea formada pela funo da velocidade, para o intervalo
dado acima.
Passo 3 (Equipe) Pesquisar sobre a acelerao instantnea de um
corpo mvel, que define a acelerao como sendo a derivada da funo
velocidade.
Explicar o significado da acelerao instantnea a partir da funo s
(espao), mostrando que a acelerao a derivada segunda.
Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem a sua acelerao a
partir do conceito de derivao aplicada a sua funo espao e funo
velocidade.
Bibliografia complementar HALLIDAY, David; RESNICK, Robert.
Fsica I. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Passo 4 (Equipe) Plotar num grfico sua funo a(m/s2) x t(s) para
um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer que tipo de funo voc
tem.
Calcular a rea formada pela funo acelerao para o intervalo dado
acima e comparar o resultado obtido com o clculo da variao de
velocidade realizado no passo 2, subitem 2.1 e fazer uma anlise a
esse respeito.
Elaborar um relatrio com os resultados obtidos de todos os
passos realizados nessa etapa 1 para entregar ao professor.
ETAPA 2 (tempo para realizao: 5 horas )
Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivao. Essa
atividade importante para poder verificar a aplicao da derivada
inserida em
situaes relacionadas s vrias reas como fsica, biologia, msica
etc. Uma observao
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mais aprofundada sobre o conceito de derivao e um olhar mais
amplo sobre a constante de Euler, que muito usada, mas que muitas
vezes assumi um papel oculto dentro do prprio clculo matemtico e
que por sua vez est intrinsecamente ligado a vrios fenmenos
naturais.
Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos.
PASSOS
Passo 1 (Aluno) O que a Constante de Euler?
Trata-se de um nmero irracional, conhecido como e. Foi atribuda
a este nmero a notao e, em homenagem ao matemtico suio Leonhard
Euler (1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as
propriedades desse nmero.
Podemos expressar esse nmero com 40 dgitos decimais, ou seja: e
= 2,718281828459045235360287471352662497757
Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo
sobre esse assunto de pelo menos uma pgina, constando dos dados
principais a respeito do assunto e curiosidades. Existem inmeros
sites na internet que trazem informaes ricas sobre esse assunto.
Abaixo deixamos alguns para que possa ser pesquisado, alm do
Wikipdia.
Construir uma tabela com os clculos e resultados aplicados na
frmula abaixo, utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10,
50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000}, esboar um grfico
representativo e fazer uma concluso a respeito.
ou substituindo , temos
Sites sugeridos para pesquisa
Constante deEuler, 2011. Disponvel em: . Acesso em: 03 out.
2011.
Funes Exponenciais. 2011. Disponvel em: . Acesso em: 03 out.
2011.
Passo 2 (Aluno) Pesquisar sobre sries harmnicas na msica, na
matemtica e na fsica e sobre somatria infinita de uma PG. Fazer um
relatrio resumo com as principais informaes
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sobre o assunto de pelo menos 1 pgina e explicar como a
Constante de Euler se relaciona com srie harmnica e com uma PG,
mostrando as similaridades e as diferenas.
Sites sugeridos para pesquisa
Srie Harmnica Wikipedia, 2011. Disponvel em: . Acesso em: 03
out. 2011.
Srie Harmnica Matemtica, 2011. Disponvel em: . Acesso em: 03
out. 2011.
Passo 3 (Equipe) CRESCIMENTO POPULACIONAL
Thomas Malthus em seu trabalho publicado em 1798 An Essay on the
Principle of Population, apresentou um modelo para descrever a
populao presente em um determinado ambiente, em funo do tempo. Ele
considerou N = N(t) como sendo o nmero de indivduos em certa
populao no instante t. Tomando as hipteses que os nascimentos e as
mortes naquele ambiente eram proporcionais populao presente e sendo
a variao do tempo conhecida entre os dois perodos, concluiu a
seguinte equao para descrever a populao presente em um determinado
instante t.
, onde temos:
t =0 no instante inicial
r = uma constante que varia com a espcie da populao
= A populao existente/presente no instante inicial.
obvio que o grfico dessa funo depende de r e A utilizao desse
modelo parte do pressuposto de que o meio ambiente tenha pouca ou
nenhuma influncia sobre a populao. Dessa forma, ele serve mais como
um indicador do potencial de sobrevivncia e de crescimento de cada
espcie populacional, do que um modelo que realmente mostra o que
ocorre.
Com base nas informaes acima, considerar uma colnia de vrus em
um determinado ambiente. Um analista de um laboratrio ao pesquisar
essa populao, percebe que ela triplica a cada 8 horas. Dessa forma,
utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vrus
haver na colnia aps 48 horas em relao ltima contagem?
Site sugerido para pesquisa
Principle of Population Malthus, 2011. Disponvel em:
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8YYLONTZlNThiOTAtYmE4YS00NDEzLWJhM2YtYjUzYTU3NjQ5MzMz&hl=pt_BR>.
Acesso: em 03 out. 2011.
Passo 4 (Equipe) Construir uma tabela e plote um grfico do
crescimento populacional em funo do tempo, observando o que ocorre
a cada 4 horas. Fazer um relatrio com todos os dados solicitados
nos quatro passos da Etapa 2, para entregar ao seu professor.
ETAPA 3 (tempo para realizao: 5 horas )
Aula-tema: Regra da Cadeia, Derivadas de Funes Exponenciais e
Logartmicas, Derivadas Trigonomtricas, Aplicaes de Derivadas. Essa
atividade importante para poder verificar a aplicao da derivada
inserida em
situaes do cotidiano. No campo da engenharia, muitas so as
situaes em que a aplicao da derivada para solues de problemas que
se fazem presentes. O domnio das regras bsicas e de nveis mais
avanados necessrio.
Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos.
PASSOS
Passo 1 (Equipe) Criar um nome e slogan para a empresa de
consultoria e assessoramento em engenharia que voc e sua equipe
decidem abrir. A empresa Soy Oil, desejando inovar, na apresentao
de sua nova linha de leo para cozinha, contrata vocs para criarem
uma nova embalagem da lata, a qual dever armazenar o produto.
Depois de muito pensarem, vocs decidiram que a lata dever ser
construda de forma que seja um cilindro circular reto de volume
mximo que possa ser inscrito em uma esfera de dimetro D = 1*cm,
onde D uma dezena do intervalo [10, 19], em que o algarismo da
unidade (*) dado pelo maior algarismo dos algarismos que compe os
RAs dos alunos do seu grupo; Exemplo: Se o grupo uma dupla com os
seguintes RAs 100456012 e 1000032467, observa-se que o maior
algarismo presente nos RAs o 7, portanto deve-se usar D = 17.
Lembre-se que D = 2.R
Com base nessas informaes e admitindo que 1 litro = 1 dm3,
utilizando a regra do produto para derivao, calcular qual ser a
altura mxima da lata e qual o volume de leo que ela comporta.
Observar a figura abaixo. Notar que a altura da lata (H) igual a
soma de h + h, ou seja: H = 2h
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Figura 1
Passo 2 (Equipe) Fazer um layout com escala, representando a
lata de leo do passo 1 e criar um prottipo em tamanho real. Fazer
um relatrio justificando de forma positiva a utilizao dessa nova
embalagem, que dever ser apresentada a diretoria da empresa Soy
Oil.
Passo 3 (Equipe) Analisar o texto abaixo e responder a
pergunta:
A empresa Soy Oil adquiriu uma nova mquina para evaso do leo
dentro das latas que sero comercializadas. O bico da envasadura em
formato de uma pirmide hexagonal regular invertida, com 50 cm de
altura e de aresta da base de 10 cm. O leo escoa por meio de uma
pequena abertura no bico da pirmide, aps a pirmide atingir seu
volume mximo. Sabendo que o leo flui no bico a uma taxa de 3 cm3/s.
Com que velocidade o nvel do leo estar se elevando quando atingir
20 cm de altura?
Passo 4 (Equipe) Calcular qual o volume mximo de leo que cabe no
bico? Qual a velocidade com que o nvel do leo estar se elevando
quando atingir 45 cm de altura? Fazer um relatrio com todos os
clculos realizados nos quatro passos da Etapa 3, para entregar ao
seu professor.
ETAPA 4 (tempo para realizao: 5 horas )
Aula-tema: Aplicaes das Derivadas e Exemplos da Indstria, do
Comrcio e da Economia. Essa atividade importante para poder
verificar a aplicao da derivada inserida em
situaes do cotidiano aplicadas a Indstria, Comrcio e Economia. H
uma ideia errnea
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de que o uso da derivada limitado ao campo da engenharia.
Economistas e administradores tambm lanam mo das regras da derivao
para anlise das funes marginais para tomada de decises.
Para realiz-la, devem ser seguidos os passos descritos.
PASSOS
Passo 1 (Aluno) Construir uma tabela com base nas funes
abaixo.
Se ao analisar a situao da empresa Soy Oil, sua equipe concluir
que a Funo Preo e a Funo Custo em relao as quantidades produzidas
de 1000 unidades, so dadas respectivamente por: e , em que a
representa a soma dos ltimos 3 nmeros dos RAs dos alunos que
participam do grupo, observando o seguinte arredondamento: caso a
soma d resultado variando entre [1000 e 1500[, utilizar a = 1000;
caso a soma d resultado variando entre [1500 e 2000[, utilizar a =
1500; caso a soma d resultado variando entre [2000 e 2500],
utilizar a = 2000; e assim sucessivamente. Construir uma tabela
para a funo Custo e uma tabela para a funo Receita em milhares de
reais em funo da quantidade e plotando num mesmo grfico.
Passo 2 (Equipe) Responder para qual intervalo de quantidades
produzidas, tem-se R(q) > C(q)? Para qual quantidade produzida o
Lucro ser o mximo? Fazer todas as anlises, utilizando a primeira e
a segunda derivada para justificar suas respostas, mostrando os
pontos de lucros crescentes e decrescentes.
Passo 3 (Equipe) Responder qual o significado da Receita Mdia
Marginal? Sendo a funo Custo Mdio [
] da produo dado por , calcular o custo mdio para a produo de
100.000 unidades. vivel essa quantidade a ser produzida para a
empresa?
Passo 4 (Equipe) Organizar todo seu material de acordo com o
padro ABNT e entregar ao seu professor. Preparar uma apresentao em
PowerPoint para que sua equipe possa apresentar os resultados
obtidos, dentro do tempo preestabelecido pelo seu professor, ou
qualquer outro critrio por ele definido.
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Padronizao
O material escrito solicitado nesta atividade deve ser produzido
de acordo com as normas da ABNT, com o seguinte padro (exceto para
produes finais no textuais):
em papel branco, formato A4; com margens esquerda e superior de
3cm, direita e inferior de 2cm; fonte Times New Roman tamanho 12,
cor preta; espaamento de 1,5 entre linhas; se houver citaes com
mais de trs linhas, devem ser em fonte tamanho
10, com um recuo de 4cm da margem esquerda e espaamento simples
entre linhas;
com capa, contendo: nome de sua Unidade de Ensino, Curso e
Disciplina; nome e RA de cada participante; ttulo da atividade;
nome do professor da disciplina; cidade e data da entrega,
apresentao ou publicao.
Para consulta completa das normas ABNT, acesse a Normalizao de
Trabalhos Acadmicos Anhanguera. Disponvel em: . Acesso em: 22 ago.
2014.
Vale lembrar: constitui plgio a apropriao de ideias alheias sem
a indicao do autor e da fonte de onde foi retirada a informao
referenciada. Para saber mais, assista ao vdeo de orientao sobre
plgio.