Elaborado por @gbaqueri Página 1 de 16 ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2014 – 1S SEGUNDA EVALUACIÓN DE MATEMÁTICAS PARA CIENCIAS, INGENIERÍAS Y EDUCACIÓN COMERCIAL GUAYAQUIL, 08 DE SEPTIEMBRE DE 2014 HORARIO: 11H30 – 13H30 VERSIÓN 0 1) Dada la función de variable real f x () = log 13 3 − x , identifique la proposición VERDADERA. a) dom f = ! −−3 { } b) rg f = ! + c) f es estrictamente creciente en el intervalo 3, +∞ ( ) . d) f es par. e) Los interceptos de f con el eje X son 2, 0 ( ) y 4, 0 ( ) . Solución: La gráfica de la función f se muestra a continuación. a) Para determinar el dominio de la función debe cumplirse que 3 − x > 0 . Por lo que, x ≠ 3 y se concluye que la proposición es falsa. b) El rango de la función logarítmica es el conjunto de los número reales. La proposición es falsa. c) En el intervalo especificado la función es estrictamente decreciente. La proposición es falsa. d) La función no tiene simetría con el eje X. La proposición es falsa. e) Los interceptos de la función se dan cuando se satisfacen la ecuación con valor absoluto 3 − x = 1 . La proposición es verdadera. Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal e). 2) Sea f una función biyectiva de variable real tal que f x () = e x−2 − 1, x ≤ 2 x − 2, x > 2 # $ % , entonces la regla de la correspondencia de su inversa es: x y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 0 1 2 3 4
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Elaborado por @gbaqueri Página 1 de 16
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2014 – 1S
SEGUNDA EVALUACIÓN DE MATEMÁTICAS PARA CIENCIAS, INGENIERÍAS Y EDUCACIÓN COMERCIAL
GUAYAQUIL, 08 DE SEPTIEMBRE DE 2014 HORARIO: 11H30 – 13H30
VERSIÓN 0 1) Dada la función de variable real f x( ) = log1 3 3− x , identifique la proposición VERDADERA.
a) dom f =!− −3{ }
b) rg f =!+
c) f es estrictamente creciente en el intervalo 3,+∞( ) . d) f es par. e) Los interceptos de f con el eje X son 2,0( ) y 4,0( ) . Solución: La gráfica de la función f se muestra a continuación. a) Para determinar el dominio de la función debe
cumplirse que 3− x > 0 . Por lo que, x ≠ 3 y se concluye que la proposición es falsa.
b) El rango de la función logarítmica es el conjunto de los número reales. La proposición es falsa.
c) En el intervalo especificado la función es estrictamente decreciente. La proposición es falsa.
d) La función no tiene simetría con el eje X. La proposición es falsa.
e) Los interceptos de la función se dan cuando se satisfacen la ecuación con valor absoluto 3− x =1 . La proposición es verdadera.
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal e).
2) Sea f una función biyectiva de variable real tal que f x( ) =ex−2 −1, !!!x ≤ 2!!x − 2, !!!!!x > 2
#$%
, entonces la
regla de la correspondencia de su inversa es:
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1
0
1
2
3
4
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a) f −1 x( ) =ln x +1( )+ 2, !!!x ≤ 0!!!!!!!!x + 2, !!!!!!!!x > 0
#$%
&%
b) f −1 x( ) =ln x +1( )+ 2, !!! −1< x ≤ 0!!!!!!!!x + 2, !!!!!!!!!!!!!!!!x > 0
#$%
&%
c) f −1 x( ) =ln x +1( )+ 2, !!!x ≤ 2!!!!!!!!x + 2, !!!!!!!!x > 2
#$%
&%
d) f −1 x( ) =ln x −1( )− 2, !!! −1< x ≤ 0!!!!!!!!x − 2, !!!!!!!!!!!!!!!!x > 0
#$%
&%
e) f −1 x( ) =ln x −1( )+ 2, !!!x ≤ 2!!!!!!!!x − 2, !!!!!!!!x > 2
#$%
&%
Solución: Se analiza cada intervalo del dominio:
Cuando y = ex−2 −1 y x ≤ 2 , rg f = −1,0( ]
x = ey−2 −1 ey−2 = x +1
y− 2 = ln x +1( ) y = ln x +1( )+ 2
f −1 x( ) = ln x +1( )+ 2, −1< x ≤ 0
Cuando y = x − 2 y x > 2 , rg f = 0,+∞( )
x = y− 2 y = x + 2
f −1 x( ) = x + 2, x > 0
Se lo puede verificar gráficamente: Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal b).
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
0
1
2
3
4
5
6
Identidad
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3) Un valor de k para que al dividir la función polinomial f x( ) = 2x3 − kx2 − 4kx − 4k entre la
función polinomial g x( ) = x − 2k , su residuo sea igual a −4k , es:
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).
9) Dada la matriz A =
ln ek−1( ) 2 sen x( )0 k −1 cos x( )0 0 sen2 x( )+ cos2 x( )
"
#
$$$$$
%
&
'''''
. Si A es singular, el valor de k es
igual a: a) 1 b) −1 c) 0 d) −1,1{ } e) 0,1{ }
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Solución:
La matriz seria: A =
k −1 2 sen x( )0 k −1 cos x( )0 0 1
"
#
$$$$
%
&
''''
Para que A sea singular: det A( ) = 0 ⇒ k −1( )2 = 0 ⇒ k =1 Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).
10) Dado el sistema de ecuaciones lineales:
x + y − z = 2x + 2y + z = 6
x + y + ζ 2 − 5( ) z = ζ
"
#$$
%$$
Para que este sistema sea INCONSISTENTE, el valor de ζ es igual a:
a) –2 b) 0 c) 1 d) 3 e) 4 Solución:
Se trabaja con la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales (S. E. L.):
1 1 −1 21 2 1 61 1 ζ 2 − 5( ) ζ
"
#
$$$$
%
&
''''
1 1 −1 20 1 2 40 0 ζ 2 − 4( ) ζ − 2
"
#
$$$$
%
&
''''
1 1 −1 20 1 2 40 0 ζ − 2( ) ζ + 2( ) ζ − 2
"
#
$$$
%
&
'''
Se analiza la última fila del S. E. L. Con ζ = −2 , el S. E. L. es inconsistente. Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).
11) Sea el número complejo z = z1( )z2 , donde z1 = r1eiθ1 = x1 + iy1 , z2 = r2 = x2 . El argumento de z es igual a:
a) 𝜃! b) 𝜃! 𝐜) 𝜽𝟏𝒙𝟐 d) 𝜃!𝑥! e) 𝑎𝑟𝑐 tan
!!!!
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Solución:
Sea z = r1eiθ1( )
x2= r1
x2eiθ1x2 , entonces arg z( ) =θ1x2 . Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal c).
12) Sea ABC el triángulo mostrado en la figura adjunta. Si se conoce que: 𝐷𝐸 𝐴𝐶 , 𝐴𝐵 = 10𝑐𝑚,𝐴𝐶 = 5𝑐𝑚,𝐷𝐸 = 𝑥, 𝐴𝐷 = 𝑦, entonces es VERDAD que:
a) y = 2x b) y = 2x – 5 c) y = 2x + 10 d) y = 10 – x e) y = 10 – 2x
Solución: Por semejanza de los triángulos ABC y DBE :
ABAC
=DBDE
xyyx
xyxy
210102
102
10510
−=
−=
−=
−=
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal e).
13) La longitud de la circunferencia mostrada, cuyo centro es O, mide 8π cm. Si el hexágono
inscrito es regular, el área del círculo sombreado en la figura adjunta, en cm2, es igual a:
a) π3
b) 2π3
c) 4π3
d) 2π e) 4π
A C
D E
B
O
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Solución: Para la circunferencia con centro en O y longitud de radio R se tiene:
L = 8π cm ⇒ 2πR = 8π ⇒ R = 8π2π
⇒ R = 4 cm
Para un hexágono inscrito, el lado L es congruente con el radio R de la circunferencia. El triángulo que se observa es equilátero (su longitud de lado también mide L) y está circunscrito al círculo sombredo.
Cuando se tiene un triángulo equilátero circunscrito, la longitud r del radio es r =12 3
L .
r = R2 3
Acírculo = πr2 = π
R2
12!
"#
$
%&= π
1612!
"#
$
%&=4π3cm2
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal c).
14) Si las longitudes de los lados de un triángulo miden: 2cm , 6cm y 3 +1( )cm , entonces es
VERDAD que:
a) Uno de sus ángulos interiores mide 𝟕𝟓𝟎. b) El triángulo es rectángulo. c) Uno de sus ángulos interiores mide 30!. d) El triángulo es obtusángulo. e) Uno de sus ángulos interiores mide 80!.
Solución:
Se dibuja un triángulo ABC especificando los datos: Se utiliza la ley del coseno:
cos C( ) = a2 + b2 − c2
2ab=
3 +1( )2+ 22 − 6( )
2
2 3 +1( ) 2( )=3+ 2 3 +1+ 4− 6
4 3 +1( )=2+ 2 34 3 +1( )
=24=12
C = 60o
A C
B
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Luego se utiliza la ley del seno:
sen B( )2
=sen C( )6
⇒ sen B( ) =2sen 60o( )
6=
2 32
"
#$
%
&'
6=12
B = 45o
Se aplica el teorema de la suma de los ángulos internos de un triángulo:
A =180o − 60o + 45o( ) = 75o Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).
En el triángulo que contiene los vértices B y F se cumple:
α + 90o + 48o =180o
α =180o −138o = 42o
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal a).
α
A
B
C H
F
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16) Si ABCD es un rectángulo, P y R son los puntos medios de sus respectivos lados, entonces el área de la superficie del triángulo DPR, en cm2, es igual a:
La mediana es la semisuma de los elementos centrales que están ordenados:
𝑥 = 5 La moda es el dato que más se repite, en este caso es el 5 Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal d).
25) Si se lanzan dos dados, la probabilidad de obtener 2 números primos consecutivos, en sus caras
superiores, es igual a:
a) 118
b) 19 c)
112
d) 29
e) 16
Solución: Los números primos en un dado son 2, 3 y 5. Si son primos consecutivos, entonces se tienen los siguiente pares ordenados: (2, 3), (3, 2), (3, 5) y (5, 3). El espacio muestral para este evento tiene 36 pares ordenados posibles.
P A( ) = Número'de'casos''favorables'Número'de'casos'totales'
P A( ) = 436
=19
Por lo tanto, la respuesta correcta es el literal b).