2014 Maj Pp Klucz

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2013/2014

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

ROZWIZANIA ZADA

I SCHEMAT PUNKTOWANIA

MAJ 2014

2 Egzamin maturalny z matematyki

Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy

Zadanie 1. (01)

Obszar standardw Opis wymaga

Poprawna odpowied (1 pkt)

Wersja

arkusza

A

Wersja

arkusza

B Wykorzystanie

i interpretowanie

reprezentacji

Interpretacja geometryczna

ukadu dwch rwna liniowych z dwiema

niewiadomymi (II.8.d)

A C

Zadanie 2. (01) Wykorzystanie

i interpretowanie

reprezentacji

Stosowanie pojcia procentu w obliczeniach (II.1.d) B C


i interpretowanie

reprezentacji

Posugiwanie si wzorami skrconego mnoenia (II.2.a) C A


i interpretowanie

reprezentacji

Znajomo definicji logarytmu (II.1.h) D C


i interpretowanie

reprezentacji

Rozwizywanie prostych rwna wymiernych (II.3.e) C B


i interpretowanie

reprezentacji

Wykorzystanie interpretacji

wspczynnikw we wzorze funkcji liniowej (II.4.g)

B D


i interpretowanie

reprezentacji

Rozwizywanie zada prowadzcych do badania funkcji kwadratowej (II.4.l)

D A




i interpretowanie

reprezentacji

Badanie rwnolegoci prostych na podstawie ich

rwna kierunkowych (II.8.c)

D A

Zadanie 9. (01) Uycie i tworzenie strategii Wykorzystanie pojcia

wartoci bezwzgldnej (IV.1.f)

D B

Zadanie 10. (01) Wykorzystanie i tworzenie

informacji Wyznaczanie miejsca

zerowego funkcji

kwadratowej (I.4.j) B D


i interpretowanie

reprezentacji

Wyznaczanie wyrazw cigu okrelonego wzorem oglnym (II.5.a)

A D


i interpretowanie

reprezentacji

Wykorzystuje wasnoci figur podobnych w zadaniach

(II.7.b) C B


i interpretowanie

reprezentacji

Badanie, czy dany cig jest geometryczny (II.5.b) D A

Zadanie 14. (01) Wykorzystanie i tworzenie

informacji Stosowanie prostych

zwizkw midzy funkcjami trygonometrycznymi kta ostrego (I.6.c)

A B


i interpretowanie

reprezentacji

Posugiwanie si rwnaniem okrgu

2 2 2( ) ( )x a y b r (II.8.g) B C




i interpretowanie

reprezentacji

Znajdowanie zwizkw miarowych w figurach

paskich, w tym z zastosowaniem

trygonometrii (II.7.c)

B C

Zadanie 17. (01) Uycie i tworzenie strategii Znajdowanie zwizkw

miarowych w figurach

paskich (IV.7.c) A D


i interpretowanie

reprezentacji

Obliczanie wartoci liczbowej wyraenia wymiernego dla danej

wartoci zmiennej (II.2.e)

A B

Zadanie 19. (01) Modelowanie matematyczne Wyznaczanie zwizkw

miarowych w wielocianach (III.9.b)

A D

Zadanie 20. (01) Modelowanie matematyczne Wyznaczanie zwizkw

miarowych w bryach obrotowych (III.9.b)

C B


i interpretowanie

reprezentacji

Obliczanie potgi o wykadniku wymiernym oraz stosowanie praw dziaa na potgach o wykadnikach wymiernych (II.1.g)

C B


i interpretowanie

reprezentacji

Obliczanie potgi o wykadniku wymiernym (II.1.g)

B A



Zadanie 23. (01) Rozumowanie i argumentacja Wykorzystanie sumy,

iloczynu i rnicy zdarze do obliczania

prawdopodobiestw zdarze (V.10.c)

A D

Zadanie 24. (01) Uycie i tworzenie strategii Zliczanie obiektw

w prostych sytuacjach

kombinatorycznych

(IV.10.b)

C C

Zadanie 25. (01) Modelowanie matematyczne Obliczanie mediany danych

(III.2.e) D A



Schemat oceniania zada otwartych

Zadanie 26. (02) Wykresem funkcji kwadratowej 22f x x bx c jest parabola, ktrej wierzchokiem jest

punkt 4,0W . Oblicz wartoci wspczynnikw b i c.

Uycie i tworzenie strategii Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i)

Rozwizanie (I sposb)

Ze wzorw 2

w

bx

a ,

4wy

a

na wsprzdne wierzchoka paraboli otrzymujemy:

42 2

b

i 0

4 2

, wic 16b i 0 .

Std 2

16 4 2 0c , czyli 32c .

Rozwizanie (II sposb) Wzr funkcji f doprowadzamy do postaci kanonicznej

22 2 2

2 22 2 2 22 4 16 8 4 8

b b b b b bf x x x c x x c x c

.

Wierzchoek wykresu funkcji f ma zatem wsprzdne 2

,4 8

b bc

. Otrzymujemy ukad

rwna

44

b i

2

08

bc .

Std 16b i 2 216

328 8

bc .

Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 1 pkt gdy :

obliczy wspczynnik b: 16b i na tym zakoczy lub dalej popenia bdy albo

zapisze ukad dwch rwna z niewiadomymi b i c, np.: 44

b i

2

08

bc ,

i nie rozwie go lub rozwie go z bdem. Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 2 pkt

gdy obliczy wspczynniki b i c: 16b , 32c .

Rozwizanie (III sposb)

Poniewa 4wx oraz 0wy , wic parabola ma z osi Ox dokadnie jeden punkt wsplny,

zatem wzr funkcji mona zapisa w postaci kanonicznej 2

2 4 f x x .

Std 22 16 32 f x x x , zatem 16b i 32c .



Schemat oceniania III sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 1 pkt

gdy zapisze, e 2

2 4f x x .

Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 2 pkt

gdy obliczy wspczynniki b i c: 16b , 32c .

Zadanie 27. (02)

Rozwi rwnanie 3 29 18 4 8 0x x x .

Wykorzystanie i tworzenie

informacji Rozwizywanie rwna wielomianowych metod rozkadu na czynniki (I.3.d)

Rozwizanie (I sposb metoda grupowania) Przedstawiamy lew stron rwnania w postaci iloczynu, stosujc metod grupowania

wyrazw 29 2 4 2 0x x x lub 2 29 4 2 9 4 0x x x , std

22 9 4 0x x .

Zatem 2x lub 2

3x lub

2

3x .

Schemat oceniania I sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt

gdy zapisze lew stron rwnania w postaci iloczynu, np.: 22 9 4x x , i na tym

poprzestanie lub dalej popeni bd.

Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt

gdy wyznaczy bezbdnie wszystkie rozwizania rwnania: 2x lub 2

3x lub

2

3x .

Rozwizanie (II sposb metoda dzielenia)

Stwierdzamy, e liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu 3 29 18 4 8x x x . Dzielimy

ten wielomian przez dwumian 2x i otrzymujemy iloraz 2(9 4)x . Obliczamy

pierwiastki trjmianu 2(9 4)x : 12

3x oraz 2

2

3x . Zatem 2x lub

2

3x lub

2

3x .

albo

Stwierdzamy, e liczba 2

3 jest pierwiastkiem wielomianu 3 29 18 4 8x x x . Dzielimy

ten wielomian przez dwumian 2

3x

i otrzymujemy iloraz 2(9 12 12)x x . Obliczamy

wyrnik trjmianu 2(9 12 12)x x : 212 4 9 12 576 . Std pierwiastkami



trjmianu s liczby 112 24

218

x

oraz 212 24 2

18 3x

. Zatem 2x lub

2

3x

lub 2

3x .

albo

Stwierdzamy, e liczba 2

3 jest pierwiastkiem wielomianu 3 29 18 4 8x x x . Dzielimy

ten wielomian przez dwumian 2

3x

i otrzymujemy iloraz 2(9 24 12)x x . Obliczamy

wyrnik trjmianu: 224 4 9 12 144 . Std pierwiastkami trjmianu s liczby

1

24 122

18x

oraz 2

24 12 2

18 3x

. Zatem 2x lub

2

3x lub

2

3x .

Schemat oceniania II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy:

podzieli wielomian 3 29 18 4 8x x x przez dwumian 2x , otrzyma iloraz 2(9 4)x i na tym poprzestanie lub dalej popeni bd

albo

podzieli wielomian 3 29 18 4 8x x x przez dwumian 2

3x

, otrzyma iloraz

2(9 24 12)x x i na tym poprzestanie lub dalej popeni bd

albo

podzieli wielomian 3 29 18 4 8x x x przez dwumian 2

3x

, otrzyma iloraz

2(9 12 12)x x i na tym poprzestanie lub dalej popeni bd

albo

podzieli wielomian 3 28 12 2 3x x x przez trjmian kwadratowy, np. 2(9 4)x ,

i na tym poprzestanie lub dalej popeni bd. Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt

gdy wyznaczy bezbdnie wszystkie rozwizania rwnania: 2 2

2, ,3 3

.

Uwaga Jeeli w zapisie rozwizania wystpuje jedna usterka, to za takie rozwizanie zdajcy moe otrzyma co najwyej 1 punkt.



Zadanie 28. (02) Udowodnij, e kada liczba cakowita k, ktra przy dzieleniu przez 7 daje reszt 2, ma t

wasno, e reszta z dzielenia liczby 23k przez 7 jest rwna 5.

Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem wzorw skrconego mnoenia (V.2.a)

I sposb rozwizania

Poniewa liczba cakowita k przy dzieleniu przez 7 daje reszt 2, wic 27 mk , gdzie m jest liczb cakowit. Wtedy

22 2 2 23 3 7 2 3 49 28 4 3 49 3 28 12 7 3 7 3 4 1 5 k m m m m m m m . Dwa pierwsze skadniki tej sumy s podzielne przez 7, natomiast 12 7 5 . To oznacza, e

reszta z dzielenia liczby 23k przez 7 jest rwna 5. To koczy dowd.

Schemat oceniania


gdy zapisze wyraenie w postaci: 2273 m i na tym poprzestanie lub dalej popenia bdy, ktre nie przekrelaj poprawnoci rozumowania.


gdy uzasadni tez, np. zapisze wyraenie w postaci 5143737 2 mm .

II sposb rozwizania

Poniewa liczba cakowita k przy dzieleniu przez 7 daje reszt 2, wic 2 mod7k .

Std wynika, e 2 4 mod7k . Ponadto 3 3 mod7 , wic z wasnoci kongruencji

23 3 4 mod7 12 mod7 5 k . To koczy dowd.

Schemat oceniania


gdy zapisze e 2 4 mod7k . Uwaga Zdajcy nie musi uywa formalnego zapisu relacji kongruencji. Wystarczy wniosek: jeli liczba k przy dzieleniu przez 7 daje reszt 2, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 7 daje reszt 4. Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt

gdy zapisze 23 3 4 mod7 12 mod7 5 k .



Zadanie 29. (02) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, ktry powsta w wyniku przesunicia

wykresu funkcji okrelonej wzorem 1

yx

dla kadej liczby rzeczywistej 0x .

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0 x

y

a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbir tych wszystkich argumentw, dla ktrych wartoci funkcji f s wiksze od 0.

b) Podaj miejsce zerowe funkcji g okrelonej wzorem ( ) 3 g x f x .

Wykorzystanie

i interpretowanie

reprezentacji

Odczytywanie z wykresu funkcji jej wasnoci; szkicowanie

na podstawie wykresu funkcji ( )y f x wykresw funkcji

( )y f x a , ( )y f x a , ( )y f x a , ( )y f x a (IV.4.b,d)

Rozwizanie

a) Zapisujemy zbir wszystkich argumentw, dla ktrych ( ) 0f x : 2, 3 . b) Z rysunku wynika, e miejscem zerowym funkcji f jest liczba 3. Zatem miejscem

zerowym funkcji g jest liczba 3 3 6 , poniewa wykres funkcji g otrzymujemy przesuwajc

wykres funkcji f o 3 jednostki w prawo.

Schemat oceniania

Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 1 pkt gdy:

zapisze zbir wszystkich argumentw, dla ktrych ( ) 0f x : 2, 3 lub 2 3x i na tym poprzestanie lub bdnie zapisze miejsce zerowe funkcji g

albo

poprawnie zapisze miejsce zerowe funkcji g: 6x i na tym poprzestanie lub bdnie

zapisze zbir argumentw, dla ktrych ( ) 0f x .

Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 2 pkt

gdy zapisze zbir wszystkich argumentw, dla ktrych ( ) 0f x : 2, 3 i zapisze miejsce zerowe funkcji g: 6x .



Kryteria oceniania uwzgldniajce specyficzne trudnoci w uczeniu si matematyki

W rozwizaniu podpunktu a) akceptujemy zapisy: 3, 2 , 3, 2x .

Zadanie 30. (02) Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.

Oblicz prawdopodobiestwo zdarzenia A, polegajcego na wylosowaniu liczb, z ktrych

pierwsza jest wiksza od drugiej o 4 lub 6.

Modelowanie matematyczne Zliczanie obiektw w prostych sytuacjach kombinatorycznych; stosowanie twierdzenia znanego jako

klasyczna definicja prawdopodobiestwa do obliczania prawdopodobiestw zdarze (III.10.b,d)

Rozwizanie I sposb metoda klasyczna

Zdarzeniami elementarnymi s wszystkie pary ,a b liczb z podanego zbioru. Jest to model

klasyczny. Obliczamy liczb wszystkich zdarze elementarnych: 8 8 64 . Wypisujemy

zdarzenia elementarne sprzyjajce zajciu zdarzenia A , polegajcego na wylosowaniu dwch liczb, z ktrych pierwsza jest wiksza od drugiej o 4 lub 6 i zliczamy je:

5, 1 , 6, 2 , 7, 1 , 7, 3 , 8, 2 , 8, 4A Zatem 6A .

Zapisujemy prawdopodobiestwo zajcia zdarzenia A: 6 3

( )64 32

P A .

Rozwizanie II sposb metoda tabeli

Zdarzeniami elementarnymi s wszystkie pary ,a b liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. Budujemy tabel ilustrujc sytuacj opisan w zadaniu.

2.

1. 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5 X

6 X

7 X X

8 X X



Obliczamy liczb wszystkich zdarze elementarnych: 8 8 64 . Zliczamy, oznaczone

krzyykami, zdarzenia elementarne sprzyjajce zajciu zdarzenia A , polegajcego na

wylosowaniu dwch liczb, z ktrych pierwsza jest wiksza od drugiej o 4 lub 6: 6A .

Obliczamy prawdopodobiestwo zajcia zdarzenia A: 6 3

( )64 32

P A .

Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje .......................................................................................................... 1 pkt gdy

obliczy liczb wszystkich zdarze elementarnych: 8 8 64

albo

obliczy liczb wszystkich zdarze elementarnych sprzyjajcych zdarzeniu A , polegajcemu na wylosowaniu dwch liczb, z ktrych pierwsza jest wiksza od

drugiej o 4 lub 6: 6A i na tym zakoczy lub dalej popeni bdy.

Zdajcy otrzymuje .......................................................................................................... 2 pkt

gdy zapisze, e prawdopodobiestwo zajcia zdarzenia A jest rwne 3

( )32

P A .

III sposb rozwizania metoda drzewka Rysujemy drzewo, z uwzgldnieniem wszystkich gazi, ktre prowadz do sytuacji sprzyjajcej zdarzeniu A.

Obliczamy prawdopodobiestwo zajcia zdarzenia A:

1 1 1 1 1 2 1 2 6 3( )

8 8 8 8 8 8 8 8 64 32 P A .

Schemat oceniania III sposobu rozwizania Zdajcy otrzymuje .......................................................................................................... 1 pkt gdy narysuje drzewko uwzgldniajce wszystkie gazie, prowadzce do sytuacji sprzyjajcych zdarzeniu A i przynajmniej przy jednej gazi zapisze poprawne prawdopodobiestwo.

Zdajcy otrzymuje .......................................................................................................... 2 pkt

gdy zapisze, e prawdopodobiestwo zajcia zdarzenia A jest rwne 6 3

( )64 32

P A .

1

8

1

8

213

1, 2, 3, 4 5 6 7

nie 2

1

8

4

8

8

1 nie 3 i nie 1

7

8

213

1

8 1

8 2

8

nie 1

7

8

213

6

8

213

2

8 6

8

213

2 3 lub 1

2 lub 4

nie 2 i nie 4

1

8



Uwagi 1. Akceptujemy przyblienia dziesitne otrzymanego wyniku, o ile s wykonane

poprawnie oraz wynik zapisany w postaci 9,375%.

2. Jeeli otrzymany wynik kocowy jest liczb wiksz od 1, to zdajcy otrzymuje 0 punktw za cae rozwizanie.

3. Jeeli zdajcy stosuje rne modele probabilistyczne do obliczenia i A , to

otrzymuje 0 punktw.

4. Akceptujemy sytuacj, gdy zdajcy zapisuje liczby z losowania w odwrotnej kolejnoci konsekwentnie w caym swoim rozwizaniu. Wtedy za cae rozwizanie moe otrzyma 2 punkty.

5. Jeeli zdajcy zapisze tylko odpowied 6

( )64

P A , to otrzymuje 2 punkty, jeli

natomiast zapisze tylko odpowied 3

( )32

P A , to otrzymuje 1 punkt.



Zadanie 31. (02) rodek S okrgu opisanego na trjkcie rwnoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, ley wewntrz tego trjkta (zobacz rysunek).

Wyka, e miara kta wypukego ASB jest cztery razy wiksza od miary kta wypukego SBC.

Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego, z wykorzystaniem zwizkw miarowych w figurach paskich (V.7.c)

Rozwizanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku i poprowadmy promie SC okrgu.

Z zaoenia wynika, e kt wpisany ACB oraz kt rodkowy ASB le po tej samej stronie ciciwy AB. Z twierdzenia o kcie rodkowym i wpisanym opartych na tym samym uku wynika, e

1

2ACB . Trjkt ABC jest rwnoramienny (ramionami s AC i BC), wic prosta CS

zawiera dwusieczn kta ACB, zatem 1 1 1 1

2 2 2 4SCB ACB

. Odcinki SC i SB

to promienie okrgu, wic trjkt BCS jest rwnoramienny. Std wynika, e

1

4SBC SCB , co koczy dowd.

S

A

C

B

S

A

C

B



Schemat oceniania

Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 1 pkt gdy

wykorzysta twierdzenie o kcie rodkowym i wpisanym oraz wykorzysta rwno ktw SBC i SCB lub rwno ktw SCA i SAC i nie uzasadni tezy

albo

wykorzysta twierdzenie o kcie rodkowym i wpisanym oraz uzasadni rwno ktw SBC i SAC, korzystajc z rwnoramiennoci trjktw ABC i ABS, i nie uzasadni tezy.

Zdajcy otrzymuje ............................................................................................................. 2 pkt gdy uzasadni, e kt ASB jest cztery razy wikszy od kta SBC.

Uwaga

Jeeli zdajcy w przedstawionym rozumowaniu rozway wycznie szczeglny przypadek, np. trjkt rwnoboczny, to otrzymuje 0 punktw.

Zadanie 32. (04) Pole powierzchni cakowitej prostopadocianu jest rwne 198. Stosunki dugoci krawdzi

prostopadocianu wychodzcych z tego samego wierzchoka prostopadocianu to 1 : 2 : 3 .

Oblicz dugo przektnej tego prostopadocianu.

Uycie i tworzenie strategii Wyznaczanie zwizkw miarowych w wielocianach (IV.9.b)

Rozwizanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Pole cP powierzchni cakowitej prostopadocianu jest rwne 2 2 2cP xy xz yz . Moemy

przyj, e 3:2:1:: zyx . Wtedy 2y x oraz 3z x . Zatem

2 2 2 22 2 2 3 2 2 3 4 6 12 22cP x x x x x x x x x x x .

Poniewa 198cP , wic otrzymujemy rwnanie 222 198x .

Std 92 x , wic 3x . Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trjktw ABD i BDH otrzymujemy

2 2 2p x y oraz 2 2 2d p z .



Std 2 2 2 2d x y z .

Zatem

2 22 2 2 2 22 3 14 14 3 14d x y z x x x x x .

Schemat oceniania

Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania ......................................................................................................................... 1 pkt Zdajcy

zapisze dugoci krawdzi prostopadocianu wychodzcych z jednego wierzchoka

w zalenoci od jednej zmiennej, np.: x, 2x , 3x albo

zapisze dugo przektnej prostopadocianu w zalenoci od dugoci jego krawdzi: 2 2 2d x y z .

Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ...................................................................... 2 pkt Zdajcy

zapisze pole powierzchni cakowitej prostopadocianu jako funkcj jednej zmiennej,

np.: 2 2 2 3 2 2 3cP x x x x x x x albo

zapisze dugo przektnej prostopadocianu jako funkcj jednej zmiennej, np.:

2 22 2 3d x x x .

Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania ..................................................................... 3 pkt

Zdajcy obliczy dugo jednej z krawdzi prostopadocianu, np.: 3x .

Rozwizanie pene .............................................................................................................. 4 pkt

Zdajcy obliczy dugo przektnej prostopadocianu: 3 14d .

Uwagi

1. Jeeli zdajcy odgadnie dugo jednej z krawdzi prostopadocianu i obliczy dugo przektnej tego prostopadocianu, to otrzymuje maksymalnie 2 punkty.

2. Jeeli zdajcy bdnie uzaleni dugoci krawdzi od jednej zmiennej, przyjmujc: x, 1

2x ,

1

3x , i konsekwentnie oblicza dugo przektnej tego prostopadocianu, to otrzymuje

maksymalnie 3 punkty. Inne, niepoprawne interpretacje stosunkw dugoci krawdzi, stanowi podstaw do przyznania za rozwizanie 0 punktw.



Zadanie 33. (05) Turysta zwiedza zamek stojcy na wzgrzu. Droga czca parking z zamkiem ma dugo 2,1 km. czny czas wdrwki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie liczc czasu powiconego na zwiedzanie, by rwny 1 godzin i 4 minuty. Oblicz, z jak redni prdkoci turysta wchodzi na wzgrze, jeeli prdko ta bya o 1 km/h mniejsza od redniej prdkoci, z jak schodzi ze wzgrza.

Modelowanie matematyczne Rozwizywanie zada umieszczonych w kontekcie praktycznym prowadzcych do rwna kwadratowych (III.3.b)

Rozwizanie (I sposb) Niech v oznacza redni prdko, wyraon w km/h, z jak turysta schodzi ze wzgrza, a t czas wyraony w godzinach, w jakim zszed ze wzgrza. Wwczas zaleno midzy t prdkoci, czasem i przebyt drog moemy zapisa w postaci

2,1v t .

rednia prdko, z jak turysta wchodzi na wzgrze, jest zatem rwna 1v , natomiast czas,

w jakim wszed, jest rwny 4 1

1 160 15

t t . Moemy wic zapisa drugie rwnanie

16

1 2,115

v t

.

Std otrzymujemy

16 16 21

15 15 10v v t t .

Po podstawieniu 21

10v t otrzymujemy

16 21 16 21

15 10 15 10v t ,

79 16

15 15t v .

Podstawiajc 79 16

15 15t v w rwnaniu

21

10 v t , otrzymujemy rwnanie kwadratowe

z niewiadom v

79 16 21

15 15 10

v v ,

216 79 21 015 15 10

v v ,

232 158 63 0v v ,

2

158 4 32 63 16900 , 16900 130

1

158 130 28 7

2 32 2 32 16v

, 2

158 130 288 9

2 32 2 32 2v

.

Pierwsze z rozwiza rwnania nie spenia warunkw zadania, gdy wtedy prdko, z jak turysta wchodziby na wzgrze, byaby ujemna, a to niemoliwe. Drugie rozwizanie spenia

warunki zadania, gdy wtedy 1 4,5 1 3,5v .

Odpowied: rednia prdko, z jaka turysta wchodzi na wzgrze jest rwna 3,5 km/h.



Rozwizanie (II sposb) Niech v oznacza redni prdko, wyraon w km/h, z jak turysta schodzi ze wzgrza.

Wwczas czas, w jakim zszed ze wzgrza, wyraony w godzinach jest rwny 2,1

v. Poniewa

czny czas wejcia i zejcia by rwny 1 godzin i 4 minuty, czyli 4 1 16

1 160 15 15

godziny,

wic czas, w jakim wchodzi, by rwny 16 2,1

15 v godziny. Std z kolei wynika, e rednia

prdko, z jak wchodzi, bya rwna 2,1

16 2,1

15 v

km/h. Otrzymujemy w ten sposb rwnanie

z niewiadom v

2,11

16 2,1

15

v

v

,

21 301

10 32 63

vv

v

,

631

32 63

vv

v

,

63 1 32 63v v v , 263 32 95 63v v v ,

232 158 63 0v v ,

2

158 4 32 63 16900 , 16900 130

1

158 130 28 7

2 32 2 32 16v

,

2

158 130 288 9

2 32 2 32 2v

.

Pierwsze z rozwiza rwnania nie spenia warunkw zadania, gdy wtedy prdko, z jak turysta wchodziby na wzgrze, byaby ujemna. Drugie rozwizanie spenia warunki zadania,

gdy wtedy 1 4,5 1 3,5v .

Odpowied: rednia prdko, z jak turysta wchodzi na wzgrze jest rwna 3,5 km/h.

Schemat oceniania I i II sposobu rozwizania

Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania ......................................................................................................................... 1 pkt Zdajcy

oznaczy prdko redni, wyraon w km/h, z jak turysta schodzi ze wzgrza oraz czas wyraony w godzinach, w jakim schodzi ze wzgrza, i zapisze zaleno midzy redni prdkoci i czasem, w jakim turysta wchodzi na wzgrze, np.: v rednia prdko (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza t czas (w h), w jakim turysta schodzi ze wzgrza

16

1 2,115

v t

albo



oznaczy prdko redni, wyraon w km/h, z jak turysta wchodzi na wzgrze oraz czas wyraony w godzinach, w jakim wchodzi na wzgrze, i zapisze zaleno midzy redni prdkoci i czasem, w jakim turysta schodzi ze wzgrza, np.: v rednia prdko (w km/h), z jak turysta wchodzi na wzgrze t czas (w h), w jakim turysta wchodzi na wzgrze

16

1 2,115

v t

Uwaga

Zdajcy nie otrzymuje punktu, jeli zapisze jedynie 2,1v t .

Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ...................................................................... 2 pkt

Zdajcy

zapisze ukad rwna z dwiema niewiadomymi v, t odpowiednio prdko i czas schodzenia turysty ze wzgrza, np.;

16

1 2,115

2,1

v t

v t

albo

zapisze ukad rwna z dwiema niewiadomymi v, t odpowiednio prdko i czas wchodzenia turysty na wzgrze, np.;

16

1 2,115

2,1

v t

v t

albo

oznaczy prdko redni (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza, i uzaleni od tej wielkoci prdko redni (w km/h), z jak turysta wchodzi na wzgrze, oraz czas, w jakim turysta wchodzi na wzgrze, np.: v rednia prdko (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza

1v to rednia prdko (w km/h), z jak turysta wchodzi na wzgrze

2,1

1v to czas (w h), w jakim turysta wchodzi na wzgrze

albo

oznaczy prdko redni (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza, i uzaleni od tej wielkoci czas (w h), w jakim turysta schodzi ze wzgrza, oraz czas, w jakim turysta wchodzi na wzgrze, np.: v rednia prdko (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza

2,1

v to czas (w h), w jakim turysta schodzi ze wzgrza

16 2,1

15 v to czas (w h), w jakim turysta wchodzi na wzgrze

albo

oznaczy prdko redni (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza, i uzaleni od tej wielkoci prdko redni (w km/h), z jak turysta wchodzi na wzgrze, oraz czas, w jakim turysta schodzi ze wzgrza, np.: v rednia prdko (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza

1v to rednia prdko (w km/h), z jak turysta wchodzi na wzgrze



2,1

v to czas (w h), w jakim turysta schodzi ze wzgrza.

Uwaga

Jeli zdajcy wprowadza tylko jedn niewiadom na oznaczenie jednej z czterech wielkoci: czas wchodzenia, czas schodzenia, prdko wchodzenia, prdko schodzenia, to 2 punkty otrzymuje wtedy, gdy uzaleni od wprowadzonej zmiennej dwie z pozostaych trzech wielkoci.

Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania .................................................................... 3 pkt

Zdajcy

zapisze rwnanie z jedn niewiadom, gdy v, t odpowiednio prdko i czas schodzenia turysty ze wzgrza, np.;

79 162,1

15 15v v

albo

zapisze rwnanie z jedn niewiadom, gdy v, t odpowiednio prdko i czas wchodzenia turysty na wzgrze, np.;

16 472,1

15 15v v

albo

oznaczy prdko redni (w km/h), z jak turysta schodzi ze wzgrza, i uzaleni od tej wielkoci prdko redni (w km/h), z jak turysta wchodzi na wzgrze, oraz czas, w jakim turysta wchodzi na wzgrze i zapisze rwnanie z jedn niewiadom, np.:

2,1 2,1 16

1 15v v

Uwaga

Zdajcy nie musi zapisywa ukadu rwna, moe bezporednio zapisa rwnanie z jedn niewiadom.

Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, ktre jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. bdy rachunkowe) ....................................................... 4 pkt Zdajcy

rozwie rwnanie z niewiadom inn ni rednia prdko schodzenia bezbdnie i nie obliczy redniej prdkoci schodzenia

albo

rozwie rwnanie z niewiadom v (rednia prdko schodzenia) z bdem rachunkowym.

Rozwizanie pene ............................................................................................................ 5 pkt Zdajcy obliczy redni prdko wchodzenia turysty na wzgrze: 3,5 km/h

Uwagi

1. Zdajcy moe pomin jednostki, o ile ustali je w toku rozwizania i stosuje je konsekwentnie.



2. Jeeli zdajcy oznaczy przez v prdko, z jak turysta wchodzi na wzgrze i zapisze, e v 1 oznacza prdko, z jak turysta schodzi ze wzgrza i konsekwentnie do przyjtych oznacze rozwie zadanie, to moe otrzyma co najwyej 3 punkty.

Kryteria oceniania uwzgldniajce specyficzne trudnoci w uczeniu si matematyki

Przykad 1. Jeli zdajcy przedstawi nastpujce rozwizanie:

v - prdko, z jak turysta schodzi ze wzgrza, t - czas, w ktrym turysta schodzi ze wzgrza i zapisze:

2,11

16

15

v

t

2,1

161 2,115

v t

v t

i na tym zakoczy, to takie rozwizanie kwalifikujemy do kategorii Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp i przyznajemy 2 punkty, mimo e w drugim rwnaniu ukadu zdajcy nie

uj wyraenia 16

15t w nawias. Zapis rwnania

2,11

16

15

v

t

wskazuje na poprawn

interpretacj zalenoci midzy wielkociami.

Przykad 2. Jeli zdajcy przedstawi nastpujce rozwizanie:

v - prdko, z jak turysta schodzi ze wzgrza, t - czas, w ktrym turysta schodzi ze wzgrza i zapisze:

2,11

16

15

v

t

2,1

2,11

16

15

vt

v

t

2,1 2,1

115

16

tt

, 2,1 2,1

1t t

i na tym zakoczy, to takie rozwizanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych

trudnoci zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo e w rwnaniu 2,1 2,1

115

16

tt

zdajcy

przestawi liczby w liczniku i mianowniku uamka 16

15 lub nawet pomin ten uamek.

Przykad 3.

Jeli zdajcy otrzyma inne rwnanie kwadratowe, np. 232 158 63 0v v zamiast

rwnania 232 158 63 0v v (np. w wyniku zego przepisania znaku), konsekwentnie

jednak rozwie otrzymane rwnanie kwadratowe, odrzuci rozwizanie niespeniajce



warunkw zadania i pozostawi wynik, ktry moe by realn prdkoci poruszania si

turysty, to takie rozwizanie kwalifikujemy do kategorii Rozwizanie pene i przyznajemy

5 punktw.

Zadanie 34. (04) Kt CAB trjkta prostoktnego ACB ma miar 30 . Pole kwadratu DEFG wpisanego w ten trjkt (zobacz rysunek) jest rwne 4. Oblicz pole trjkta ACB.

Uycie i tworzenie strategii Wykorzystanie wasnoci figur podobnych w zadaniach (IV.7.b)

I sposb rozwizania

Niech a oznacza dugo boku kwadratu DEFG. Zatem 2a . Trjkt ADE to poowa trjkta rwnobocznego o boku AD i wysokoci AE, wic

42 aAD oraz 3 4 3

2 32 2

ADAE .

Trjkt GBF to poowa trjkta rwnobocznego o boku BG i wysokoci FG, wic

2BG BF oraz 3

2

BGFG .

Zatem 3

22

BG , wic

4

3BG oraz

1 1 4 2

2 2 3 3BF BG .

Trjkt ACB jest poow trjkta rwnobocznego o boku AB. Obliczamy

2 2 82 3 2 2 3 2 3 3 2

3 33AB AE EF BF .

Pole trjkta ACB jest wic rwne

2 231 3 8 3 64 32 19

3 2 3 4 3 42 4 8 3 8 3 3 6

ACB

ABP .

Uwaga

Podany sposb rozwizania polega na rozwizaniu trjktw prostoktnych ADE i BGF. Tak samo moemy postpi rozwizujc inn par trjktw prostoktnych: ADE i DCG lub DCG i BGF.

Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania ......................................................................................................................... 1 pkt Zdajcy obliczy dugo boku kwadratu: 2.

B

C A D

E

F

G

30



Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ...................................................................... 2 pkt

Zdajcy skorzysta z wasnoci trjkta 90,60,30 albo z funkcji trygonometrycznych

i poprawnie obliczy dugo jednego z odcinkw: 4AD , 2 3AE , 4

3BG ,

2

3BF , 3CD , 1CG .

Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania ..................................................................... 3 pkt Zdajcy poprawnie obliczy dugo jednego z bokw trjkta ACB:

83 2

3AB lub

41

3 BC lub 3 4 AC .


Zdajcy obliczy pole trjkta ACB: 19

3 46

ACBP .

Uwaga

Jeeli zdajcy zapisze wynik w innej, rwnowanej postaci, to otrzymuje 4 punkty, np.: 2

3 83 2

8 3

ACBP ,

1 4 34 3 1

2 3

ACBP .

II sposb rozwizania

Niech a oznacza dugo boku kwadratu DEFG. Zatem 2a .

Trjkt ADE to poowa trjkta rwnobocznego o boku AD, wic 42 aAD . Zatem

pole tego trjkta jest rwne 2 231 4 3

2 32 4 8

ADE

ADP .

Trjkt GBF to take poowa trjkta rwnobocznego o boku BG, wic 2BG BF

Zatem 3

22

BG , wic

4

3BG . Pole trjkta GBF jest wic rwne

2

2

43

31 233

2 4 8 3GBF

BGP

.

Trjkt DGC rwnie jest poow trjkta rwnobocznego o boku DG. Poniewa

2DG a , wic pole tego trjkta jest rwne

2 231 2 3 3

2 4 8 2 DCG

DGP .

Obliczamy pole trjkta ACB

2 3 192 3 3 4 3 4

3 2 6 ACB ADE GBF DCG DEFGP P P P P .

Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania ......................................................................................................................... 1 pkt Zdajcy obliczy dugo boku kwadratu: 2.



Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ...................................................................... 2 pkt Zdajcy obliczy pole jednego z trjktw ADE, GBF, DCG:

2 3ADEP , 2

33

GBFP , 3

2DCGP .

Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania ..................................................................... 3 pkt Zdajcy obliczy pole kadego z trjktw ADE, GBF, DCG:

2 3ADEP , 2

33

GBFP , 3

2DCGP .



3 46

ACBP .

III sposb rozwizania

Niech a oznacza dugo boku kwadratu DEFG. Zatem 2a . Zauwamy, e trjkt ACB jest podobny do trjkta DCG

Trjkt DCG to poowa trjkta rwnobocznego o boku DG dugoci 2, wic jego pole jest rwne

2 231 2 3 3

2 4 8 2 DCG

DGP .

Wysoko CM tego trjkta obliczymy wykorzystujc wzr na jego pole

1 12

2 2 DCGP DG CM CM CM ,

wic 3

2CM . Zatem wysoko CN trjkta ACB opuszczona na AB jest rwna

32

2CN CM MN .

Skala podobiestwa trjkta ACB do trjkta DCG jest wic rwna

32

42 13 3

2

CN

CM

.

Poniewa stosunek pl figur podobnych rwny jest kwadratowi skali ich podobiestwa, wic 2

4 8 16 19 81 1

3 33 3 3

ACB

DCG

P

P.

B

C A D

E

F

G

30

M

N



Std i z obliczonego wczeniej pola trjkta DCG otrzymujemy

19 8 19 8 3 193 4

3 3 2 63 3

ACB DCGP P .

Schemat oceniania III sposobu rozwizania Rozwizanie, w ktrym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do penego rozwizania ......................................................................................................................... 1 pkt Zdajcy obliczy dugo boku kwadratu: 2.

Rozwizanie, w ktrym jest istotny postp ...................................................................... 2 pkt Zdajcy obliczy pole jednego z trjktw ADE, GFB, DCG:

2 3ADEP , 2

33

GBFP , 3

2DCGP .

Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania ..................................................................... 3 pkt Zdajcy obliczy skal podobiestwa trjkta ACB do jednego z trjktw ADE, GFB, DCG i wykorzysta twierdzenie o stosunku pl figur podobnych, np.:

41

3

CN

CM ,

2

41

3

ACB

DCG

P

P.



3 46

ABCP .

2014 Maj Pp Klucz

Documents