22.05.13. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 1 Elektromagnetische Wellen Dr. László Kocsányi
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 1
Elektromagnetische Wellen
Dr. László Kocsányi
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 2
Maxwell I: Die zeitliche Änderung eines elektrischen Feldeserzeugt rundum der elektrischen Feldlinien einen Magnetfelddessen Linien sich schließen.
dE(t)/dt
B(t)
Maxwell II: Die zeitliche Änderung eines magnetischen Feldeserzeugt rundum der magnetischen Feldlinien einen elektrischenFeld, dessen Linien sich schließen.
dB(t)/dtE(t)
1. Einleitung
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 3
2. Telegraphengleichung
trot
D
jHt
rot
B
E
0div B Ddiv
EED r0 HHB μμμ r0 Ej
t
rotrotrotB
E
(MI.) (MII.)
(MIII.) (MIV.)
Bilden wir die Rotation von MII.:
EEE divgradrotrot
Von der Vektorlehre ist bekannt :
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 4
2z
2
2z
2
2z
2
2
y2
2
y2
2
y2
2x
2
2x
2
2x
2
z
E
y
E
x
E
z
E
y
E
x
E
z
E
y
E
x
E
k
j
i
E
Wobei der Laplacesche Operator für Vektoren ist:
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 5
t
BEE rotdivgrad
t
BE rot
Das Feld ist ladungsfrei, also div E ist 0:
HE rott
tt
DjE
trot
D
jHAber von MI.:
tt
EEE
0tt 2
2
EE
E (T.I)
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 6
Wenn man von MI. ausgeht:
t
rotrotrotD
jHH
trot
D
jH
und analoge Schritte durchführt, wie zuerst Rotationbildung- jedochausgenutzt, dass H quellen-(divergenz-)frei ist :
EEB rott
rot
Multipliziert nan mit μ und wendet das ohmsches Gesetz: Ej
und den Zusammenhang: EED r0 an, erhält man:
0tt 2
2
BB
B
trot
B
ENützt man MII. aus:
(T.II)
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 7
2.1. EM-Wellenausbreitung im Vakuum
0σ 1με rr
2
2
00 tεμΔ
E
E
2
2
00 tεμΔ
B
B
00
1c
Maxwellsche Relation:
228167
9
00
2 c)103(10910
109
με
1u
00 με
1u
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 8
EM-Lichttheorie
„Diese Geschwindigkeit stimmt so gut mit derLichtgeschwindigkeit überein, daß wir anscheinendallen Grund zur Annahme haben, das Licht sei eineelektromagnetische Störung, die sich in Form von Wellen durch das elektromagnetische Feld, den Gesetzen des Elektromagnetismus entsprechend, sich fortpflanzt.”
(Maxwell: A Dynamical Theory of the electro- magnetic Field. - Phil. Trans. 155 (1859), p.459.
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 9
2.2 Wellenausbreitung im Dielektrikum
2
2
t
E
E
2
2
t
B
B
με
1
εμεμ
1v
Δ
rr00
v
cn
Δ
Brechzahl: rr00
00
1n
(falls die Fortpflanzung der Welle im nichtmagnetischen Substanz ablauft)
r2 εn
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 10
0tj0e)t,( krErEDie Lösung:
ssssk
v
v λ
π2nnkn
c
ω
v
ω
0φtωj0e)t,( krBrB
Beim Übergang durch eine Dielektrikumoberfläche bleibt die Kreisfrequenz (die Frequenz) der Welle konstant jedoch ändert sich
die Wellenlänge.
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 11
1 0 2 2
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
2 1
2 0
1 9
1 8
1 7
1 6
1 5
1 4
1 3
1 2
1 1
1 0
9
8
7
6
5
4
3
10
10
10
10
10
10
10
1
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
7
6
5
4
3
2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-3
-9
-10
-11
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-5
-4
-3
-2
-1
-3
-7
-6 1
1
10
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1M Hz
1kHz
M ikro hullá m
Rá d ió
Rá d ió hu llá m o k
Infra vö rö s(IR)
Lá tha tó
Ultra ib o lya (UV)
Rö ntg e n sug á r (X)
su g á r
Fre kve nc ia [s ]-1
Ta rto m á ny m e g n e ve zé se
Rö ntg e ne g ysé g
Ang strö m , Ao o
N a no m é te r, nm
M ikro m é te r, m
C e n tim é te r, c m
M é te r, m
Kilo m é te r, km
Fo to ne ne rg ia [e V]
Hu llá m h o ssz [m ]
TV, Rh
1G Hz
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 12
0tj0e)t,( krErE
2.3. Transversalität
0tj0e)t,( krBrB
k
j
i
E
y
E
x
E
x
E
z
E
z
E
y
E
rot
xy
zx
yz
Bilden wir die Rotation von E:
Ek
k
j
i
E
-j
EkEk
EkEk
EkEk
jrot
xyyx
zxxz
yzzy
trot
B
E (MII.)
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 13
BB
jt
Die zeitliche Ableitung von B ist:
und damit das Induktionsgesetz:
BEk kv
ωsk
EsB kv
1
wobei
Letztendlich erhalten wir für B:
Für die Grössen der Vektoren: EB v
1
Im Vakuum: EB c
1
In einer EM-Welle ist die magnetische Feldstärke wesentlich kleiner als die elektrische (um v). Deswegen in der Optik nennt man die elektrische Feldstärke E: „Lichtvektor“.
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 14
Bk
k
jH
μ
1-j
BkBk
BkBk
BkBk
μ
1jrot
xyyx
zxxz
yzzy i
Änlich wie vorher nehmen wir jetzt dasDurchflutungsgesetz (j=0):
ED
εωjt
Damit das Durchflutungsgesetz:
EBk
j1
j
BsE kv
EsB kv
1EB
v
1
trot
D
jH
sk
E
B
EBs ω1ω
2vv k
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 15
2.4. Polarisation
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 16
Die Beschreibung der Polarisation von wbenen EM-Wellen
Die Funktion einer, in x-z polarisierten Welle, die sich in Richtung z ausbreitet : kztj
x,0x eEE 0Ey 0Ez
Die Funktion einer, in polarisierten Welle, die sich in Richtung z ausbreitet : kztj
x,0x eEE kztj
y,0y eEE
Eine zierkuliert polarisierte Welle, die sich in z ausbreitet : kztj
x,0x eEE
kztjy,0y eEE
y,0x,0 EE
90
Elliptisch polarisiertes Licht in z::: kztj
x,0x eEE kztj
y,0y eEE
y,0x,0 EE
willkürlich äusser: k
2
1k2
Die Hauptachsen der Ellipse sind paallel mit der Koordinatenachsen x und y.
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 17
Dispersion
Die Brechzahl hängt von der Frequenz, bzw. von der Wellwnlänge ab!
nn nn
Diese Erscheinung ist die Dispersion
vagy
ZB.:Prisma ZB.: Regenbogen
Spektrographen
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 18
3. Energietransport in Wellen, die Intensität
22 m
W
sm
JI
3.1. Die Energie, die über eine Flächeneinheit in Zeiteinheit durch eine Welle getragen wird, nennt man Intensität:
In harmonischen Wellen: utwI ,r
In einer V Volume einer harmonischen mechanischen Welle (zB. das Seil) das durchschnittliche Energiegehalt beträgt:
2, 2
1MAXMAXkin vVEE
20
2
2
1 VE uuwI 20
2
2
1
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 19
3.2.Energieausbreitung in isotropen Materialien durch EM-Wellen. Der Poynting-Vektor.
20
202
1HE rrw
EEEH
21
r0
r0r0
v
1
20
20
202
1EEE rrrw
tvtwvtI 2
r0 ,,, rErr
Ev
B1
Die Intensität:
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 20
tvtwvt r ,εε,, 20 rE
k
kr
k
krS
Der Poynting Vektor (1884), zeigt ausser der Grösse der Intensität einer EM-Welle auch die Richtung der Energieausbreitung:
[W/m²].
Die Intensität der Welle ist der Mittelwert des Absolutenwertesdes Poyinting-Vektors über eine Periode:
dttT
ttwvIT
0
,1
,, rSrSr
HES
HES I
In isotropen Materialien fällt die Richtung der Energieausbreitungmit der von der Phasenausbreitung (k) überein:
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 21
Falls die Welle harmonisch ist:
dttT
vIT
rkωcosεε1 22
0
0
0 Er
rk t
2
1
2
2cossin
2
1cos
2
1sin
2
1cos
2
1cos 22222
200 εε
2
1E rvI
T
dttT
v0
2200 ωcos
1εε rkEr
T T
dtT
dttT
TvI
0 0
200 2
11
2
π22cos1εε
rkEr
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 22
1. Für die komplex geschriebenen ebenen Wellen die Intensitätist immer proportional mit dem Produkt der Wellenfunktion und deren komplexen konjugierten:
ttIvv
,, rErE
Bemerkungen
2. In anisotropen Materialien die Richtung des Energietransportesfällt mit der Phasenausbreitung nicht überein
3. In anisotropen Medien entsteth die Erscheinung der Doppelbrechung der Lichtwelle
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 23
3.3. Lichtabsorption
dx
xdI
x
xIxxIlim
0x
xIdx
xdI
x0eI)x(I
d xI(x) I(x+ d x)
d I= - I(x)d x
In einem homogenen Material (zB Glass, Quarzkristall, usw.) lässt sich die Intensität der Welle wie folgt ausdrücken:
- wobei β ist die Extinktionskonstante:
2EI
- die Amplitude ( E0 ) fällt auch exponentiell, jedoch mit :
- az 1/β ist das Absorbtions-(Extinktions-)wegx
2e
)( )( oder
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 24
ANLAGE
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 25
1.1. Ebene elektromagnetische Wellen
Die Folgerung aus den Maxwellschen Gleichungen, daß elektrische und magnetische Felder sich gegenseitig induzieren können, ist
analog der Tatsache, daß eine Kompression in einem Gas einen Druck erzeugt der seinerseits wieder die Umgebung zu deformieren sucht.
•Gibt es analog zu den elastischen Wellen auch EM-Wellen?•Und wenn sie gebe, welche Eigenschaften sie haben müssten?
Wir versuchen die einfachste Wellenform zu konstruieren!
zktωcos 0EE 0φzktωcos 0BB
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 26
1. Elektromagnetische Wellen müssen transversal sein!
Longitudinal würde bedeuten, dass E oder B liegt parallel mit x.
Das würde bedeuten, dass das Feld nicht quellenfrei ist.Für B ist es sowieso unmöglich (M.III.),Für E in einem Ladungsfreien Raum genauso (M.IV.) .
Q U E L L E Q U E L L ES E N K E S E N K E
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 27
2. B steht senkrecht auf EE
AΓ dt
d
μ
1dAEdsB
H
AA dt
d
dt
ddAEdADdsH
3. E und B sind in Phase
E
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 28
z
x y
Ex(z,t)
By(z,t)
Ez=0
Ey=0 Bx=0
Bz=0
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 29
z
x y
E2
E1
E
B1
B2
B
zyt
Eyz
z
B
1
zy
t
E
t
zyE
t
D
zyE D
yzz
By
BByHyHd 21
21
1sH
DsHt
d (M1)
t
E
z
B
2
22
t
E
tz
B
Δy
Δz
zt
E
z
B
2
2
2
t
z
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 30
z
x y
E2
E1
E
B1
B2
B
zxB B
zx
t
B
t
zxB
t
B
BsEt
d (M2)
xzz
ExEExExEd
1212sE
zxt
Bxz
z
E
t
B
z
E
zt
B
z
E
2
2
2
Δx
Δz
2
22
t
B
tz
E
z
t
23.04.11. Dr. Kocsányi: Wellenoptik 31
2
22
t
E
tz
B
zt
B
z
E
2
2
2
2
2
2
2
t
E
z
E
zt
E
z
B
2
2
2
2
22
t
B
tz
E
2
2
2
21
t
B
z
B
2
2
2
2
t
B
z
B