2012-12-25 사조사2급실기-공식

사조사 2 급 주요 공식 및 기출문제

http://blog.naver.com/skkong89

2 장 기술통계량피어슨의 왜도 공식

)(3 MexMoxSk

변이계수 = 표준편차 / 평균

두 자료의 합동분산은 ? ( 산술평균 이용 )

21

222

2112

NNSNSNS

21S : S1 의 분산

N

μ)(xσ

N

1i

2i

2

1-n

)x(xs

n

1i

2i

2

모집단분산 표본분산 ( 불편분산 )

표준편차확률변수평균확률변수값확률변수

xZ

1)(

22

nn

nx

nx

s

),(~

),(~2

2

nNX

NX

1. 적률의 개념적률 ( 모멘트 , moments) 은 어떤 분포의 중심경향성 , 산포정도 , 비대칭성 , 뾰족함 등을 나타내기 위한측정치들의 집합이다 .

K 가 어떤 자연수이고 , X 가 어떤 확률변수라면 , X 의 k 차 적률은 의 기대치로 정의kX

)()( xXPXXE kk

일반적으로 적률은 X 의 분포에만 의존원점 0 에 대한 i 차 적률은 정의되며 , 원점에 대한 1 차 적률인 평균은 E(X) = μ])0[()( ii XEXE

2. 중심적률의 개념과 구분확률변수 X 의 2 차 이상의 적률은 주로 그 평균에 대한 적률들을 사용한다 . K 차 중심적률은 (X – E(X)) 의 k 차 적률이며 , 다음과 같이 표시한다 .

]))([( kk XEXE

2 차 중심적률을 X 의 분산이라고 하고 , Var(X) 로 표시3 차 중심적률은 왜도계수 , 4 차 중심적률은 첨도계수이며 다음과 같이 정의됨중심곱적률은 X1 과 X2 의 공분산 Cov(X1, X2)

3 장 확률과 확률분포기대값 및 분산

)()( xXxPXE2222 )}({)(})(){(}){()( XEXExXPxxxxEXVar

정규분포 확률밀도함수2)(

21

21)(

x

exf

2

11

2 22

N

iii

N

iii xPxxPx

XVaraXEaaaXE

babaXEbaXVar2222

2

이항분포

포아송분포)!(!

!

)()(

1,)(

),(~

rnrn

rn

npqXVarnpXE

pqqprn

rXP

pnBX

rnr

)()(

!)(

)(~

XVarXE

xexXP

PoXx

기하분포

초기하분포

지수분포

2

1

)(

1)(

)(

pqXVar

pXE

pqxXP x

1)(

,)(

)(

NnNnpqXVar

NDpnpXE

nN

xnDN

xD

xXP

체비셰프 정리 또는 부등식 (Chebyshev’s theorem or inequality): 어떤 관찰치집합이라도 그 집합 자료 값들의 평균으로부터 표준편차 k(>0) 배 떨어진 구간에위치할 그 집합의 비율 ( 상대도수 : RF) 은 1-1/K^2 이상이다 . (p70)

2

11)|(|k

ksXXRF

표본크기의 결정 (e: 표본오차 )

2

222)(

eZ

eZn

nZe

유한 모집단 수정계수 = (N – n) / (N – 1)

nσZX /2 점 추정치 ± ( 임계값 )( 표준오차 )

nσZX

nσZX /2/2

모집단 평균의 신뢰구간 공식

표본평균의 표준편차 = 표준오차 (Standard Error)유의수준은 제 1 종 오류를 범할 확률이며 α 로 표시한다 .

모평균 검정 통계량

모비율 검정 통계량

nσ

μ)X(σ

)μX(Z

X

X

pq

npqppZ

1,

(e: 표본오차 = 오차 한계 (margin of error)

2

,

,2YVarXVarYXVarYXCov

YXCovYVarXVarYXVar

에서

N

YXYXEYXCov

N

iYX

YXXY

1,

YEXEXYEn

Y

n

X

n

YXn

n

YYXXsCYXCov

n

ii

n

ii

n

iii

n

iXYXY

111

1,

공분산 특성

상관계수 r, 회귀계수 a피어슨 적률상관계수 r

2222 )()(

))((

)()(

))((),(

)()(),(

yyxx

yyxx

nyy

nxx

nyyxx

yxCovyVarxVar

yxCovryx

2222 )()( yynxxn

yxxynr

222 )())((

)(

))((),(),(

xxyyxx

SS

nxx

nyyxx

yxCovyxCovra

baxy

xx

xy

xyxx

y

x

y

용어 정리• 평균은 도수의 합을 도수의 갯수로 나눈 값이다 .• 편차는 도수에서 평균의 차이다 .• 분산은 편차 곱에 대한 평균이다 .• 표준편차는 분산의 제곱근이다 .• 공분산

– 두 변량이 상관적으로 변화되는 척도– 두 변량이 각각의 평균으로부터 변화하는 방향 및 양에 대한 기대값– x, y 편차 곱에 대한 평균이다 .

• 상관계수 r 은 x, y 의 공분산을 x, y 의 표준편차로 나눈 값이다 .– 상관 계수 (Correlation Coefficient) = 정규화된 공분산– 공분산이 각 변량의 단위에 의존하게되어 변동 크기량이 모호하므로 , 공분산에다가 각 변량의 표준편차를 나누어주어 ` 정규화` 시킴

• Deviation( 편차 ) = Group Mean - Class MedianVariance( 분산 ) = (∑Deviation^2 * Frequency) / nStandard Deviation( 표준 편차 ) = √variance ( 표준 편차의 제곱근 )* 평균과의 산포도 . 정규 분포 그래프를 생각할 경우 표준 편차가 작으면 위로 솟은 그래프 , 크면 옆으로 퍼진 그래프Standard Error( 표준 오차 ) = Standard Deviation / √n* 당연한 이야기이지만 , 표준 편차가 작으면 작아지고 표본의 숫자가 많으면 작아진다 .

1,)( 22

kdf

EEO

피어슨 카이제곱 통계량

분산의 카이제곱 검정

20

22 )1(

sn

하나의 모집단 분산이나 표준편차를 검정모집단은 근사적으로 정규분포를 갖는 것으로 가정귀무가설 H0: σ2 = σ02

대립가설 H0: σ2 ≠ σ02 또는 σ2 < σ0

2 또는 σ2 > σ02

검정통계량 :표본크기 n, 자유도 ν=n-1, 표본분산 s2,가설 설정된 모집단 분산의 값 σ0

2 에 대한 χ2 통계량

분산분석표에서결정계수 = 처리제곱합 / 총변동총변동 = 처리제곱합 + 오차제곱합R^2 = SSR / SST = 1 – (SSE/SST)SSR: 회귀 제곱합SSE: 오차의 제곱합SST = 총 제곱합

F = 집단간 평균분산 / 집단내 평균분산 = 실험처리에 의한 평균분산 / 오차에 의한 평균분산

집단간 제곱합 (SSR) = 합 ( 집단평균 – 전체평균 )^2 x 각 집단의 관찰치수집단내 제곱합 (SSE) = 합 ( 각 집단내 개별관찰치 – 각 집단내 평균 )^2전체 제곱합 (SST) = 집단간 제곱합 (SSR) + 집단내 제곱합 (SSE)

MSR = SSR / kMSE = SSE / df

SSTSSRR 2

결정계수 (coefficient of determination): R^2

변동의 요인 자승 합 (SS) 자유도 (v) 자승 평균 (MS) F 비율처리 집단 간

(B) SST K – 1 MST = SST / (K – 1) F = MST / MSW

표본추출오차 ( 처리집단 내 ) (W) SSW = TSS - SST N – K MSW = SSW / (N – K)

총 변동(T) TSS N – 1

S = 27, N = 60 일 때 총자승합 (total sum of squares)

1

)(1

2

N

xxN

i분자가 총자승합이다

회귀분석단순회귀분석 , 최소제곱법에 의한 회귀직선정규방정식 (Normal Equations)

xbxaxy

nbxaybaxy

2

rax

y

회귀계수

단순선형회귀 모형에서 xy 10 ),0(~ 2 N

이고 , n = 22, 잔차제곱합 (SSE) 가 4000 이라면 , 분산의 불편추정값은 ?2)2( nSSE

설명 및 미 설명 변동 (Explained and Unexplained Variation)

자주 틀리는 기출 정리

5. 5 개의 주어진 확률표본으로부터 과 을 얻었다면 , 분산의 불편추정치는 ? (2004 년 9 회 , 2009 년 15 회 )

5

1

10i

ix

5

1

2 30i

ix

풀이 )

Var(x) = (E(X^2) – E(X)^2) * (n / n – 1)= (6 – 2^2) * (5 / 4)= 2.5

15. 다음결과에서 X 와 Y 의 상관계수 r 을 계산하면 ? (2004 년 9 회 )

22

22

)()(

))((

2070,4140,200,1140,100,10

YYXX

YYXXr

YXYYXXn

ii

ii

iiiiii

풀이 1) Cov(x, y) = 2070/10 – 10*20 = 7Sx = sqrt(114 – 10^2) = sqrt(14)Sy = sqrt(4140 – 20^2) = sqrt(14)

그러므로 , r = 7 / 14 = 1/2

풀이 2) Xb = 10, Yb = 20, r = 분자 / 분모분자 = sig(XiYi –XiYb – XbYi + XbYb) = 2070 – 100 * 20 – 10 * 200 + 10 * 10 * 20= 2070 – 2000 – 2000 + 2000 = 70

분모 = sqrt((1140 – 2*100*10 - 10^2 * 10) * (4140 – 2*200*20 - 20^2 * 10)) = sqrt(140 * 140) = 140

그러므로 r = 70 / 140 = 0.5

22

22

)}({)(

)}({)(

)()()(),(

),(

YEYE

XEXE

YEXEXYEYXCov

YXCovr

y

x

yx

24. S = 27, N = 60 이면 총자승합 (total sum of squares) 은 ? (2004 년 9 회 )

N

ii Nxx

1

2 )1/()(

풀이 )

S = root ( ) = 27

= 27^2

= 27^2 * (60 – 1) = 1593

N

ii Nxx

1

2 )1/()(

N

ii Nxx

1

2 )1/()(

2)( xxi

14. 단순선형회귀모형 y = b0 + b1x + e 에서 오차항 e 의 분포가 평균이 0 이고분산이 s^2 인 정규분포를 따른다고 가정하자 . 22 개의 자료들로부터 회귀식을 추정하고 나서 잔차제곱합 (SSE) 를 구하였더니 그 값이 4000 이었다 . 이때 분산 s^2 의불편추정값은 ? (2005 년 10 회 )

풀이 )

4000 = (22 – 2) * s^2, s^2 = 200

2)2( nSSE

14. A 도시에서는 실업률이 5.5% 라고 발표하였다 . 그러나 관련 민간단체에서는실업률 5.5% 는 너무 낮게 추정된 값이라고 믿고 이에 대해 확인하고자 한다 .노동력인구 중 520 명을 임의 추출하여 39 명이 직업이 없음을 알게 되었다 .이 문제에 대한 적합한 검정통계량 값은 ? (2005 년 10 회 , 2008 년 13 회 )

풀이 )

z = (39/520 - 0.055) / sqrt(0.055 * 0.945 / 520) = 2.000481

26. 단순회귀분석을 위하여 수집한 자료 10 개에 대하여 다음의 요약된 값을얻었다 . 최소제곱법에 의하여 추정된 회귀직선은 ?(2006 년 11 회 )

10

1

210

1

210

1

10

1

10

1

445,103,75,38,30i

ii

ii

iii

ii

i yxyxyx

22

22

)}({)(

)}({)(

)()()(),(

),(

YEYE

XEXE

YEXEXYEYXCov

YXCovr

y

x

yx

풀이 1)

Sx^2 (x 의 분산 ) = 10.3 – 3^2 = 1.3x 와 y 의 공분산 Cov(x, y) = 7.5 – 3*3.8 = -3.6

a = -3.6 / 1.3 = -3y – 3.8 = -3(x – 3), 그러므로 y = -3x + 12.8

22 )())((),(),(

xxyyxx

SSyxCovyxCovra

baxy

xx

xy

xyxx

y

x

y

풀이 2)

a 의 분자 = sum(xy) – Ym * sum(x) – Xm * sum(y) – n * Xm * Ym = 75 – 3.8 * 30 – 3 * 38 + 10 * 3 * 3.8 = 75 – 114 – 114 + 114 = -39

a 의 분모 = sum(x^2 -2X*Xm + Xm^2) = 103 – 2 * 30 * 3 + 10 * 9 = 13

a = -39/13 = -3b = 3.8 – (-3) * 3 = 3.8 + 9 = 12.8

그러므로 y = -3x + 12.8

22 )())((),(),(

xxyyxx

SSyxCovyxCovra

baxy

xx

xy

xyxx

y

x

y

29. A 신문사에서 성인 1,000 명을 대상으로 현직 대통령에 대한 지지도를 조사한결과 60% 의 지지율을 얻었다 . 95% 의 신뢰수준에서 이번 조사의 오차한계는얼마인가 ? ( 단 , 95% 신뢰수준의 Z 값은 +-1.96 으로 한다 )(2005 년 10 회 )

풀이 ) +-1.96 * sqrt(0.6 * 0.4 / 1000) = +-0.030

30. 어느 여론조사기관에서 고등학교의 흡연율을 조사하고자 한다 . 흡연률의95% 추정오차 한계가 1% 이내가 되기 위한 표본의 크기는 ? ( 단 , 표준정규분포를따르는 확률변수 Z 는 P(Z>1.96) = 0.025 를 만족한다 ) (2005 년 10 회 )

풀이 ) 0.01 = 1.96 * sqrt(0.5 * 0.5 / n)n = 1.96^2 * 0.5^2 / 0.01^2 = 9604

6. 대표본에서 변동계수 (coefficient of variation) c 를 이용하여 모평균 에 대한 95% 신뢰구간을 표시하고자 한다 . 표본평균을 , 표본의 크기를 n 이라할 때 올바른 공식은 ? (2007 년 12 회 )

풀이 ) 모르겠다 .식 1: c = s / y식 2: y +- 1.96 * s * sqrt(1 / n)

답 )

y

cy 96.1

26. R^2 가 0.4 일 때 , 독립변수의 수가 2 이고 표본의 수가 40 이라면수정결정계수는 ? (2007 년 12 회 )

풀이 )adj R^2 = 1 – (SSE/n-k-1)/(SST/n-1) = ((n-1)R^2-k)/(n-k-1)= (39*0.4-2)/(40-2-1) = 13.6/37 = 0.367

K: 독립변수의 수

1)1( 2

2

Kn

KRnadjR

28. 어느 대학에서 학생 중 40% 가 여성이고 그 중 10% 는 아르바이트를 한다 .그 대학교에서 임의로 한 학생을 뽑았을 때 아르바이트를 하고 있는 학생이 여성일 확률은 ? (2007 년 12 회 )

풀이 ) 모르겠다P( 여 ) = 0.4, P( 아 | 여 ) = 0.1P( 여 | 아 ) = ?

답 0.01 출제 오류로 생각됨

대학학생여성 0.4

남성 0.6

아르바이트 0.1

not 아르바이트 0.9

34. 어떤 화학 반응에서 생성되는 반응량 (Y) 이 첨가제의 양 (X) 에 따라 어떻게 변화하는지를 실험하여 다음과 같은 자료를 얻었다 . 변화의 관계를직선으로 가정하고 최소제곱법에 의하여 회귀직선을 추정할 때 추정된 회귀직선의절편과 기울기는 ? (2007 년 12 회 , 2010 년 18 회 )

풀이 )

X 1 3 4 5 7Y 2 4 3 6 9

x Y X편차제곱 Y편차제곱

X 편차*y 편차

1 2 9 7.84 8.4

3 4 1 0.64 0.8

4 3 0 3.24 0

5 6 1 1.44 1.2

7 9 9 17.64 12.6

20 24 20 30.80 23

4 4.8

xx

xy

SS

abaxy ,

합계평균

식 1

식 2: 4.8 = a * 4 + b

a = 23 / 20 = 1.15B = 4.8 – 1.15 * 4 = 0.2

14. 어떤 비행기가 추락하였고 추락한 지역은 3 개의 가능지역이 있다고 하자 .이 때 1-Ai (I = 1, 2, 3) 를 비행기가 사실상 i 지역에 있을 때 , i 지역에서 발견할확률이라고 하자 . 이 때 지역 1 에서 찾지 못했다는 조건에서 비행가기 1 번째지역에 있었을 확률은 ? (2008 년 14 회 )

풀이 ) 모르겠다 .

Ai / (Ai + 2)

21. 어떤 시스템은 각각 독립적으로 작동하는 n 개의 성분으로 구성되어 있다 .이 시스템은 그 성분 중 , 반 이상 작동을 하면 효과적으로 작동을 한다 .각 성분의 작동확률을 p 라고 하면 5 개의 성분으로 구성된 시스템이 3 개의 성분으로 구성된 시스템보다 더 효과적으로 작동을 하기 위한 p 값의 조건은 ?(2008 년 14 회 )

풀이 ) 모르겠다이항분포를 통해서 해결한다 .작동확률 : p, 비동작확률 : q = 1 – p

P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) > P(X=3) + P(X=2)부등식 앞은 n=5 일 경우 , 뒷부분은 n=3 일경우이다 .

5C3 * p^3 * q^2 > 3C2 * p^2 * q^110*p^3*q^2 > 3*p^2*q

p > 1/2

20. 동전을 3 회 던지는 실험에서 앞면이 나오는 횟수를 X 라고 할 때 , 확률변수Y = (X – 1)^2 의 기대값은 ? (2009 년 15 회 )

풀이 )

E(Y) = E{(X-1)^2} = E(X^2 - 2X + 1)= E(X^2) - 2E(X) + 1

E(X^2) = 0^2 * 1/8 + 1^2 * 3/8 + 2^2 * 3/8 + 3^2 * 1/8 = 24/8E(X) = 0 * 1/8 + 1 * 3/8 + 2 * 3/8 + 3 * 1/8 = 12/8

그러므로 E(Y) = 24/8 – 2 * 12/8 + 1 = 1

X 0 1 2 3P(X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8

24. 항아리 속에 흰 구슬 2 개 , 붉은 구슬 3 개 , 검은 구슬 5 개가 들어있다 . 이 항아리 속에서 랜덤하게 ( 임의로 ) 구슬 3 개를 꺼낼 때 , 흰 구슬 2 개와 검은구슬 1 개가 나올 확률은 ? (2009 년 16 회 )

풀이 )

(흰 , 흰 , 검 ) = 2/10 * 1/9 * 5/8 = 1/72(흰 , 검 , 흰 ) 과 ( 검 , 흰 , 흰 ) 도 있으므로 1/72 * 3 = 1/24

25. 어느 지역 주민의 3% 가 특정 풍토병에 걸려있다고 한다 . 이 병에 대한 검진방법에 의하면 감염자의 95% 가 (+) 반응을 , 나머지 5% 가 (-) 반응을 나타내며비감염자의 경우는 10% 가 (+) 반응을 , 90% 가 (-) 반응을 나타낸다고 한다 .지금 주민 중 한 사람을 검진한 결과 (+) 반응을 보였다면 이 사람이 병에 감염되어있을 확률에 가장 가까운 값은 ? (2009 년 16 회 )

풀이 ) 0.0285 / (0.0285 + 0.097)= 0.0285 / 0.1255= 0.227

답 0.227

지역주민풍토병 0.03

not 풍토병 0.97

(+) 반응 0.95 0.03 * 0.95 = 0.0285

(-) 반응 0.05

(+) 반응 0.1 0.97 * 0.1 = 0.097

(-) 반응 0.9

38. 평균이 이고 분산이 16 인 정규모집단으로부터 크기가 100 인 랜덤표본을얻고 그 표본평균을 u 라 하자 . 귀무가설 H0: u = 8 과 대립가설 H1: u = 6.416의 검정을 위하여 기각역을 Xb < 7.2 로 둘 때 제 1 종 오류와 2 종 오류의 확률은 ?(2009 년 16 회 )

풀이 ))100/4,(~

)4,(~2

2

NX

NX

2. 명중률이 75% 인 사수가 있다 . 1 개의 주사위를 던져서 1 또는 2 의 눈이 나오면2 번 쏘고 , 그 이외의 눈이 나오면 3 번 쏘기로 한다 . 1 개의 주사위를 한번 던져서이에 따라 목표물을 쏠 때 , 오직 한 번만 명중할 확률은 ?(2010 년 17 회 )

풀이 )

p = 0.75, P(X1) = 주사위 1 또는 2 = 2/6P(X2) = 주사위 3~6 = 4/6P(Y1) = 2 번 중 한번 명중 = 2C1 * 0.75 * 0.25 = 0.375P(Y2) = 3 번 중 한번 명중 = 3C1 * 0.75 * 0.25^2 = 0.140

주사위1 또는 2: P(X1)

3~6: P(X2) = 4/6

2 번 중 한번 명중 P(Y1)

P(Y2)

그러므로 , P(X1) * P(Y1) + P(X2) * P(Y2) = 1/3 * 0.375 + 2/3 * 0.140 = 0.125 + 0.093= 0.218

2. 어느 회사는 4 개의 철강공급업체로부터 철판을 공급받는다 . 각 공급업체들이납품하는 철판의 품질을 평가하기 위해 인장강도 (kg/psi) 를 각 2 회씩 측정하여다음의 중간결과를 얻었다 . (2010 년 17 회 )

풀이 )

첫 번째 식은 처리제곱합에 대한 것이고 , 두 번째 식은 오차제곱합이다 .하지만 , 첫 번째 식에서는 각 처리에 대한 회수 2 가 빠져 있다 .

처리제곱합 SSR = 2 * 15.5 = 31, f = 3오차제곱합 SSE = 19, f = 4그러므로 , MSR = 31 / 3 = 10.33MSE = 19 / 4 = 4.75

F = 10.33 / 4.75 = 2.175

4

1

4

1

2

1

22 19)(,5.15)(j j i

jijj XXXX

9. 다음은 5 년 동안 연도별로 실현된 투자수익률이다 .

풀이 )투자수익률은 기하평균계산이다 . 답 : 0.102

연도 1 2 3 4 5수익률 0.10 0.22 0.06 -0.05 0.20

다음 중 5 년 동안의 연평균 수익률을 가장 잘 나타낸 것은 ?( 단 , 수익률은 소수 3 번째 자리에서 반올림 )

1/5 0.2) (1 * 0.05) - (1 * 0.06) (1 * 0.22) (1 * 0.1) (1

7. A 상표 전구와 B 상표 전구의 수명을 비교하기 위해서 A 상표 전구 40 개와B 상표 전구 50 개를 랜덤하게 수거하여 실험한 결과 표본의 평균수명시간이 각각Xa = 418( 시간 ) 과 Xb = 402( 시간 ) 임을 알았다 . A, B 각 상표 전구의 수명시간은정규분포를 따르며 , 표준편차는 각각 Sa = 26( 시간 ) 과 Sb = 22( 시간 ) 이라고 가정할 때 , 두 상표 전구의 평균수명시간의 차 Ua – Ub 에 대한 95% 신뢰구간은 ?(2011 년 19 회 )

풀이 )

Ua – Ub = 418 – 402 = 16신뢰구간 = (+,-) 1.96 * sqrt(26^2/40 + 22^2/50) = (+,-) 10.104

그러므로 (16 – 10.104, 16 + 10.104)

29. 확률변수 X 에 대하여 X 의 평균은 E(X) = 3 이고 X^2 의 평균은 E(X^2) = 10.4이다 . 확률변수 Y 를 Y = 7X + 3 이라 할 때 , X 와 Y 의 공분산 Cov(X, Y) 를 구하면 ?(2011 년 20 회 )

풀이 )

a = 7, a = Cov(X, Y) / Sx^2 = 7Sx^2 = Var(X) = E(X^2) – {E(X)}^2 = 10.4 – 9 = 1.4

a = Cov(X, Y) / 1.4 = 7그러므로 Cov(X, Y) = 7 * 1.4 = 9.8

14.

풀이 )

XX. 즉석 떡볶이를 파는 어느 가계에서 손님의 75% 가 우동사리를 추가하고 ,80% 가 만두사리를 추가하며 , 65% 가 우동사리와 만두사리를 모두 추가한다 .만두사리를 주문한 손님이 우동사리를 추가로 주문할 확률은 ?

풀이 1)

우동사리 0.75

만두사리 0.80

우동사리 , 만두사리 0.65

그러므로 P( 우동 | 만두 ) = 0.65 / 0.80

풀이 2)

P( 우동사리 ) = 0.75, P( 만두사리 ) = 0.80, P( 우동사리 ∩ 만두사리 ) = 0.65P( 우동사리 | 만두사리 ) = P( 우동사리 ∩ 만두사리 ) / P( 만두사리 ) = 0.65 / 0.80