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Controllability of complex networks.

(Liu, Slotine and Barabási) Nature, vol. 473 (7346), pp.167-173, 2011

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Jun [email protected]

Figure 3 a, b and c

ネットワークの解析指標• ネットワークの制御を考える• 同期現象，生命回路など，限定的にしか解けていない• 問題となるのは2つ• どのノード間が繋がっているか（依存関係があるか）• どのノードの制御がどのノードに影響を与えるか• つながりはどの様なものか（時間依存性）• ノード間の制御はどのようにすれば良いか

この論文が解いた点• この論文では• 繋がりは与えられ，ノード間の関係は線形システムの環境で，ネットワークの可制御性(Controllability)を考える．

• 主要なContributionは4つ• ネットワークの可制御性を表す新たな指標ndと，その現実的な計算方法を発見• 半径，スケールフリー性などと共に新たに利用出来る道具• 色々なネットワークで異なることを計算• 頂点の次数とndに関係がある事を発見（最も重要）• 各点の入次数と出次数だけで，ndを解析的に求める方法の発見• ndの挙動解析

Figure 1a

線形システムの可制御性• 可制御性（制御理論の基礎！）• 与えられたシステムの状態を，何らかの操作を用いて有限時間内に指定した状態に導けるか（狙った動きができるか）

• 以下の状態方程式で表されるシステム（線形システム）では，解析的に可制御か否かが分かる．x(t):状態ベクトル，u(t):入力ベクトル

• ( のRankがNであればよい)．• 非線形システムは，局所的に見れば線形システム

dx(t)dt

= A · x(t) + B · u(t)

Figure 1a

�B AB A2B · · · An−1B

�

Driver nodesを知る• 制御ができるなら，制御に必要なノード(Driver nodes)が知りたい• 現実的はネットワークも不確定だし，全組み合わせの探索は無理• 代わりにStructurally controllable [文献26] を考える• 可制御な部分構造の発見• 最終的には制御しなければいけないノード数Ndを計算できるようにする

Figure 1(b,e,h)(c,f,i)

Ndの計算と二部グラフのMatching問題

• 分岐のない直線のPathとサークルへの変換• 有向グラフを無向グラフにおける，二部グラフのMatching 問題に変換して解く• 計算機的に解法がよく知られている→Ndの計算が高速に解ける

Figure S2b, dFigure S3

実データでのNdの値• 遺伝子制御ネットワークでnd(=Nd/N)が高い．多数の制御が必要• 代謝ネットワークでは比較的低い．組織のネットワークでは非常に低い．

• （個人的な感想）感覚とズレているような気もする

Table 1

Ndとネットワーク構造の関係• 制御に重要なノードはHubなのか？• 攻撃[31,32]，拡散[32,33]，同期[8,34]で重要だった• 次数(隣接辺の数)が少ないノードの方がドライバーノードになりやすい

• 全体の平均次数とドライバーノードの平均次数を見てもHubは避ける傾向が見られる（点が右下に存在する）

Figure 2a, b and c

Ndとネットワーク構造の関係• 辺と頂点数を変化させないようにランダマイズした結果(rand-ER)と比較．構造の変化でNdは変わる．• 全てのノードの次数が変化しないようにランダマイズした結果(rand-Degree)との比較．Ndの値に変化が見られない．

Figure 2d, e and c

Ndの予測とそこから言える事• 解析的に見つけることができるのでは？• 統計力学手法を使って計算して，近似できた！• ただし，一部モデルの生成パラメータ依存• 近似結果から言える事 [Fig3d-g]• 密なネットワークは少ないドライバーノードでOK• 平均次数の小さな変化がndに大きな変化をもたらす• 次数の差が大きい時は，ドライバーノードの個数も多くなる• 疎（Sparse）で不均一なネットワークはコントロールが難しい• 細胞やInternetは一例

Figure 2f

ロバストネスを調べる• リンクを3種類に分類• Critical: なくなるとDriver Nodeが増えるedge• Redundant: 無くてもDriver Node群に変化のないedge• Ordinary: 上記以外（Driver Nodeは変化するが，Driver Nodeの個数に変化がない場合など）

• ほとんどのEdgeがOrdinary

Figure 4

Figure 1d, g and j

モデルネットワークの挙動• Erdos-RenyiネットワークとScale-freeで調査• lc, lr, loは，critical, robust, ordinary edgeの割合• 平均次数<k>が小さいとlcが増える• <k>が大きいからと言って，lrが増えるという訳ではない• 単調性が無い．相転移が存在する．なぜ？

Figure 5a and c

CoreとLeaf [43,48]• Core: leafを再帰的に取り除いた後のnode• Leaf: 入次数か出次数が1のnode• CoreとLeafの分布が変わる臨界点とCritical edgeの割合が変わる相転移点が実験結果から類似している

Figure 5a-d

相転移前 相転移点 相転移後

Figure 5e and f

まとめを再掲• この論文では• 繋がりは与えられ，ノード間の関係は線形システムの環境で，ネットワークの可制御性(Controllability)を考える．

• 主要なContributionは4つ• ネットワークの可制御性を表す新たな指標ndと，その現実的な計算方法を発見• 半径，スケールフリー性などと共に新たに利用出来る道具• 色々なネットワークで異なることを計算• 頂点の次数とndに関係がある事を発見（最も重要）• 各点の入次数と出次数だけで，ndを解析的に求める方法の発見• ndの挙動解析

個人的な感想• おもろくやしい• 単純な物事の組み合わせが根底にある• なぜ他のグループが出来なかったのか• また，このグループから流行りが出るのか

• 超盛りだくさん• 理論，解析，結果の考察，色々てんこ盛り

• 適用できる応用は限定的かも• もう一歩現実に近づけたい