STATISTIKA · 2011. 6. 7. · V vzorcu imamo 10 meteoroloških postaj. Za njih imamo podatke za dve spremenljivki: povprečna temperatura in količina padavin. Povp.temp. (0C) Padavine

STATISTIKA

21.3.2011

Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak

KORELACIJA

Pri osnovni korelacijski analizi preskušamo, kako močno sta dve statistični spremenljivki povezani (usklajeni) ali korelirani. Mera za medsebojno povezanost je kovarianca

yxyxn

c i

n

i

ixy 1

1

0

0

0

xy

xy

xy

c

c

c negativna linearna povezanost

ni linearne povezanosti

pozitivna linearna povezanost

Jakost povezave pa merimo s Pearsonovim

koeficientom korelacije.

Personov koeficient korelacije računamo po

formuli (enaka pri linearni regresiji):

yx

xy

xy

cr

Grafično lahko ponazorimo povezanost z razsevnim

grafikonom. Za ilustracijo poglejmo nekaj razsevnih

grafikonov.

Personov koeficient korelacije ima naslednje

lastnosti:

•Vrednosti koeficienta korelacije so na intervalu od

-1 do +1.

•Koeficient korelacije je simetričen, torej .

•Korelacija spremenljivke same s seboj je 1.

•Statistični spremenljivki sta nekorelirani natanko

tedaj, ko je korelacijski koeficient enak 0.

•Če je korelacijski koeficient 1 ali -1, potem med

spremenljivkama obstaja linearna funkcijska

zveza.

yxxy rr

Glede na velikost korelacijskega koeficienta

ločimo:

močno linearno povezavo, če je

0,8 rxy 1,

srednje močno linearno povezavo, če je

0,6 rxy < 0,8,

šibko linearno povezavo, če je

rxy < 0,6.

Pri uporabi korelacijskega koeficienta moramo

biti zelo previdni. Če povezava med

spremenljivkama ni linearna, uporaba

korelacijskega koeficienta kot mere povezanosti

ni ustrezna. Naslednja slika prikazuje kvadratno

povezavo. V tem primeru bi bil Personov kor.

koeficient blizu 0. Povezava obstaja, ki pa ni

linearna.

Ponavadi nas zanima, ali sta spremenljivki v populaciji sploh povezani. Sklepamo na osnovi vrednosti koeficienta korelacije v vzorcu.

H0: R=0 Spremenljivki nista linearno povezani.

H1: R≠0 Spremenljivki sta linearno povezani.

Teorija pokaže, da je testna statistika za tako

ničelno domnevo naslednja:

Njena ničelna porazdelitev je t(n-2).

2

2

1

xy

xy

r nt

r

Izračunavanju vrednosti testne statistike se

lahko izognemo, če imamo na razpolago ustrezne

statistične tabele. V teh tabelah je podana

kritična vrednost Pearsonovega koeficienta

korelacije pri določeni stopnji značilnosti in pri

velikosti vzorca n.

Zdravniki merijo dve vrednosti krvnega tlaka,

sistolični in diastolični tlak. Izračunajte Personov

korelacijski koeficient. Podatke prikažite tudi

grafično. Pri stopnji značilnosti 0,05 preverite

domnevo o povezanosti obeh tlakov.

Sistolični Diastolični

210 130

169 122

187 124

160 104

167 112

176 101

185 121

Komentar

Pri stopnji značilnosti 0,05 ne moremo trditi, da

obstaja pozitivna linearna povezava med

sistoličnim in diastoličnim krvnim tlakom.

Primer

V vzorcu imamo 10

meteoroloških postaj. Za

njih imamo podatke za dve

spremenljivki: povprečna

temperatura in količina

padavin.

Povp.temp.

(0C)

Padavine

(mm)

15 338

15,4 385

15,5 383

13,7 375

15,3 396

12,8 4,5

13,3 554

12,6 473

11,0 464

13,3 448

Podatke grafično prikažite.

Izračunajte Pearsonov korelacijski koeficient.

Pri stopnji značilnosti 0,05 preverite domnevo, da

sta spremenljivki korelirani.

ČASOVNE VRSTE

Družbeno ekonomski pojavi so časovno

spremenljivi. Razni dejavniki vplivajo na te

pojave in jih spreminjajo. Da bi si predstavljali

dinamiko teh pojavov, jih predstavimo s

časovnimi vrstami.

Časovna vrsta je niz istovrstnih pojavov, ki

se nanašajo na zaporedne časovne razmike

ali trenutke.

Osnovni namen analize časovnih vrst je:

opazovati časovni razvoj pojavov.

iskati zakonitosti med časovnimi pojavi.

predvidevati nadaljnji razvoj.

Časovne vrste so:

Trenutne: vrednosti se nanašajo na trenutek.

Primer: temperatura zraka ob 8 uri zjutraj.

Intervalne: vrednosti se nanašajo na časovni

interval.

Primer: število rojstev na leto, pridelek jabolk na

leto.

Izvedene: vrednosti so izračunane.

Primer: letna stopnja inflacije.

Najpogosteje časovne vrste predstavimo z linijskim

grafikonom. Za določene časovne vrste so primerni

še polarni grafikon, Brunsmanov grafikon, Z

diagram ter Ganttov grafikon, ki pa jih, razen

polarnega grafikona, ne bomo posebej obravnavali.

Osnovno orodje za analizo časovnih vrst so

indeksi.

Ponovite verižne indekse, indekse s stalno in

povprečni indeks!

Število porok v Sloveniji v letih 2000-2006

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Vsako časovno vrsto lahko sestavlja več komponent

(dekompozicija časovne vrste). Oblika časovne vrste je

odvisna od njihovega deleža.

Pri časovni vrsti skušamo identificirati naslednje

komponente:

•Trend (T)

•Sezonska (S)

•Ciklična komponenta (C)

•Iregularne spremembe (slučajna komponenta) (E)

Oglejmo si vlogo posameznih komponent.

KOMPONENTE ČASOVNIH VRST

TREND

Predstavlja dolgoročno gibanje pojava, podaja

pa osnovno smer razvoja.

Dolgoročne spremembe nastanejo zaradi

gospodarskih sprememb, sprememb v okolju,

bioloških dejavnikov.

Trend je lahko linearen, kvadratni,

eksponenten...

Uporabimo enake metode kot pri regresiji.

SEZONSKA KOMPONENTA

Se nanaša na periodične spremembe.

Sezonske variacije nastanejo zaradi letnih časov,

praznikov, vremena.

Sezonska komponenta ima svojo dolžino, ki je

konstantna (med dvema vrhovoma preteče več

let).

Primer

Oglejmo si potrošnjo piva v posameznih mesecih.

Brez težav bomo ugotovili, da je v zimskih

mesecih manjša kot v poletnih mesecih. Pravimo,

da je potrošnja piva sezonska, saj je v poletnem

času veliko večja kot v preostalem delu leta.

V letu pa imamo lahko tudi več sezon. Tako

imamo na primer letno in zimsko turistično

sezono.

Gostota prometa na cestah.

V grafikonu ustreza vsakemu mesecu kot 300. Podatke posameznega

meseca rišemo v sredini ustreznega kota. Oddaljenost točke od

središča je sorazmerna velikosti pojava v tem mesecu. Če točke

zaporednih mesecev medsebojno povežemo, dobimo poligon.

Najlepšo predstavo o sezonski komponenti dobimo, če podatke o

velikosti pojava v posameznih mesecih narišemo v polarnem

grafikonu.

Mrtva sezona

Večji odkup

(konec

vegetacije)

CIKLIČNA KOMPONENTA

Se nanaša na neperiodične spremembe.

Predstavlja nihanje okoli trenda in je očitna v

zelo dolgih obdobjih.

Primer

Določeni pojavi imajo obdobja, ko je pojav

izrazitejši. Tako lahko ugotovimo, da je nek

kultivar jabolk nekaj let "moderen", nato pa pade

za določeno obdobje pri potrošnikih v "nemilost".

Naravne nesreče.

IREGULARNE SPREMEMBE

Na velikost pojavov pa vplivajo tudi faktorji, na

katere nimamo vpliva in jih ne moremo razložiti

s trendom, ciklično in sezonsko komponento.

Tako nam v kmetijstvu vreme vpliva na boljši ali

slabši pridelek, izbruh epidemije pri živalih lahko

vpliva na večjo ali manjšo porabo mesa itd. Take

spremembe, ki vplivajo na velikost pojava in ki

jih ne moremo predvideti vnaprej, imenujemo

iregularne spremembe (iregularni vplivi,

šum, slučajna komponenta).

Časovna vrsta ni nujno rezultat delovanja vseh

komponent. Vedno pa obstaja slučajna

komponenta.

Za vsako časovno vrsto skušamo identificirati

njen model. Najsplošnejša sta dva:

ADITIVNI: Y=T+S+C+E

MULTIPLIKATIVNI: Y=T· S · C · E

ADITIVNI

MODEL

PRIMER

METODE ZA DOLOČANJE TRENDA

Prostoročno določanje trenda na grafičnem

prikazu na začetku analize.

Analitične metode. Najenostavnejša metoda:

regresija po metodi najmanjših kvadratov.

Leto Breskve - število

rodnih dreves (v

1000)

1988 150

1989 121

1990 112

1991 111

1992 109

1993 86

1994 79

1995 72

Izberimo si podatke o spreminjanju števila rodnih

dreves breskev v Sloveniji določenem časovnem

obdobju. Podatki za leta 1988-1995 so navedeni v

preglednici. Podatke grafično prikažite v razsevnem

grafikonu:

Število rodnih dreves breskev v obdobju od 1988-1995. leta.

V grafikonu so leta zapisana v sredini stolpca, saj ima leto intervalni

in ne trenutni značaj. Točke rišemo vedno v sredini obdobja, odmik od

abscisne osi pa je sorazmeren velikosti pojava. V grafikonu povežemo

točke zaporednih let, da si olajšamo določitev oblike trenda. Trend

vrišemo tako, da se točkam ustrezna krivulja najbolje prilega.

Iz zgornje slike lahko razberemo, da je linearen

trend sprejemljiv. Torej ga lahko opišemo z

enačbo

T = a + bt

Da dobimo enačbo trenda lahko uporabimo

sistem normalnih enačb, ki smo jih spoznali pri

linearni regresiji. Ta sistem ima obliko:

y na b x

x y a x b x

i

i

n

i

i

n

i i

i

n

i

i

n

i

i

n

1 1

1 1

2

1

Enačbe se poenostavijo, če napravimo premik časovne vrste. Uvedemo

tehnični čas:

Če imamo podatke za neparno število let (na primer 7) opravimo

premik začetka časovne osi tako:

Če imamo podatke za parno število let (na primer 6) opravimo premik

začetka časovne osi tako:

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

-3 -2 -1 0 1 2 3

1998 1999 2000 2001 2002 2003

-5 -3 -1 1 3 5

parno število let:

-(2n1), ..., -3, -1, 1, 3, ..., (2n+1)

neparno število let

-2n, ..., -2, -1, 0, 1, 3, ..., 2n

S pravkar opisanima premikoma časovne osi dosežemo, da je vsota

vrednosti spremenljivke x enaka nič. Torej je

Če to upoštevamo, se naše normalne enačbe za trend poenostavijo. Velja:

xi

i

n

1

0

y na

x y b x

i

i

n

i i

i

n

i

i

n

1

1

2

1

an

y

b

x y

x

i

i

n

i i

i

n

i

i

n

1

1

1

2

1

Za primer, ko smo opazovali spreminjanje števila rodnih dreves

breskev, moramo najprej poiskati ustrezne vsote, ki so izračunane

v spodnji preglednici

Leto

t

xi x i2 Breskve - število rodnih dreves

(v 1000) - yi

xiyi

1988 - 7 49 150 - 1050

1989 - 5 25 121 - 605

1990 - 3 9 112 - 336

1991 - 1 1 111 - 111

1992 1 1 109 109

1993 3 9 86 258

1994 5 25 79 395

1995 7 49 72 504

Skupaj 0 168 840 - 836

an

y

b

x y

x

i

i

n

i i

i

n

i

i

n

1 840

8105

836

1684 976

1

1

2

1

,

T = 105 - 4,976 x

Oglejmo si še pomen obeh parametrov v enačbi.

Parameter a, ki je v našem primeru 105, nam

podaja vrednost trenda sredi časovne vrste pa tudi

aritmetično sredina števila breskovih dreves v

opazovanem obdobju, torej 105000.

Parameter b, ki je v našem primeru –4,976, pa

povprečen letni prirastek. Torej se je število dreves

v opazovanem obdobju v povprečju letno zmanjšalo

za 4976.

S pomočjo te enačbe ocenjujemo gibanje pojava v

prihodnosti. Za leto 1996 dobimo naslednjo

oceno:

T(l=1996) = T(x=9) = 105 - 4,976 ∙9 = 60,22

Opozoriti pa velja, da moramo namesto leta

1996 vstaviti v enačbo ustrezno vrednost

transformirane spremenljivke x.

V preglednici so prikazani podatki o mesečnem odkupu kmetijskih

proizvodov v Sloveniji (podatki so v milijonih SIT).

leto

Mesec 1995 1996

januar 4544 4667

februar 4305 4704

marec 5257 5592

april 4770 5496

maj 5187 5740

junij 4739 5047

julij 5479 5731

avgust 5641 6055

september 5187 7174

oktober 6474 7080

november 6109 7135

december 7034 8016

Ugotovite obliko trenda za leto 1995 (graf).

Izračunajte parametre trenda (a in b).

Obrazložite oba parametra.

Povprečno so v obravnavanem obdobju odkupili……

proizvodov.

V povprečju se je v obravnavanem obdobju število

odkupov vsak mesec povečalo za……….