GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6 a série/7 o ano – Volume 4 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 INVESTIGANDO SEQUÊNCIAS POR ARITMÉTICA E ÁLGEBRA Páginas 3 - 4 1. Alternativa e. Observação: Em geral, os alunos identificam com facilidade que o próximo símbolo será / \. Contudo, é possível que alguns digam que o próximo símbolo será apenas /, o que não deixa de fazer sentido se identificarmos a sequência como a alternância das barras / e \. Mesmo que esse tipo de identificação não apareça de forma natural, é interessante que o professor problematize-o, o que pode ser feito com o seguinte tipo de pergunta: Será que podemos afirmar que a sequência é formada pelas figuras / e \ em alternância? O que nos impede de dizer que as figuras indicadas em cada posição da sequência são do tipo /\, ou ainda do tipo /\/\ ? 2. Não há um marcador claro que identifique cada uma das posições dos símbolos na sequência. 3. 4.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4
1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
INVESTIGANDO SEQUÊNCIAS POR ARITMÉTICA E ÁLGEBRA
Páginas 3 - 4
1. Alternativa e.
Observação: Em geral, os alunos identificam com facilidade que o próximo símbolo
será / \. Contudo, é possível que alguns digam que o próximo símbolo será apenas /, o
que não deixa de fazer sentido se identificarmos a sequência como a alternância das
barras / e \. Mesmo que esse tipo de identificação não apareça de forma natural, é
interessante que o professor problematize-o, o que pode ser feito com o seguinte tipo de
pergunta: Será que podemos afirmar que a sequência é formada pelas figuras / e \ em
alternância? O que nos impede de dizer que as figuras indicadas em cada posição da
sequência são do tipo /\, ou ainda do tipo /\/\ ?
2. Não há um marcador claro que identifique cada uma das posições dos símbolos na
sequência.
3.
4.
GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4
2
a) Na 20a posição será o símbolo I. Na 573a posição, o símbolo II.
b) O símbolo I está associado às posições pares, e o símbolo II às posições ímpares.
Exemplos de resposta:
• nas posições ímpares, a linha está deitada para a direita, enquanto nas pares, a
linha está deitada para a esquerda;
• quando a posição indica um múltiplo de 2, teremos \, caso contrário teremos / .
Página 4 - 5
5.
a) Símbolo I: nas posições indicadas por múltiplos de 3.
Símbolo /: quando o resto da divisão da posição por 3 for 1.
Símbolo \: quando o resto da divisão da posição por 3 for 2.
b) Símbolo : quando a posição for um número ímpar.
Símbolo : quando a posição for um número par.
c) Símbolo : quando a posição for um múltiplo de 3.
Símbolo : quando a posição não for um múltiplo de 3.
d) Símbolo : nas posições indicadas por múltiplos de 3.
Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 1.
Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 2.
6.
a) A figura que ocupa a 20a posição na sequência 1 é .
b) A figura que ocupa a 73a posição na sequência 2 é .
GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4
3
c) A figura que ocupa a 123a posição na sequência 3 é .
d) A figura que ocupa a 344a posição na sequência 4 é .
Páginas 6 - 7
7.
a) É a figura (paus).
b) A figura ocupa as posições 4, 8, 12, 16, ..., ou seja, posições correspondentes a
um múltiplo de 4. As posições ocupadas por são as de número 2, 6, 10, 14, 18, ...,
ou seja, posições em que temos um “múltiplo de 4 acrescido de 2” ou, dizendo de
outra maneira, são as posições marcadas por números que “deixam resto 2 na divisão
por 4”. Usando o mesmo tipo de raciocínio, as posições da figura são identificadas
por “múltiplos de 4 acrescidos de 3” (ou números que “deixam resto 3 na divisão por
4”), e as posições da figura são identificadas por “múltiplos de 4 acrescidos de 1”
(ou números que “deixam resto 1 na divisão por 4”).
c) Como o resto da divisão de 263 por 4 é 3, então a figura dessa posição será .
8.
a) Podem ser as regiões 5, 11, 17, 23 e 29.
b) Todas as regiões nomeadas por um múltiplo de 6: 6, 12, 18, 24, ..., 180.
c) Como 180 é múltiplo de 6, então essa região será atendida aos sábados. Já a
região 129, que deixa resto 3 na divisão por 6, receberá o gás às quartas-feiras.
d) Regiões cujo número deixa resto 4 na divisão por 6 ou regiões cujo número é um
múltiplo de 6 acrescido de 4.
GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4
4
9.
07 17
27 37
47 57
67 77
1 7 49 343 2 401 16 807 117 649 823 543
a) Os algarismos 1, 7, 9, 3, nessa ordem.
b) Porque qualquer número terminado em 1, quando multiplicado por 7, resulta em
um número terminado em 7. Um número terminado em 7, quando multiplicado por
7, termina em 9. Um número terminado em 9, quando multiplicado por 7, termina em
3. E um número terminado em 3, quando multiplicado por 7, termina em 1, voltando
ao início do ciclo.
c) Para todos os expoentes múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, ...
d) Para todos os expoentes cujo resultado da divisão por 4 deixe resto 1: 1, 5, 9,
13,...
e) Como 179 deixa resto 3 na divisão por 4, então pode-se concluir que o resultado
da potência terá o algarismo da unidade igual a 3.
Desafio !
Página 8
10. Resposta: 5.
Nesse item, teremos de descobrir inicialmente a casa da unidade das potências 7100 e
7150, o que poderá ser feito investigando os restos das divisões de 100 e de 150 por 4.
No primeiro caso, o resto é zero, o que implica casa das unidades igual a 1. No
segundo caso, o resto é 2, o que implica casa das unidades igual a 9. Temos,
portanto, que a soma 7100 + 7150 + 5 implica somarmos dois números que têm casas
das unidades iguais a 1 e 9, com 5 unidades (correspondente à última parcela da
soma). Como 1 + 9 + 5 = 15, a casa da unidade de 7100 + 7150 + 5 será 5.
GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4
5
Páginas 8 - 9
11.
a)
b)
Posição 1 2 3 4 5 6
Número de bolinhas 1 3 5 7 9 11
c) 19 bolinhas.
d) 89 bolinhas.
e) Resposta pessoal. Quando pedimos para o aluno representar em palavras o
padrão da sequência, há uma grande diversidade de respostas possíveis. Em geral,
podemos agrupá-las em duas categorias: a das representações chamadas
recursivas, em que a determinação do número de bolinhas de uma etapa depende
diretamente da determinação do número de bolinhas da etapa anterior; e a das não
recursivas, em que o número de bolinhas de cada etapa é calculado apenas com
informações associadas ao próprio número que determina a posição da figura na
sequência. Um padrão recursivo que pode ser usado para descrever a sequência em
palavras é: somar sempre duas bolinhas a mais em cada etapa com relação à etapa
anterior. Um padrão não recursivo para a sequência, descrito em palavras, seria: o
número de bolinhas de cada posição é 1 a menos que o dobro da posição.
12.
a) Nessa figura, marcamos em vermelho uma bolinha que sempre se repetirá em
todas as posições e em tons de azul os pares de novas bolinhas em cada posição.
b) A vermelha.
GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4
6
c) 3 pares na figura 4 e 4 pares na figura 5.
d) Na figura 18 haverá 17 pares, e na figura 31, 30 pares.
e) Será a figura da posição 26. No total, haverá 51 bolinhas, correspondentes aos
25 pares (25 . 2) mais a bolinha vermelha.
f) N = 1 + 2.(P – 1) ou N = 2.P – 1
Páginas 10 - 11
13.
I
II. 9 bolinhas e 24
bolinhas,
respectivamente.
III. Sequência 1:
N = P + 4
I
II. 17 e 62 bolinhas,
respectivamente.
III. Sequência 2:
N = P + 2.(P + 1)
ou
N = 2P + (P + 2)
GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4
7
I
II. 17 e 77 bolinhas,
respectivamente.
III. Sequência 3:
N = 1 + 4.(P – 1)
I
II. 19 e 79 bolinhas,
respectivamente.
III. Sequência 3:
N = 4.P – 1
ou
N = 2.(2P – 1) + 1
I
II. 23 e 98 bolinhas,
respectivamente.
III. Sequência 5:
N = 5P – 2
ou
N = 2.(2P – 1) + P
I
II. 20 e 80 bolinhas,
respectivamente.
III. Sequência 6:
N = 4P
GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4
8
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
EQUAÇÕES E FÓRMULAS
Página 13
1. O resultado da pesquisa é pessoal. Cada aluno deverá procurar exemplos de fórmulas
em livros escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias, jornais e
revistas ou na internet. Procure orientá-los sobre o tipo de expressão que os alunos
devem procurar, pois alguns podem não saber do que se trata uma fórmula. Além
disso, estimule-os a pesquisar sobre o significado das fórmulas encontradas.
Observação: O objetivo dessa pesquisa é ampliar o repertório dos alunos a respeito
de fórmulas. Reserve um tempo da aula para que os alunos socializem os resultados
de suas pesquisas.
Páginas 13 - 14
2.
a) P = 4 + 4 + 6 + 6 = 20 cm
b) P = 22,5 + 22,5 + 42 + 42
P = 45 + 84
P = 129 cm
c) P = a + a + b + b
Observação: comente com os alunos que a expressão acima é equivalente a se
escrever P = 2.a + 2.b.
d) P = 2.a + 2.b = 2. 8,3 + 2. 4,1 = 16,6 + 8,2 = 24,8 cm.
O perímetro desse retângulo vale 24,8 cm.
e) 22 = 2.a + 2.5
a = 6 m.
f) Solução em aberto
GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4
9
Em um primeiro momento, esse problema pode ser resolvido livremente pelos
alunos, por meio da atribuição de valores para a e b. Contudo, é importante mostrar
em seguida como ficaria a resolução usando-se a fórmula do perímetro.
Por exemplo, se a for igual a 8, a fórmula ficaria assim: 36 = 2.8 + 2.b, ou
36 = 16 + 2.b. Ou seja, o valor de b seria 10.
Páginas14 - 15
3.
a) Como a medida de um cateto corresponde à altura do triângulo relativa ao outro
cateto, podemos escrever a fórmula da área como 2
.baA .
É importante observar que, nesse item, a generalização da medida do lado e da altura
como sendo os catetos de um triângulo retângulo implicou uma substituição de duas
letras (l e h) por outras duas letras (a e b).
b) 4482
32.28
2
.
baA . Portanto, A = 448 cm2.
c) III. 16 cm e 18 cm.
2144
2
18.16
2
.cm
baA
d) Nesse caso, comente com os alunos que o valor da área já é conhecido e, por
isso, pode ser inserido na fórmula da área no lugar da letra A. O problema passa a ser
a descoberta do valor da medida de um dos catetos. Substituindo-se A por 40 e a por
10, obtemos a seguinte igualdade: 2
.1040
b . A equação a seguir corresponde à
seguinte pergunta. Qual é o valor de b que, multiplicado por 10 e dividido por 2,
resulta em 40? Os alunos não terão dificuldade para concluir que b vale 8. Logo, o
outro cateto mede 8 cm.
GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4
10
Página 16
4.
a) M = (6 + 7,5) ÷ 2 = 13,5 ÷ 2 = 6,75
b) Generalizando a ideia de que a média aritmética entre dois valores é obtida
somando-se os dois valores e dividindo-se por 2, a fórmula pode ser escrita como:
2)(
2 ),(),(
baMouba
M baba
Nesse último caso, é importante ressaltar com os alunos a importância dos parênteses
na sentença matemática.
c) De forma análoga, precisamos somar os três valores e dividir o resultado por 3.
3),,(
cbaM cba
d) Solução: 263
352419)35,24,19(
M
e) Substituindo os valores das provas P1 e P2, e o valor da média desejada na
fórmula, obtemos a seguinte equação: 3
136
3
5,75,56 33 P
ouP
.
Nesse caso, podemos olhar para a segunda equação como uma pergunta do tipo: qual
é o valor que somado com 13 e dividido por 3 resulta em 6? Sem utilizar nenhum
procedimento de resolução de equação, um aluno da 6a série é capaz de responder a
essa pergunta. Se o resultado da divisão de um número por 3 é 6, esse número é 18.
Portanto, o número procurado somado com 13 é igual a 18. O número procurado é 5.
Página 17
5. Procure orientar a pesquisa dos alunos, fornecendo indicações de livros, dicionários,
revistas ou sites que tragam informações sobre impostos. Indicamos alguns sites que
trazem informações a respeito de impostos e do Imposto de Renda.
GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7o ano – Volume 4
11
O papel dos impostos: <http://leaozinho.receita.fazenda.gov.br/escola/default.htm>.