1 Caro Professor, Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010. As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes. Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas. Na primeira parte deste documento, você encontra as orientações das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento. Bom trabalho! Equipe São Paulo faz escola.
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Transcript
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Caro Professor,
Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.
As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.
Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.
Na primeira parte deste documento, você encontra as orientações das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.
Bom trabalho!
Equipe São Paulo faz escola.
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Caderno do Aluno de Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 2
Páginas 3 - 5
1. Segue possível solução:
Nesse caso, note que na primeira linha sempre teremos o número de bolinhas igual
ao número que representa a figura, e na segunda linha o total de bolinhas será sempre
um a menos que o número da figura. Usando a letra n para representar o número da
figura, o total de bolinhas pode ser representado por n + (n – 1).
2. Segue possível solução:
Agora o número de colunas é igual ao número da figura e temos duas bolinhas em
cada coluna, exceto em uma delas (última coluna), que terá apenas uma bolinha. Se
preenchermos a coluna que tem apenas uma bolinha com mais uma bolinha,
podemos calcular o total de bolinhas multiplicando o número de colunas pelo de
linhas e subtraindo a bolinha adicional ao final da conta. Usando letras, o total de
bolinhas da figura n será 2n – 1.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
ARITMÉTICA COM ÁLGEBRA: AS LETRAS COMO NÚMEROS
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3. Segue solução que leva em consideração as soluções apresentadas nas atividades 1
e 2.
Uma vez que as duas expressões obtidas são equivalentes, n + (n – 1) tem de ser
idêntico a 2n – 1, o que significa dizer que ambas as expressões devem ser válidas
para qualquer n. Decorre, portanto, que n + n tem de ser igual a 2n.
4. Segue possível solução:
Fechando retângulos de n linhas e três colunas, devemos acrescentar ainda n – 1
bolinhas.
Nesse caso, a fórmula seria 3n + (n – 1).
Completando a figura com uma bolinha, fechamos retângulos de n linhas por quatro
colunas.
A fórmula agora será 4n – 1.
5. Comparando 4n – 1 com 3n + (n – 1), segue que 3n + n tem de ser igual a 4n.
6.
Resolução 1
4
Resolução 2
Na resolução 1, organizamos a figura em n linhas por n + 2 colunas,
Solução 2: nesse caso formamos um quadrado de n linhas por n colunas, dois
retângulos de n por 1 e devemos acrescentar ainda uma bolinha. Temos, portanto, a
fórmula: n2 + 2n +1.
Com isso, estabelecemos a equivalência entre (n + 1)2 e n2 + 2n + 1.
2. Para resolver o problema, vamos reagrupar as bolinhas de forma diferente:
Agora, completando os retângulos, teremos:
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Observe que, para formar esse último quadro, necessitamos:
• Acrescentar a diagonal, indicada em vermelho, que possui uma bolinha a mais que o número da figura.
• Acrescentar uma quantidade igual à que queremos contar numa forma espelhada, com relação à diagonal, indicada na cor verde.
• Portanto, temos quadrados de n + 1 linhas por n + 1 colunas, formados pelos acréscimos das n + 1 bolinhas (diagonal) e da imagem espelhada de bolinhas que queremos contar.
Assim, o total de bolinhas da figura n será dado por 2
)1()1( 2 nn.
Páginas 8 - 10
1.
2. Uma possível solução é:
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a)
b)
3. É possível obter as seguintes soluções:
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Páginas 12 - 14
1. A área da figura (a) pode ser assim calculada:
Assim, essa situação nos permite escrever que x(a + 7 + y) = ax + 7x + yx.
Para a Figura (b), temos duas possibilidades:
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
PRODUTOS NOTÁVEIS: SIGNIFICADOS GEOMÉTRICOS
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Figura b
2. Aqui devemos observar que, como o 3 é um fator comum em ambas as parcelas, uma
das dimensões do retângulo deve ser 3, e a outra, a soma de a com b. Portanto, a
figura será:
Uma expressão equivalente à dada no exercício é 3(a+b). Com isso, observamos que
3(a + b) = 3a + 3b, o que evidencia a propriedade distributiva da multiplicação em
relação à adição.
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3. Nesse caso, o fator comum é o x; portanto, ele será a medida do lado comum na
construção do retângulo; a outra medida deve ser (y – 3). Essa situação pode ser
interpretada geometricamente como:
Pensando na área do retângulo de lados x e y, podemos observar que:
Portanto, x(y – 3) = xy – 3x, o que evidencia a propriedade distributiva da
multiplicação em relação à subtração.
4. Para resolver essa situação, propomos que você discuta com a turma que esse produto
pode ser interpretado como a área de um retângulo de medidas de lados (x + a) e
(x + b). Decompondo a figura pelas medidas x, a e b, encontramos: um quadrado de
lado x, um retângulo de lados x e a, um retângulo de lados x e b e um retângulo de
lados a e b.
Dessa forma, podemos escrever: (x + a).(x + b) = x2 + xa + xb + ab.
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O aparecimento, nessa expressão, da soma xa + xb pode ser interpretado como
(a + b)x, pois, conforme o que foi discutido anteriormente, podemos realocar os
retângulos da seguinte maneira...
...obtendo a seguinte configuração:
Portanto, (x + a).(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Nessa expressão, identificamos que, no
desenvolvimento de (x + a).(x + b), a quantidade de x, isto é, o coeficiente de x, é a
soma dos números (a + b) e o termo independente é o produto dos mesmos termos
a.b.
5. Pensando nesse produto como a área de um retângulo, a medida de um lado será
(x – a), e a de outro, (x – b). Isso pode ser formado a partir de um quadrado de lado
x, como mostra a figura:
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A área do quadrado inteiro corresponde a x2; para chegarmos ao valor de
(x – a).(x – b), devemos retirar os retângulos de áreas ax e bx e acrescentar uma vez a
área do retângulo de lado ab, que foi retirada duas vezes (uma na área ax e outra na
área bx). Geometricamente temos:
Chegamos, então, à expressão (x – a).(x – b) = x2 – xa – xb + ab. Vale observar que
essa expressão é equivalente a (x – a).(x – b) = x2 – (a + b)x + ab, o que, mais uma
vez, nos permite concluir que o coeficiente de x, embora negativo, refere-se à soma
nnS n , e isso independe do fato de n ser par ou ímpar.
Poderíamos imaginar uma forma triangular, como nos exemplos anteriores,
representando a soma Sn; reunindo duas formas triangulares e formando uma forma
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
ARITMÉTICA E GEOMETRIA: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DE ALGUMAS IDEIAS FUNDAMENTAIS
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retangular com n linhas, em que cada linha tem n + 1 bolinhas, chegando ao mesmo
resultado para Sn.
Páginas 40 - 44
1.
a) 2 . 5 = 10.
b) 2 . 100 = 200.
c) 2 . 7 – 1 = 13.
d) 2 . 30 – 1 = 59.
e) 2n.
f) 2n – 1.
2. 81
3. Desenvolver a fórmula até chegar à resposta, como está apresentada no Caderno do
Professor: 2)12(...531 nnS in
4.
a) A soma )2(...642 nS pn é igual ao dobro da soma dos n primeiros
naturais, ou seja, )2(...642 nS pn = 2(1 + 2 + 3 +...+ n). Como já vimos que
a soma dos n primeiros naturais é igual a 2
)1.( nn, resulta que
nnnnnn
S pn
2)1.(
2
)1.(.2 .
b) Para S2n, temos: S2n =
2
12.2 nn = 2n2 + n.
Somando os valores de inS e de p
nS , obtemos, então, o mesmo valor que o de S2n.
5. 540º
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Páginas 44 - 45
1. 1 080º
2. No caso do quilógono, com 1 000 lados, o número de triângulos em que é possível
dividi-lo, traçando as diagonais a partir de um dos vértices, é igual a 998
(excetuando-se os dois lados cuja interseção é o vértice de onde partem as diagonais,
a cada um dos outros lados corresponde um triângulo); logo, a soma dos ângulos
internos do quilógono é igual a 998 . 180º, ou seja, 179 640º.
3. (n – 2) . 180º. Lembramos que a fórmula da soma dos ângulos internos de um
polígono convexo foi discutida na 6a série e está sendo retomada na 7a série.
Páginas 46 - 47
1.
a) Um pentágono tem cinco diagonais.
Para verificar isso, basta notar que, de cada um dos vértices do pentágono, é possível
traçar duas diagonais, uma vez que, unindo-se o vértice considerado aos vértices
adjacentes, não temos uma diagonal, mas sim um lado. Assim, sendo cinco vértices,
teremos, aparentemente, um total de dez diagonais. Na verdade, esse número precisa
ser dividido por dois, uma vez que cada diagonal é contada duas vezes: a diagonal
AB é contada a partir do vértice A e a partir do vértice B. Logo, o número de
diagonais do pentágono é cinco.
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b) Raciocinando analogamente, o número de diagonais de um hexágono pode ser
calculado da seguinte forma:
• de cada vértice partem três diagonais (descontando-se o próprio vértice e os
dois adjacentes);
• o número de diagonais será igual à metade de 6 . 3, ou seja, será igual a 9.
c) Analogamente, o número N de diagonais de um polígono de n lados será tal que:
)3.(.2
1 nnN .
2. Aqui tratamos um problema muito comum de contagem. O entendimento do
problema e a análise das condições necessárias à sua solução devem ser o ponto de
partida. No caso, devemos considerar que, quando uma pessoa A aperta a mão de
outra pessoa B, é o mesmo que quando B aperta a mão de A. Outra condição do
problema é que A não cumprimenta a si mesmo; portanto, para n pessoas, cada
pessoa dará n – 1, apertos de mãos.
Uma estratégia que pode ser utilizada na resolução desse problema é partir de um
número menor de pessoas. Por exemplo, sendo duas pessoas, só haverá um aperto de
mãos; com três pessoas, esse número passa para três apertos; para quatro pessoas,
serão seis apertos, e assim por diante. Desse modo, busca-se encontrar uma
regularidade entre o número de pessoas e o número de apertos de mãos.
Outro raciocínio é pensarmos que cada uma das sete pessoas apertará a mão de
outras seis. Serão ao todo 7 . 6 cumprimentos, mas aqui estão sendo contadas todas
as repetições (A – B e B – A). Portanto, o total de 7 . 6 cumprimentos deverá, então,
ser dividido por 2. O total de apertos de mãos distintos é, pois, 2
6.7, ou seja, é igual
a 21.
3. O número de apertos de mãos é, nesse caso, igual a 2
)1.( nn.
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AJUSTES
Caderno do Professor de Química – 7ª série/8º ano – Volume 2
Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.
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Nesse caso, note que na primeira linha sem-
pre teremos o número de bolinhas igual ao nú-
mero que representa a e figura e, na segunda li-
nha, o total de bolinhas será sempre um a menos
que o número da figura. Usando a letra n para
representar o número da figura, o total de boli-
nhas pode ser representado por n+(n – 1).
2. Identificando a regularidade por colunas
Agora, o número de colunas é igual ao nú-
mero da figura e temos duas bolinhas em cada
coluna, exceto em uma delas (última coluna)
que terá apenas uma bolinha. Se preencher-
mos a coluna que tem apenas uma bolinha
com mais uma bolinha, podemos calcular o
total de bolinhas multiplicando-se o número
de colunas pelo de linhas e subtraindo a boli-
nha adicional ao final da conta. Usando letras,
o total de bolinhas da figura n será 2n – 1.
Uma vez que as duas expressões obtidas são
equivalentes, n + (n – 1) tem de ser idêntico a
2n – 1, o que significa dizer que ambas expres-
sões devem ser válidas para qualquer n. Decorre,
portanto, que n + n tem de ser igual a 2n.
Veja agora outra sequência e algumas das
soluções possíveis:
1 2 3 4 5...
Fechando retângulos de n linhas e 3 colunas,
devemos acrescentar ainda n – 1 bolinhas.
Nesse caso, a fórmula seria 3n + (n – 1).
Completando a figura com uma bolinha, fe-
chamos retângulos de n linhas por 4 colunas.
A fórmula, que agora seria 4n – 1, pode ser
comparada com a anterior de onde se conclui
que 3n + n tem de ser igual a 4n.
Veremos, a seguir, um exemplo em que po-
demos trabalhar a multiplicação de letras:
Na resolução 1, organizamos a figura em n li-nhas por n + 2 colunas, (1: 1 linha – 3 colunas; 2: 2 linhas – 4 colunas; 3: 3 linhas – 5 colunas, etc.). Já na resolução 2, a organizamo-la em quadra-dos com n² bolinhas, mais o dobro de n (1: 1 + 2; 2: 4 + 4; 3: 9 + 6; 4: 16 + 8, etc.).