2008-12-05, השלמות חדו"א, הרצאה מספר 12

8/14/2019 2008-12-05, 12 , "

http://slidepdf.com/reader/full/2008-12-05-12 1/5

1 

 א"השלמות חדו

 '12 –05/12/2008הרצאה מס

ית בה י ר ו עי שמ הלאש ן ו ר תפ 

 א.10תרגיל

cossin  

 ד.10תרגיל

√ (1 − ) = √ 

 √ ⋅ √  √ ⋅ √ ()

2  

ים ללכו מ םי לרג טנ י א – ךשמה 

ות סנ כתהל םי א נ ת  שאלה

∫האינטגרלעבור אלו ערכי סנכתמ? 

= lim→

=∗ lim→ − + 1 = lim→ 1 − − 1− + 1

= lim→ 1 − + 1 − 1 = 1 − > 0 מתבדר

1 − < 0 1 − 1  מתכנס  

עבור*

= 1בדקנו וראינו כי

∫

-ניתן להניח אם כך ש.מתבדר

≠ 1. 

 .האינטגרל מתכנס. > 1האינטגרל מתבדר ≤ 1עבור

8/14/2019 2008-12-05, 12 , "

http://slidepdf.com/reader/full/2008-12-05-12 2/5

2 

∫-במידה ו סנכתמ ) > 1( ל סנכתמ אוה – . 

כל פונקציה:מסקנה

עבור

טבעי היא בעצם

⇐0 > = − 

⇐ 

1 ≥  .ולכן מתבדר

ון שארה הרקמה תבחרה 

 הגדרה

∫ ()ש החנהב- ב הפיצר-(−∞,]רדגומ: 

()

= lim→ ()

 דוגמאות

= lim→

= lim→[] = lim→(1 − ) = 1 

1 = lim→ 1

= lim→ −2 = lim→ − 18 + 12 = − 18 

 הגדרה

 :מגדירים(∞,∞−)רציפה בכל הקטע אם

() = ()

+ ()  

 .יםסשני האינטגרלים מתכנ⇔האינטגרל מתכנס

:lim→אין אופציה להגדיר את האינטגרל באופן הבא,שימו לב ∫ (). 

 דוגמאות

11 +

= 11 +

+ 11 +

=  

8/14/2019 2008-12-05, 12 , "

http://slidepdf.com/reader/full/2008-12-05-12 3/5

3 

11 + = lim→ 11 +

= lim→[arctan]= lim→[arctan0−arctan] = lim→ − arctan = − −

2 =

2 

11 + = lim→ 11 +

= lim→[arctan] = lim→[arctan] = 2 

ודה קנ ה תרי חבל תו ב י שח ן י א 

,-[וגם ב(∞,-[רציפה ב אם  ,אזי(∞

() = () + ()  

 ןכלו הפיצר∫ ()עובק )רפסמ( ⇐ןיב לדבה רמולכ∫  וא∫  עובקב אוה,הזו

 .ם גבוללא משנה קיו

יקה טמתי ר א י טפשמ 

 משפט

 והאינטגרלים(∞,[רציפות בקטע-ו נתונות

() , ()

,מתכנסים אז

(() ± ()

= ()

± ()

1( 

() = ()  2( 

 טענה

 ()נתונה  ,אז(∞,[רציפה בקטע0 ≤

∫ ()םייק )סנכתמ(  ⇔ () = ∫ ()ליעלמ המוסח. 

 הוכחה

()הלוע תינוטונומ:חיננ > יזא, 

8/14/2019 2008-12-05, 12 , "

http://slidepdf.com/reader/full/2008-12-05-12 4/5

4 

() = () ≥ ()

= () 

()

− ()

= ()

≥↓ 0 

→לכן,האינטגרל מתכנס )⇐(  ∫ ()יפוסו םייק. 

lim→ () = lim→ () 

F()יפוס לובג תלעב הלוע תינוטונומ היצקנופ⇐ ()ליעלמ המוסח. 

 )⇒( ()המוסח.הלוע תינוטונומ ונחכוה ףסונב.המוסחו הלוע תינוטונומ היצקנופ

 .מתכנסת לגבול סופי

lim→ () = lim→ () = lim→ () ⇒  מתכנס ()

 )מבחן ההשוואה(משפט

0 ≤ ()ומקיימות(∞,-[רציפות ב ,תהיינה ≤ ()זא: 

∫אם .א ()זא סנכתמ∫ ()סנכתמ.

∫אם .ב ()זא רדבתמ∫ ()רדבתמ. 

דוגמה

3

− 2

+ 1 − 5 + 6

0 ≤ 17 ⋅ 1()= 7 = 3 − 2 + 6 ≤ 3 − 2 + 1 − 5 + 6

() 

∫וידוע כי ⋅ רדבתמ,רדבתמ ירוקמה לרגטניאה האוושהה ןחבממ ןכלו. 

8/14/2019 2008-12-05, 12 , "

http://slidepdf.com/reader/full/2008-12-05-12 5/5

5 

 )מבחן ההשוואה(הוכחת המשפט

()נסמן = ∫ ()רידגנו() = ∫ ().םאש ונחכוה() ≥ ()בקטע

[,]אז

∫ ()

≥ ∫ ()

לכן,

() ≥ (). 

∫אם .א ()זא סנכתמ()המוסח.ש ןוויכמ-() ≤ ()זא()םג

 ). – 0חסם מלרע קיים בטוח( למכיוון שהכל חיובי מספיק חסם מלעי.כן חסומה

∫אזחסומה()אם ()סנכתמ.

∫אם .ב ()רדבתמ,ו-∫ ()מ סנכתמ-א'עבונ∫ ()סנכתמ – 

 .סתירה

 דוגמה

√ 1 +  

0 ≤ √ 1 + ≤ √  = 1  

∫ סנכתמ1 < =  ⇐ האוושהה ןחבממ∫ √  סנכתמ. 

ית ב י ר ו עי ש 

 11-18שאלות

 לופיטל:12רמז לשאלה

 תלמידונתמאתראליךהגיעזהמסמך

http://talmido.netמסמכים נוספים ניתן למצוא בכתובת

 רשת חברתית לשיתוף תכנים אקדמים