Courbes planes paramétrées. ______________________ I.Généralités. Le plan est muni du repère R=(O, j i r r , ) . 1. Définition d’une courbe paramétrée Soit D une partie de ℝ et f et g 2 fonctions numériques d’ensemble de définition D.. Pour tout t de D, soit M(t)le point du plan défini par ) (t OM =f(t) i r +g(t) j r , pour tout t de D. La notation M associe à tout réel t de D un seul point du plan noté M(t) ; on dit que M est une fonction ponctuelle , définie sur D. (C), l’ensemble de tous les points M(t), où t est dans D, muni de la fonction ponctuelle M, est appelé courbe paramétrée. On dit qu’une représentation paramétrique de (C), dans le repère R=(O, j i r r , ) du plan, est donnée par l’écriture suivante : x=f(t) y=g(t) où t∈D. (C) j O i f(t) g(t) M(t) 2. Propriétés éventuelles de M. M est considérée comme une fonction de la variable réelle t. * Parler de continuité ou de limite au sujet de M, revient à parler des continuités de f et g, ou des limites de f et g. Si D est un intervalle sur lequel f, g, et M sont continues, la courbe (C) est continue. * Dériver la fonction ponctuelle M revient à dériver f et g : Si f et g sont dérivables en t 0 , f,g et M sont continues en t 0 et on écrit : dt M d (t 0 )= f’(t 0 ) i r +g’(t 0 )j r ; c’est le vecteur-dérivé de M en t 0 4. Tangente à (C) au point M 0 . a) Définition. Soit t 0 dans D tel que f et g soient dérivables en t 0 avec (f’(t 0 ) ; g’(t 0 ))≠(0 ;0) .
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Courbes planes paramétrées.
______________________
I.Généralités.
Le plan est muni du repère R=(O, jirr
, ) .
1. Définition d’une courbe paramétrée
Soit D une partie de ℝ et f et g 2 fonctions numériques d’ensemble de définition D..
Pour tout t de D, soit M(t)le point du plan défini par )(tOM =f(t) ir
+g(t) jr
, pour tout t de D.
La notation M associe à tout réel t de D un seul point du plan noté M(t) ; on dit que M est une
fonction ponctuelle, définie sur D.
(C), l’ensemble de tous les points M(t), où t est dans D, muni de la fonction ponctuelle M, est
appelé courbe paramétrée.
On dit qu’une représentation paramétrique de (C), dans le repère R=(O, jirr
, ) du plan, est
donnée par l’écriture suivante : x=f(t)
y=g(t) où t∈D.
(C)
j
O i f(t)
g(t)
M(t)
2. Propriétés éventuelles de M.
M est considérée comme une fonction de la variable réelle t.
∗ Parler de continuité ou de limite au sujet de M, revient à parler des continuités de f et g, ou
des limites de f et g.
Si D est un intervalle sur lequel f, g, et M sont continues, la courbe (C) est continue.
∗ Dériver la fonction ponctuelle M revient à dériver f et g :
Si f et g sont dérivables en t0,
f,g et M sont continues en t0 et on écrit : dt
Md(t0)= f’(t0) i
r+g’(t0) j
r ; c’est le vecteur-dérivé
de M en t0
4. Tangente à (C) au point M0 .
a) Définition.
Soit t0 dans D tel que f et g soient dérivables en t0 avec (f’(t0) ; g’(t0))≠(0 ;0) .
dt
Md(t0) = f’(t0) i
r+ g’(t0) j
r est un vecteur non nul .
Soit M0=M(t0), le point de (C) muni de la valeur t0. On dit que la droite (T), passant par
M0, de vecteur directeur dt
Md(t0) est la tangente à (C) ,en M0, pour la valeur t0.
b) Interprétation géométrique.
∗ Soit D* l’ensemble des réels t de D tels que M(t)≠M(t0). La propriété « f’(t0)≠0 ou
g’(t0)≠0 » permet de prouver que D* contient les réels de D, distincts de t0, qui sont assez
proches de t0(Autrement dit : D* contient les réels t de D, distincts de t0, qui se trouvent dans
un intervalle ]t0–α ; t+α[ où α est un réel strictement positif ).
∗∗ Pour t dans D*,
① La droite (M0M(t)) passe par M0 et a pour vecteur directeur :
)(0 tMM =(f(t)–f(t0) ir
+(g(t)–g(t0)) jr
ou vr
(t)= 0
1
tt −)(0 tMM = j
tt
tgtgi
tt
tftf rr
0
0
0
0 )()()()(
−
−+
−
−.
② Par définition des nombres dérivés :
0
0 )()(lim
0 tt
tftf
tt −
−
→= f’(t0) et
0
0 )()(lim
0 tt
tgtg
tt −
−
→=g’(t0) où
dt
Md(t0) = f’(t0) i
r+ g’(t0) j
r.
Alors on peut écrire 0
limtt→
vr
(t)=dt
Md(t0) et on dit que :
(T), la tangente à (C) en M0, pour la valeur t0, est la position-limite de la sécante (M0 M(t)) à
(C), lorsque t tend vers t0.
Bien sûr, M étant continue en t0, lorsque t tend vers t0, le point M(t) tend vers M0.
dt
Md (t0)
g(t0) M0
jr
vr
(t)
O ir
f(t0) f(t)
g(t) M(t)
(C)
II. Etude d’exemples.
① 1er énoncé :
R=(O, jirr
, ) est un repère orthonormal du plan (unité graphique : 2 cm).
A chaque valeur du réel t de [-1 ;3] on associe le point M(t) de coordonnées :
(C) est la courbe décrite par le point M.
1°) Etudier, sur l’intervalle [-1 ;3], le sens de variation des fonctions x et y.
On regroupera tous les résultats dans un même tableau, en y mettant les valeurs de x’(t),y’(t),
x(t),y(t) pour t dans {-1 ; 0 ; 3/2 ; 3}.
2°) Placer les points M(t) pour t dans {-1 ; 0 ; 3/2 ; 3} ; tracer en chacun de ces points les
tangentes à (C) , en expliquant les constructions.
3°) Tracer (C).
Résolution : 1°) x et y sont définies, dérivables et continues sur [-1 ;3] avec x’(t)=2t et
y’(t)=2t–3 ; on a sans problème les signes de x’(t) et y’(t) en fonction de t et les valeurs de x, y,
x’ et y’en –1, 0, 3/2 et 3 ; par exemple y(3/2)= 9/4–3(3/2)=9/4–18/4= -9/4. D’où le tableau :
t -1 0 3/2 3
x’(t) -2 – 0 + 3 + 6
y’(t) -5 – -3 – 0 + 3
x(t)
1 0 9/4 9
--
y(t)
4 0 -9/4 0
2°) D’après les valeurs du tableau, M(-1), M(0), M(3/2), M(3) sont les points de coordonnées