1 • 2.0 Introdução • 2.1 Sinais discretos: Seqüências • 2.2 Sistemas discretos no tempo • 2.3 Sistemas lineares discretos no tempo - LTI • 2.4 Propriedades de sistemas LTI • 2.5 Equações diferença lineares com coeficiente constante • 2.6 Representação no domínio da freqüência • 2.7 Representação de seqüências por transformada de Fourier • 2.8 Propriedades de simetria transformada de Fourier • 2.9 Teoremas da transformada de Fourier. Capítulo 2 Sinais e Sistemas Discretos no Tempo
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2.0 Introdução 2.1 Sinais discretos: Seqüências 2.2 Sistemas discretos no tempo
Capítulo 2 Sinais e Sistemas Discretos no Tempo. 2.0 Introdução 2.1 Sinais discretos: Seqüências 2.2 Sistemas discretos no tempo 2.3 Sistemas lineares discretos no tempo - LTI 2.4 Propriedades de sistemas LTI 2.5 Equações diferença lineares com coeficiente constante - PowerPoint PPT Presentation
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Transcript
1
• 2.0 Introdução
• 2.1 Sinais discretos: Seqüências
• 2.2 Sistemas discretos no tempo
• 2.3 Sistemas lineares discretos no tempo - LTI
• 2.4 Propriedades de sistemas LTI
• 2.5 Equações diferença lineares com coeficiente constante
• 2.6 Representação no domínio da freqüência
• 2.7 Representação de seqüências por transformada de Fourier
• 2.8 Propriedades de simetria transformada de Fourier
• 2.9 Teoremas da transformada de Fourier.
Capítulo 2 Sinais e Sistemas Discretos no Tempo
2
2.0 Introdução
• Sinal: alguma coisa que contém informações sobre o estado ou
comportamento de um sistema físico, por exemplo sinal de voz.
• Sinais contínuos no tempo: definidos ao longo de um intervalo
de tempo contínuo e são representado por uma variável contínua
independente.
• Sinais discretos no tempo: definidos para tempo discreto, e são
representados como uma seqüência de números.
• Sistema de processamento de sinais
– Sistemas contínuos no tempo
– Sistemas discretos no tempo
3
Exemplo de sinais: a) Contínuo no tempob) Sequências de amostras obtidas para T = 125 s
Sinal discreto no tempo
4
• Sinais Digitais: sequências indexadas de números (reais ou
complexos). O índice n é usado como tempo discreto, tal como
o clock instantâneo de um processador digital.
• Função impulso unitário discreta: Sequência de uma única
amostra.
2.1 Sinais Discretos no Tempo: Sequências
0;0
0;1)(
n
nn
kn
knkn
;0
;1)(ou
)(n
0 1 2 3
)( kn
0 1 2 3 k k+1
1 1
5
• O impulso unitário segue as mesmas regras da função impulso
unitário ou função delta de Dirac.
• A propriedade da integração da função impulso envolvendo
deslocamento pode ser visto como a propriedade do somatório
de sequências unitárias deslocados.
Propriedade do deslocamento
• Uma seqüência discreta pode ser expressa como a soma de
impulsos unitários discretos, deslocados e multiplicados por um
peso:
• Outra interpretação usando convolução.
k
knkxnx )()()(
)(*)()( nnxnx
Impulso unitário ou sequência unitária
6
• Função degrau unitário
0;0
0;1)(
n
nnu
kn
knknu
;0
;1)(ou
)(nu
0 1 2 3
)( knu
0 1 2 3 k k+1
1 1
4 5 k+2
• Outra interpretação:
kn
m
mknu )()( )1()()( nunune
k+3
0
)()()(m
n
m
knmnu
7
Exponencial
nAnx ][
Senoidal
)cos(][ nAnx o
8
• Um sistema discreto no tempo é definido matematicamente
como uma transformação ou um operador que mapeia uma
sequência de de entrada com valor x[n] em uma outra sequência
com valor y[n], isto é:
Classificação:
• Sistemas sem Memória
• Sistemas Lineares
• Sistemas Invariante no tempo
• Sistema Causal
• Sistema Estável
2.2.1 Sistemas Discretos no tempo
)]([T)( nxny
],........[][],[][ 1100 nynxnynx
]}[{]}[{]}[][{ 2121 nxbTnxaTnbxnaxT
)()( then),()( 00 nnynnxnynx
],......}2[],1[],[{][ nxnxnxTny
yx BnyBnx ][][
9
• Um sistema L é causal, se para qualquer no, os valores da sequência
de saída para n = no dependem somente dos valores da sequência de
entrada par n no, ou seja y(n) é uma função de {…, x(n-2), x(n-1),
x(n)} somente.
• Teorema (LTI Causalidade) - Um sistema LTI com resposta impulso unitária h(n) é causal e e somente se:
Prova: Uma entrada x(n) resulta em uma saída
O segundo termo será zero para qualquer entrada se e somente se:
ou (trocando a variável)
2.2.2 Causalidade
.0for 0)( nnh
.)()()()()()()(1
n
m nm
mxmnhmxmnhmxmnhny
,....,2,1for 0)( nnmmnh
.1,2,3,...,for 0)( mmh
10
• Um sistema pode ser processado em tempo real (produzindo uma
saída imediata para cada instante de tempo n) se e somente se o
sistema é causal.
• Se o processamento em tempo real não é necessário, então o sistema
pode ser chamado de realizável se a saída pode ser computada usando
uma base com retardos, ou equivalentemente, se a resposta impulso
pode se tornar causal por um dado número de deslocamentos, ou seja:
e h(n) tornar-se-á realizável por um deslocamento de N amostras
• Um sistema com um número infinito de coeficientes não causal na
resposta impulso unitário é não realizável.
2.2.3 Processamento em Tempo Real e Realizável
},...,);({ Nnnh ).()(' Nnhnh
11
• Um sistema L é estável no sentido BIBO (bounded-input,
bounded-output stable) se somente se, para qualquer entrada
limitada a saída resultante é também limitada.
• Formalmente - O sistema L é estável se somente se para algum
AR, A>0, é verdadeiro que:
Então existe um BR, B>0, tal que:
onde
2.2.4 Estabilidade
limitado) é ( todopara )( xnAnx
limitado) é ( todopara )( ynBny
)].([L)( nxny
12
• Teorema (LTI estável) - Um sistema LTI é estável se somente
se ele tem uma resposta impulso unitário h(n) absolutamente
somável, ou seja:
Prova:
• Suficiência: Suponha que e que , para
todo n. Então para qualquer instante de tempo n
n
nh )(
n
rnh )( Anx )(
m
mnxmhny )()()( )()(
m
mnxmh
mm
ArmhAmnxmh )()()(
13
• Teorema (LTI estável): Prova
– Necessidade: Por contradição, suponha que ,
e definindo x(n) como:
Então
n
nh )(
(limitado) 0)(;1
0)(;1)](sgn[)( 0
nh
nhnhnnx
.)()()()( 00
mm
mhmnxmhny
Para a prova S é verdadeira se somente se T é verdadeiro.
14
• Um sistema L é um processo de transformação de sinais.
• Um sistema L é linear se, para qualquer x(n), v(n) tal que
e qualquer constante , tem-se:
• Um sistema é invariante no tempo (ou invariante ao deslocamento) se para todo x(n) tal que , tem-se, para todo k, que :
2.3.1 Sistemas discretos lineares e invariante no tempo (LTI)
)]([L)( nxny )]([L)( nvnw e
Ly (n )= L [x (n )]
y(n)x(n)
Rba ,
)]()([L)()( nbvnaxnbwnay
)]([L)( nxny
)]([L)( knxkny
15
• A resposta ao impulso unitário de um sistema L é definida por:
• Se o sistema L é LTI, então se
Então:
A resposta impulso unitário de um sistema LTI discreto no tempo
caracteriza um sistema da mesma forma que caracteriza os
sistemas LTI contínuos no tempo.
• Resposta ao impulso unitário Resposta a qualquer entrada
2.3.2 Resposta ao impulso unitário de um sistema linear
)]([L);( mnmnh
)]([L)( nnh
)]([L)( mnmnh
16
• A resposta de um sistema tem duas componentes:
– Resposta devido ao estado inicial (resposta a entrada zero),
– Resposta devido a entrada (resposta estado zero),
• Supondo agora, que o estado inicial é zero, então:
• Para determinar a resposta para uma entrada arbitrária x(n):
2.3.3 Resposta de sistemas LTI a uma entrada qualquer
)(nyzi
][][][ nynyny zszi
)(nyzs
][][ nyny zs
m
mnmxnxny ][][L][L][
m
mnmx ][L][
m
mnhmx ];[][
m
mnhmx ][][
(deslocamento)
(linearidade)
(se variante no tempo)
(se for LTI)
17
• Segue a mesma regra da integral convolução para sinais contínuos no tempo.
• Se L é um sistema LTI com resposta impulso unitário h(n), ou seja:
e então
É a convolução soma ou convolução discreta que pode ser diretamente avaliada diretamente para cada n, por computador ou na mão.
• Exceto para certos sinais simples, uma forma fechada para o resultado é difícil de ser obtida.
• A operação de convolução é representada por:
2.3.4 Convolução Soma
][L][ nxny
m
mnhmxny ][][][
][*][][*][][ nxnhnhnxny
18
• Todos os sistemas LTI são descritos são descritos pela convolução soma.
• Comutativa:
• Distributiva:
2.4.1 Propriedades de Sistemas LTI
][*][][*][][ nxnhnhnxny
m
mnhmxny ][][][
][*][][*][])[][(*][ 2121 nhnxnhnxnhnhnx
][nx ][1 nh ][ny
][nx ][ny][1 nh
][nx ][*][ 21 nhnh ][ny
Cascade connection of LTI Systems
][1 nh][2 nh
][2 nh ][2 nh
][nx ][ny
][nx ][][ 21 nhnh ][ny
Parallel connection of LTI Systems
19
• Retardo ideal
• Média móveis
• Acumulador
• Forward Difference
• Backward Difference
2.4.2 Exemplos de Sistemas LTI
0],[][ dd nnnnh
otherwise.,0
,1
1][
1
1][ 21
2121
2
1
MnMMMkn
MMnh
M
Mk
][0,0
0,1][][ nu
n
nknh
n
k
].[]1[][ nnnh
].1[][][ nnnh
][nx Forwarddifference ][ny
][nx ][nyForwarddifference
][nx Backward difference ][ny
Example 1
One-sampledelay
One-sampledealy
Example 2
][nx Accumulatorsystem
][nxBackwarddifference
system
][ny
20
• Um sistema LTI discreto LTI pode ser caracterizado por uma
equação diferença linear com coeficientes constantes (EDLCC).
• Ela pode ser visto como o análogo discreto de uma equação
diferencial linear com coeficientes constantes aplicada na teoria de
sistemas contínuos.
• Exemplo - Equação diferença genérica:
que é uma soma ponderada de saídas deslocadas expressa como
uma soma ponderada de entradas deslocadas para um dado instante
de tempo.
2.5.1 Equação Diferença Linear com Coeficientes Constantes EDLCC
K
k
M
m
mnxmaknykb0 0
.)()()()(
21
• Se M=0, a(0)=1; K=2, b(0)=1, b(1)=1/2, b(2)=1/8, então a ED torna-se
Que tem uma representação gráfica (signal-flow graph):
• Dado um sistema descrito por uma EDLCC, a saída do sistema pode ser encontrada pela solução da ED no domínio do tempo ou da transformada Z.
• Solução no domínio do tempo:
– Solução homogênea
– Solução particular
2.5.2 EDLCC Exemplo
)()2(8
1)1(
2
1)( nxnynyny
)(nx )(nyU n it
de lay
U n itde lay
)1( ny1 /2
1 /8)2( ny
+
- -
A D ig ita l F ilte r
)(nyh
)(ny p
22
• Descreve o comportamento geral de um sistema (estado
estacionário).
• Supondo uma entrada nula:
• A entrada nula de uma EDLCC’s é caracterizada por uma soma
de respostas exponenciais da forma
• Substituindo na EDLCC tem-se:
ou
Que é a equação que caracteriza a EDCC. Ela tem K raízes e
portanto, K soluções.
2.5.3 Solução Homogênea de EDLCC
0])(...)1()0([)( 1
0
KnnnK
k
kn zKbzbzbzkb
K
k
knykb0
0)()(
. )( nh zny
0)(...)1()0( 1 Kbzbzb KK
23
• Case I: K raízes distintas tal que
onde os coeficientes são determinados usando-se as
condições iniciais, depois encontra-se a solução particular.
• Case II: Múltiplas raízes. Por exemplo, supondo que a m-ésima
raiz rm é uma raiz múltipla de ordem Q. Então a solução da
equação homogênea será da forma:
onde os coeficientes são determinados pelas condições
de contorno.
2.5.4 Solução da equação Característica
Q
q
nq
qQqh QKrnny
1raízes). outras as para termos()(
Kkkr 1}{
. )(1
K
k
nkkh zny
K ,...,1
K ,...,1
24
• Exemplo I: Suponha existe uma raiz dupla em 0.3 e uma raiz simples para 0.1. Então a solução da equação homogênea é:
• Exemplo II: Dado um filtro digital
A equação característica: [fazendo x(n)=0]
Ou que tem raízes tal que a solução homogênea é:
2.5.5 Exemplo: Solução da equação característica
nnnh nny )1.0()3.0()3.0()( 121
)(2(8
1)1(
2
1)( nxnynyny
08
1
2
12 zz )1(4
1, 21 jrr
nnh jjny )
4
1
4
1()
4
1
4
1()( 21
25
• Função exponencial constitui-se em uma importante ferramenta na teoria de sistemas lineares discretos e contínuos. Serve como solução homogênea para as equações diferenças e equações diferenciais.
• Condição de estabilidade BIBO: No contexto da transformada Z, as raízes da equação característica (geralmente complexa) deve satisfazer:
para que o sistema causal seja estável (BIBO).
• Representação gráfica das raízes: Outra maneira resolver é considerar que as raízes devem esta localizadas dentro do círculo unitário.
Obs. No caso contínuo as raízes estão
no semi-plano esquerdo.
2.5.6 Raízes da equação característica
.,...,1 ,1 Kkrk
1 R e
Im
26
• Conhecendo-se a solução forçada, a solução particular
da EDCC depende da forma de entrada x(n).
• Geralmente, a solução particular é difícil ou as vezes
impossível de determinar de uma forma fechada, e então
empregam-se métodos numéricos para encontrar uma
solução aproximada.
• A solução particular para uma dada entrada x(n) não
especifica completamente a resposta, daí que deve ser
adicionada solução homogênea.
• Os coeficiente múltiplos da ED são encontrados aplicando-
se condições iniciais extras.
2.5.7 Solução particular da EDLCC
)(ny p
)(ny p
)(ny p
27
• Baseado na observação da forma de entrada, faz-se uma suposição
para a forma de saída, por exemplo se a entrada é ,
supõem-se que a saída é: .
• Este método trabalha com sequências de entrada da forma:
, ou qualquer combinação linear ou
produto entre elas.
• Método para encontrar a solução particular.
– Dada a entrada , supõem-se que .
– Substitui-se na ED não homogênea e encontra-se
– Aplicam-se as condições iniciais para resolver para resolver a
equação e obter a solução total:
2.5.8 Encontrando a solução particular da EDLCC
nnx )(n
p ny )(
np ny )(nnx )(
np ny )(
).()()( nynyny ph
pn nnn (d) );sin( (c) );cos( (b) ; (a)
np ny )(
28
• Considere a seguinte EDLCC:
• Encontre para dada:
– a condição inicial:
– entrada:
• Solução numérica:
• Deve-se encontrar uma forma fechada para a expressão de y(n).
2.5.9 Exemplo
)()2(9)( nxnyny
)(ny
nnnx 2)(
,...,0n
0)2()1( yy
20)1(9)3()3(
6)0(9)2()2(
2)1(9)1()1(
0)2(9)0()0(
yxy
yxy
yxy
yxy
29
• Solução homogênea: Seja . A equação característica é
, que tem as seguintes raízes: Então:
• Solução Particular: Como a entrada é , então
Substituindo na equação diferença:
Resolvendo a equação, tem-se:
Então
• Solução Total:
, onde
(Estável?)
2.5.9 Solução Total da EDLCC
0)2(9)( nyny
092 z .3, 21 rrnn
h ny )3()3()( 21
CBnAnny p 2)(
nnnx 2)(
.])2()2([9 222 nnCnBnACBnAn
.64
63,
16
11,
8
1 CBA
.64
63
16
11
8
1)( 2 nnny p
64
63
16
11
8
1)3()3()()()( 2
21 nnnynyny nnph
64
9,
8
921
].63448)3(9)3(72[64
1)( 2 nnny nn
30
• Suponha que entrada de um sistema LTI discreto resposta ao
pulso unitário h(n) é uma função exponencial complexa
• Então a saída é:
• Note que isto é o produto da entrada com outra
função somente de (ou de somente):
• A função é a resposta em frequência do sistema através
da qual a função exponencial de entrada é escalada e transladada
por: e
2.6.1 Resposta em Frequência
mj
m
njmnj
mm
emheemhmnxmhy
)()()()( )(
)sin()cos()( njnenx nj
njenx )(je
)}.({exp)()()( j
m
jmjj eHjeHemheH
)( jeH
)( jeH )( jeH
31
• Definição: A transformada de Fourier (FT) de uma sequência x(n)
é dada por:
contanto que x(n) seja absolutamente:
• A somabilidade absoluta (ou quadrática) é condição suficiente
para a existência da FT.
• Definição: A transformada de Fourier Inversa (IFT) da função
é dada por:
• Obs: A transformada de Fourier de uma sequência pode ser
interpretada em termos da representação em série de Fourier.
2.7.1 Transformada de Fourier de Sequência
nj
n
j enxeX
)()(
.)(
n
nx
)( jeX.)(
2
1)(
deeXnx njj
32
2.7.2 Interpretações da Transformada Fourier• Sinais: A transformada de Fourier de um sinal x(n)
descreve o conteúdo de frequência do sinal.
– Para cada frequência , o espectro de amplitude
descreve a importância daquela frequência contida no sinal.
– Para cada frequência , o Espectro de fase
descreve a localização (deslocamento relativo) daquela
componente de frequência do sinal.
• Sistemas: A resposta em frequência de um sistema linear
descreve como as frequências de entrada do sistema são modificadas
– Uma componente de frequência da entrada é amplificada ou
atenuada por um fator
– Uma componente de frequência da entrada é defasada por
uma quantidade
)( jeX
0 )( 0jeX
0 )( 0jeX
)( jeH
0.)( 0jeH
0
).( 0jeH
33
2.7.3 Exemplo: Filtro Passa-Baixa
• O sinal discreto h(n) cujo espectro de amplitude é é composto
principalmente por baixas frequências, isto é, frequências abaixo de uma
dada frequência de corte . Frequências mais altas ocorrem com baixa
amplitude.
• Um sistema discreto com espectro de amplitude como mostrado acima
deixa passar baixas frequência com um ganho maior que as altas.
• As frequências mais altas se aproximam de
c
)( 0jeH
0 22
Espectro de Amplitude de um filtro passa-baixa ou sistema passa-baixa
c
.)12( k
)( 0jeH
34
• Suponha que a entrada de um sistema linear real h(n), é
uma função senoidal
Mas
E então:
Como h(n) é real, , então
2.7.4 Resposta de um sistema linear a uma entrada senoidal
)cos()( 00 nAnx
)( jeH
)0( 0 A
)()(0
00
2
1)cos( njnj een
)()(2
)( 0000 )()(0 jnjjnj eHeeHeA
ny
)()( 00 * jj eHeH
*)()(0 )()(2
)( 0000 jnjjnj eHeeHeA
ny
)(Re 00 )(0
jnj eHeA
)sin()(Im)cos()(Re 000000 neHAneHA jj
)](cos[)( 0000
jj eHneHA
35
• A resposta a uma função senoidal com frequência não é
afetada pelo processo de filtragem, exceto por um ganho
(atenuação ou amplificação) e a fase por deslocamento
• Definições: Espectro de amplitude da transformada de Fourier
Espectro de Fase
• A transformada de Fourier pode ser expressa na forma:
2.7.5 Analise da resposta senoidal
)( 0jeH
0
)( 0jeH
2/1222/1* )()()()()( jI
jR
jjj eHeHeHeHeH
)(
)(tan)( 1
jR
jIj
eH
eHeH
)(Im)(
)(Re)(
jjI
jjR
eHeH
eHeH
onde,
)( 000 )()(
jeHjjj eeHeH
36
2.7.6 Exemplo: Função impulso
• Função impulso: )()( nAnx
)(nx
0 1 2 3
A
-1-2-3
n
njj enAeX )()(
AAe j 0
].,[
)( jeXA
n
37
2.7.6 Exemplo: Função “Comb”
• Função “Comb”:
else;0
1;)(
NnAnx
1
1
)(N
Nn
njj eAeX
)cos(1
)cos()]1(cos[
NN
A
].,[
)(nx
0
A
-1-4-5
n
-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8
)( jeXA
38
2.7.6 Exemplo: Função pulso triangular
• Pulso triangular:
else;0
1)];1/(1[)(
NnNnAnx
1
1
1
1 1
1)(
N
Nn
njN
Nn
njj enN
eAeX
. que Note1
1
1
1
N
n
njN
n
nj ed
djne
)(nx
0
A
-1-4-5
n
-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8
)( jeXA
39
2.7.6 Exemplo: Exponecial unilateral
• Exponencial unilateral:
else;0
0;)(
nanx
n
0
)(n
njnj eaeX ja-e
a
.,
)(nx
0
1
-1-4-5
n
-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8
)( jeX
2
(a=2)
40
2.7.6 Exemplo: Exponencial bilateral
• Exponencial bilateral: )1( )( aanx n
n
njnj eaeX )(1)cos(2
12
2
a-a
a
., )(nx
0
1
-1-4-5
n
-6-7 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 8-8
)( jeX
3
(a=2)
41
• Definições:
– Qualquer x(n) pode ser expresso como a soma de um sequência
conjugada simétrica (x(n) real e par) com uma sequência conjugada
antisimétrica (x(n) real e ímpar):
onde,
• Similarmente, a transformada de Fourier pode ser expressa
como a soma de funções conjugadas simétricas e antisimétricas.
Onde,
2.8.1 Propriedades de Simetria da Transformada Fourier