**** A Partir de aqui 22- Oct- 2005 **** Campos de Galois El grado de un polinomio es la potencia mayor de X con coeficiente ≠ 0 . Existen 2 n polinomios sobre GF(2) con grado n Ej.si n = 2 :x 2 , 1− x 2 ,x x 2 , 1x x 2 Sea f x = f 0 f 1 x f 2 x 2 ... f n x n f i ={ 0,1 } 0≤i ≤ n g x = g 0 g 1 x ...g m x m g j ={ 0,1 0≤ j ≤m f x g x = f 0 g 0 f 1 g 1 x ... ...f m g m x m f m1 x m1 ... f n x n f x ⋅g x = c 0 c 1 x c 2 x 2 ...c n m x n m c 0 = f 0 g 0 c 1 = f 0 g 1 f 1 g 0 c 2 = f 0 g 2 f 1 g 1 f 2 g 0 c i = f 0 g i f 1 g i − 1 f 2 g i − 2 ...f i g 0 c n m = f n g m si g x = 0 porlotanto:f x ⋅0= 0 Los polinomios sobre GF(2) satisfacen las condiciones: 1) Conmutativa: [email protected]1/ 23 http://www.cicese.mx/~jasan
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2: x 1 x f x = f x f ={0,1 g x =g x g 0,1 - CICESEusuario.cicese.mx/~jasan/ClaseSCD5.pdf · 2008-02-22 · 2l se llama conjugado de . Si es una raiz de x 2m−1 1 entonces: 2m−1
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**** A Partir de aqui 22- Oct- 2005 ****
Campos de Galois
El grado de un polinomio es la potencia mayor de X con coeficiente
≠0 .
Existen 2n polinomios sobre GF(2) con grado n
Ej. si n= 2 : x 2 , 1−x 2 , xx 2 , 1xx 2
Sea f x = f 0 f 1 x f 2 x2... f n xn
f i={0 ,1}0≤i≤n
g x =g0 g1 x...gm xm
g j={0,10≤ j≤m
f x g x = f 0g0 f 1g1 x...
... f mgm xm f m1 xm1... f n xn
f x ⋅g x =c 0c 1 xc 2 x 2...c n m x n m
c 0= f 0 g 0
c 1= f 0 g 1 f 1 g 0
c 2= f 0 g 2 f 1 g 1 f 2 g 0
c i= f 0 g i f 1 g i−1 f 2 g i−2... f i g 0
c n m= f n g m
si g x = 0por lo tan to : f x ⋅0=0
Los polinomios sobre GF(2) satisfacen las condiciones:
Si f(x) es dividido por g(x) y r(x)=0, se dice que f(x) es divisible por g(x) y que g(x)es un factor de f(x).
Si un polinomio f(x) sobre un GF(2) tiene un #par de términos, es divisible por x+1
Un polinomio p(x) sobre GF(2) de grado m se dice que es irreducible sobre GF(2) si p(x) no es divisible por cualquier polinomio sobre GF(2) de grado <m pero mayor que cero.
Se ha probado que si m≥1 , exsite un polinomio irreducible de grado m.
Teorema 2.6.- Cualquier polinomio irreducible (sobre GF(2)) de grado
m, divide a x2m−11 ejemplo:
x3x1 divide a x71
x4x2x1
x3x1 x7
x7....x5x 4
x5x41
x5x3x2
x4x3x21
x4x2x
x3x1
x3x10
Un polinomio irreducible P(x) de grado m se dice que es “primitivo” si
el entero positivo mas pequeño “n” para el cual p(x) divide a xn1
=x 2 2 x 9x 2 8 x6=x 4 2 8 x 3 61 09 x 21 7 8 x1 5
=x 4x 3x 2x1
El orden de es el más pequeño entero n, tal que n=1 por lo
tanto, el orden de un campo es el # de elementos - 1 2m−1
Espacios Vectoriales.
Sea V un conjunto de elementos sobre los cuales se define una operación binaria llamada “suma” (+). Sea F un campo. Se define una operación “multiplicación” (*) entre los elementos en F y los elementos en V. Al conjunto V se llama “Espacio vectorial” sobre F si satisface:
i) V es un grupo conmutativo bajo la suma.
ii) Para cualquier elemento a en F y v en V, a∗v es un elemento en V.
iii)(Ley distributiva) Para cualquier elemento u y v en V, y cualquier elemento a & b en F
a∗ uv =a∗ua∗v
ab ∗v= a∗vb∗v
iv) (Ley asociativa) Para cualquier v en V y a & b en F,
a∗b ∗v=a∗ b∗v
v) Sea 1 el elemento unitario de F. Entonces, para cualquier
v en V
1∗v=v
Los elementos de V se llaman vectores y los elementos del campo F escalares . La suma sobre V se llama suma vectorial y la multiplicación que combina un escalar en F y un vector en V hacia un vector en V se
Ejemplo: Sea n=5, el espacio vectorial V 5 de todas las 5- tuplas sobre GF(2) consistente de 32 vectores.
0000000001....11111
La suma vectorial de (10111) y (11001) es (01110) pertenece a V 5
0*(10111) = (00000)1*(10111) = (10111)....
Teorema 2.8.- Sea S un subconjunto del espacio vetorial V sobre un campo F, entonces S es un subespacio de V si se satisfacen las siguientes condiciones:
i) Para cualquier 2 vectores u y v en S, uv es también un vector en S.
ii) Para cualquier elemento a en F y cualquier vector u u en S,
a∗u también pertenece a S.
Ejemplo: Del conjunto V 5 , el subconjunto de vectores {(00000),(00111),(11010),(11101)} satisface ambas condiciones (i & ii) y
se dice que es v 1 , v 2 ,... , v k linealmente dependiente si existen k
escalares a1, a2 , ... , ak del campo F, no todos cero tal qe:
a 1 v 1 a 2 v 2... a k v k=0
Ejemplo:
Los vectores (10110), (01001) y (11111) son linealmente dependientes puesto que 1*(10110) + 1*(01001) + 1*(11111) = (00000) sin embargo, (10110), (01001) y (11011) son linealmente independientes. Las ocho combinaciones lineales de los tres vectores son:
Un conjunto de vectores se dice que se expande a un espacio vectorial V si cada vector en V es una combinación lineal de los vectores en el conjunto. En cualquier espacio o subespacio vectorial existe el menos un conjunto B de vectores linealmente independientes que expanden el espacio. Este conjunto es llamado base del espacio vectorial. El número de vectores en una base de un espacio vectorial se llama la dimensión del espacio vectorial.
Considerando el espacio vectorial V n de todas las n tuplas sobre GF(2):
v= u 0u 2 u 3 , u 0u 1u 2 , u 1u 2u 3 , u 0 , u 1 , u 2 , u 3
Para cualquier matriz (k x n) G con k renglones linealmente independientes existe una matriz H de ( n- k ) x n elementos, con n- k renglones linealmente independientes tal que cualquier vector -renglón en G es ortogonal a los reglones en H y cualquier vector que es ortogonal a los renglones de H está en el espacio de renglones de G.
Ua n- tupla v es una palabra código generada por G⇔ v⋅H T= 0