2. Wellenoptik 2.1. Koh ärenz Kohärenz Interferenzfähigkeit (fast) monochromatischer Lichtwellen Maß der Phasenkorrelation Quantenmechanik Energieunschärfe τ E δ 1 τ 1 ω Photon, = 2 atomare Übergänge Emission von Licht- Wellenpaketen (Photonen) E 1 Energieniveaus der Hüllenelektron en 2.1.1. Zeitliche (bzw. longitudinale) Koh ärenz E E 0 Grundzustand: Lebensdauer E 1 angeregter Zustand: Lebensdauer e ω E E ν h 0 1 2 h
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Transcript
2. Wellenoptik2.1. Kohärenz
Kohärenz Interferenzfähigkeit (fast) monochromatischer Lichtwellen Maß der Phasenkorrelation
Quantenmechanik Energieunschärfe τ
Eδ 1
τEδ 1
τ
1ω
τ
1ω
Photon, = 2
atomare Übergänge Emission von Licht-Wellenpaketen (Photonen)
Fraunhofer-Beugung: Quelle & Empfänger im Unendlichen
mathematisch präzise: d,D λρ2
d,D λρ2
D Abstand Quelle / Blended Abstand Blende /
Detektor max. Blendendurchmesser Wellenlänge des Lichts
yx,
iny,x sinθkk
yx,
outy,x sinkk
Experimentelle Realisierung:
L2L1
Schirm / Detektor
Quelle
Blende
dy dxecosθcosy,xε.constE yyxx sinsinθysinsinθxki
Blende
P
sinyksinxk0,0dky,xdk dλρ
yx
2
O sinyksinxk0,0dky,xdk dλρ
yx
2
O
Taylorentwicklung:
Oft ist 0, ≪ 1 dy dxey,xε.constE yx yxki
Blende
P dy dxey,xε.constE yx yxki
Blende
P
Fresnel-Beugung: Quelle oder Empfänger nahe an der Blende
mathematisch: Doder d λρ
λρ 22
Doder d λρ
λρ 22
experimentell erzeugbar ohne Linsen
b) Nahzone Quelle:
zS
Blende
Beugungsbild
λ
ρz
2
S λ
ρz
2
S
im Unendlichen
D Abstand Quelle / Blended Abstand Blende /
Detektor max. Blendendurchmesser Wellenlänge des Lichts
a) Nahzone Bild:
ebene Welle zP
Blende Schirm
Beugungsbild
λ
ρz
2
P λ
ρz
2
P
2.3.2. Beugung am Spalt ( Fraunhofer-Grenzfall )
a) unendlich ausgedehnt in y 1-dimensionales Problem
b
b x ≪ 1
x
2b
2b
xy xkiyki edxedyE
ykeine Ablenkung
in y-Richtungkeine Ablenkung
in y-Richtung
Tafelrechnung u
usinIuI
2
2
0 u
usinIuI
2
2
0
2
kb
λ
bπu xx
2
kb
λ
bπu xx mit
I
u 22 uBreite:
b klein breites Beugungsbild
b ≫ geometr. Optik, I(u) (u)
bλ2π2u x
b) Rechteckspalt
bx
2xb
2xb
x
2yb
2yb
y xkiyki edxedyE
v
vsin
u
usinIuI
2
2
2
2
0 v
vsin
u
usinIuI
2
2
2
2
0
yy
yy
xx
xx
2
kb
λ
b πv
2
kb
λ
bπu
yy
yy
xx
xx
2
kb
λ
b πv
2
kb
λ
bπu
mit
by analoges Resultat in zwei Dimensionen
Fraunhoferbeugung an Dreiecksblende
b
c)
d) Lochblende
22
22
yR
yR
R
R
yki22R
R
yki ydeyR2dxedyE
Tafelrechnung
u
uJ2IuI
2
10
u
uJ2IuI
2
10
Rk
λ
Rπ2u Rk
λ
Rπ2u mit
x
y
R
drehsymmetrisches Beugungsbild o.B.d.A. y , x 0
Besselfunktionen: „Winkelfunktionen” (sin, cos) für Polarkoordinaten
1n2
u
2
u
1kn!k
1
dncoseπ
iuJ
n
n0uk2n
0k
k
π
0
cosuin
n
( nℤ, uℂ\],0] )
( nℝ\{1,2,} )
asymptotisch ( u ): 23
uucosuπ
2uJ 4
π2πn
n O
J0
J1
J2J3
J4
u
Die ersten Besselfunktionen
u
uJ2IuI
2
10
u
uJ2IuI
2
10
Rk
λ
Rπ2u Rk
λ
Rπ2u mit I
uu1 u2 u3
I01735,10u
0156,7u
8317,3u
3
2
1
u
Breite des Hauptmaximums:
λ
Rπ2u2u 1
R
λ22,1
R
λ
π
u1
2.3.3. Beugung am Gitter ( Fraunhofer-Grenzfall )
Tafelrechnung
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
2
kd
λ
dπu
2
kb
λ
bπu
xxd
xxb
2
kd
λ
dπu
2
kb
λ
bπu
xxd
xxb
mit
b
d
N Spalte
b
x ≪ 1
x
0
d
1N
0j
bdj
dj
xkiykiyx
xy edxedy,E
y xE
Beugung am EinzelspaltN-Strahl-Interferenz der N Einzelspalte (analog Fabry-Perot)
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
2
kd
λ
dπu
2
kb
λ
bπu
xxd
xxb
2
kd
λ
dπu
2
kb
λ
bπu
xxd
xxb
a) b 0: Reine N-Strahl-Interferenz
0II
λ
d
π
ux
d
6N N 2
Neben-maxima
Ordnung der Hauptmaxima
0 1 212
b) b 0: Interferenz der Beugungswellen der N Spalte
0II
λ
d
π
ux
d
d6,0b
6N
Modulationsfunktion Beugungsmuster
des Einzelspalts
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
2
kd
λ
dπu
2
kb
λ
bπu
xxd
xxb
2
kd
λ
dπu
2
kb
λ
bπu
xxd
xxb
Linientrennung ( Auflösungsvermögen für Wellenlängenmessung )
0II
λ
d
π
ux
d
6N
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
0x dλ
x dλ
x
dNλ
x dNλ2
x dN
λx
Trennung benachbarter Hauptmaxima:
Breite eines Hauptmaximums:
dλ
x
dNλ2
xε 12
N
ε
Δ
x
x
2.3.4. Die Fresnelsche ZonenplatteFresnelbeugung quantitativ blinde Numerik per Computerhier: semiquantitative Betrachtung physikalisches Verständnis
Definition: Die n-te Fresnel-Zone ist der Ring mit n1 n (wobei 0 0), für den die Strahlen von S gerade einen maximalen Gangunterschied von 2 besitzen.
oder kurz:2
λnδδ
zS P0R r
n
n n
R,rδδ,
zS P0R r
n
n n
2
λnδδ
r2
ρ222n
2
R2ρ222
n2
2n
2n
δδr2rδrρr
δδR2RδRρR
R,rδδ,
r
1
R
1
2
ρδδ
2
λn
2n
λRr
Rrnρn
S1
S2
S3
S4
Fläche der n-ten Zone:
λπρρπS RrRr2
1n2nn
konstant ( unabhängig von n )
1S
S1
S2
S3
S4
n1
n1 n1
2
λ1nδδ
zS P0R r
R,rδδ,
dy dxδr
e
δR
ecos,θcosCE
δrkiδRki
S
n
n
n
rkiRki
1n1nδδki S
δr
e
δR
ecos,θcosCe
1,1Ccosθcos 1n1n21
1ee 1nπ1nik1ni 2λ
1n1n cosθcosrR
S1
S2
S3
S4
n1
n1 n1
2
λ1nδδ
zS P0R r
R,rδδ,
Sr
e
R
e1,1Ccos,θcosf1E 1
rkiRki
1n1n1n
n
E1
cos,θcosfE1 1n1n11n
alternierende Amplituden
mit n langsam abnehmende Beträge
S1
S2
S3
S4
cos,θcosfE1E 1n1n11n
n cos,θcosfE1E 1n1n11n
n
N
1jjE
N
1E
121 E
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Grenzwert
Folgerungen:
• Volle Apertur: 214
12
2E200
P EEI 1
• Lochblende S1: 0
PP
2021P I4IE4EI
• Lochblende S1 S2: 0IP
• Abdeckung S1: Poisson-Fleck 0PP
214
12
102 IIEEEE
S1
S2
S3
S4
Fresnelsche Zonenplatte: Abdeckung von S2, S4, S6,
konstruktive Interferenz der offenen Zonen, 0PP II
R Brennweite f r wobei rλnλRr
Rrnρ
R
n
Hauptbrennpunkt: λ
ρf
21
λ
ρf
21 Wichtige Anwendung: Röntgenlinsen
cos,θcosfE1E 1n1n11n
n cos,θcosfE1E 1n1n11n
n
N
1jjE
N
1E
121 E
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Grenzwert
Zonenplatte aus Germanium Röntgenlinse
Zentrum
Randbereich äußere Ringe 30 nm breit
2.3.5. Das Babinetsche Prinzip
Zwei komplementäre Blendenöffnun-gen erzeugen identische Beugungsbil-der in allen Raumbereichen, die vom einfallenden Licht bei Abwesenheit der Blenden nicht beleuchtet werden.
Rayleigh-Kriterium: S1 und S2 heißen gerade noch auflösbar, wenn das Hauptmaximum des Beugunsscheibchens von S1 im ersten Minimum des Beugungsscheibchens von S2 liegt.
I
2Dλ1,22
Bθ
minmin
Dλ22,1
B21
min
δθ gδG
θδθ
minmin
Dλ22,1
B21
min
δθ gδG
θδθ
Winkelauflösung:
Ortsauflösung:
1
minG
1
minθ
GδR
θδR
Gute Auflösung erfordert kleine Wellenlänge und große Aperturöffnung
Aperturblende
( Eingangspupille )
D
Beispiel: Das Fernrohr
D
ObjektivlinseOkularlinse
Filter
Stern 2
Stern 1D
λ22,1minδθ D
λ22,1minδθ
Beispiel: Das Auge
Pupille: D 1 8 mm
Linse: f 24 mm
0,4 0,7 m
13,23,0θδ
nm550
min
O
Beugungsscheibchen: μm7θδf min ( Lichtrezeptoren (Stäbchen) haben tatsächlich etwa diesen Abstand voneinander )
Deutliche Sehweite: cm25g
μm70θδgGδ minmin
Beispiel: Das Mikroskop
22,122,1Gδ Dnfλ
Dfλ
min0 22,122,1Gδ Dnfλ
Dfλ
min0
f
Dsin 2
1
2α
2α
021
min
sinn.A.NN.A.
λ22,1Gδ
Numerische Apertur
Lichtstärke des ObjektivsFaustregel: Prinzipielle Grenze der Auflösung bei ½
S1
S2
G
g f
Objektivlinse, f
D
Immersionsöl, n
Zwischenbildebene
b t Tubuslänge
Okular (Lupe)
Objektebene
0
0n1 λλ
2.3.7. Abbesche Theorie der Abbildung
Wann sind die Doppelspalte noch als zwei Spalte auflösbar?
Bildebene
S1
S2
Doppelspalt
d
g
Aperturblende
D
P2
P1
H1 H2
optisches System0. Ordnung1. Ordnung
1. Ordnung
1. Fall: Aperturblende lässt nur 0. Beugungsordnung durch heller, strukturloser Fleck kein Interferenzmuster d nicht messbar.
2. Fall: Aperturblende lässt mindestens auch 1. Beugungsordnung durch charakteristisches Interferenzmuster d messbar.
Anwendung der Abbe-Theorie auf Scheibchen des Durchmessers Gmin:
g22,1Gδ22,1D Dλ
minGδgλ
min
identisch mit Rayleigh-Kriterium!
1. Ordnung
minGδλ22,1 0. Ordnung
1. Ordnung
Gmin
2.4. Instrumente und Methoden
2.4.1. Spektrographen Messung von I()
a) Interferometer: -abängige Transmission (z.B. Fabri-Perot-Interferometer)
a) Spektrograph: räumliche Trennung verschiedener Wellenlängen z.B. Prismenspektrograph: -abhängige Brechung z.B. Gitterspektrograph: -abhängige Beugung
c) Monochromator: Spektrograph mit Selektionsspalt
Begriffe:
sehr viele Typen und Varianten
Prinzip des Prismenspektrographen:
Geometrische Optik VL
λd
nd
sinn1
sin2
λd
δd
2γ22
2γ
λd
nd
sinn1
sin2
λd
δd
2γ22
2γ
(symmetrischer Strahlengang)
λd
δdf
λd
xd
λd
δdf
λd
xd
1
2
x
f
n
Licht-quelle Spalt
Basislänge des ausgeleuchteten
Prismas
b
1
Schirm / Detektor
x
Prinzip des Gitterspektrographen ( hier: Strichgitter ):
Licht-quelle
SpaltGitter
Strichabstand df
x
m
Hauptmaximum, m-te Beugungsordnung
Schirm / Detektor
1
2
xm
Kap. 2.3.3. d
λmθ m
d
λmθ m
d
fm
λd
xd
d
m
λd
θd mm
2.4.2. Spektrales AuflösungsvermögenProblem: Für welches sind die Bilder der Wellenlängen 0 und gerade noch trennbar? Verwende Rayleigh-Kriterium!
I
Bild für 0Bild für
Der maximale optische Gang-unterschied L interferierender Strahlen ist im ersten Minimum gegenüber dem Hauptmaximum um eine Einheit in der Wellen-länge verschoben. Eintrittspupille
( Strahlbreite )
HauptmaximumL0
erstes MinimumL L0
Beugungsbild
DD
Beugung an Eintrittspupille D
Der maximale optische Gangunterschied L interferierender Strahlen ist im ersten Minimum gegenüber dem Hauptmaximum um eine Einheit in der Wellenlänge verschoben
00 λpλL
λpλL λ1pλL
Folgerung:
1λ
λL
λ
λL
0
0
1λ
λL
λ
λL
0
0
0λδmit λδλλ 0
0
0
λ0λ0
0
λ
λL
λd
Ld
λ
1
λ
λL
d
d
λ
λL
λ
λL
λδ
1
00
Beachte:
1
0λ
0
λ
L
λd
Ld
λδ
λ
Spektrales Auflösungsvermögen:
00 λ1pλL
I
Bild für 0Bild für
00 λλd
nd
λλdLΔd b
0λ
0
λ
L
λd
Ld
λδ
λ
Spektrales Auflösungsvermögen:
Beispiel: Prismenspektrograph
n
bStrahlengang der geometrischen Optik
bei Wellenlänge 0 Hauptmaximum
2Fermatsches Prinzip L0 L20
0λL 0
Wege (1,2) im Prisma nicht gemäß geometrischer Optik (Beugung):λ λδbbλnbλnλLλL
0λdnd
0022
λδλLΔ0λλd
LΔd0 0
λLλLλL 12 0
20
1 λLλL Spektrales Auflösungsvermögen
des Prismenspektrographen:
0λ
0
λd
λndb
λδ
λ
Beispiel: Gitterspektrograph
Gitter mit N Strichspalten, Strichabstand d
Strahlengang der geom. Optik
( L 0 )
m-tes Beugungs-Maximum des Gitters bei 0
Nd
m
.m
L
Ablenkungsrichtung m fest
0
d
Ld
.constθsindNL m
Nmλδ
λ0 Spektrales Auflösungsvermögen des Gitterspektrographen mit N ausge-
leuchteten Spalten in Beugungsordnung m
0λ
0
λ
L
λd
Ld
λδ
λ
Spektrales Auflösungsvermögen:
d
mdNL
d
msin 00
m
Nm
λ
λLΔ
0
0
2.4.3. Holographie
Foto:
inkohärente Lichtquelle
Objekt ( Motiv
)
Streu-/ Reflexionslicht
Objektiv-Linse
Fotoplatte / Film / Netzhautin (x,y)-EbeneI(x,y) Schwärzung des Negativs
Erregung der Lichtrezeptoren
Ein Foto stellt eine zweidimensionale Projektion des Objekts dar. Die dreidimensionale Information ist verloren.
( Auswege: Stereoskopische Fotographie; belebte Natur: Beobachtung durch mindestens zwei Augen )
Hologramm:
Objekt
Streu-/ Reflexionslicht
Fotoplatte in (x,y)-Ebene
Ein Hologramm stellt eine dreidimensionale abstrakte Codierung des Objekts dar. Die dreidimensionale Information ist in dem
Interferenzmuster von Referenz- und Objektwelle verborgen. Das Bild ist keine optische Abbildung.
kohärente Lichtquelle
( Laser )
Strahlteiler
xy
z
Referenz-Welle
0k
I(x,y,) Schwärzung
r
Objektwelle ( eine harmonische
Komponente )
Sk
Erfassung der dritten Dimension: relative Phase zwischen Referenz-
und Objektwelle
Erfassung der dritten Dimension: relative Phase zwischen Referenz-
und Objektwelle
xy
z
Referenz-Welle
0k
I(x,y,)
r
Objektwelle
0yx
r
tωrkiexpAE 000
Referenzwelle: y,x0
tωx,yiexpAE SSS Objektwelle:
SSSS
0000
AAAA
AAAA
Nomenklatur:
Schwärzungsgrad der Fotoplatte Energiestromdichte I(x,y):